7/25/2019 examen13-02-2014

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Examen Analisis Matematico IIFacultad de Ingeniera

13/02/2014

Apellido y Nombre:.......................................................................................................Carrera:............................................................................................................................No Legajo.................................................................................... LIBRE REGULAR

Enuncie todos los resultados y propiedades que utilice para realizar el examen.

1. Sea f continua en R2 tal que ambas derivadas parciales son continuas y valen 2 en el punto(x0, y0) y f(x0, y0) = 8. Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.Justificar.

(a) fes diferenciable en (x0, y0).

(b) La maxima derivada direccional en (x0, y0) es 8.

(c) fno alcanza un extremo relativo en (x0, y0).

2. Sea z= f(x, y) la funcion implcita de clase C1 definida por la ecuacion F(x ,y,z) = 2 en unentorno del punto (1, 0, 1) siendo F C1 yF(1, 0, 1) = (0, 1,3).

(a) Calcular F(1, 0, 1), f(1, 0) yf(1, 0).

(b) Es posible hallar el plano tangente defen (1, 0)?. En caso afirmativo, hallar su ecuacion.

3. Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificar su respuesta.

(a) Sea fdiferenciable en R2 y tal que f(1, 4) = 4 yf(1, 4) = (1, 1) y

g(x, y) =xyf(x y, 2x) +y2

entonces g(2, 1) = (2,8).

(b) La funcion definida comof(x, y) = x2y

x4 +y2fuera del origen y cero en el origen es continua

en el origen.

(c) Si F(x ,y,z) = (2x,y, 3z) entonces

S

F d S= 6V(Q) donde Ses la superficie borde de

la region solida Q.

4. Sea R= {(x, y) R2 : x2 2x+y2 0, x2 +y2 1} y sea C la curva borde de R orientadaen sentido antihorario, calcular

C

(y2

2 2y)dx+ (2xy 2x)dy

5. Sea S la porcion de la esfera x2 + y2 + z2 = 4 que esta adentro del cilindro x2 + y2 = 1 y arribadel plano xy.

(a) Calcular

S

rot F d S siendo F(x ,y,z) = (xz,yz,xy).

(b) Calcular el flujo de F(x ,y,z) = (y,x, 4) que atraviesa a S.

(c) Calcular el volumen del solido limitado por x2 +y2 +z2 = 4, x2 +y2 = 1 y el planoz= 0 que contiene al origen.

Cantidad de hojas entregadas correspodiente a la resolucion del examen:..............

Al entregar el examen es OBLIGATORIO firmar la planilla que tienen los profesoresde la catedra.