Examen Final -...
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UniversidadeVigo - EEI Calculo II y E.D. Curso 2013/14
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nota sobre 10
Examen Final23 de mayo de 2014, 9:00h
Pregunta 1(1.5 pt.)
Sea R la region de integracion correspondiente a la siguiente integral doble:∫ 3
0
∫ 2
√y
1
x2dxdy .
(0.5 pt.) (a) Dibuja la region R.
(0.5 pt.) (b) Escribe la integral iterada que se obtiene al cambiar el orden de integracion.
(0.5 pt.) (c) Calcula el valor de la integral.
Solucion:
(a) Region:
1 3 2
1
2
3
(b)
∫ √30
∫ x2
0
1
x2dydx+
∫ 2
√3
∫ 3
0
1
x2dydx.
(c)
∫ 3
0
∫ 2
√y
1
x2dxdy =
∫ 3
0
[−1
x
]2√y
dy =
∫ 3
0
(−1
2+
1√y
)dy = 2
√3− 3
2.
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Pregunta 2(2 pt.)
Considera el siguiente campo vectorial en el plano:
F(x, y) =(y3 + 1 , 3xy2 + 1
).
(1 pt.) (a) ¿Es F conservativo? En caso afirmativo calcula una funcion potencial para F.
(0.6 pt.) (b) Plantea y evalua la integral de lınea de F a lo largo del segmento que va del punto (0, 0)al punto (2, 0) usando una parametrizacion del mismo.
(0.4 pt.) (c) ¿Cuanto vale la integral de lınea de F a lo largo de la semicircunferencia (x− 1)2 + y2 = 1con y ≥ 0 desde (0, 0) a (2, 0)?
Solucion:
(a)∂(3xy2 + 1)
∂x= 3y2,
∂(y3 + 1)
∂y= 3y2.
Las dos parciales coinciden, por tanto es conservativo.
Una funcion potencial es f(x, y) = xy3 + x+ y.
(b) r(t) = ti = t(1, 0), 0 ≤ t ≤ 2; F(r(t)
)·dr = F(t, 0)·idt = dt;
∫CF·dr =
∫ 2
0dt = 2.
(c) Puesto que el campo es conservativo, la integral de lınea es independiente del camino ypor tanto tambien vale 2.
Otra forma de calcularla es usando la funcion potencial y el teorema fundamental de lasintegrales de lınea, obteniendose el mismo resultado:
f(2, 0)− f(0, 0) = 2− 0 = 2
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Pregunta 3(1.5 pt.)
Calcula la integral triple ∫ ∫ ∫E
cos((x2 + y2 + z2)
32)dV,
donde E es la esfera unitaria x2 + y2 + z2 ≤ 1.
Solucion:
Como estamos integrando en el interior de una esfera centrada en el origen lo mas apropiadoes usar coordenadas esfericas, especialmente teniendo en cuenta que en coordenadas esfericasx2 + y2 + z2 = ρ2 y por tanto el integrando es cos
((x2 + y2 + z2)
32
)= cos(ρ3). Por tanto:∫ ∫ ∫
Ecos((x2 + y2 + z2)
32)dV =
∫ 2π
0
(∫ π
0
(∫ 1
0ρ2 cos
(ρ3)dρ
)sen(φ) dφ
)dθ
=
(∫ 2π
0dθ
)(∫ π
0sen(φ) dφ
)(∫ 1
0ρ2 cos
(ρ3)dρ
)= 2π × 2×
(1
3
∫ 1
0cosu du
)=
4π
3sen(1).
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Pregunta 4(2 pt.)
Sea S = ∂E la superficie frontera del solido E limitado inferiormente por el paraboloidez = 1 + x2 + y2 y superiormente por el plano z = 5. Calcula el flujo del campo
F(x, y, z) = (xy, y2, z − 5)
a traves de la superficie S orientada hacia afuera del solido.
Solucion:
Primera forma:El flujo pedido es la suma del flujo a traves del paraboloide orientado por el vector normal
que apunta hacia abajo y el flujo hacia arriba a traves del cırculo, en el plano z = 5, que hace de“tapa”. Como en los puntos de dicho plano la componente del campo perpendicular al mismo(que es la componente z del campo) se anula, el campo es tangente a dicha “tapa” y por tantoel flujo a traves de la tapa es cero. Ası pues, el flujo pedido se puede calcular usando el vectornormal al paraboloide:
N =
(−∂(1 + x2 + y2)
∂x,−∂(1 + x2 + y2)
∂y, 1
)= (−2x,−2y, 1)
El correspondiente elemento vectorial de superficie “hacia abajo” es:
dS =N
N·(−k)dxdy = (2x, 2y,−1)dxdy
Flujo =
∫∫F·dS =
∫∫(2x2y + 2y3 − x2 − y2 + 4)dxdy
=
∫ 2π
0
(∫ 2
0
(4− r2 + 2r3 sen(θ)
)r dr
)dθ
= 8π
Segunda forma:Por el teorema de la divergencia, el flujo es igual a la integral triple de la divergencia del
campo:
divF =∂(xy)
∂x+∂y2
∂y+∂(z − 5)
∂z= y + 2y + 1 = 3y + 1,
en el solido E. Usando coordenadas cilındricas:
Flujo =
∫ ∫ ∫E
divF dV =
∫ 5
1
(∫r≤√z−1
(3r sen θ + 1)rdrdθ
)dz
=
∫ 5
1
(∫ 2π
0
∫ √z−10
(3r sen θ + 1)rdrdθ
)dz
=
∫ 5
1
(∫ 2π
0
[r3 sen θ + 1
2r2]√z−10
dθ
)dz
=
∫ 5
1
(∫ 2π
0
((z − 1)
√z − 1 sen θ + 1
2(z − 1))dθ
)dz
=
∫ 5
1
(0 + π(z − 1)
)dz = 8π
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Pregunta 5(1.5 pt.)
Resuelve el siguiente problema de valor inicial:
y′ + y =2x
y, y(0) = 1.
Solucion:
Es una ecuacion de Bernoulli de orden n = −1. Se puede resolver de dos formas:
Primera forma: Siguiendo el mismo metodo que para las ecuaciones lineales, suponemos y = uvdonde v satisface v′ + p(x)v = 0, o, dado que p(x) = 1, v′ + v = 0 de donde v = e−x. Ahorahallamos la ecuacion para u, que resulta:
u′v+0 =2x
uv; u′u = 2x v−2 = 2xe2x; 2uu′ = 4xe2x; u2−u20 =
∫ x
04te2tdt = e2x(2x−1)+1
La solucion general es, pues:
y = ±e−x√u20 + 1 + (2x− 1)e2x = ±
√c1e−2x + 2x− 1
y la solucion buscada tiene u0 = 1 o c1 = 2, luego es:
y = ±√
2e−2x + 2x− 1
Segunda forma: Hacemos el cambio de variable z = y1−n = y2 para transformarla en unaecuacion lineal para z. Se obtiene la ecuacion:
z′ + 2z = 4x
cuya solucion general es z = c1e−2x + 2x− 1
Por tanto, la solucion general de la ecuacion dada es:
y = ±√c1e−2x + 2x− 1
Usando la condicion inicial, hallamos que la constante es c1 = 2 y la solucion del problema devalor inicial:
y = ±√
2e−2x + 2x− 1.
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Pregunta 6(1.5 pt.)
Halla la solucion general de la siguiente ecuacion diferencial equidimensional o de Euler-Cauchy:
x2y′′ + xy′ + 2y = 3x+ 1 (x > 0).
Solucion:
Hacemos el cambio de variable x = ez de forma que dxdz = ez = x y por tanto
dy
dz=dy
dx
dx
dz= y′x.
d2y
dz2=
d
dz
(y′x)
=d
dx
(y′x)dxdz
=(y′′x+ y′
)x = x2y′′ + xy′
Por tanto nuestra ecuacion queda:
d2y
dz2+ 2y = 3ez + 1
que es una ecuacion lineal de segundo orden facil de resolver por coeficientes indeterminados:La homogenea asociada es la ecuacion de ondas de frecuencia
√2 en la variable z, luego su
solucion general esyh = c1 sen
(√2z)
+ c2 cos(√
2z).
Para buscar una solucion particular por coeficientes indeterminados, vemos que el terminoindependiente es suma de funciones de dos tipos: exponencial y polinomio de grado cero. Ası pues,
buscamos primero una solucion particular de d2ydz2
+2y = 3ez que sea una exponencial de la forma
y = Aez, la cual sustituida en la ecuacion d2ydz2
+ 2y = 3ez nos da Aez + 2Aez = 3ez, de donde
A = 1. Ahora buscamos una solucion particular de d2ydz2
+ 2y = 1 que sea un polinomio de gradocero, es decir una constante. Evidentemente tiene que ser y = 1
2 , por tanto la solucion particularde la ecuacion dada es la suma de estas dos:
yp = ez +1
2.
En consecuencia, la solucion general es yh + yp, es decir
c1 sen(√
2z)
+ c2 cos(√
2z)
+ ez +1
2,
lo cual, deshaciendo el cambio de variable, ez = x, z = lnx, da:
y = c1 sen(√
2 lnx)
+ c2 cos(√
2 lnx)
+ x+1
2