UNIVERSIDAD AUTNOMA DE BAJA CALIFORNIA Unidad Valle de las Palmas

Escuela de Ciencias de la Ingeniera y Tecnologa (ECITEC)

SEGUNDO EXAMEN PARCIAL DE MTODOS NUMRICOS PARTE 2. PRCTICA

El segundo examen parcial de la materia de Mtodos Numricos estar compuesto de dos partes: un examen terico y un examen prctico. A continuacin se mencionan las instrucciones para la parte prctica del examen. Por favor, lea las instrucciones cuidadosamente.

Instrucciones. Resuelva el problema 1 utilizando la herramienta de software Matlab, considerando las restricciones necesarias para la ejecucin de los algoritmos. Deber realizar un programa para resolver el problema aplicando interpolacin lineal de Newton y otro el mtodo de Lagrange para un polinomio de primer orden.

Para la evaluacin del examen se solicita que enve por correo electrnico los cdigos de los programas (archivos .m), y un documento de texto (archivo .docx) donde se incluyan las figuras solicitadas, as como la descripcin del cdigo.

Problema 1.

En diversos sistemas de adquisicin de imgenes sucede que el instrumento de captura de la imagen (cmara, escner, etc.) omite cierta informacin de la imagen capturada, para reducir el tiempo de captura. Sin embargo, dependiendo de la aplicacin, la calidad de los detalles de la imagen puede ser un factor de suma importancia. Con el propsito de producir imgenes de calidad aceptable (es decir, de una resolucin especfica), se aplica interpolacin para determinar los valores de los datos faltantes en la imagen capturada, de manera tal, que se logra establecer un compromiso entre el tiempo de captura y la calidad de la imagen.

Suponga que la intensidad de gris de cada pixel que forma una imagen se modela como una funcin, Z, de dos variables independientes, X y Y, que resultan ser las coordenadas de ubicacin de los pixeles en un plano cartesiano. Suponga que se adquiere una imagen y se selecciona una seccin para ser procesada, la informacin, tal como se adquiere del dispositivo, se muestra en la Figura 1. La Figura 1 presenta una matriz de 13 x 13 pixeles, cada uno con una intensidad de gris distinta, y en la barra se muestra la equivalencia numrica de cada intensidad.

Para determinar los valores de la funcin Z en cada punto de la matriz, se calcula la distancia que existe desde un punto origen hasta la ubicacin en el plano de los pixeles. La tabla 1 muestra los valores de la distancia que existe entre el punto origen (centro) y la ubicacin de cada pixel para la imagen de la Figura 1. Se define la matriz A, cuyos elementos aij se utilizaron para generar los valores de Z que se muestran en la tabla 2. Disee un programa que:

a) Genere una grfica tridimensional de Z utilizando los puntos de las tabla 2 (Utilice la funcin surf).

b) Genere valores de interpolacin para la variable Z para todos los puntos intermedios de los valores que componen la matriz A (ver Figura 2 para la representacin grfica de esto), con el objetivo de mejorar la resolucin de la imagen original.

c) Genere una grfica tridimensional considerando el nuevo conjunto de valores para Z, es decir, valores originales y valores interpolados.

d) Utilizando la herramienta rotate 3D del editor de imgenes, manipule la grfica generada en el inciso c) y muestre la representacin planar de la nueva imagen (debe obtener una imagen similar a la de la Figura 1).

Figura 1. Seccin de la imagen capturada que ser procesada y equivalencia numrica de la intensidad de gris del pixel (negativo).

Tabla 1. Elementos que componen la matriz A (aij)

j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

i

1 13.33 12.27 11.33 10.54 9.93 9.55 9.42 9.55 9.93 10.54 11.33 12.27 13.33

2 12.27 11.11 10.06 9.16 8.46 8.01 7.85 8.01 8.46 9.16 10.06 11.11 12.27

3 11.33 10.06 8.89 7.85 7.02 6.48 6.28 6.48 7.02 7.85 8.89 10.06 11.33

4 10.54 9.16 7.85 6.66 5.66 4.97 4.71 4.97 5.66 6.66 7.85 9.16 10.54

5 9.93 8.46 7.02 5.66 4.44 3.51 3.14 3.51 4.44 5.66 7.02 8.46 9.93

6 9.55 8.01 6.48 4.97 3.51 2.22 1.57 2.22 3.51 4.97 6.47 8.01 9.55

7 9.42 7.85 6.28 4.71 3.14 1.57 0 1.57 3.14 4.71 6.28 7.85 9.42

8 9.55 8.01 6.48 4.97 3.51 2.22 1.57 2.22 3.51 4.97 6.47 8.01 9.55

9 9.93 8.46 7.02 5.66 4.44 3.51 3.14 3.51 4.44 5.66 7.02 8.46 9.93

10 10.54 9.16 7.85 6.66 5.66 4.97 4.71 4.97 5.66 6.66 7.85 9.16 10.54

11 11.33 10.06 8.89 7.85 7.02 6.48 6.28 6.48 7.02 7.85 8.89 10.06 11.33

12 12.27 11.11 10.06 9.16 8.46 8.01 7.85 8.01 8.46 9.16 10.06 11.11 12.27

13 13.33 12.27 11.33 10.54 9.93 9.55 9.42 9.55 9.93 10.54 11.33 12.27 13.33

Tabla 2. Valores de Z asociados a los valores de aij

j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

i

1 0.05181 -0.0239 -0.0835 -0.0851 -0.0491 -0.0136 0 -0.0136 -0.0491 -0.0851 -0.0835 -0.0239 0.05181

2 -0.0239 -0.0895 -0.0588 0.0287 0.0972 0.1233 0.1273 0.1233 0.0972 0.0287 -0.0588 -0.0895 -0.0239

3 -0.0835 -0.0588 0.0578 0.1273 0.0962 0.0297 0 0.0297 0.0962 0.1273 0.0578 -0.0588 -0.0835

4 -0.0851 0.0287 0.1273 0.0558 -0,1025 -0.1948 -0.2122 -0.1948 -0,1025 0.0558 0.1273 0.0287 -0.0851

5 -0.0491 0.0972 0.0962 -0.1025 -0.2170 -0.1032 0 -0.1032 -0.2170 -0.1025 0.0962 0.0972 -0.0491

6 -0.0136 0.1233 0.0297 -0.1948 -0.1032 0.3582 0.6366 0.3582 -0.1032 -0.1948 0.0297 0.1233 -0.0136

7 0 0.1273 0 -0.2122 0 0.6366 1 0.6366 0 -0.2122 0 0.1273 0

8 -0.0136 0.1233 0.0297 -0.1948 -0.1032 0.3582 0.6366 0.3582 -0.1032 -0.1948 0.0297 0.1233 -0.0136

9 -0.0491 0.0972 0.0962 -0.1025 -0.2170 -0.1032 0 -0.1032 -0.2170 -0.1025 0.0962 0.0972 -0.0491

10 -0.0851 0.0287 0.1273 0.0558 -0,1025 -0.1948 -0.2122 -0.1948 -0,1025 0.0558 0.1273 0.0287 -0.0851

11 -0.0835 -0.0588 0.0578 0.1273 0.0962 0.0297 0 0.0297 0.0962 0.1273 0.0578 -0.0588 -0.0835

12 -0.0239 -0.0895 -0.0588 0.0287 0.0972 0.1233 0.1273 0.1233 0.0972 0.0287 -0.0588 -0.0895 -0.0239

13 0.05181 -0.0239 -0.0835 -0.0851 -0.0491 -0.0136 0 -0.0136 -0.0491 -0.0851 -0.0835 -0.0239 0.05181

Figura 2. Representacin grfica de la ubicacin matricial de los valores originales de la variable dependiente a y los valores nuevos necesarios para interpolar la funcin Z.