7/24/2019 Examen 3 Mayo Nivel II

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EXAMEN 3: NIVEL II

1. Se considera inicialmente un nmero de tres dgitos distintos, ninguno de los

cules es igual a cero. !am"iando de lugar dos de sus dgitos se encuentra un

segundo nmero menor #ue el $rimero. Si la di%erencia entre el $rimero & el

segundo es un nmero de dos dgitos & la suma del $rimero & el segundo es unnmero ca$ica menor #ue '((, )cules son los ca$icas #ue $ueden ser

o"tenidos*+. Natalia & Marcela cuentas de 1 en 1 em$eando -untas en 1, $ero la

elocidad de Marcela es el tri$le #ue la de Natalia /cuando Natalia dice su

segundo nmero, Marcela dice el cuarto nmero0. !uando la di%erencia de los

nmeros #ue dicen al unsono es alguno de los mlti$los de +, entre '(( & 2((,

Natalia sigue contando normalmente & Marcela em$iea a contar en %orma

descendente de tal %orma #ue, en un momento, las dos dicen al unsono el mismo

nmero. )!ul es dico nmero*3. Se tienen 1(((( 4cas iguales con %orma de tringulo e#uiltero. !on estos

triangulitos se %orman e5gonos regulares, sin su$er$osiciones ni uecos. Si se

%orma el e5gono regular #ue des$erdicia la menor cantidad $osi"le de

triangulitos, )cuantos triangulitos so"ran*6. 7ado un ta"lero cuadriculado de 6 8 6 con cada casilla $intada de un color

distinto, se desea cortarlo en dos $edaos de igual rea mediante un solo corte

#ue siga las lneas de la cuadrcula. )7e !untas maneras se $uede acer*'. Se tiene un ta"lero de 3 4las & 1( columnas. La $rimera 4la se com$leta con

los nmeros del 1 al 1(, en ese orden. La segunda 4la se com$leta con los

nmeros del 1 al 1(, en cual#uier orden. En cada casilla de la tercera 4la se

escri"e la suma de los dos nmeros escritos arri"a. )9a& alguna %orma de

com$letar la segunda 4la de modo #ue las ci%ras de las unidades de los nmerosde la tercera 4la sean todas distintas*

2. Sean S una circun%erencia de radio + S1 una circun%erencia de radio 1

tangente interiormente a S en ; & S+una circun%erencia de radio 1 tangente a

S1 en el $unto A $ero #ue no es tangente a S. Si < es el $unto de intersecci=n de

la recta A; con la circun%erencia S, demostrar #ue < $ertenece a la circun%erencia

S+.>. En un ta"lero de 3 4las & ''' columnas, se colorean de ro-o 3 casillas, una en

cada una de las 3 4las. Si se escri"en en las casillas, ordenadamente $or 4las, de

i#uierda a dereca, los nmeros del 1 al 122' /en la $rimera 4la del 1 al ''', en

la segunda del ''2 al 111( & en la tercera del 1111 al 122'0 a& 3 nmeros #ue#uedan escritos en casillas ro-as. Si se escri"en en las casillas, ordenadamente $or

columnas, de arri"a acia a"a-o, los nmeros del 1 al 122' /en la $rimera

columna del 1 al 3, en la segunda del 6 al 2, en la tercera del > al ,..., & en la

ltima del 1223 al 122'0 a& 3 nmeros #ue #uedan escritos en casillas ro-as.

Llamamos nmeros ro-os a los #ue en alguna de las dos distri"uciones #uedan

escritos en casillas ro-as. Indica cules son las 3 casillas #ue a& #ue colorear de

ro-o $ara #ue solo a&a 3 nmeros ro-os. Muestra todas las $osi"ilidades.?. En un tringulo A;!, rectngulo en A e is=sceles, sea 7 un $unto del lado A!

/7 @ A & 7 @ !0 & sea E el $unto de la $rolongaci=n del lado ;A tal #ue el tringulo

A7E es is=sceles. Si es el $unto medio del segmento ;7, B es el $unto medio del

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segmento !E & C el $unto en donde se cortan las rectas E7 & ;!, demuestra #ue

el cuadriltero ABC es un cuadrado.. 9alla todos los $ares de nmeros enteros $ositios /a, "0 tales #ue ?" D 1 es

mlti$lo de a & ?a D 1 es mlti$lo de ".1(. 7is$onemos de una mesa de "illar de ? metros de largo & + metros de anco,

con una nica "ola en su centro. La lanamos en lnea recta &, tras recorrer +metros, se detiene en una es#uina de la mesa. )!untas eces a re"otado la

"ola contra los "ordes de la mesa* Nota: !uando la "ola re"ota contra un "orde de

la mesa los dos ngulos #ue %orma su tra&ectoria con el "orde de la mesa son

iguales11. En el tringulo is=sceles A;!, con A; A!, sea M el $unto medio de ;!. El

$unto 7 en el lado ;! es tal #ueBAD=

1

6 D ? D D 1( D 11 D 1+ D 13, en la #ue se an a su$rimiralgunos signos D. )!ules son los tres menores mlti$los de 1(( #ue $odemos

o"tener de esta %orma*12. 9allar el mnimo K + $ara el cual e5isten K nmeros enteros consecutios

tales #ue la suma de sus cuadrados es un cuadrado.1>. En un tringulo rectngulo A;! tal #ue A; A!, M es el $unto medio de ;!.

Sea un $unto de la mediatri de A! #ue $ertenece al semi$lano determinado $or

;! #ue no contiene a A. Las rectas ! & AM se cortan en C. !alcular el ngulo #ue

%orman A & ;C.1?. En el tringulo A;!, se eri4ca #ue A;! +A!; & ;A! (. Llamamos

M al $unto medio de ;!. La $er$endicular $or ! al lado A! corta a la recta A; en el$unto 7. 7emostrar #ue AM; 7M!.

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1. Se marcan arios $untos distintos en el $lano, & se traan todos los

segmentos determinados $or esos $untos. Ona recta rno $asa $or ninguno de los

$untos marcados & corta a e5actamente 2( de los segmentos #ue emos traado.

)!untos segmentos no estn cortados $or r* 7ar todas las $osi"ilidades.+(. Ana & Luca -uegan al siguiente -uego. Ana escri"e una lista de n nmeros

enteros distintos. Luca gana si $uede elegir cuatro nmeros distintos, a, ", c & d,

de modo #ue el nmero a D " c d sea mlti$lo de +(. 7etermina el mnimo

alor de n $ara el #ue, !ual#uiera #ue sea la lista de Ana, Luca $ueda ganar.