Examen Noviembre 2005
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7/23/2019 Examen Noviembre 2005
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ESCUELA UNIV. DE CIENCIAS EMPRESARIALES.
Examen Extraordinario de Matemáticas para la Empresa.
21 de Noviembre de 2005. Tipo A
NOMBRE DEL ALUMNO:_______________________________
D.N.I.:___________________________________________
1. a) Dadas las funciones1( ) x f x e += , ( )g y y = , calcule, aplicando la regla de la
cadena, la derivada de g f en el punto x = −1.
b) Analice si la función1( ) x f x e −= es creciente o decreciente y cóncava o convexa
en su dominio.
2. Dada la matriz:
1 0 0
0 1 1
0 1 1
A
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
a) Calcular los autovalores.
b) Clasificar la forma cuadrática cuya matriz asociada es A.
c) Calcular ahora la forma cuadrática restringida a: x – z = 0.
3. Dada la función:3 27
( , , ) , x y z
f x y z x z e y
−⎛ ⎞⎟⎜= − − + ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠, calcule:
a) La derivada direccional en el punto ( )0 1,1,1x =
según la dirección (1,1, 2)v =
.
b)
La matriz hessiana de la primera componente de dicha función en el punto
( )0 1, 1, 1x =
:
3 21
7( , , ) f x y z x z
y = − − +
c)
( )(1, 1, 1)
g f
z
∂−
∂
siendo3
( , )2 5
u v g u v = −
4. Sea el siguiente problema de programación matemática:
2
2 2
3 2
. . 1
4
0, 0
Opt x y
s a y x
x y
x y
+
− ≤
+ ≤
≥ ≥
a) ¿Se puede asegurar que tiene solución? ¿Se puede asegurar que todos los óptimos que se
obtengan son globales?
b) Resuélvalo gráficamente, indicando el conjunto de oportunidades, las curvas de nivel y
la dirección de máximo crecimiento, así como dónde se sitúan los óptimos.
c) Resuelva, mediante la función de Lagrange el problema:
2 2
3 2
. . 4
Opt x y
s a x y
+
+ =
¿se encuentran relacionadas las soluciones de este problema con las del apartado b?
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ESCUELA UNIV. DE CIENCIAS EMPRESARIALES.
Examen Extraordinario de Matemáticas para la Empresa.
21 de Noviembre de 2005. Tipo B
NOMBRE DEL ALUMNO:_______________________________
D.N.I.:___________________________________________
1. a) Dadas las funciones 2( ) 5 f x x = + y ( ) Ln( 3)g y y = + , calcule ( )'(2)g f
utilizando la regla de la cadena.
b) Sea la función: ( ) Ln( 1) f x x = + . Obtenga su dominio y compruebe que es creciente y
cóncava en él.
2. a) Calcule los valores propios de la siguiente matriz:
1 1 0
1 0 1
0 1 1
A
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ − ⎟⎜⎝ ⎠
b) Clasifique la forma cuadrática ( ) , ( , , )t x x Ax x x y z φ = =
.
c) Clasifique la anterior forma cuadrática restringida si x – y = 0
3. Dada la función: ( )2 3 2( , , ) ,
x y z f x y z x y e
z
− += − + + , calcule:
a) La derivada direccional en el punto ( )0 1,1,1x =
según la dirección (2,1, 5)v =
.
b) La matriz hessiana de la primera componente de dicha función en el punto
( )0 1,1,1x =
:2 3
12
( , , ) f x y z x y z
= − + +
c)
( )( 1,1, 1)
g f
x
∂− −
∂
siendo
2
( , )4 3
u v g u v = −
4. Sea el siguiente problema de programación matemática:
2 2
2
2 3
. . 9
10, 0
Opt x y
s a x y
x y x y
+
+ ≤
− ≤≥ ≥
a) ¿Se puede asegurar que tiene solución? ¿Se puede asegurar que todos los óptimos que se
obtengan son globales?
b) Resuélvalo gráficamente, indicando el conjunto de oportunidades, las curvas de nivel y
la dirección de máximo crecimiento, así como dónde se sitúan los óptimos.
c) Resuelva, mediante la función de Lagrange el problema:
2 2
2 3
. . 9
Opt x y
s a x y
+
+ =
¿se encuentran relacionadas las soluciones de este problema con las del apartado b?