P - 1Sedes: Lima - Huánuco - Puno

1. En una urna hay 5 bolillas; 3 azules y 2 rojas. Se saca una bolilla de la urna y, sin mirarla, se guarda. A continuación, se vuelve a sacar otra bolilla y esta resultó roja. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera haya sido azul?

A) 12

B) 14

C) 34

D) 25

2. Se les preguntó a 10 personas cuántas veces acudían al dentista durante un año, y los resultados obtenidos fueron 2; 1; 3; 1; 2; 4; 2; 1; 1; 3. Determine la varianza de los datos obtenidos.

A) 1,5 B) 1,3C) 0,8 D) 1

3. El sistema lineal de orden tres

2 2

2

3 2 1

x y z

x y z m

x y z

+ − =− + =+ − = −

tiene conjunto solución S = (x0; y0; 3). Calcule el valor de m.

A) 4115

B) 1541

C) 7 D) 5

4. Sea S un polígono convexo cuyos vértices son

(1; 1), 312;

, 2

52;

, (4; 3) , (5; 2) , y

f(x; y) = mx + ny, m; n ∈ R+.

Quinto grado de secundaria

Tema

P

Si máx f(x; y) con (x; y) ∈ S tiene más de una so-

lución óptima, entonces el valor de

máx f x ym n

( ; )+

es

A) 1. B) 2.

C) 52

. D) 72

.

5. Sea f: R → R+ una función tal que f(x) = ex – 1. Esboce la gráfica de la función g defi-

nida por g(x) = f –1(x +1).

A)

1 X

Y B)

X

Y

C)

1 X

Y D)

1

X

Y

6. De las siguientes proposiciones, indique el valor de verdad.I. Dos rectas perpendiculares a una tercera ne-

cesariamente son paralelas.II. La intersección de dos planos es necesaria-

mente una recta.III. Si dos circunferencias solo tienen un punto

en común, entonces necesariamente son tangentes.

A) FFF B) VVVC) FVV D) FVF

Prueba eliminatoria - Quinto grado de secundaria

Sedes: Lima - Huánuco - PunoP - 2

7. En el laboratorio de la UCH, existe un prisma cuadrangular regular ABCD-EFGH. Si P y Q son puntos medios de AB y AD, respectivamente, además AE = FH, calcule la medida del ángulo diedro que forma el plano determinado por P; Q y G con el plano EFGH.

A) 45º B) 53ºC) 74º D) 60º

8. Se construye un tetraedro con cuatro piezas triangulares de vidrio. Si estos triángulos son equiláteros y el tetraedro obtenido tiene altura 2, calcule el volumen de dicho tetraedro.

A) 1 B) 3C) 2 D) 3

9. Sea P un punto del plano que contiene a la base de un cono de revolución, desde el cual se traza PT una recta tangente a la superficie cónica (T punto de tangencia). Si T es punto medio de la generatriz que la contiene, la menor distancia de P a la circunferencia que limita la base es 2 y PT = 5, calcule la altura del cono sabiendo que el área de la superficie lateral es el doble del área de la base.

A) 3 B) 3 2

C) 3 3 D) 3 6

10. Calcule el volumen de una esfera que es tangente a todas las aristas de un hexaedro regular (cubo) cuya longitud de su arista es 2.

A) 23π

B) 43π

C) 83π

D) 323

π

11. Se muestra una circunferencia con centro O, cuyo diámetro es igual a la longitud del lado del cuadrado ABCD. Calcule la tangente del ángulo COB. Considere al punto T de tangencia.

D C

AT

O

B

A) 12

B) 23

C) 34

D) 43

12. En el gráfico, AB = 6 y la tangente del ángulo ACB es igual a – 3. Calcule CH.

A H B

C

45º

A) 2 B) 3C) 4 D) 5

13. Al simplificar la expresión

sen

sensen

3 3x xx x

x x−−

+coscos

cos ,

se obtiene

A) –1. B) − 12

.

C) 1. D) 12

.

14. ¿Cuántos valores enteros adopta la expresión

312

22sen senx x+ ?

A) 1 B) 2

C) 3 D) 4

Concurso Nacional de Matemática - UCH 2014

P - 3Sedes: Lima - Huánuco - Puno

15. Si f x xx x

x( ) sen

cos= + ++

sensen

3 31 2 2

,

calcule el valor de f56π

.

A) − 12

B) − 32

C) 12

D) 32

16. Halle el equivalente de

424

512

2cos tanπ π− .

A) 212

tanπ

B) senπ12

C) tanπ4

D) secπ3

17. En el triángulo ABC, AB = c; BC = a y

AC a c= −2 42 2 . Si senB a c

a2 2= −

,

calcule tan2B.

A C

B

BA) 2

B) 3

C) 4

D) 5

18. En un triángulo ABC, se cumple la relación 2tanB + tanC = tan2B × tanC Calcule el valor de

tan tan

cot

B AC

+ 2

2

.

A) 2 B) 3

C) 12

D) 32

19. El área de la región triangular ABC es 12 u2. Si

MB = MC y tana = 8, calcule AC2 – AB2.

αC M B

A

A) 4 B) 6C) 8 D) 12

20. De la ecuación trigonométrica 2cos2x - 3sen2x - 3senx - cosx + 3 = 0, donde x ∈ ⟨0; 2p⟩, halle el número de soluciones.

A) 1 B) 2C) 3 D) 4