8/17/2019 Examen Análisis Vectorial con MATLAB

1/200

No: 0 Apellidos ............................. Nombre .................... DNI: ...............

X 1 2 3 4 5 6 7 8abcd

a 23038 -370 0.0217 -55 0.049 0.80 1213.91 17475.63b 23039 -369 0.0208 -54 0.047 0.76 1161.13 16601.85c 23040 -368 0.0198 -53 0.045 0.73 1108.35 15728.07d 23041 -367 0.0189 -52 0.043 0.69 1055.58 14854.29

1. Sea F (x,y,z  ) = (14x, 10y, 0) y sea  S  la cara lateral de la superficie ciĺındrica  x2 + y2 = 16limitada por los  z  = 0,  z  = x + y + 60, calcula

1

π

 S 

 F   · n dS 

2. Se   C   la curva intersección del cilindro   x2 + y2 = 16 con el plano   z   = 14x + 10y, y seaF (x,y,z  ) = (z ,x,y) calcula

1

π

 C 

F dr =  1

π

 C 

z dx + x dy + y dz 

3. Sea S  el cilindro de ecuación x2+y2 = 42 parametrizado mediante r(θ, z ) = (4cos(θ), 4 sin(θ), 14z ),

calcula la curvatura normal en el punto P (4, 0, 14π) = α(π) en la dirección del vector α(π)siendo  α(t) la hélice parametrizada por  α(t) = [4 cos(t), 4 sin(t), 14t]. El cilidro está orien-tado con el normal que apunta hacia el eje del cilindro.

4. Sea   C   el arco de curva   α(t) =

cosπ

2 sin(x)

, cos

π

2 sin(x)

, cos(x)

 comprendido entre

los puntos  α(0) = (1, 1, 1) y  α(π2

) = (0, 0, 0). Calcula

 C 

(14z  + 8x) dx + (10z  + 28y) dy + (20z  + 10y + 14x) dz 

Indicación: En los casos en los que el campo admite potencial puede ser útil calcular el

potencial o bien utilizar una curva más sencilla.

5. Calcula la integral doble de f (x, y) = x  en la región plana limitada por las circunferenciasx2 + y2 = 196,  x2 + y2 = 576 y las rectas  y = 196x,  y = 576x

6. Se considera el paraboloide z  = x2+y2 parametrizado mediante r(ρ, θ) = [ρ cos(t), ρ sin(t), ρ2]Calcula la curvatura de Gauss en el punto donde  x =   1√ 

4, y =   1√ 

10.

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2/200

7. Calcula la integral de ĺınea  C 

x2 dy  siendo  C   la curva cerrada formada por

la semicircunferencia y la semielipse siguientes:

(x − 6)2 + (y − 1)2 = 42,   con  y  ≥ 1,  (x − 6)2

42  +

 (y − 1)2

102  = 1 con y  ≤ 1

8. Calcula el flujo del campo  F (x,y,z  ) = [4y, 10x, 14z 2] a través de la superficie cerrada dedos caras formada por el cono   z   =

 x2 + y2 y el paraboloide   z   = 6 − (x2 + y2). La

superficie está orienta según el normal exterior.

8/17/2019 Examen Análisis Vectorial con MATLAB

3/200

No: 1 Apellidos ............................. Nombre .................... DNI: ...............

X 1 2 3 4 5 6 7 8abcd

a 29999 692.72 -47 0.87 0.038 15790.48 -478 0.069b 30000 659.73 -46 0.83 0.036 15103.94 -477 0.066c 30001 626.75 -45 0.79 0.034 14417.40 -476 0.062d 30002 593.76 -44 0.75 0.033 13730.85 -475 0.059

1. Sea  F (x,y,z  ) = (11x, 9y, 0) y sea  S   la cara lateral de la superficie ciĺındrica  x2 + y2 = 25limitada por los  z  = 0,  z  = x + y + 60, calcula

1

π

 S 

 F   · n dS 

2. Calcula la integral de ĺınea

 C 

x2 dy  siendo  C   la curva cerrada formada por

la semicircunferencia y la semielipse siguientes:

(x − 3)2 + (y − 10)2 = 52,   con  y  ≥ 10,  (x − 3)2

52  +

 (y − 10)2

92  = 1 con  y  ≤ 10

3. Sea   C   el arco de curva   α(t) =

cosπ

2 sin(x)

, cos

π

2 sin(x)

, cos(x)

 comprendido entre

los puntos  α(0) = (1, 1, 1) y  α(π2

) = (0, 0, 0). Calcula

 C 

(11z  + 10x) dx + (9z  + 22y) dy + (18z  + 9y + 11x) dz 

Indicación: En los casos en los que el campo admite potencial puede ser útil calcular elpotencial o bien utilizar una curva más sencilla.

4. Se considera el paraboloide z  = x2+y2 parametrizado mediante r(ρ, θ) = [ρ cos(t), ρ sin(t), ρ2]

Calcula la curvatura de Gauss en el punto donde  x =  1

√ 5 , y =  1

√ 9 .

5. Sea S  el cilindro de ecuación x2+y2 = 52 parametrizado mediante r(θ, z ) = (5 cos(θ), 5 sin(θ), 11z ),calcula la curvatura normal en el punto P (5, 0, 11π) = α(π) en la dirección del vector α(π)siendo  α(t) la hélice parametrizada por  α(t) = [5 cos(t), 5 sin(t), 11t]. El cilidro está orien-tado con el normal que apunta hacia el eje del cilindro.

8/17/2019 Examen Análisis Vectorial con MATLAB

4/200

6. Calcula el flujo del campo F (x,y,z  ) = [5y, 9x, 11z 2] a través de la superficie cerrada de dos

caras formada por el cono  z  = 

x2 + y2 y el paraboloide  z  = 6 − (x2

+ y2

). La superficieestá orienta según el normal exterior.

7. Se   C   la curva intersección del cilindro   x2 + y2 = 25 con el plano   z   = 11x + 9y, y seaF (x,y,z  ) = (z ,x,y) calcula

1

π

 C 

F dr =  1

π

 C 

z dx + x dy + y dz 

8. Calcula la integral doble de f (x, y) = x  en la región plana limitada por las circunferenciasx2 + y2 = 121,  x2 + y2 = 400 y las rectas  y = 121x,  y = 400x

8/17/2019 Examen Análisis Vectorial con MATLAB

5/200

No: 2 Apellidos ............................. Nombre .................... DNI: ...............

X 1 2 3 4 5 6 7 8abcd

a -51 904.78 0.0198 0.030 21118 0.70 20096.98 -336b -50 859.54 0.0189 0.029 21119 0.67 19223.20 -335c -49 814.30 0.0179 0.027 21120 0.64 18349.41 -334d -48 769.06 0.0170 0.026 21121 0.61 17475.63 -333

1. Sea   C   el arco de curva   α(t) =

cosπ

2 sin(x)

, cos

π

2 sin(x)

, cos(x)

 comprendido entre

los puntos  α(0) = (1, 1, 1) y  α(π2

) = (0, 0, 0). Calcula C 

(14z  + 8x) dx + (8z  + 28y) dy + (16z  + 8y + 14x) dz 

Indicación: En los casos en los que el campo admite potencial puede ser útil calcular elpotencial o bien utilizar una curva más sencilla.

2. Calcula la integral de ĺınea

 C 

x2 dy  siendo  C   la curva cerrada formada por

la semicircunferencia y la semielipse siguientes:

(x − 6)2 + (y − 9)2 = 42,   con  y  ≥ 9,  (x − 6)2

42  +

 (y − 9)2

82  = 1 con y  ≤ 9

3. Sea S  el cilindro de ecuación x2+y2 = 42 parametrizado mediante r(θ, z ) = (4cos(θ), 4 sin(θ), 14z ),calcula la curvatura normal en el punto P (4, 0, 14π) = α(π) en la dirección del vector α(π)siendo  α(t) la hélice parametrizada por  α(t) = [4 cos(t), 4 sin(t), 14t]. El cilidro está orien-tado con el normal que apunta hacia el eje del cilindro.

4. Calcula la integral doble de f (x, y) = x  en la región plana limitada por las circunferenciasx2 + y2 = 196,  x2 + y2 = 484 y las rectas  y = 196x,  y = 484x

5. Sea  F (x,y,z  ) = (14x, 8y, 0) y sea  S   la cara lateral de la superficie ciĺındrica  x2 + y2 = 16

limitada por los  z  = 0,  z  = x + y + 60, calcula1

π

 S 

 F   · n dS 

6. Se considera el paraboloide z  = x2+y2 parametrizado mediante r(ρ, θ) = [ρ cos(t), ρ sin(t), ρ2]Calcula la curvatura de Gauss en el punto donde  x =   1√ 

4, y =   1√ 

8.

8/17/2019 Examen Análisis Vectorial con MATLAB

6/200

7. Calcula el flujo del campo F (x,y,z  ) = [4y, 8x, 14z 2] a través de la superficie cerrada de dos

caras formada por el cono  z  = 

x2 + y2 y el paraboloide  z  = 6 − (x2

+ y2

). La superficieestá orienta según el normal exterior.

8. Se   C   la curva intersección del cilindro   x2 + y2 = 16 con el plano   z   = 14x + 8y, y seaF (x,y,z  ) = (z ,x,y) calcula

1

π

 C 

F dr =  1

π

 C 

z dx + x dy + y dz 

8/17/2019 Examen Análisis Vectorial con MATLAB

7/200

No: 3 Apellidos ............................. Nombre .................... DNI: ...............

X 1 2 3 4 5 6 7 8abcd

a 19223.20 0.86 -416 0.068 1345.86 -60 25917 0.0189b 18349.41 0.83 -415 0.065 1281.77 -59 25918 0.0179c 17475.63 0.79 -414 0.061 1217.68 -58 25919 0.0170d 16601.85 0.75 -413 0.058 1153.59 -57 25920 0.0160

1. Calcula el flujo del campo  F (x,y,z  ) = [4y, 13x, 14z 2] a través de la superficie cerrada dedos caras formada por el cono   z   =  x

2 + y2 y el paraboloide   z   = 6 − (x2 + y2). La

superficie está orienta según el normal exterior.

2. Se considera el paraboloide z  = x2+y2 parametrizado mediante r(ρ, θ) = [ρ cos(t), ρ sin(t), ρ2]Calcula la curvatura de Gauss en el punto donde  x =   1√ 

4, y =   1√ 

13.

3. Se   C   la curva intersección del cilindro   x2 + y2 = 16 con el plano   z   = 14x + 13y, y seaF (x,y,z  ) = (z ,x,y) calcula

1

π

 C 

F dr =  1

π

 C 

z dx + x dy + y dz 

4. Calcula la integral doble de f (x, y) = x  en la región plana limitada por las circunferenciasx2 + y2 = 196,  x2 + y2 = 729 y las rectas  y = 196x,  y = 729x

5. Calcula la integral de ĺınea

 C 

x2 dy  siendo  C   la curva cerrada formada por

la semicircunferencia y la semielipse siguientes:

(x − 6)2 + (y − 4)2 = 42,   con  y  ≥ 4,  (x − 6)2

42  +

 (y − 4)2

132  = 1 con y  ≤ 4

6. Sea   C   el arco de curva   α(t) =

cosπ

2 sin(x)

, cos

π

2 sin(x)

, cos(x)

 comprendido entre

los puntos  α(0) = (1, 1, 1) y  α(π

2 ) = (0, 0, 0). Calcula C 

(14z  + 8x) dx + (13z  + 28y) dy + (26z  + 13y + 14x) dz 

Indicación: En los casos en los que el campo admite potencial puede ser útil calcular elpotencial o bien utilizar una curva más sencilla.

8/17/2019 Examen Análisis Vectorial con MATLAB

8/200

7. Sea F (x,y,z  ) = (14x, 13y, 0) y sea  S  la cara lateral de la superficie ciĺındrica  x2 + y2 = 16

limitada por los  z  = 0,  z  = x + y + 60, calcula

1

π

 S 

 F   · n dS 

8. Sea S  el cilindro de ecuación x2+y2 = 42 parametrizado mediante r(θ, z ) = (4cos(θ), 4 sin(θ), 14z ),calcula la curvatura normal en el punto P (4, 0, 14π) = α(π) en la dirección del vector α(π)siendo  α(t) la hélice parametrizada por  α(t) = [4 cos(t), 4 sin(t), 14t]. El cilidro está orien-tado con el normal que apunta hacia el eje del cilindro.

8/17/2019 Examen Análisis Vectorial con MATLAB

9/200

No: 4 Apellidos ............................. Nombre .................... DNI: ...............

X 1 2 3 4 5 6 7 8abcd

a 18349.41 0.047 116637 -57 1.23 -1865 3706.77 0.032b 17475.63 0.045 116638 -56 1.18 -1864 3545.60 0.031c 16601.85 0.043 116639 -55 1.12 -1863 3384.44 0.029d 15728.07 0.040 116640 -54 1.06 -1862 3223.27 0.028

1. Calcula el flujo del campo  F (x,y,z  ) = [9y, 10x, 14z 2] a través de la superficie cerrada dedos caras formada por el cono   z   =  x2 + y2 y el paraboloide   z   = 6 − (x2 + y2). Lasuperficie está orienta según el normal exterior.

2. Calcula la integral doble de f (x, y) = x  en la región plana limitada por las circunferenciasx2 + y2 = 196,  x2 + y2 = 576 y las rectas  y = 196x,  y = 576x

3. Sea F (x,y,z  ) = (14x, 10y, 0) y sea  S  la cara lateral de la superficie ciĺındrica  x2 + y2 = 81limitada por los  z  = 0,  z  = x + y + 60, calcula

1

π

 S 

 F   · n dS 

4. Sea   C   el arco de curva   α(t) =

cosπ2 sin(x)

, cos

π2 sin(x)

, cos(x)

 comprendido entre

los puntos  α(0) = (1, 1, 1) y  α(π2

) = (0, 0, 0). Calcula

 C 

(14z  + 18x) dx + (10z  + 28y) dy + (20z  + 10y + 14x) dz 

Indicación: En los casos en los que el campo admite potencial puede ser útil calcular elpotencial o bien utilizar una curva más sencilla.

5. Se considera el paraboloide z  = x2+y2 parametrizado mediante r(ρ, θ) = [ρ cos(t), ρ sin(t), ρ2]Calcula la curvatura de Gauss en el punto donde  x =   1√ 

9, y =   1√ 

10.

6. Se   C   la curva intersección del cilindro   x2 + y2 = 81 con el plano   z   = 14x + 10y, y seaF (x,y,z  ) = (z ,x,y) calcula

1

π

 C 

F dr =  1

π

 C 

z dx + x dy + y dz 

8/17/2019 Examen Análisis Vectorial con MATLAB

10/200

7. Calcula la integral de ĺınea  C 

x2 dy  siendo  C   la curva cerrada formada por

la semicircunferencia y la semielipse siguientes:

(x − 6)2 + (y − 1)2 = 92,   con  y  ≥ 1,  (x − 6)2

92  +

 (y − 1)2

102  = 1 con y  ≤ 1

8. Sea S  el cilindro de ecuación x2+y2 = 92 parametrizado mediante r(θ, z ) = (9 cos(θ), 9 sin(θ), 14z ),calcula la curvatura normal en el punto P (9, 0, 14π) = α(π) en la dirección del vector α(π)siendo  α(t) la hélice parametrizada por  α(t) = [9 cos(t), 9 sin(t), 14t]. El cilidro está orien-tado con el normal que apunta hacia el eje del cilindro.

8/17/2019 Examen Análisis Vectorial con MATLAB

11/200

No: 5 Apellidos ............................. Nombre .................... DNI: ...............

X 1 2 3 4 5 6 7 8abcd

a 0.084 -833 0.052 758.69 52920 -44 1.07 12482.59b 0.080 -832 0.049 725.71 52921 -43 1.03 11858.47c 0.076 -831 0.047 692.72 52922 -42 0.98 11234.34d 0.073 -830 0.045 659.73 52923 -41 0.93 10610.21

1. Calcula la integral doble de f (x, y) = x  en la región plana limitada por las circunferenciasx2 + y2 = 100,  x2 + y2 = 324 y las rectas  y = 100x,  y = 324x

2. Se   C   la curva intersección del cilindro   x2 + y2 = 49 con el plano   z   = 10x + 8y, y seaF (x,y,z  ) = (z ,x,y) calcula

1

π

 C 

F dr =  1

π

 C 

z dx + x dy + y dz 

3. Sea S  el cilindro de ecuación x2+y2 = 72 parametrizado mediante r(θ, z ) = (7cos(θ), 7 sin(θ), 10z ),calcula la curvatura normal en el punto P (7, 0, 10π) = α(π) en la dirección del vector α(π)siendo  α(t) la hélice parametrizada por  α(t) = [7 cos(t), 7 sin(t), 10t]. El cilidro está orien-tado con el normal que apunta hacia el eje del cilindro.

4. Calcula la integral de ĺınea C 

x2 dy  siendo  C   la curva cerrada formada por

la semicircunferencia y la semielipse siguientes:

(x − 2)2 + (y − 9)2 = 72,   con  y  ≥ 9,  (x − 2)2

72  +

 (y − 9)2

82  = 1 con y  ≤ 9

5. Sea  F (x,y,z  ) = (10x, 8y, 0) y sea  S   la cara lateral de la superficie ciĺındrica  x2 + y2 = 49limitada por los  z  = 0,  z  = x + y + 60, calcula

1

π 

S 

 F   · n dS 

6. Sea   C   el arco de curva   α(t) =

cosπ

2 sin(x)

, cos

π

2 sin(x)

, cos(x)

 comprendido entre

los puntos  α(0) = (1, 1, 1) y  α(π2

) = (0, 0, 0). Calcula C 

(10z  + 14x) dx + (8z  + 20y) dy + (16z  + 8y + 10x) dz 

8/17/2019 Examen Análisis Vectorial con MATLAB

12/200

Indicación: En los casos en los que el campo admite potencial puede ser útil calcular el

potencial o bien utilizar una curva más sencilla.

7. Se considera el paraboloide z  = x2+y2 parametrizado mediante r(ρ, θ) = [ρ cos(t), ρ sin(t), ρ2]Calcula la curvatura de Gauss en el punto donde  x =   1√ 

7, y =   1√ 

8.

8. Calcula el flujo del campo F (x,y,z  ) = [7y, 8x, 10z 2] a través de la superficie cerrada de doscaras formada por el cono  z  =

 x2 + y2 y el paraboloide  z  = 6 − (x2 + y2). La superficie

está orienta según el normal exterior.

8/17/2019 Examen Análisis Vectorial con MATLAB

13/200

No: 6 Apellidos ............................. Nombre .................... DNI: ...............

X 1 2 3 4 5 6 7 8abcd

a 79378 0.033 18349.41 -1276 0.068 -62 2902.83 1.13b 79379 0.031 17475.63 -1275 0.065 -61 2770.88 1.08c 79380 0.030 16601.85 -1274 0.061 -60 2638.94 1.02d 79381 0.029 15728.07 -1273 0.058 -59 2506.99 0.96

1. Sea F (x,y,z  ) = (14x, 13y, 0) y sea  S  la cara lateral de la superficie ciĺındrica  x2 + y2 = 49limitada por los  z  = 0,  z  = x + y + 60, calcula

1

π

 S 

 F   · n dS 

2. Sea S  el cilindro de ecuación x2+y2 = 72 parametrizado mediante r(θ, z ) = (7cos(θ), 7 sin(θ), 14z ),calcula la curvatura normal en el punto P (7, 0, 14π) = α(π) en la dirección del vector α(π)siendo  α(t) la hélice parametrizada por  α(t) = [7 cos(t), 7 sin(t), 14t]. El cilidro está orien-tado con el normal que apunta hacia el eje del cilindro.

3. Calcula el flujo del campo  F (x,y,z  ) = [7y, 13x, 14z 2] a través de la superficie cerrada dedos caras formada por el cono   z   =

 x2 + y2 y el paraboloide   z   = 6 − (x2 + y2). La

superficie está orienta según el normal exterior.4. Se   C   la curva intersección del cilindro   x2 + y2 = 49 con el plano   z   = 14x + 13y, y sea

F (x,y,z  ) = (z ,x,y) calcula

1

π

 C 

F dr =  1

π

 C 

z dx + x dy + y dz 

5. Calcula la integral doble de f (x, y) = x  en la región plana limitada por las circunferenciasx2 + y2 = 196,  x2 + y2 = 729 y las rectas  y = 196x,  y = 729x

6. Sea   C   el arco de curva   α(t) = cos π

2 sin(x) , cos

π

2 sin(x) , cos(x)  comprendido entre

los puntos  α(0) = (1, 1, 1) y  α(π

2 ) = (0, 0, 0). Calcula C 

(14z  + 14x) dx + (13z  + 28y) dy + (26z  + 13y + 14x) dz 

Indicación: En los casos en los que el campo admite potencial puede ser útil calcular elpotencial o bien utilizar una curva más sencilla.

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14/200

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15/200

No: 7 Apellidos ............................. Nombre .................... DNI: ...............

X 1 2 3 4 5 6 7 8abcd

a 0.088 -53 102060 -1621 1.35 14417.40 1772.80 0.045b 0.083 -52 102061 -1620 1.29 13730.85 1692.22 0.042c 0.079 -51 102062 -1619 1.23 13044.31 1611.64 0.040d 0.075 -50 102063 -1618 1.18 12357.77 1531.06 0.038

1. Calcula la integral doble de f (x, y) = x  en la región plana limitada por las circunferenciasx2 + y2 = 121,  x2 + y2 = 441 y las rectas  y = 121x,  y = 441x

2. Sea   C   el arco de curva   α(t) =

cosπ

2 sin(x)

, cos

π

2 sin(x)

, cos(x)

 comprendido entre

los puntos  α(0) = (1, 1, 1) y  α(π2

) = (0, 0, 0). Calcula

 C 

(11z  + 18x) dx + (10z  + 22y) dy + (20z  + 10y + 11x) dz 

Indicación: En los casos en los que el campo admite potencial puede ser útil calcular elpotencial o bien utilizar una curva más sencilla.

3. Sea F (x,y,z  ) = (11x, 10y, 0) y sea  S  la cara lateral de la superficie ciĺındrica  x2 + y2 = 81

limitada por los  z  = 0,  z  = x + y + 60, calcula

1

π

 S 

 F   · n dS 

4. Se   C   la curva intersección del cilindro   x2 + y2 = 81 con el plano   z   = 11x + 10y, y seaF (x,y,z  ) = (z ,x,y) calcula

1

π

 C 

F dr =  1

π

 C 

z dx + x dy + y dz 

5. Se considera el paraboloide z  = x2+y2 parametrizado mediante r(ρ, θ) = [ρ cos(t), ρ sin(t), ρ2]Calcula la curvatura de Gauss en el punto donde  x =   1√ 

9, y =   1√ 

10.

6. Calcula el flujo del campo  F (x,y,z  ) = [9y, 10x, 11z 2] a través de la superficie cerrada dedos caras formada por el cono   z   =

 x2 + y2 y el paraboloide   z   = 6 − (x2 + y2). La

superficie está orienta según el normal exterior.

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7. Calcula la integral de ĺınea  C 

x2 dy  siendo  C   la curva cerrada formada por

la semicircunferencia y la semielipse siguientes:

(x − 3)2 + (y − 1)2 = 92,   con  y  ≥ 1,  (x − 3)2

92  +

 (y − 1)2

102  = 1 con y  ≤ 1

8. Sea S  el cilindro de ecuación x2+y2 = 92 parametrizado mediante r(θ, z ) = (9 cos(θ), 9 sin(θ), 11z ),calcula la curvatura normal en el punto P (9, 0, 11π) = α(π) en la dirección del vector α(π)siendo  α(t) la hélice parametrizada por  α(t) = [9 cos(t), 9 sin(t), 11t]. El cilidro está orien-tado con el normal que apunta hacia el eje del cilindro.

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17/200

No: 8 Apellidos ............................. Nombre .................... DNI: ...............

X 1 2 3 4 5 6 7 8abcd

a 25497 0.103 -42 2358.55 0.83 -400 12357.77 0.047b 25498 0.098 -41 2246.24 0.79 -399 11796.05 0.045c 25499 0.093 -40 2133.93 0.76 -398 11234.34 0.042d 25500 0.088 -39 2021.61 0.72 -397 10672.62 0.040

1. Sea  F (x,y,z  ) = (9x, 8y, 0) y sea  S   la cara lateral de la superficie ciĺındrica  x2 + y2 = 25limitada por los  z  = 0,  z  = x + y + 60, calcula

1π

 S 

 F   · n dS 

2. Calcula la integral doble de f (x, y) = x  en la región plana limitada por las circunferenciasx2 + y2 = 81,  x2 + y2 = 289 y las rectas  y = 81x,  y = 289x

3. Sea   C   el arco de curva   α(t) =

cosπ

2 sin(x)

, cos

π

2 sin(x)

, cos(x)

 comprendido entre

los puntos  α(0) = (1, 1, 1) y  α(π2

) = (0, 0, 0). Calcula C 

(9z  + 10x) dx + (8z  + 18y) dy + (16z  + 8y + 9x) dz 

Indicación: En los casos en los que el campo admite potencial puede ser útil calcular elpotencial o bien utilizar una curva más sencilla.

4. Calcula la integral de ĺınea

 C 

x2 dy  siendo  C   la curva cerrada formada por

la semicircunferencia y la semielipse siguientes:

(x − 11)2 + (y − 9)2 = 52,   con  y  ≥ 9,  (x − 11)2

52  +

 (y − 9)2

82  = 1 con  y  ≤ 9

5. Se considera el paraboloide z  = x2+y2 parametrizado mediante r(ρ, θ) = [ρ cos(t), ρ sin(t), ρ2]

Calcula la curvatura de Gauss en el punto donde  x =  1√ 

5 , y =  1√ 

8 .

6. Se   C   la curva intersección del cilindro   x2 + y2 = 25 con el plano   z   = 9x + 8y, y seaF (x,y,z  ) = (z ,x,y) calcula

1

π

 C 

F dr =  1

π

 C 

z dx + x dy + y dz 

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18/200

7. Calcula el flujo del campo F (x,y,z  ) = [5y, 8x, 9z 2] a través de la superficie cerrada de dos

caras formada por el cono  z  = 

x2 + y2 y el paraboloide  z  = 6 − (x2

+ y2

). La superficieestá orienta según el normal exterior.

8. Sea S  el cilindro de ecuación x2+y2 = 52 parametrizado mediante r(θ, z ) = (5 cos(θ), 5 sin(θ), 9z ),calcula la curvatura normal en el punto  P (5, 0, 9π) = α(π) en la dirección del vector  α(π)siendo  α(t) la hélice parametrizada por  α(t) = [5 cos(t), 5 sin(t), 9t]. El cilidro está orien-tado con el normal que apunta hacia el eje del cilindro.

8/17/2019 Examen Análisis Vectorial con MATLAB

19/200

No: 9 Apellidos ............................. Nombre .................... DNI: ...............

X 1 2 3 4 5 6 7 8abcd

a 0.99 1130.97 0.037 45360 16477.03 -720 -50 0.054b 0.94 1074.42 0.035 45361 15728.07 -719 -49 0.051c 0.90 1017.88 0.033 45362 14979.11 -718 -48 0.049d 0.85 961.33 0.032 45363 14230.16 -717 -47 0.046

1. Se considera el paraboloide z  = x2+y2 parametrizado mediante r(ρ, θ) = [ρ cos(t), ρ sin(t), ρ2]Calcula la curvatura de Gauss en el punto donde  x =   1√ 

6, y =   1√ 

9.

2. Calcula la integral de ĺınea

 C 

x2 dy  siendo  C   la curva cerrada formada por

la semicircunferencia y la semielipse siguientes:

(x − 4)2 + (y − 10)2 = 62,   con  y  ≥ 10,  (x − 4)2

62  +

 (y − 10)2

92  = 1 con  y  ≤ 10

3. Sea S  el cilindro de ecuación x2+y2 = 62 parametrizado mediante r(θ, z ) = (6 cos(θ), 6 sin(θ), 12z ),calcula la curvatura normal en el punto P (6, 0, 12π) = α(π) en la dirección del vector α(π)

siendo  α(t) la hélice parametrizada por  α(t) = [6 cos(t), 6 sin(t), 12t]. El cilidro está orien-tado con el normal que apunta hacia el eje del cilindro.

4. Sea  F (x,y,z  ) = (12x, 9y, 0) y sea  S   la cara lateral de la superficie ciĺındrica  x2 + y2 = 36limitada por los  z  = 0,  z  = x + y + 60, calcula

1

π

 S 

 F   · n dS 

5. Calcula el flujo del campo F (x,y,z  ) = [6y, 9x, 12z 2] a través de la superficie cerrada de doscaras formada por el cono  z  =  x

2 + y2 y el paraboloide  z  = 6 − (x2 + y2). La superficie

está orienta según el normal exterior.

6. Se   C   la curva intersección del cilindro   x2 + y2 = 36 con el plano   z   = 12x + 9y, y seaF (x,y,z  ) = (z ,x,y) calcula

1

π

 C 

F dr =  1

π

 C 

z dx + x dy + y dz 

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20/200

7. Sea   C   el arco de curva   α(t) = cos π

2 sin(x) , cos

π

2 sin(x) , cos(x)  comprendido entre

los puntos  α(0) = (1, 1, 1) y  α(π

2 ) = (0, 0, 0). Calcula C 

(12z  + 12x) dx + (9z  + 24y) dy + (18z  + 9y + 12x) dz 

Indicación: En los casos en los que el campo admite potencial puede ser útil calcular elpotencial o bien utilizar una curva más sencilla.

8. Calcula la integral doble de f (x, y) = x  en la región plana limitada por las circunferenciasx2 + y2 = 144,  x2 + y2 = 441 y las rectas  y = 144x,  y = 441x

8/17/2019 Examen Análisis Vectorial con MATLAB

21/200

No: 10 Apellidos ............................. Nombre .................... DNI: ...............

X 1 2 3 4 5 6 7 8abcd

a 1382.30 0.067 14399 -227 -35 0.041 0.62 11234.34b 1313.19 0.064 14400 -226 -34 0.039 0.59 10672.62c 1244.07 0.061 14401 -225 -33 0.037 0.56 10110.90d 1174.96 0.058 14402 -224 -32 0.035 0.53 9549.19

1. Calcula la integral de ĺınea

 C 

x2 dy  siendo  C   la curva cerrada formada por

la semicircunferencia y la semielipse siguientes:

(x − 11)2 + (y − 7)2 = 42,   con  y  ≥ 7,  (x − 11)2

42  +

 (y − 7)2

62  = 1 con  y  ≤ 7

2. Calcula la integral doble de f (x, y) = x  en la región plana limitada por las circunferenciasx2 + y2 = 81,  x2 + y2 = 225 y las rectas  y = 81x,  y = 225x

3. Sea  F (x,y,z  ) = (9x, 6y, 0) y sea  S   la cara lateral de la superficie ciĺındrica  x2 + y2 = 16limitada por los  z  = 0,  z  = x + y + 60, calcula

1π

 S 

 F   · n dS 

4. Se   C   la curva intersección del cilindro   x2 + y2 = 16 con el plano   z   = 9x + 6y, y seaF (x,y,z  ) = (z ,x,y) calcula

1

π

 C 

F dr =  1

π

 C 

z dx + x dy + y dz 

5. Sea   C   el arco de curva   α(t) =

cos

π

2 sin(x)

, cos

π

2 sin(x)

, cos(x)

 comprendido entre

los puntos  α(0) = (1, 1, 1) y  α(π

2 ) = (0, 0, 0). Calcula C 

(9z  + 8x) dx + (6z  + 18y) dy + (12z  + 6y + 9x) dz 

Indicación: En los casos en los que el campo admite potencial puede ser útil calcular elpotencial o bien utilizar una curva más sencilla.

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22/200

6. Sea S  el cilindro de ecuación x2+y2 = 42 parametrizado mediante r(θ, z ) = (4 cos(θ), 4 sin(θ), 9z ),

calcula la curvatura normal en el punto  P (4, 0, 9π) = α(π) en la dirección del vector  α(π)siendo  α(t) la hélice parametrizada por  α(t) = [4 cos(t), 4 sin(t), 9t]. El cilidro está orien-tado con el normal que apunta hacia el eje del cilindro.

7. Se considera el paraboloide z  = x2+y2 parametrizado mediante r(ρ, θ) = [ρ cos(t), ρ sin(t), ρ2]Calcula la curvatura de Gauss en el punto donde  x =   1√ 

4, y =   1√ 

6.

8. Calcula el flujo del campo F (x,y,z  ) = [4y, 6x, 9z 2] a través de la superficie cerrada de doscaras formada por el cono  z  =

 x2 + y2 y el paraboloide  z  = 6 − (x2 + y2). La superficie

está orienta según el normal exterior.

8/17/2019 Examen Análisis Vectorial con MATLAB

23/200

No: 11 Apellidos ............................. Nombre .................... DNI: ...............

X 1 2 3 4 5 6 7 8abcd

a 181497 0.076 3974.11 17850.11 0.040 -64 1.53 -2904b 181498 0.073 3775.41 17038.74 0.038 -63 1.46 -2903c 181499 0.069 3576.70 16227.37 0.036 -62 1.39 -2902d 181500 0.065 3378.00 15416.00 0.034 -61 1.32 -2901

1. Sea F (x,y,z  ) = (13x, 12y, 0) y sea S  la cara lateral de la superficie ciĺındrica x2 + y2 = 121limitada por los  z  = 0,  z  = x + y + 60, calcula

1π

 S 

 F   · n dS 

2. Calcula la integral doble de f (x, y) = x  en la región plana limitada por las circunferenciasx2 + y2 = 169,  x2 + y2 = 625 y las rectas  y = 169x,  y = 625x

3. Calcula la integral de ĺınea

 C 

x2 dy  siendo  C   la curva cerrada formada por

la semicircunferencia y la semielipse siguientes:

(x − 5)2 + (y − 3)2 = 112,   con  y  ≥ 3,  (x − 5)2

112

  + (y − 3)2

122

  = 1 con y  ≤ 3

4. Calcula el flujo del campo   F (x,y,z  ) = [11y, 12x, 13z 2] a través de la superficie cerradade dos caras formada por el cono   z   =

 x2 + y2 y el paraboloide   z   = 6 − (x2 + y2). La

superficie está orienta según el normal exterior.

5. Sea S  el cilindro de ecuación x2+y2 = 112 parametrizado mediante r(θ, z ) = (11 cos(θ), 11 sin(θ), 13z ),calcula la curvatura normal en el punto   P (11, 0, 13π) =   α(π) en la dirección del vectorα(π) siendo   α(t) la hélice parametrizada por   α(t) = [11cos(t), 11sin(t), 13t]. El cilidroestá orientado con el normal que apunta hacia el eje del cilindro.

6. Sea   C   el arco de curva   α(t) = cos π2 sin(x) , cos π2 sin(x) , cos(x)  comprendido entrelos puntos  α(0) = (1, 1, 1) y  α(π2 ) = (0, 0, 0). Calcula 

C 

(13z  + 22x) dx + (12z  + 26y) dy + (24z  + 12y + 13x) dz 

Indicación: En los casos en los que el campo admite potencial puede ser útil calcular elpotencial o bien utilizar una curva más sencilla.

8/17/2019 Examen Análisis Vectorial con MATLAB

24/200

7. Se considera el paraboloide z  = x2+y2 parametrizado mediante r(ρ, θ) = [ρ cos(t), ρ sin(t), ρ2]

Calcula la curvatura de Gauss en el punto donde  x =  1√ 11, y =

  1√ 12 .

8. Se  C   la curva intersección del cilindro   x2 + y2 = 121 con el plano   z   = 13x + 12y, y seaF (x,y,z  ) = (z ,x,y) calcula

1

π

 C 

F dr =  1

π

 C 

z dx + x dy + y dz 

8/17/2019 Examen Análisis Vectorial con MATLAB

25/200

No: 12 Apellidos ............................. Nombre .................... DNI: ...............

X 1 2 3 4 5 6 7 8abcd

a 16477.03 0.065 0.034 -51 33000 0.95 989.60 -525b 15728.07 0.062 0.033 -50 33001 0.91 942.48 -524c 14979.11 0.059 0.031 -49 33002 0.87 895.35 -523d 14230.16 0.056 0.030 -48 33003 0.83 848.23 -522

1. Calcula el flujo del campo  F (x,y,z  ) = [5y, 10x, 12z 2] a través de la superficie cerrada dedos caras formada por el cono   z   =  x2 + y2 y el paraboloide   z   = 6 − (x2 + y2). Lasuperficie está orienta según el normal exterior.

2. Calcula la integral doble de f (x, y) = x  en la región plana limitada por las circunferenciasx2 + y2 = 144,  x2 + y2 = 484 y las rectas  y = 144x,  y = 484x

3. Sea S  el cilindro de ecuación x2+y2 = 52 parametrizado mediante r(θ, z ) = (5cos(θ), 5 sin(θ), 12z ),calcula la curvatura normal en el punto P (5, 0, 12π) = α(π) en la dirección del vector α(π)siendo  α(t) la hélice parametrizada por  α(t) = [5 cos(t), 5 sin(t), 12t]. El cilidro está orien-tado con el normal que apunta hacia el eje del cilindro.

4. Sea   C   el arco de curva   α(t) = cos π

2 sin(x) , cos

π

2 sin(x) , cos(x)  comprendido entre

los puntos  α(0) = (1, 1, 1) y  α(π

2 ) = (0, 0, 0). Calcula C 

(12z  + 10x) dx + (10z  + 24y) dy + (20z  + 10y + 12x) dz 

Indicación: En los casos en los que el campo admite potencial puede ser útil calcular elpotencial o bien utilizar una curva más sencilla.

5. Sea F (x,y,z  ) = (12x, 10y, 0) y sea  S  la cara lateral de la superficie ciĺındrica  x2 + y2 = 25limitada por los  z  = 0,  z  = x + y + 60, calcula

1π 

S 

 F   · n dS 

6. Se considera el paraboloide z  = x2+y2 parametrizado mediante r(ρ, θ) = [ρ cos(t), ρ sin(t), ρ2]Calcula la curvatura de Gauss en el punto donde  x =   1√ 

5, y =   1√ 

10.

8/17/2019 Examen Análisis Vectorial con MATLAB

26/200

7. Calcula la integral de ĺınea  C 

x2 dy  siendo  C   la curva cerrada formada por

la semicircunferencia y la semielipse siguientes:

(x − 4)2 + (y − 1)2 = 52,   con  y  ≥ 1,  (x − 4)2

52  +

 (y − 1)2

102  = 1 con y  ≤ 1

8. Se   C   la curva intersección del cilindro   x2 + y2 = 25 con el plano   z   = 12x + 10y, y seaF (x,y,z  ) = (z ,x,y) calcula

1

π

 C 

F dr =  1

π

 C 

z dx + x dy + y dz 

8/17/2019 Examen Análisis Vectorial con MATLAB

27/200

No: 13 Apellidos ............................. Nombre .................... DNI: ...............

X 1 2 3 4 5 6 7 8abcd

a 16227.37 0.034 0.88 -47 0.028 -686 43199 1225.22b 15416.00 0.032 0.84 -46 0.026 -685 43200 1163.96c 14604.64 0.031 0.80 -45 0.025 -684 43201 1102.70d 13793.27 0.029 0.76 -44 0.024 -683 43202 1041.44

1. Calcula el flujo del campo F (x,y,z  ) = [6y, 7x, 13z 2] a través de la superficie cerrada de doscaras formada por el cono  z  =  x2 + y2 y el paraboloide  z  = 6 − (x2 + y2). La superficieestá orienta según el normal exterior.

2. Sea S  el cilindro de ecuación x2+y2 = 62 parametrizado mediante r(θ, z ) = (6 cos(θ), 6 sin(θ), 13z ),calcula la curvatura normal en el punto P (6, 0, 13π) = α(π) en la dirección del vector α(π)siendo  α(t) la hélice parametrizada por  α(t) = [6 cos(t), 6 sin(t), 13t]. El cilidro está orien-tado con el normal que apunta hacia el eje del cilindro.

3. Se considera el paraboloide z  = x2+y2 parametrizado mediante r(ρ, θ) = [ρ cos(t), ρ sin(t), ρ2]Calcula la curvatura de Gauss en el punto donde  x =   1√ 

6, y =   1√ 

7.

4. Sea   C   el arco de curva   α(t) = cos π2 sin(x) , cos π2 sin(x) , cos(x)  comprendido entrelos puntos  α(0) = (1, 1, 1) y  α(π2 ) = (0, 0, 0). Calcula 

C 

(13z  + 12x) dx + (7z  + 26y) dy + (14z  + 7y + 13x) dz 

Indicación: En los casos en los que el campo admite potencial puede ser útil calcular elpotencial o bien utilizar una curva más sencilla.

5. Calcula la integral doble de f (x, y) = x  en la región plana limitada por las circunferenciasx2 + y2 = 169,  x2 + y2 = 400 y las rectas  y = 169x,  y = 400x

6. Se   C   la curva intersección del cilindro   x2

+ y2

= 36 con el plano   z   = 13x + 7y, y seaF (x,y,z  ) = (z ,x,y) calcula

1

π

 C 

F dr =  1

π

 C 

z dx + x dy + y dz 

8/17/2019 Examen Análisis Vectorial con MATLAB

28/200

8/17/2019 Examen Análisis Vectorial con MATLAB

29/200

No: 14 Apellidos ............................. Nombre .................... DNI: ...............

X 1 2 3 4 5 6 7 8abcd

a 38877 0.88 -43 0.038 15790.48 0.048 771.89 -612b 38878 0.84 -42 0.036 15103.94 0.046 735.13 -611c 38879 0.80 -41 0.034 14417.40 0.044 698.38 -610d 38880 0.76 -40 0.032 13730.85 0.042 661.62 -609

1. Sea  F (x,y,z  ) = (11x, 7y, 0) y sea  S   la cara lateral de la superficie ciĺındrica  x2 + y2 = 36limitada por los  z  = 0,  z  = x + y + 60, calcula

1

π

 S 

 F   · n dS 

2. Se considera el paraboloide z  = x2+y2 parametrizado mediante r(ρ, θ) = [ρ cos(t), ρ sin(t), ρ2]Calcula la curvatura de Gauss en el punto donde  x =   1√ 

6, y =   1√ 

7.

3. Sea   C   el arco de curva   α(t) =

cosπ

2 sin(x)

, cos

π

2 sin(x)

, cos(x)

 comprendido entre

los puntos  α(0) = (1, 1, 1) y  α(π2

) = (0, 0, 0). Calcula

 C 

(11z  + 12x) dx + (7z  + 22y) dy + (14z  + 7y + 11x) dz 

Indicación: En los casos en los que el campo admite potencial puede ser útil calcular elpotencial o bien utilizar una curva más sencilla.

4. Sea S  el cilindro de ecuación x2+y2 = 62 parametrizado mediante r(θ, z ) = (6cos(θ), 6 sin(θ), 11z ),calcula la curvatura normal en el punto P (6, 0, 11π) = α(π) en la dirección del vector α(π)siendo  α(t) la hélice parametrizada por  α(t) = [6 cos(t), 6 sin(t), 11t]. El cilidro está orien-tado con el normal que apunta hacia el eje del cilindro.

5. Calcula el flujo del campo F (x,y,z  ) = [6y, 7x, 11z 2] a través de la superficie cerrada de dos

caras formada por el cono  z  = 

x2 + y2 y el paraboloide  z  = 6 − (x2 + y2). La superficieestá orienta según el normal exterior.

6. Calcula la integral doble de f (x, y) = x  en la región plana limitada por las circunferenciasx2 + y2 = 121,  x2 + y2 = 324 y las rectas  y = 121x,  y = 324x

8/17/2019 Examen Análisis Vectorial con MATLAB

30/200

7. Calcula la integral de ĺınea  C 

x2 dy  siendo  C   la curva cerrada formada por

la semicircunferencia y la semielipse siguientes:

(x − 3)2 + (y − 8)2 = 62,   con  y  ≥ 8,  (x − 3)2

62  +

 (y − 8)2

72  = 1 con y  ≤ 8

8. Se   C   la curva intersección del cilindro   x2 + y2 = 36 con el plano   z   = 11x + 7y, y seaF (x,y,z  ) = (z ,x,y) calcula

1

π

 C 

F dr =  1

π

 C 

z dx + x dy + y dz 

8/17/2019 Examen Análisis Vectorial con MATLAB

31/200

No: 15 Apellidos ............................. Nombre .................... DNI: ...............

X 1 2 3 4 5 6 7 8abcd

a -53 1385.44 0.023 -553 34498 0.87 18349.41 0.035b -52 1319.47 0.021 -552 34499 0.83 17475.63 0.034c -51 1253.50 0.020 -551 34500 0.79 16601.85 0.032d -50 1187.52 0.019 -550 34501 0.75 15728.07 0.030

1. Sea   C   el arco de curva   α(t) =

cosπ

2 sin(x)

, cos

π

2 sin(x)

, cos(x)

 comprendido entre

los puntos  α(0) = (1, 1, 1) y  α(π2

) = (0, 0, 0). Calcula C 

(14z  + 10x) dx + (9z  + 28y) dy + (18z  + 9y + 14x) dz 

Indicación: En los casos en los que el campo admite potencial puede ser útil calcular elpotencial o bien utilizar una curva más sencilla.

2. Calcula la integral de ĺınea

 C 

x2 dy  siendo  C   la curva cerrada formada por

la semicircunferencia y la semielipse siguientes:

(x − 6)2

+ (y − 10)2

= 52

,   con  y  ≥ 10,

  (x − 6)2

52   +

 (y − 10)2

92   = 1 con  y  ≤ 10

3. Sea S  el cilindro de ecuación x2+y2 = 52 parametrizado mediante r(θ, z ) = (5 cos(θ), 5 sin(θ), 14z ),calcula la curvatura normal en el punto P (5, 0, 14π) = α(π) en la dirección del vector α(π)siendo  α(t) la hélice parametrizada por  α(t) = [5 cos(t), 5 sin(t), 14t]. El cilidro está orien-tado con el normal que apunta hacia el eje del cilindro.

4. Se   C   la curva intersección del cilindro   x2 + y2 = 25 con el plano   z   = 14x + 9y, y seaF (x,y,z  ) = (z ,x,y) calcula

1

π C 

F dr =  1

π C 

z dx + x dy + y dz 

5. Sea  F (x,y,z  ) = (14x, 9y, 0) y sea  S   la cara lateral de la superficie ciĺındrica  x2 + y2 = 25limitada por los  z  = 0,  z  = x + y + 60, calcula

1

π

 S 

 F   · n dS 

8/17/2019 Examen Análisis Vectorial con MATLAB

32/200

6. Se considera el paraboloide z  = x2+y2 parametrizado mediante r(ρ, θ) = [ρ cos(t), ρ sin(t), ρ2]

Calcula la curvatura de Gauss en el punto donde  x =  1√ 

5 , y =  1√ 

9 .

7. Calcula el flujo del campo F (x,y,z  ) = [5y, 9x, 14z 2] a través de la superficie cerrada de doscaras formada por el cono  z  =

 x2 + y2 y el paraboloide  z  = 6 − (x2 + y2). La superficie

está orienta según el normal exterior.

8. Calcula la integral doble de f (x, y) = x  en la región plana limitada por las circunferenciasx2 + y2 = 196,  x2 + y2 = 529 y las rectas  y = 196x,  y = 529x

8/17/2019 Examen Análisis Vectorial con MATLAB

33/200

No: 16 Apellidos ............................. Nombre .................... DNI: ...............

X 1 2 3 4 5 6 7 8abcd

a 36720 -40 -579 0.108 0.056 11796.05 0.89 2902.83b 36721 -39 -578 0.103 0.054 11234.34 0.85 2757.69c 36722 -38 -577 0.098 0.051 10672.62 0.81 2612.55d 36723 -37 -576 0.093 0.049 10110.90 0.77 2467.41

1. Sea  F (x,y,z  ) = (9x, 8y, 0) y sea  S   la cara lateral de la superficie ciĺındrica  x2 + y2 = 36limitada por los  z  = 0,  z  = x + y + 60, calcula

1

π

 S 

 F   · n dS 

2. Sea   C   el arco de curva   α(t) =

cosπ

2 sin(x)

, cos

π

2 sin(x)

, cos(x)

 comprendido entre

los puntos  α(0) = (1, 1, 1) y  α(π2

) = (0, 0, 0). Calcula C 

(9z  + 12x) dx + (8z  + 18y) dy + (16z  + 8y + 9x) dz 

Indicación: En los casos en los que el campo admite potencial puede ser útil calcular elpotencial o bien utilizar una curva más sencilla.

3. Se   C   la curva intersección del cilindro   x2 + y2 = 36 con el plano   z   = 9x + 8y, y seaF (x,y,z  ) = (z ,x,y) calcula

1

π

 C 

F dr =  1

π

 C 

z dx + x dy + y dz 

4. Calcula la integral doble de f (x, y) = x  en la región plana limitada por las circunferenciasx2 + y2 = 81,  x2 + y2 = 289 y las rectas  y = 81x,  y = 289x

5. Sea S  el cilindro de ecuación x2+y2 = 62 parametrizado mediante r(θ, z ) = (6cos(θ), 6 sin(θ), 9z ),calcula la curvatura normal en el punto  P (6, 0, 9π) = α(π) en la dirección del vector  α(π)siendo  α(t) la hélice parametrizada por  α(t) = [6 cos(t), 6 sin(t), 9t]. El cilidro está orien-tado con el normal que apunta hacia el eje del cilindro.

6. Calcula el flujo del campo F (x,y,z  ) = [6y, 8x, 9z 2] a través de la superficie cerrada de doscaras formada por el cono  z  =

 x2 + y2 y el paraboloide  z  = 6 − (x2 + y2). La superficie

está orienta según el normal exterior.

8/17/2019 Examen Análisis Vectorial con MATLAB

34/200

7. Se considera el paraboloide z  = x2+y2 parametrizado mediante r(ρ, θ) = [ρ cos(t), ρ sin(t), ρ2]

Calcula la curvatura de Gauss en el punto donde  x =  1√ 

6 , y =  1√ 

8 .

8. Calcula la integral de ĺınea

 C 

x2 dy  siendo  C   la curva cerrada formada por

la semicircunferencia y la semielipse siguientes:

(x − 11)2 + (y − 9)2 = 62,   con  y  ≥ 9,  (x − 11)2

62  +

 (y − 9)2

82  = 1 con  y  ≤ 9

8/17/2019 Examen Análisis Vectorial con MATLAB

35/200

No: 17 Apellidos ............................. Nombre .................... DNI: ...............

X 1 2 3 4 5 6 7 8abcd

a 12919.49 0.78 2280.80 -377 0.081 -38 0.050 24000b 12357.77 0.75 2177.12 -376 0.077 -37 0.047 24001c 11796.05 0.71 2073.45 -375 0.073 -36 0.045 24002d 11234.34 0.68 1969.78 -374 0.069 -35 0.042 24003

1. Calcula el flujo del campo F (x,y,z  ) = [5y, 7x, 9z 2] a través de la superficie cerrada de doscaras formada por el cono  z  =  x

2 + y2 y el paraboloide  z  = 6 − (x2 + y2). La superficie

está orienta según el normal exterior.

2. Se considera el paraboloide z  = x2+y2 parametrizado mediante r(ρ, θ) = [ρ cos(t), ρ sin(t), ρ2]Calcula la curvatura de Gauss en el punto donde  x =   1√ 

5, y =   1√ 

7.

3. Calcula la integral de ĺınea

 C 

x2 dy  siendo  C   la curva cerrada formada por

la semicircunferencia y la semielipse siguientes:

(x − 11)2 + (y − 8)2 = 52,   con  y  ≥ 8,  (x − 11)2

52  +

 (y − 8)2

72  = 1 con  y  ≤ 8

4. Se   C   la curva intersección del cilindro   x2 + y2 = 25 con el plano   z   = 9x + 7y, y seaF (x,y,z  ) = (z ,x,y) calcula

1

π

 C 

F dr =  1

π

 C 

z dx + x dy + y dz 

5. Calcula la integral doble de f (x, y) = x  en la región plana limitada por las circunferenciasx2 + y2 = 81,  x2 + y2 = 256 y las rectas  y = 81x,  y = 256x

6. Sea   C   el arco de curva   α(t) =

cosπ

2 sin(x)

, cos

π

2 sin(x)

, cos(x)

 comprendido entre

los puntos  α(0) = (1, 1, 1) y  α(π

2 ) = (0, 0, 0). Calcula C 

(9z  + 10x) dx + (7z  + 18y) dy + (14z  + 7y + 9x) dz 

Indicación: En los casos en los que el campo admite potencial puede ser útil calcular elpotencial o bien utilizar una curva más sencilla.

8/17/2019 Examen Análisis Vectorial con MATLAB

36/200

7. Sea S  el cilindro de ecuación x2+y2 = 52 parametrizado mediante r(θ, z ) = (5 cos(θ), 5 sin(θ), 9z ),

calcula la curvatura normal en el punto  P (5, 0, 9π) = α(π) en la dirección del vector  α(π)siendo  α(t) la hélice parametrizada por  α(t) = [5 cos(t), 5 sin(t), 9t]. El cilidro está orien-tado con el normal que apunta hacia el eje del cilindro.

8. Sea  F (x,y,z  ) = (9x, 7y, 0) y sea  S   la cara lateral de la superficie ciĺındrica  x2 + y2 = 25limitada por los  z  = 0,  z  = x + y + 60, calcula

1

π

 S 

 F   · n dS 

8/17/2019 Examen Análisis Vectorial con MATLAB

37/200

No: 18 Apellidos ............................. Nombre .................... DNI: ...............

X 1 2 3 4 5 6 7 8abcd

a -757 0.045 47519 -51 1484.40 0.94 0.029 16227.37b -756 0.043 47520 -50 1413.72 0.90 0.028 15416.00c -755 0.041 47521 -49 1343.03 0.85 0.026 14604.64d -754 0.039 47522 -48 1272.35 0.81 0.025 13793.27

1. Se   C   la curva intersección del cilindro   x2 + y2 = 36 con el plano   z   = 13x + 9y, y seaF (x,y,z  ) = (z ,x,y) calcula

1

π

 C 

F dr =  1

π

 C 

z dx + x dy + y dz 

2. Calcula la integral doble de f (x, y) = x  en la región plana limitada por las circunferenciasx2 + y2 = 169,  x2 + y2 = 484 y las rectas  y = 169x,  y = 484x

3. Sea  F (x,y,z  ) = (13x, 9y, 0) y sea  S   la cara lateral de la superficie ciĺındrica  x2 + y2 = 36limitada por los  z  = 0,  z  = x + y + 60, calcula

1

π 

S 

 F   · n dS 

4. Sea   C   el arco de curva   α(t) =

cosπ

2 sin(x)

, cos

π

2 sin(x)

, cos(x)

 comprendido entre

los puntos  α(0) = (1, 1, 1) y  α(π2

) = (0, 0, 0). Calcula

 C 

(13z  + 12x) dx + (9z  + 26y) dy + (18z  + 9y + 13x) dz 

Indicación: En los casos en los que el campo admite potencial puede ser útil calcular elpotencial o bien utilizar una curva más sencilla.

5. Calcula la integral de ĺınea C 

x2 dy  siendo  C   la curva cerrada formada por

la semicircunferencia y la semielipse siguientes:

(x − 5)2 + (y − 10)2 = 62,   con  y  ≥ 10,  (x − 5)2

62  +

 (y − 10)2

92  = 1 con  y  ≤ 10

8/17/2019 Examen Análisis Vectorial con MATLAB

38/200

6. Se considera el paraboloide z  = x2+y2 parametrizado mediante r(ρ, θ) = [ρ cos(t), ρ sin(t), ρ2]

Calcula la curvatura de Gauss en el punto donde  x =  1√ 

6 , y =  1√ 

9 .

7. Sea S  el cilindro de ecuación x2+y2 = 62 parametrizado mediante r(θ, z ) = (6 cos(θ), 6 sin(θ), 13z ),calcula la curvatura normal en el punto P (6, 0, 13π) = α(π) en la dirección del vector α(π)siendo  α(t) la hélice parametrizada por  α(t) = [6 cos(t), 6 sin(t), 13t]. El cilidro está orien-tado con el normal que apunta hacia el eje del cilindro.

8. Calcula el flujo del campo F (x,y,z  ) = [6y, 9x, 13z 2] a través de la superficie cerrada de doscaras formada por el cono  z  =

 x2 + y2 y el paraboloide  z  = 6 − (x2 + y2). La superficie

está orienta según el normal exterior.

8/17/2019 Examen Análisis Vectorial con MATLAB

39/200

No: 19 Apellidos ............................. Nombre .................... DNI: ...............

X 1 2 3 4 5 6 7 8abcd

a 0.023 829.38 20160 -320 0.0189 -46 17475.63 0.60b 0.022 787.91 20161 -319 0.0179 -45 16601.85 0.57c 0.020 746.44 20162 -318 0.0170 -44 15728.07 0.54d 0.019 704.97 20163 -317 0.0160 -43 14854.29 0.51

1. Calcula la integral doble de f (x, y) = x  en la región plana limitada por las circunferenciasx2 + y2 = 196,  x2 + y2 = 441 y las rectas  y = 196x,  y = 441x

2. Calcula la integral de ĺınea C 

x2 dy  siendo  C   la curva cerrada formada por

la semicircunferencia y la semielipse siguientes:

(x − 6)2 + (y − 8)2 = 42,   con  y  ≥ 8,  (x − 6)2

42  +

 (y − 8)2

72  = 1 con y  ≤ 8

3. Sea  F (x,y,z  ) = (14x, 7y, 0) y sea  S   la cara lateral de la superficie ciĺındrica  x2 + y2 = 16limitada por los  z  = 0,  z  = x + y + 60, calcula

1

π 

S 

 F   · n dS 

4. Se   C   la curva intersección del cilindro   x2 + y2 = 16 con el plano   z   = 14x + 7y, y seaF (x,y,z  ) = (z ,x,y) calcula

1

π

 C 

F dr =  1

π

 C 

z dx + x dy + y dz 

5. Sea S  el cilindro de ecuación x2+y2 = 42 parametrizado mediante r(θ, z ) = (4cos(θ), 4 sin(θ), 14z ),calcula la curvatura normal en el punto P (4, 0, 14π) = α(π) en la dirección del vector α(π)siendo  α(t) la hélice parametrizada por  α(t) = [4 cos(t), 4 sin(t), 14t]. El cilidro está orien-

tado con el normal que apunta hacia el eje del cilindro.

6. Sea   C   el arco de curva   α(t) =

cosπ

2 sin(x)

, cos

π

2 sin(x)

, cos(x)

 comprendido entre

los puntos  α(0) = (1, 1, 1) y  α(π2

) = (0, 0, 0). Calcula C 

(14z  + 8x) dx + (7z  + 28y) dy + (14z  + 7y + 14x) dz 

8/17/2019 Examen Análisis Vectorial con MATLAB

40/200

Indicación: En los casos en los que el campo admite potencial puede ser útil calcular el

potencial o bien utilizar una curva más sencilla.

7. Calcula el flujo del campo F (x,y,z  ) = [4y, 7x, 14z 2] a través de la superficie cerrada de doscaras formada por el cono  z  =

 x2 + y2 y el paraboloide  z  = 6 − (x2 + y2). La superficie

está orienta según el normal exterior.

8. Se considera el paraboloide z  = x2+y2 parametrizado mediante r(ρ, θ) = [ρ cos(t), ρ sin(t), ρ2]Calcula la curvatura de Gauss en el punto donde  x =   1√ 

4, y =   1√ 

7.

8/17/2019 Examen Análisis Vectorial con MATLAB

41/200

No: 20 Apellidos ............................. Nombre .................... DNI: ...............

X 1 2 3 4 5 6 7 8abcd

a -1179 -60 2731.30 1.23 17475.63 73500 0.050 0.029b -1178 -59 2612.55 1.18 16601.85 73501 0.048 0.027c -1177 -58 2493.80 1.12 15728.07 73502 0.045 0.026d -1176 -57 2375.04 1.07 14854.29 73503 0.043 0.024

1. Se   C   la curva intersección del cilindro   x2 + y2 = 49 con el plano   z   = 14x + 11y, y seaF (x,y,z  ) = (z ,x,y) calcula

1

π

 C 

F dr =  1

π

 C 

z dx + x dy + y dz 

2. Sea   C   el arco de curva   α(t) =

cosπ

2 sin(x)

, cos

π

2 sin(x)

, cos(x)

 comprendido entre

los puntos  α(0) = (1, 1, 1) y  α(π2

) = (0, 0, 0). Calcula

 C 

(14z  + 14x) dx + (11z  + 28y) dy + (22z  + 11y + 14x) dz 

Indicación: En los casos en los que el campo admite potencial puede ser útil calcular elpotencial o bien utilizar una curva más sencilla.

3. Calcula la integral de ĺınea

 C 

x2 dy  siendo  C   la curva cerrada formada por

la semicircunferencia y la semielipse siguientes:

(x − 6)2 + (y − 2)2 = 72,   con  y  ≥ 2,  (x − 6)2

72  +

 (y − 2)2

112  = 1 con y  ≤ 2

4. Se considera el paraboloide z  = x2+y2 parametrizado mediante r(ρ, θ) = [ρ cos(t), ρ sin(t), ρ2]

Calcula la curvatura de Gauss en el punto donde  x =  1

√ 7 , y =  1

√ 11 .

5. Calcula el flujo del campo  F (x,y,z  ) = [7y, 11x, 14z 2] a través de la superficie cerrada dedos caras formada por el cono   z   =

 x2 + y2 y el paraboloide   z   = 6 − (x2 + y2). La

superficie está orienta según el normal exterior.

8/17/2019 Examen Análisis Vectorial con MATLAB

42/200

6. Sea F (x,y,z  ) = (14x, 11y, 0) y sea  S  la cara lateral de la superficie ciĺındrica  x2 + y2 = 49

limitada por los  z  = 0,  z  = x + y + 60, calcula

1

π

 S 

 F   · n dS 

7. Calcula la integral doble de f (x, y) = x  en la región plana limitada por las circunferenciasx2 + y2 = 196,  x2 + y2 = 625 y las rectas  y = 196x,  y = 625x

8. Sea S  el cilindro de ecuación x2+y2 = 72 parametrizado mediante r(θ, z ) = (7cos(θ), 7 sin(θ), 14z ),calcula la curvatura normal en el punto P (7, 0, 14π) = α(π) en la dirección del vector α(π)siendo  α(t) la hélice parametrizada por  α(t) = [7 cos(t), 7 sin(t), 14t]. El cilidro está orien-

tado con el normal que apunta hacia el eje del cilindro.

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43/200

No: 21 Apellidos ............................. Nombre .................... DNI: ...............

X 1 2 3 4 5 6 7 8abcd

a 0.042 16477.03 1.35 -58 111777 -1782 0.078 2261.95b 0.040 15728.07 1.28 -57 111778 -1781 0.074 2148.85c 0.038 14979.11 1.22 -56 111779 -1780 0.070 2035.75d 0.036 14230.16 1.16 -55 111780 -1779 0.066 1922.65

1. Sea S  el cilindro de ecuación x2+y2 = 92 parametrizado mediante r(θ, z ) = (9 cos(θ), 9 sin(θ), 12z ),calcula la curvatura normal en el punto P (9, 0, 12π) = α(π) en la dirección del vector α(π)

siendo  α(t) la hélice parametrizada por  α(t) = [9 cos(t), 9 sin(t), 12t]. El cilidro está orien-tado con el normal que apunta hacia el eje del cilindro.

2. Calcula el flujo del campo  F (x,y,z  ) = [9y, 11x, 12z 2] a través de la superficie cerrada dedos caras formada por el cono   z   =

 x2 + y2 y el paraboloide   z   = 6 − (x2 + y2). La

superficie está orienta según el normal exterior.

3. Se considera el paraboloide z  = x2+y2 parametrizado mediante r(ρ, θ) = [ρ cos(t), ρ sin(t), ρ2]Calcula la curvatura de Gauss en el punto donde  x =   1√ 

9, y =   1√ 

11.

4. Sea   C   el arco de curva   α(t) =

cosπ

2 sin(x)

, cos

π

2 sin(x)

, cos(x)

 comprendido entre

los puntos  α(0) = (1, 1, 1) y  α(π

2 ) = (0, 0, 0). Calcula C 

(12z  + 18x) dx + (11z  + 24y) dy + (22z  + 11y + 12x) dz 

Indicación: En los casos en los que el campo admite potencial puede ser útil calcular elpotencial o bien utilizar una curva más sencilla.

5. Sea F (x,y,z  ) = (12x, 11y, 0) y sea  S  la cara lateral de la superficie ciĺındrica  x2 + y2 = 81limitada por los  z  = 0,  z  = x + y + 60, calcula

1

π 

S 

 F   · n dS 

6. Se   C   la curva intersección del cilindro   x2 + y2 = 81 con el plano   z   = 12x + 11y, y seaF (x,y,z  ) = (z ,x,y) calcula

1

π

 C 

F dr =  1

π

 C 

z dx + x dy + y dz 

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7. Calcula la integral doble de f (x, y) = x  en la región plana limitada por las circunferencias

x2

+ y2

= 144,  x2

+ y2

= 529 y las rectas  y = 144x,  y = 529x

8. Calcula la integral de ĺınea

 C 

x2 dy  siendo  C   la curva cerrada formada por

la semicircunferencia y la semielipse siguientes:

(x − 4)2 + (y − 2)2 = 92,   con  y  ≥ 2,  (x − 4)2

92  +

 (y − 2)2

112  = 1 con y  ≤ 2

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45/200

No: 22 Apellidos ............................. Nombre .................... DNI: ...............

X 1 2 3 4 5 6 7 8abcd

a 0.032 17038.74 -58 -1178 1.27 2402.53 73500 0.073b 0.031 16227.37 -57 -1177 1.21 2298.08 73501 0.069c 0.029 15416.00 -56 -1176 1.16 2193.62 73502 0.065d 0.027 14604.64 -55 -1175 1.10 2089.16 73503 0.062

1. Sea S  el cilindro de ecuación x2+y2 = 72 parametrizado mediante r(θ, z ) = (7 cos(θ), 7 sin(θ), 13z ),calcula la curvatura normal en el punto P (7, 0, 13π) = α(π) en la dirección del vector α(π)

siendo  α(t) la hélice parametrizada por  α(t) = [7 cos(t), 7 sin(t), 13t]. El cilidro está orien-tado con el normal que apunta hacia el eje del cilindro.

2. Calcula el flujo del campo  F (x,y,z  ) = [7y, 12x, 13z 2] a través de la superficie cerrada dedos caras formada por el cono   z   =

 x2 + y2 y el paraboloide   z   = 6 − (x2 + y2). La

superficie está orienta según el normal exterior.

3. Sea   C   el arco de curva   α(t) =

cosπ

2 sin(x)

, cos

π

2 sin(x)

, cos(x)

 comprendido entre

los puntos  α(0) = (1, 1, 1) y  α(π2

) = (0, 0, 0). Calcula C 

(13z  + 14x) dx + (12z  + 26y) dy + (24z  + 12y + 13x) dz 

Indicación: En los casos en los que el campo admite potencial puede ser útil calcular elpotencial o bien utilizar una curva más sencilla.

4. Se   C   la curva intersección del cilindro   x2 + y2 = 49 con el plano   z   = 13x + 12y, y seaF (x,y,z  ) = (z ,x,y) calcula

1

π

 C 

F dr =  1

π

 C 

z dx + x dy + y dz 

5. Se considera el paraboloide z  = x2+y2 parametrizado mediante r(ρ, θ) = [ρ cos(t), ρ sin(t), ρ2]Calcula la curvatura de Gauss en el punto donde  x =   1√ 

7, y =   1√ 

12.

6. Calcula la integral de ĺınea

 C 

x2 dy  siendo  C   la curva cerrada formada por

la semicircunferencia y la semielipse siguientes:

(x − 5)2 + (y − 3)2 = 72,   con  y  ≥ 3,  (x − 5)2

72  +

 (y − 3)2

122  = 1 con y  ≤ 3

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7. Sea F (x,y,z  ) = (13x, 12y, 0) y sea  S  la cara lateral de la superficie ciĺındrica  x2 + y2 = 49

limitada por los  z  = 0,  z  = x + y + 60, calcula

1

π

 S 

 F   · n dS 

8. Calcula la integral doble de f (x, y) = x  en la región plana limitada por las circunferenciasx2 + y2 = 169,  x2 + y2 = 625 y las rectas  y = 169x,  y = 625x

8/17/2019 Examen Análisis Vectorial con MATLAB

47/200

No: 23 Apellidos ............................. Nombre .................... DNI: ...............

X 1 2 3 4 5 6 7 8abcd

a 0.046 0.050 -375 0.69 23998 -40 12482.59 345.58b 0.044 0.048 -374 0.66 23999 -39 11858.47 328.30c 0.042 0.046 -373 0.62 24000 -38 11234.34 311.02d 0.040 0.044 -372 0.59 24001 -37 10610.21 293.74

1. Sea S  el cilindro de ecuación x2+y2 = 52 parametrizado mediante r(θ, z ) = (5 cos(θ), 5 sin(θ), 10z ),calcula la curvatura normal en el punto P (5, 0, 10π) = α(π) en la dirección del vector α(π)

siendo  α(t) la hélice parametrizada por  α(t) = [5 cos(t), 5 sin(t), 10t]. El cilidro está orien-tado con el normal que apunta hacia el eje del cilindro.

2. Calcula la integral doble de f (x, y) = x  en la región plana limitada por las circunferenciasx2 + y2 = 100,  x2 + y2 = 256 y las rectas  y = 100x,  y = 256x

3. Se   C   la curva intersección del cilindro   x2 + y2 = 25 con el plano   z   = 10x + 6y, y seaF (x,y,z  ) = (z ,x,y) calcula

1

π

 C 

F dr =  1

π

 C 

z dx + x dy + y dz 

4. Se considera el paraboloide z  = x2+y2 parametrizado mediante r(ρ, θ) = [ρ cos(t), ρ sin(t), ρ2]Calcula la curvatura de Gauss en el punto donde  x =   1√ 

5, y =   1√ 

6.

5. Sea  F (x,y,z  ) = (10x, 6y, 0) y sea  S   la cara lateral de la superficie ciĺındrica  x2 + y2 = 25limitada por los  z  = 0,  z  = x + y + 60, calcula

1

π

 S 

 F   · n dS 

6. Sea   C   el arco de curva   α(t) =

cosπ

2 sin(x)

, cos

π

2 sin(x)

, cos(x)

 comprendido entre

los puntos  α(0) = (1, 1, 1) y  α(π

2 ) = (0, 0, 0). Calcula C 

(10z  + 10x) dx + (6z  + 20y) dy + (12z  + 6y + 10x) dz 

Indicación: En los casos en los que el campo admite potencial puede ser útil calcular elpotencial o bien utilizar una curva más sencilla.

8/17/2019 Examen Análisis Vectorial con MATLAB

48/200

7. Calcula el flujo del campo F (x,y,z  ) = [5y, 6x, 10z 2] a través de la superficie cerrada de dos

caras formada por el cono  z  = 

x2 + y2 y el paraboloide  z  = 6 − (x2

+ y2

). La superficieestá orienta según el normal exterior.

8. Calcula la integral de ĺınea

 C 

x2 dy  siendo  C   la curva cerrada formada por

la semicircunferencia y la semielipse siguientes:

(x − 2)2 + (y − 7)2 = 52,   con  y  ≥ 7,  (x − 2)2

52  +

 (y − 7)2

62  = 1 con y  ≤ 7

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49/200

No: 24 Apellidos ............................. Nombre .................... DNI: ...............

X 1 2 3 4 5 6 7 8abcd

a 0.034 67618 -1081 0.052 1.08 -55 2149.63 17038.74b 0.032 67619 -1080 0.050 1.03 -54 2056.17 16227.37c 0.031 67620 -1079 0.047 0.98 -53 1962.71 15416.00d 0.029 67621 -1078 0.044 0.93 -52 1869.25 14604.64

1. Sea S  el cilindro de ecuación x2+y2 = 72 parametrizado mediante r(θ, z ) = (7 cos(θ), 7 sin(θ), 13z ),calcula la curvatura normal en el punto P (7, 0, 13π) = α(π) en la dirección del vector α(π)

siendo  α(t) la hélice parametrizada por  α(t) = [7 cos(t), 7 sin(t), 13t]. El cilidro está orien-tado con el normal que apunta hacia el eje del cilindro.

2. Sea F (x,y,z  ) = (13x, 10y, 0) y sea  S  la cara lateral de la superficie ciĺındrica  x2 + y2 = 49limitada por los  z  = 0,  z  = x + y + 60, calcula

1

π

 S 

 F   · n dS 

3. Se   C   la curva intersección del cilindro   x2 + y2 = 49 con el plano   z   = 13x + 10y, y seaF (x,y,z  ) = (z ,x,y) calcula

1

π

 C 

F dr =  1

π

 C 

z dx + x dy + y dz 

4. Calcula la integral doble de f (x, y) = x  en la región plana limitada por las circunferenciasx2 + y2 = 169,  x2 + y2 = 529 y las rectas  y = 169x,  y = 529x

5. Se considera el paraboloide z  = x2+y2 parametrizado mediante r(ρ, θ) = [ρ cos(t), ρ sin(t), ρ2]Calcula la curvatura de Gauss en el punto donde  x =   1√ 

7, y =   1√ 

10.

6. Sea   C   el arco de curva   α(t) =

cosπ

2 sin(x)

, cos

π

2 sin(x)

, cos(x)

 comprendido entre

los puntos  α(0) = (1, 1, 1) y  α(π

2 ) = (0, 0, 0). Calcula C 

(13z  + 14x) dx + (10z  + 26y) dy + (20z  + 10y + 13x) dz 

Indicación: En los casos en los que el campo admite potencial puede ser útil calcular elpotencial o bien utilizar una curva más sencilla.

8/17/2019 Examen Análisis Vectorial con MATLAB

50/200

7. Calcula la integral de ĺınea  C 

x2 dy  siendo  C   la curva cerrada formada por

la semicircunferencia y la semielipse siguientes:

(x − 5)2 + (y − 1)2 = 72,   con  y  ≥ 1,  (x − 5)2

72  +

 (y − 1)2

102  = 1 con y  ≤ 1

8. Calcula el flujo del campo  F (x,y,z  ) = [7y, 10x, 13z 2] a través de la superficie cerrada dedos caras formada por el cono   z   =

 x2 + y2 y el paraboloide   z   = 6 − (x2 + y2). La

superficie está orienta según el normal exterior.

8/17/2019 Examen Análisis Vectorial con MATLAB

51/200

No: 25 Apellidos ............................. Nombre .................... DNI: ...............

X 1 2 3 4 5 6 7 8abcd

a 1.15 95999 -1538 17475.63 3008.39 -60 0.035 0.053b 1.09 96000 -1537 16601.85 2865.13 -59 0.034 0.050c 1.04 96001 -1536 15728.07 2721.88 -58 0.032 0.048d 0.98 96002 -1535 14854.29 2578.62 -57 0.031 0.045

1. Se considera el paraboloide z  = x2+y2 parametrizado mediante r(ρ, θ) = [ρ cos(t), ρ sin(t), ρ2]Calcula la curvatura de Gauss en el punto donde  x =   1√ 

8, y =   1√ 

11.

2. Sea F (x,y,z  ) = (14x, 11y, 0) y sea  S  la cara lateral de la superficie ciĺındrica  x2 + y2 = 64limitada por los  z  = 0,  z  = x + y + 60, calcula

1

π

 S 

 F   · n dS 

3. Se   C   la curva intersección del cilindro   x2 + y2 = 64 con el plano   z   = 14x + 11y, y seaF (x,y,z  ) = (z ,x,y) calcula

1

π

 C 

F dr =  1

π

 C 

z dx + x dy + y dz 

4. Calcula el flujo del campo  F (x,y,z  ) = [8y, 11x, 14z 2] a través de la superficie cerrada dedos caras formada por el cono   z   =

 x2 + y2 y el paraboloide   z   = 6 − (x2 + y2). La

superficie está orienta según el normal exterior.

5. Calcula la integral de ĺınea

 C 

x2 dy  siendo  C   la curva cerrada formada por

la semicircunferencia y la semielipse siguientes:

(x − 6)2 + (y − 2)2 = 82,   con  y  ≥ 2,  (x − 6)2

82  +

 (y − 2)2

112  = 1 con y  ≤ 2

6. Sea   C   el arco de curva   α(t) = cos π2 sin(x) , cos π2 sin(x) , cos(x)  comprendido entrelos puntos  α(0) = (1, 1, 1) y  α(π

2) = (0, 0, 0). Calcula 

C 

(14z  + 16x) dx + (11z  + 28y) dy + (22z  + 11y + 14x) dz 

Indicación: En los casos en los que el campo admite potencial puede ser útil calcular elpotencial o bien utilizar una curva más sencilla.

8/17/2019 Examen Análisis Vectorial con MATLAB

52/200

7. Sea S  el cilindro de ecuación x2+y2 = 82 parametrizado mediante r(θ, z ) = (8 cos(θ), 8 sin(θ), 14z ),

calcula la curvatura normal en el punto P (8, 0, 14π) = α(π) en la dirección del vector α(π)siendo  α(t) la hélice parametrizada por  α(t) = [8 cos(t), 8 sin(t), 14t]. El cilidro está orien-tado con el normal que apunta hacia el eje del cilindro.

8. Calcula la integral doble de f (x, y) = x  en la región plana limitada por las circunferenciasx2 + y2 = 196,  x2 + y2 = 625 y las rectas  y = 196x,  y = 625x

8/17/2019 Examen Análisis Vectorial con MATLAB

53/200

No: 26 Apellidos ............................. Nombre .................... DNI: ...............

X 1 2 3 4 5 6 7 8abcd

a 19223.20 -56 0.062 0.84 0.0189 -402 24957 1266.69b 18349.41 -55 0.059 0.81 0.0179 -401 24958 1206.37c 17475.63 -54 0.056 0.77 0.0170 -400 24959 1146.05d 16601.85 -53 0.053 0.73 0.0160 -399 24960 1085.73

1. Calcula el flujo del campo  F (x,y,z  ) = [4y, 12x, 14z 2] a través de la superficie cerrada dedos caras formada por el cono   z   =  x2 + y2 y el paraboloide   z   = 6 − (x2 + y2). Lasuperficie está orienta según el normal exterior.

2. Sea   C   el arco de curva   α(t) =

cosπ

2 sin(x)

, cos

π

2 sin(x)

, cos(x)

 comprendido entre

los puntos  α(0) = (1, 1, 1) y  α(π2

) = (0, 0, 0). Calcula

 C 

(14z  + 8x) dx + (12z  + 28y) dy + (24z  + 12y + 14x) dz 

Indicación: En los casos en los que el campo admite potencial puede ser útil calcular elpotencial o bien utilizar una curva más sencilla.

3. Calcula la integral doble de f (x, y) = x  en la región plana limitada por las circunferenciasx2 + y2 = 196,  x2 + y2 = 676 y las rectas  y = 196x,  y = 676x

4. Se considera el paraboloide z  = x2+y2 parametrizado mediante r(ρ, θ) = [ρ cos(t), ρ sin(t), ρ2]Calcula la curvatura de Gauss en el punto donde  x =   1√ 

4, y =   1√ 

12.

5. Sea S  el cilindro de ecuación x2+y2 = 42 parametrizado mediante r(θ, z ) = (4cos(θ), 4 sin(θ), 14z ),calcula la curvatura normal en el punto P (4, 0, 14π) = α(π) en la dirección del vector α(π)siendo  α(t) la hélice parametrizada por  α(t) = [4 cos(t), 4 sin(t), 14t]. El cilidro está orien-tado con el normal que apunta hacia el eje del cilindro.

6. Se   C   la curva intersección del cilindro   x2

+ y2

= 16 con el plano   z   = 14x + 12y, y seaF (x,y,z  ) = (z ,x,y) calcula

1

π

 C 

F dr =  1

π

 C 

z dx + x dy + y dz 

8/17/2019 Examen Análisis Vectorial con MATLAB

54/200

7. Sea F (x,y,z  ) = (14x, 12y, 0) y sea  S  la cara lateral de la superficie ciĺındrica  x2 + y2 = 16

limitada por los  z  = 0,  z  = x + y + 60, calcula

1

π

 S 

 F   · n dS 

8. Calcula la integral de ĺınea

 C 

x2 dy  siendo  C   la curva cerrada formada por

la semicircunferencia y la semielipse siguientes:

(x − 6)2 + (y − 3)2 = 42,   con  y  ≥ 3,  (x − 6)2

42

  + (y − 3)2

122

  = 1 con y  ≤ 3

8/17/2019 Examen Análisis Vectorial con MATLAB

55/200

No: 27 Apellidos ............................. Nombre .................... DNI: ...............

X 1 2 3 4 5 6 7 8abcd

a 1.46 0.040 17475.63 5245.83 0.059 -64 -3028 188759b 1.39 0.038 16601.85 5007.38 0.056 -63 -3027 188760c 1.32 0.036 15728.07 4768.94 0.053 -62 -3026 188761d 1.25 0.035 14854.29 4530.49 0.050 -61 -3025 188762

1. Se considera el paraboloide z  = x2+y2 parametrizado mediante r(ρ, θ) = [ρ cos(t), ρ sin(t), ρ2]Calcula la curvatura de Gauss en el punto donde  x =   1√ 

11, y =   1√ 

12.

2. Sea S  el cilindro de ecuación x2+y2 = 112 parametrizado mediante r(θ, z ) = (11 cos(θ), 11 sin(θ), 14z ),calcula la curvatura normal en el punto   P (11, 0, 14π) =   α(π) en la dirección del vectorα(π) siendo   α(t) la hélice parametrizada por   α(t) = [11cos(t), 11sin(t), 14t]. El cilidroestá orientado con el normal que apunta hacia el eje del cilindro.

3. Calcula el flujo del campo   F (x,y,z  ) = [11y, 12x, 14z 2] a través de la superficie cerradade dos caras formada por el cono   z   =

 x2 + y2 y el paraboloide   z   = 6 − (x2 + y2). La

superficie está orienta según el normal exterior.

4. Calcula la integral de ĺınea C 

x2 dy siendo

 C   la curva cerrada formada por

la semicircunferencia y la semielipse siguientes:

(x − 6)2 + (y − 3)2 = 112,   con  y  ≥ 3,  (x − 6)2

112  +

 (y − 3)2

122  = 1 con y  ≤ 3

5. Calcula la integral doble de f (x, y) = x  en la región plana limitada por las circunferenciasx2 + y2 = 196,  x2 + y2 = 676 y las rectas  y = 196x,  y = 676x

6. Sea   C   el arco de curva   α(t) =

cosπ

2 sin(x)

, cos

π

2 sin(x)

, cos(x)

 comprendido entre

los puntos  α(0) = (1, 1, 1) y  α(π2

) = (0, 0, 0). Calcula

 C 

(14z  + 22x) dx + (12z  + 28y) dy + (24z  + 12y + 14x) dz 

Indicación: En los casos en los que el campo admite potencial puede ser útil calcular elpotencial o bien utilizar una curva más sencilla.

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56/200

7. Se  C   la curva intersección del cilindro   x2 + y2 = 121 con el plano   z   = 14x + 12y, y sea

F (x,y,z  ) = (z ,x,y) calcula

1

π

 C 

F dr =  1

π

 C 

z dx + x dy + y dz 

8. Sea F (x,y,z  ) = (14x, 12y, 0) y sea S  la cara lateral de la superficie ciĺındrica x2 + y2 = 121limitada por los  z  = 0,  z  = x + y + 60, calcula

1

π

 S 

 F   · n dS 

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57/200

No: 28 Apellidos ............................. Nombre .................... DNI: ...............

X 1 2 3 4 5 6 7 8abcd

a 17475.63 -552 -54 34499 1517.39 0.037 0.026 0.83b 16601.85 -551 -53 34500 1451.42 0.035 0.025 0.79c 15728.07 -550 -52 34501 1385.44 0.034 0.024 0.75d 14854.29 -549 -51 34502 1319.47 0.032 0.023 0.71

1. Calcula el flujo del campo F (x,y,z  ) = [5y, 9x, 14z 2] a través de la superficie cerrada de doscaras formada por el cono  z  =  x2 + y2 y el paraboloide  z  = 6 − (x

2 + y2). La superficie

está orienta según el normal exterior.

2. Se   C   la curva intersección del cilindro   x2 + y2 = 25 con el plano   z   = 14x + 9y, y seaF (x,y,z  ) = (z ,x,y) calcula

1

π

 C 

F dr =  1

π

 C 

z dx + x dy + y dz 

3. Sea   C   el arco de curva   α(t) =

cosπ

2 sin(x)

, cos

π

2 sin(x)

, cos(x)

 comprendido entre

los puntos  α(0) = (1, 1, 1) y  α(π2

) = (0, 0, 0). Calcula

 C 

(14z  + 10x) dx + (9z  + 28y) dy + (18z  + 9y + 14x) dz 

Indicación: En los casos en los que el campo admite potencial puede ser útil calcular elpotencial o bien utilizar una curva más sencilla.

4. Sea  F (x,y,z  ) = (14x, 9y, 0) y sea  S   la cara lateral de la superficie ciĺındrica  x2 + y2 = 25limitada por los  z  = 0,  z  = x + y + 60, calcula

1

π

 S 

 F   · n dS 

5. Calcula la integral de ĺınea

 C 

x2 dy  siendo  C   la curva cerrada formada por

la semicircunferencia y la semielipse siguientes:

(x − 6)2 + (y − 10)2 = 52,   con  y  ≥ 10,  (x − 6)2

52  +

 (y − 10)2

92  = 1 con  y  ≤ 10

8/17/2019 Examen Análisis Vectorial con MATLAB

58/200

6. Calcula la integral doble de f (x, y) = x  en la región plana limitada por las circunferencias

x2

+ y2

= 196,  x2

+ y2

= 529 y las rectas  y = 196x,  y = 529x

7. Sea S  el cilindro de ecuación x2+y2 = 52 parametrizado mediante r(θ, z ) = (5cos(θ), 5 sin(θ), 14z ),calcula la curvatura normal en el punto P (5, 0, 14π) = α(π) en la dirección del vector α(π)siendo  α(t) la hélice parametrizada por  α(t) = [5 cos(t), 5 sin(t), 14t]. El cilidro está orien-tado con el normal que apunta hacia el eje del cilindro.

8. Se considera el paraboloide z  = x2+y2 parametrizado mediante r(ρ, θ) = [ρ cos(t), ρ sin(t), ρ2]Calcula la curvatura de Gauss en el punto donde  x =   1√ 

5, y =   1√ 

9.

8/17/2019 Examen Análisis Vectorial con MATLAB

59/200

No: 29 Apellidos ............................. Nombre .................... DNI: ...............

X 1 2 3 4 5 6 7 8abcd

a -55 0.023 35998 17475.63 0.049 1484.40 -578 0.87b -54 0.021 35999 16601.85 0.047 1413.72 -577 0.83c -53 0.020 36000 15728.07 0.045 1343.03 -576 0.79d -52 0.019 36001 14854.29 0.043 1272.35 -575 0.74

1. Sea   C   el arco de curva   α(t) =

cosπ

2 sin(x)

, cos

π

2 sin(x)

, cos(x)

 comprendido entre

los puntos  α(0) = (1, 1, 1) y  α(π2

) = (0, 0, 0). Calcula C 

(14z  + 10x) dx + (10z  + 28y) dy + (20z  + 10y + 14x) dz 

Indicación: En los casos en los que el campo admite potencial puede ser útil calcular elpotencial o bien utilizar una curva más sencilla.

2. Sea S  el cilindro de ecuación x2+y2 = 52 parametrizado mediante r(θ, z ) = (5cos(θ), 5 sin(θ), 14z ),calcula la curvatura normal en el punto P (5, 0, 14π) = α(π) en la dirección del vector α(π)siendo  α(t) la hélice parametrizada por  α(t) = [5 cos(t), 5 sin(t), 14t]. El cilidro está orien-tado con el normal que apunta hacia el eje del cilindro.

3. Sea F (x,y,z  ) = (14x, 10y, 0) y sea  S  la cara lateral de la superficie ciĺındrica  x2

+ y2

= 25limitada por los  z  = 0,  z  = x + y + 60, calcula

1

π

 S 

 F   · n dS 

4. Calcula el flujo del campo  F (x,y,z  ) = [5y, 10x, 14z 2] a través de la superficie cerrada dedos caras formada por el cono   z   =

 x2 + y2 y el paraboloide   z   = 6 − (x2 + y2). La

superficie está orienta según el normal exterior.

5. Calcula la integral doble de f (x, y) = x  en la región plana limitada por las circunferenciasx2 + y2 = 196,  x2 + y2 = 576 y las rectas  y = 196x,  y = 576x

6. Calcula la integral de ĺınea

 C 

x2 dy  siendo  C   la curva cerrada formada por

la semicircunferencia y la semielipse siguientes:

(x − 6)2 + (y − 1)2 = 52,   con  y  ≥ 1,  (x − 6)2

52  +

 (y − 1)2

102  = 1 con y  ≤ 1

8/17/2019 Examen Análisis Vectorial con MATLAB

60/200

7. Se   C   la curva intersección del cilindro   x2 + y2 = 25 con el plano   z   = 14x + 10y, y sea

F (x,y,z  ) = (z ,x,y) calcula

1

π

 C 

F dr =  1

π

 C 

z dx + x dy + y dz 

8. Se considera el paraboloide z  = x2+y2 parametrizado mediante r(ρ, θ) = [ρ cos(t), ρ sin(t), ρ2]Calcula la curvatura de Gauss en el punto donde  x =   1√ 

5, y =   1√ 

10.

8/17/2019 Examen Análisis Vectorial con MATLAB

61/200

No: 30 Apellidos ............................. Nombre .................... DNI: ...............

X 1 2 3 4 5 6 7 8abcd

a 0.036 -1411 17038.74 0.052 -56 1.11 2601.24 88319b 0.034 -1410 16227.37 0.050 -55 1.05 2488.14 88320c 0.033 -1409 15416.00 0.047 -54 1.00 2375.04 88321d 0.031 -1408 14604.64 0.044 -53 0.94 2261.95 88322

1. Sea S  el cilindro de ecuación x2+y2 = 82 parametrizado mediante r(θ, z ) = (8 cos(θ), 8 sin(θ), 13z ),calcula la curvatura normal en el punto P (8, 0, 13π) = α(π) en la dirección del vector α(π)

siendo  α(t) la hélice parametrizada por  α(t) = [8 cos(t), 8 sin(t), 13t]. El cilidro está orien-tado con el normal que apunta hacia el eje del cilindro.

2. Se   C   la curva intersección del cilindro   x2 + y2 = 64 con el plano   z   = 13x + 10y, y seaF (x,y,z  ) = (z ,x,y) calcula

1

π

 C 

F dr =  1

π

 C 

z dx + x dy + y dz 

3. Calcula el flujo del campo  F (x,y,z  ) = [8y, 10x, 13z 2] a través de la superficie cerrada de

dos caras formada por el cono  z 

  = x2

+ y2

y el paraboloide  z 

  = 6−

(x2

+ y2

). Lasuperficie está orienta según el normal exterior.

4. Calcula la integral doble de f (x, y) = x  en la región plana limitada por las circunferenciasx2 + y2 = 169,  x2 + y2 = 529 y las rectas  y = 169x,  y = 529x

5. Sea   C   el arco de curva   α(t) =

cosπ

2 sin(x)

, cos

π

2 sin(x)

, cos(x)

 comprendido entre

los puntos  α(0) = (1, 1, 1) y  α(π2

) = (0, 0, 0). Calcula

 C 

(13z  + 16x) dx + (10z  + 26y) dy + (20z  + 10y + 13x) dz 

Indicación: En los casos en los que el campo admite potencial puede ser útil calcular elpotencial o bien utilizar una curva más sencilla.

6. Se considera el paraboloide z  = x2+y2 parametrizado mediante r(ρ, θ) = [ρ cos(t), ρ sin(t), ρ2]Calcula la curvatura de Gauss en el punto donde  x =   1√ 

8, y =   1√ 

10.

8/17/2019 Examen Análisis Vectorial con MATLAB

62/200

7. Calcula la integral de ĺınea  C 

x2 dy  siendo  C   la curva cerrada formada por

la semicircunferencia y la semielipse siguientes:

(x − 5)2 + (y − 1)2 = 82,   con  y  ≥ 1,  (x − 5)2

82  +

 (y − 1)2

102  = 1 con y  ≤ 1

8. Sea F (x,y,z  ) = (13x, 10y, 0) y sea  S  la cara lateral de la superficie ciĺındrica  x2 + y2 = 64limitada por los  z  = 0,  z  = x + y + 60, calcula

1

π

 S 

 F   · n dS 

8/17/2019 Examen Análisis Vectorial con MATLAB

63/200

No: 31 Apellidos ............................. Nombre .................... DNI: ...............

X 1 2 3 4 5 6 7 8abcd

a 753.98 0.70 0.035 -323 -47 0.022 17850.11 20159b 716.28 0.67 0.033 -322 -46 0.021 17038.74 20160c 678.58 0.64 0.032 -321 -45 0.019 16227.37 20161d 640.88 0.61 0.030 -320 -44 0.018 15416.00 20162

1. Calcula la integral de ĺınea

 C 

x2 dy  siendo  C   la curva cerrada formada por

la semicircunferencia y la semielipse siguientes:

(x − 5)2 + (y − 9)2 = 42,   con  y  ≥ 9,  (x − 5)2

42  +

 (y − 9)2

82  = 1 con y  ≤ 9

2. Se considera el paraboloide z  = x2+y2 parametrizado mediante r(ρ, θ) = [ρ cos(t), ρ sin(t), ρ2]Calcula la curvatura de Gauss en el punto donde  x =   1√ 

4, y =   1√ 

8.

3. Calcula la integral doble de f (x, y) = x  en la región plana limitada por las circunferenciasx2 + y2 = 169,  x2 + y2 = 441 y las rectas  y = 169x,  y = 441x

4. Se   C   la curva intersección del cilindro   x2 + y2 = 16 con el plano   z   = 13x + 8y, y sea

F (x,y,z  ) = (z ,x,y) calcula

1

π

 C 

F dr =  1

π

 C 

z dx + x dy + y dz 

5. Sea   C   el arco de curva   α(t) =

cosπ

2 sin(x)

, cos

π

2 sin(x)

, cos(x)

 comprendido entre

los puntos  α(0) = (1, 1, 1) y  α(π2

) = (0, 0, 0). Calcula C 

(13z  + 8x) dx + (8z  + 26y) dy + (16z  + 8y + 13x) dz 

Indicación: En los casos en los que el campo admite potencial puede ser útil calcular elpotencial o bien utilizar una curva más sencilla.

6. Sea S  el cilindro de ecuación x2+y2 = 42 parametrizado mediante r(θ, z ) = (4 cos(θ), 4 sin(θ), 13z ),calcula la curvatura normal en el punto P (4, 0, 13π) = α(π) en la dirección del vector α(π)siendo  α(t) la hélice parametrizada por  α(t) = [4 cos(t), 4 sin(t), 13t]. El cilidro está orien-tado con el normal que apunta hacia el eje del cilindro.

8/17/2019 Examen Análisis Vectorial con MATLAB

64/200

7. Calcula el flujo del campo F (x,y,z  ) = [4y, 8x, 13z 2] a través de la superficie cerrada de dos

caras formada por el cono  z  = 

x2 + y2 y el paraboloide  z  = 6 − (x2

+ y2

). La superficieestá orienta según el normal exterior.

8. Sea  F (x,y,z  ) = (13x, 8y, 0) y sea  S   la cara lateral de la superficie ciĺındrica  x2 + y2 = 16limitada por los  z  = 0,  z  = x + y + 60, calcula

1

π

 S 

 F   · n dS 

8/17/2019 Examen Análisis Vectorial con MATLAB

65/200

No: 32 Apellidos ............................. Nombre .................... DNI: ...............

X 1 2 3 4 5 6 7 8abcd

a 0.037 18349.41 -2600 0.075 4552.17 -64 161998 1.44b 0.035 17475.63 -2599 0.072 4335.40 -63 161999 1.37c 0.034 16601.85 -2598 0.068 4118.63 -62 162000 1.30d 0.032 15728.07 -2597 0.065 3901.86 -61 162001 1.23

1. Sea S  el cilindro de ecuación x2+y2 = 102 parametrizado mediante r(θ, z ) = (10 cos(θ), 10 sin(θ), 14z ),calcula la curvatura normal en el punto   P (10, 0, 14π) =   α(π) en la dirección del vector