Examen Selectividad Madrid Matemáticas II Jun-2012
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UNIVERSIDADES P ´ UBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSE ˜ NANZAS UNIVERSIT ARIAS OFICIALES DE GRADO Curso 2011-2012 MATERIA: MATEM ´ ATICAS II INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACI ´ ON El alumno contestar´ a a los cuatro ejercicios de una de las dos opciones (A o B) que se le ofrecen. Nunca deber´a contestar a unos ejercicios de una opci´on y a otros ejercicios de la otra opci´on. En cualquier caso, la calificaci´ on se har´ a sobre lo respondido a una de las dos opciones. No se permite el uso de calculadoras gr´ aficas. Todas las respuestas deber´ an estar debidamente justificadas. Calificaci´ on tota l m´ axi ma: 10 puntos. Tiempo: Hora y media. OPCI ´ ON A Ejercicio 1 . Cali ficaci´on m´ axima: 3 puntos. Dadas las matrices A = k k k 2 1 −1 k 2k −2 2 , B = 12 6 8 , C = 4 3 3 , X = x y z , se pide: a) (1,5 puntos) Hallar el rango de A en funci´ on de los valores de k . b) (0,75 pun tos) Par a k = 2, hallar, si existe, la soluci´ on del sistema AX = B. c) (0,75 pun tos) Par a k = 1, hallar, si existe, la soluci´ on del sistema AX = C . Ejercicio 2 . Cali ficaci´on m´ axima: 3 puntos. Dados los puntos P 1 (1, 3, −1), P 2 (a, 2, 0), P 3 (1, 5, 4) y P 4 (2, 0, 2), se pide: a) (1 punto) Hallar el valor de a para que los cuatro puntos est´ en en el mismo plano. b) (1 punto) Hallar los valores de a para que el tetraedro con v´ ertices en P 1 , P 2 , P 3 ,P 4 tenga volumen igual a 7. c) (1 punto) Hallar la ecuaci´ on del plano cuyos puntos equidistan de P 1 y de P 3 . Ejercicio 3 . Cali ficaci´on m´ axima: 2 puntos. Hallar a, b, c de modo que la funci´ on f (x) = x 3 + ax 2 + bx + c alcance en x = 1 un m´ aximo relativo de valor 2, y tenga en x = 3 un punto de inflexi´ on. Ejercicio 4 . Cali ficaci´on m´ axima: 2 puntos. Calcular razonadamente las siguientes integrales definidas: a) (1 punto) ∫ π 0 e 2x cos x dx, b) (1 punt o) ∫ π/2 0 sen2x 1 + cos 2 2x dx .
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UNIVERSIDADES PUBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSENANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO Curso 2011-2012 MATERIA: MATEMATICAS II INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACION El alumno contestar a los cuatro ejercicios de una de las dos opciones (A o B) que se le ofrecen. Nunca a deber contestar a unos ejercicios de una opcin y a otros ejercicios de la otra opcin. En cualquier a o o caso, la calicacin se har sobre lo respondido a una de las dos opciones. No se permite el uso de o a calculadoras grcas. Todas las respuestas debern estar debidamente justicadas. a a Calicacin total mxima: 10 puntos. o a Tiempo: Hora y media. OPCION A Ejercicio 1 . Calicacin mxima: 3 puntos. o a Dadas las matrices k A= 1 2k se pide: a) (1,5 puntos) Hallar el rango de A en funcin de los valores de k. o b) (0,75 puntos) Para k = 2, hallar, si existe, la solucin del sistema AX = B. o c) (0,75 puntos) Para k = 1, hallar, si existe, la solucin del sistema AX = C. o Ejercicio 2 . Calicacin mxima: 3 puntos. o a Dados los puntos P1 (1, 3, 1), P2 (a, 2, 0), P3 (1, 5, 4) y P4 (2, 0, 2), se pide: a) (1 punto) Hallar el valor de a para que los cuatro puntos estn en el mismo plano. e b) (1 punto) Hallar los valores de a para que el tetraedro con vrtices en P1 , P2 , P3 ,P4 tenga e volumen igual a 7. c) (1 punto) Hallar la ecuacin del plano cuyos puntos equidistan de P1 y de P3 . o Ejercicio 3 . Calicacin mxima: 2 puntos. o a Hallar a, b, c de modo que la funcin f (x) = x3 + ax2 + bx + c alcance en x = 1 un mximo relativo o a de valor 2, y tenga en x = 3 un punto de inexin. o Ejercicio 4 . Calicacin mxima: 2 puntos. o a Calcular razonadamente las siguientes integrales denidas: a) (1 punto)0
k k2 1 k , 2 2
12 B= 6 , 8
4 C= 3 , 3
x X= y , z
e2x cos x dx, b) (1 punto)0
/2
sen 2x dx . 1 + cos2 2x
OPCION B Ejercicio 1 . Calicacin mxima: 3 puntos. o a Dadas las funciones f (x) = se pide: a) (1 punto) Hallar el dominio de f (x) y el l m f (x).x+
3x + ln(x + 1) , x2 3
g(x) = (ln x)x ,
h(x) = sen ( x) ,
b) (1 punto) Calcular g (e). c) (1 punto) Calcular, en el intervalo (0, 2), las coordenadas de los puntos de corte con el eje de abscisas y las coordenadas de los extremos relativos de h(x).
Ejercicio 2 . Calicacin mxima: 3 puntos. o a Dadas las rectas x2 y1 z r1 = = , 3 5 2 se pide: a) (1 punto) Estudiar su posicin relativa. o b) (2 puntos) Hallar la m nima distancia de r1 a r2 .
x = 1 , y = 3 + , r2 z = 5,
Ejercicio 3 . Calicacin mxima: 2 puntos. o a Dadas las matrices 1 2 1 0 , a 1 4 1 B = 2 3 3 2a 2 8 , 3
0 A = 2 1 se pide:
1 7 3+a
a) (1 punto) Estudiar el rango de la matriz B en funcin de a. o b) (1 punto) Para a = 0, calcular la matriz X que verica AX = B. Ejercicio 4 . Calicacin mxima: 2 puntos. o a Calcular el valor del determinante x 1 1 y 1 1 1 1 1 1 z 1 1 1 1 1
.
MATEMATICAS II CRITERIOS ESPEC IFICOS DE CORRECCION Todas las respuestas debern estar debidamente justicadas. a OPCION A
Ejercicio 1. a) Por la obtencin de los valores cr o ticos k = 0, 1, 1: 0,5 puntos. Por la discusin de cada uno de o los dos casos [k = 0, 1, 1] y [k = 0, 1, 1]: 0,5 puntos repartidos en: Planteamiento, 0,25 puntos. Resolucin, 0,25 puntos. o b) Planteamiento, 0,5 puntos. Resolucin, 0,25 puntos. o c) Planteamiento, 0,5 puntos. Resolucin, 0,25 puntos. o Ejercicio 2. a) Planteamiento, 0,5 puntos. Resolucin, 0,5 puntos. o b) Planteamiento, 0,5 puntos. Resolucin, 0,5 puntos. Si slo se obtiene uno de los dos valores la o o puntuacin mxima ser 0,75 puntos. o a a c) Planteamiento, 0,5 puntos. Resolucin, 0,5 puntos. o Ejercicio 3. Planteamiento, 1 punto. Resolucin, 1 punto. o Ejercicio 4. a) Planteamiento, 0,5 puntos. Resolucin, 0,5 puntos. o b) Planteamiento, 0,5 puntos. Resolucin, 0,5 puntos. o
OPCION B
Ejercicio 1. a) Por el cada una de las dos partes, dominio y l mite, 0,5 puntos repartidos en: Planteamiento, 0,25 puntos. Resolucin, 0,25 puntos. o b) Planteamiento, 0,5 puntos. Resolucin, 0,5 puntos. o c) Por cada una de las dos partes, puntos de corte y extremos relativos, 0,5 puntos repartidos en: Planteamiento, 0,25 puntos. Resolucin, 0,25 puntos. o Ejercicio 2. a) Planteamiento, 0,5 puntos. Resolucin, 0,5 puntos. o b) Planteamiento, 1 punto. Resolucin, 1 punto. o Ejercicio 3. a) Planteamiento, 0,5 puntos. Resolucin, 0,5 puntos. o b) Planteamiento, 0,5 puntos. Resolucin, 0,5 puntos. o o Ejercicio 4. Planteamiento, 1 punto. Resolucin, 1 punto.
