UNIVERSIDAD FERMIN TORO

CABUDARE.ESTADO LARA

Apellidos Blanco Calderon Nombres Jaime Roberto

Cédula 20.319.200 Fecha

Examen Individual

On line

1. Muestre en una figura las representaciones de los vectores del campo vectorial

que tienen su punto inicial en (x,y), donde x=±1 , x=±2 , y=±1 , y=±2

F ( x , y )= 1

√ x2+ y2( xi+ yj )

( 2ptos)

10

2. Calcule R' ( t ) y R' ' ( t )si R( t )=√t2+1 i+√t2−1 j+tk

siR' ( t )= 1

t+1i−tan tj+ t

t2−1k

y R(0 )=4 i−3 j+5k calcule R(t) ( 2ptos)

R( t )=√t2+1 i+√t2−1 j+tk

R( t )= (t2+1 )1/2i+ (t2−1 )1 /2

j+ tk

R '( t )=12

( t2+1 )−1/22 ti+1

2(t2−1 )−1/2

. 2 t+k

R '( t )= 1

√ t2+1i+ t

√t2−1j+k

R ''( t )=[( t2+1 )−1/2+t . −1

2(t2+1 )−3 /2

.2 t ] i+[( t2−1 )−1/2+ t .−1

2(t2−1 )−3/2

. 2 t ] j

R ''( t )=[ 1

√ t2+1− t2

√(t2+1 )3 ]i+[ 1

√ t2−1+ t2

√(t2−1 )3 ] j

Si

R '( t )= 1t+1

i−tan tj+ tk

t2−1 y

R '( o)=4 i−3 j+5k

R '( t )=∫ dtt+1

i−∫ tan tj+∫ tk

t2−1

∫ dtt+1

=Ln /t+1/+k

∫ tan dt+∫ sentcos t

dt=Ln /sec t /+k

∫ tt+1

dt

12∫

duU

=12LnU+K

∫ tdt

t2−1=1

2Ln/ t2−1 /tk

U=t2−1du=2+dt

du2

=tdt

R( t )=Ln/ t+1/ i+Ln /sec t / j+ 12Ln/ t2+1/k+C

R( o)=Ln(0+1) i+ Ln /secO / j+ 12Ln/02+1/K+C

C=4 i−3 j+5k R( o)=C

R( t )= [Ln /t+1/+4 ] i+[Ln /sec t )−3 ] j+[ t

t2−1+5 ]K

3. Calcule el rot F y div R para el campo vectorial F dado

F ( x , y , z )= x

( x2+ y2 )3

2

i+ y

( x2+ y2 )3

2

j+k

( 2ptos)

ro tF=

i j kddx

ddy

d

d2

x

( x2+ y2)y

( x2− y2 )3/2 1

ro tF=

i j kddx

ddy

dd2

x

( x2+ y2)3 /2y

( x2− y2 )3/21

iddxx

(x2+ y2)

jddyy

(x2+ y2)3 /2

ro tF=d 1dyi+ ddz ( x

(x2+ y2 )3/2 ) j+ ddx ( y

(x2+ y2)3/2 )k−( d 1dxj+ ddz

y

(x2+ y2 )3/2 + ddy

x( x2+ y2 )3/2 k )

ro tF= ddx ( y

( x2+ y2)3 /2 )k− ddy ( x

(x2+ y2 )3/2 )k

ro tF= ddxy . ( x2+ y2)3/2

k− ddyx . ( x2+ y2)3/2

k

ro tF=32y (x2+ y2 )1/2

. 2xk−32x (x2+ y2)1/2

. 2 yk

ro tF=3 xy √x2+ y2k−3xy √ x2+ y2k

ro tF=0

divR= ddx [ x

(x2+ y2)3 /2 ]+ ddy [ y( x2+ y2 )3/2 ]+ ddz k

divR=(x2+ y2)3/2

−x . 3/2 (x2+ y2 )1/2.2 x

[ (x2+ y2)3/2]2+

(x2+ y2)3/2− y .3 /2 (x2+ y2)1/2

. 2 y

[ (x2+ y2 )3/2]2

divR=(x2+ y2)3/2

−3 x2 (x2+ y2 )1/2

(x2+ y2 )3+

(x2+ y2)3 /2−3 y (x2+ y2)1/2

(x2+ y2 )3

divR=(x2+ y2)1/2 [ x2+ y2−3 x2+x2+ y2−3 y2 ]

(x2+ y 2)3

divR=(x2+ y2)1/2 (−x2− y2)

(x2+ y2 )3 divR=

(x2+ y2)1/2 (x2+ y2)( x2+ y2)3

divR=−(x2+ y2)3 /2

(x2+ y2)3

divR= −1

(x2+ y2)3/2

4. Obtenga una ecuación del plano tangente al paraboloide elíptico

4 x2+ y2−16 z=0 en el punto (2,4,2) ( 2 ptos)

Una ecuación del plano tangente es

fx ( x0 , yo , z0) . (x−xo )+ fy (xo , y o , zo) ( y− yo )+ f 2 (xo , yo , zo) (z−zo)=U

∀ F (x0 , yo , z0 ). (x−x o) i+( y− yo) j+ (z−zo )k ó

∀ F ( y1 , y , z ) [ ( x−xo) i+( y− yo ) j+(z−zo ) ]k

∀ F (2,4,2 )=8 xi+2 yj−16k

∀ F (2,4,2 )=16 i+4 j−16k

Entonces la ecuación del plano tangente es

16k ( x−2 )+8 ( y−4 )−16 ( z−2 )=016 x−32+8 y−32−16 z+32=016 x−8 y−16 z−32=0 div entre 8

2 x+ y−2 z−4=0

5. Obtenga una ecuación de la recta normal a la superficie en el punto indicado.

x2

3+ y2

3+z2

3=14 ;(−8 ,27 ,1 ) ( 2ptos)

f ( x , y , z )=x2/3+ y2/3+z2/3−14 ; (−8 ,27 ,1 )

∀ f ( x , y , z )=23x−1/3 i+ 2

3y−1/3 j+ 2

3y1/3k

∀ f ( x , y , z )= 2

33√ xi+ 2

33√− y

j+ 2

33√ zk

∀ f (−8 ,27 ,1 )= 2

33√(−8 )

i+ 2

33√27

j+ 2

33√1k

∀ f (−8 ,27 ,1 )=−13i+ 2

9j+ 2

3k

Las ecuaciones simétricas para la recta normal son:

x+8−1/3

= y−272/9

= z−12/3