Departamento de Economía Aplicada

(Matemáticas)

Matemáticas para la Empresa 10-09-2005 Diplomado en Empresariales TIPO A

Apellidos:__________________________________ Nombre_________________

D.N.I.:___________________________ Grupo_______

1. (2 puntos) Dada la siguiente función:

( )xe

f xx

=

se pide:

a) Determinar su dominio.

b) Determinar sus puntos críticos.

c) Calcular su derivada segunda.

a) Hallar los máximos y mínimos de la función.

2. (1.5 puntos) Calcule la siguiente integral: 2 xx e dx∫

3. (1.5 puntos) Resuelva, en función del valor del parámetro α, el siguiente

sistema de ecuaciones lineales:

2 3 3

6 2 4

8 4

x y z

x y z

x y z α

+ + = −

− + =

− + =

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(Matemáticas)

Matemáticas para la Empresa 10-09-2005 Diplomado en Empresariales TIPO B

Apellidos:__________________________________ Nombre_________________

D.N.I.:___________________________ Grupo_______

1. (2 puntos) Dada la siguiente función:

2)(xexf

x

=

se pide:

a) Determinar su dominio.

b) Determinar sus puntos críticos.

c) Calcular su derivada segunda.

d) Hallar los máximos y mínimos de la función.

2. (1.5 puntos) Calcular la siguiente integral:

( )220 3

xdx

x

∞

+∫

3. (1.5 puntos) Estudie el siguiente sistema, según el valor del parámetro a, y

resolverlo cuando sea posible: 3 2

1

2 34 3

x y az

x y z

x y z

+ + =

− + + =

+ + =

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(Matemáticas)

Matemáticas para la Empresa 10/09/2005 Diplomado en Empresariales TIPO A

Apellidos:__________________________________Nombre_______________ D.N.I.:___________________________ Grupo_______

1. Dada las funciones:

( )( , , ) , Ln( )f x y z x y z x y z=

( , ) sen( )g u v u v= ⋅

a) Dado el vector v = (1,0,1), calcule la ( )(1, 2,1)vD g f .

b) Halle la matriz hessiana de la segunda componente de la función ( , , )f x y z .

2. Dado el sistema de ecuaciones: 3 3 2

22 2

3 ln( ) 2

4 1 32

x y z x y

yx z x y

+ =

− + =+

a) ¿Se puede asegurar la existencia de x e y como funciones implícitas de z

en un entorno del punto (1, 1, 2)?

b) En caso de poder asegurar la existencia del apartado a), calcular las

derivadas de estas funciones implícitas.

c) ¿Podría asegurarse la existencia de y y z como funciones implícitas de x

en un entorno del mismo punto?

3. Dado el siguiente problema: 2 2

2

. ( 2) ( 2)

. . 2 3

2( 1) 2

, 0

Opt x y

s a x y

x y

x y

− + −

+ ≤

− + ≤

≥

Se pide:

a) ¿Puede asegurar que el problema tiene soluciones?

b) Indique en el gráfico donde están los óptimos globales del problema.

c) Determine, mediante la función de Lagrange, las coordenadas del mínimo

global, si lo hubiere, considerando únicamente la primera restricción con

igualdad.

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(Matemáticas)

Matemáticas para la Empresa 10/09/2005 Diplomado en Empresariales TIPO B

Apellidos:__________________________________Nombre_______________ D.N.I.:___________________________ Grupo_______

1. Dada las funciones: 2 2 2 2( , ) ( , )g u v u v u v= + −

( , ) cos( )f x y x y=

a) Dado el vector v = (1,2), calcule la ( )(1,2)vD f g .

b) Halle la matriz hessiana de la función ),( yxf .

2. Dado el sistema de ecuaciones: 3 3

22 2

2 0

2 1 12

x y z y z

zx y x z

− =

− + =+

a) ¿Se puede asegurar la existencia de x y z como funciones implícitas de y

en un entorno del punto (1, 2, 1)?

b) En caso de poder asegurar la existencia del apartado a), calcular las

derivadas de estas funciones implícitas.

c) ¿Podría asegurarse la existencia de y y z como funciones implícitas de x en

un entorno del mismo punto?

3. Dado el siguiente problema:

2 2

2

2 4

. . 9

0

Opt x y

s a x y

y x

+

+ ≤

+ ≥

a) ¿Se puede asegurar que tiene solución? ¿los óptimos obtenidos van a ser

globales?

b) Resuélvalo gráficamente indicando claramente el conjunto de

oportunidades, las curvas de nivel, la dirección de crecimiento y dónde se

encontrarían los puntos óptimos.

c) Resuelva el problema analíticamente teniendo sólo en cuenta la primera

restricción con igualdad, es decir:

2 2

2 4

. . 9

Opt x y

s a x y

+

+ =