UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DECHILE

FACULTAD DE CIENCIADEPARTAMENTO DE MATEMATICA Y

CIENCIA DE LA COMPUTACION

EXISTENCIA DE SOLUCIONES FUERTES PARA UNA

CLASE DE ECUACIONES DE EVOLUCION

SEMILINEALES CON CONDICION INICIAL NO LOCAL

CLAUDIO ANDRES LEAL JARA

Profesor Guıa: Dr. Carlos Enrique LizamaYanez.

Tesis presentada a la Facultad de Ciencias de laUniversidad de Santiago de Chile para optar algrado de Magister en Ciencia en la Especialidadde Matematica.

Santiago, Chile2013

i

EXISTENCIA DE SOLUCIONES FUERTES PARA UNACLASE DE ECUACIONES DE EVOLUCION

SEMILINEALES CON CONDICION INICIAL NO LOCAL

CLAUDIO ANDRES LEAL JARA

Este trabajo de titulacion fue elaborado bajo la supervision del profesorguıa Dr. Carlos Lizama Yanez del Departamento de Matematica y

Ciencia de la Computacion y ha sido aprobado por los miembros de laComision Calificadora, compuesta por los doctores Veronica Poblete

Oviedo de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Chile y RodrigoPonce Cubillos del Instituto de Matematicas y Fısica de la Universidad

de Talca.

Dra. Veronica Poblete Oviedo

Dr. Carlos Lizama Yanez

Dr. Rodrigo Ponce Cubillos

Director

ii

c©Claudio Andres Leal Jara:Se autoriza la reproduccion parcial o total de esta obra, con fines academicos, porcualquier forma, medio o procedimiento, siempre y cuando se incluya la citabibliografica del documento.

Dedicatoria

A mis padres, como un testimonio de carino y eterno agradecimiento por mi exis-tencia, valores morales y formacion profesional. Porque sin escatimar esfuerzo alguno,han sacrificado gran parte de su vida para formarme y porque nunca podre pagartodos sus desvelos, ni aun con las riquezas mas grandes del mundo. Por lo que soy ypor todo el tiempo que les robe pensando en mı...

A todos los que directa e indirectamenteayudaron a la realizacion de este proyecto.

A la vida.

”Lo importante en la vidano es el triunfo sino la lucha.

Lo esencial no es habervencido, sino haber luchado bien.”

(Baron Pierre de Coubertin)

iii

Agradecimientos

Agradecer a todos resulta difıcil, debido a que compartı buenos y agradablesmomentos con mucha gente a lo largo de estos dos anos. Agradezco a:

A la Universidad de Santiago de Chile por haberme dado cobijo y por laslecciones que aprendı en ella, asimismo, por haberme dado su voto de confianza ypor todo el apoyo otorgado a mi persona. En especial a Evelyn Aguilar Lopez portener una gran disposicion con los estudiantes, orientandonos en todo lo que refiereal Magister.

A mis maestros, que ayudaron en mi formacion profesional, por su invaluableapoyo y confianza.

A mi director de tesis, Dr. Carlos Lizama Yanez por su paciencia, apoyo yconfianza en mı como persona y en mi trabajo. Gracias por no perder la fe (y si ası hasido), gracias por recuperarla. Gracias por sus consejos personales y academicos.Gracias por escucharme y contestarme cada correo que le enviaba pidiendo su valiosaayuda.

A mis correctores: Dra. Veronica Poblete Oviedo y Dr. Rodrigo Ponce Cubillospor sus valiosas sugerencias y observaciones. Gracias por todo su tiempo invertidoen la revision de esta tesis.

A mi familia, familiares y amigos por darme animos para seguir intentandoy no darme por vencido jamas.

A mis companeros y amigos de Magister: Marıa Jose, Maribel, Victoria,Jose, Rodrigo, Carlos, Dubo, John y Vidal. Gracias por infundirme sus animos ycompartir conmigo sus conocimientos.

¡Gracias, eternamente gracias, a todos!.

Claudio Andres Leal Jara

iv

Indice general

Introduccion 1

1. Preliminares 31.1. Operadores Autoadjuntos con Resolvente Compacto . . . . . . . . . . 31.2. Semigrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1. Semigrupos Analıticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.2. Semigrupos Compactos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3. Potencias Fraccionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2. Un Problema con Condiciones no Locales 192.1. Solucion clasica, debil y fuerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2. Resultados principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

v

Introduccion

En este trabajo de tesis se investigara la existencia de soluciones fuertes para unaclase de ecuaciones de evolucion semi lineales con condiciones iniciales no locales enun espacio de Hilbert H

u′(t) + Au(t) = f(t, u(t)) , t ∈ J (1)

u(0) =m∑i=1

γiu(ti), (2)

donde A : D(A) ⊂ H −→ H es un operador autoadjunto, definido positivo, f :J × H −→ H es una funcion que cumple algunas condiciones de regularidad, J =[0, a], a > 0, 0 < t1 < t2 < . . . < tm ≤ a, m ∈ N, γi ∈ R \ 0, i = 1, 2, . . . ,m.En el ano 1990, Byszewski y Laksmikantham [7] investigaron condiciones iniciales nolocales y, a traves de su estudio, obtuvieron criterios para la existencia y unicidad desoluciones debiles para ecuaciones diferenciales con condicion inicial no local. Estetipo de ecuaciones, en comparacion con las condiciones iniciales usuales, tiene mejoresefectos en cuanto a aplicaciones se refiere. Es por esto ultimo que, a lo largo de estetiempo, varios autores se han dedicado a estudiar este tipo de condiciones y se hanobtenido resultados en diversos problemas.

En cuanto a las aplicaciones, Deng [11] uso la condicion no local 2 para describir elfenomeno de difusion de una pequena cantidad de gas en un tubo transparente. En talcaso, esta condicion permite mediciones adicionales en tiempos ti, i = 1, 2, · · · ,m lacual es mas precisa que la medicion en el instante t = 0. En [5] Byszewski senalo quesi γi 6= 0 , i = 1, 2, . . . ,m, entonces los resultados se pueden aplicar en cinematicapara determinar la ubicacion u(t) de un objeto para cada instante de tiempo t delcual no sabemos las posiciones u(0), u(t1), . . . , u(tm), pero se tiene la condicion (2).En resumen, para describir fenomenos fısicos, la condicion no local puede ser masutil que la condicion inicial en el instante t = 0.

1

En [5] [6], Byszewski discutio la existencia de soluciones clasicas y fuertes parala ecuacion de evolucion

d

dtu(t) + Au(t) =f(t, u(t)) , t ∈ (t0, t0 + a] (3)

con, ya sea, la condicion no local

u(t0) + g(t1, t2, . . . , tm, u(·)) =u0 (4)

o bien

u(t0) +m∑i=1

γiu(ti) =u0 (5)

en un espacio de Banach reflexivo X, las condiciones impuestas en [5] [6] son muyfuertes y algunas de ellas pueden no satisfacerse en algunas aplicaciones. En el artıcu-lo [8], se obtuvo la existencia de soluciones fuertes para el problema no local (1)-(2),en el contexto de un espacio de Hilbert.

En este trabajo revisamos los resultados de [8] para ver que si imponemos unacondicion optima (ver condicion (H1)) sobre los coeficientes γi , i = 1, 2, . . . ,m nosgarantiza que el problema (1)-(2) tiene soluciones en un espacio de Hilbert. Ademasen [8], se concluye que los resultados obtenidos son aplicados en ecuaciones paraboli-cas con condiciones iniciales no locales. Nuestra discusion se basara, basicamente, enla teorıa de semigrupos analıticos y el teorema de punto fijo de Schauder.

2

Capıtulo 1

Preliminares

En este capıtulo se revisaran algunos conceptos y resultados necesarios para eldesarrollo de este trabajo. Consideraremos un espacio de Hilbert H con una normainducida por el producto interno (·, ·). Denotamos por J , al intervalo [0, a], a > 0,y C(J,H) al espacio de Banach de todas las funciones continuas de J a H, dotadocon la norma del maximo ||u||C = max

t∈J||u(t)|| y por L(H) al espacio de Banach de

todos los operadores lineales y acotados sobre H.

1.1. Operadores Autoadjuntos con Resolvente Com-

pacto

A continuacion daremos algunas nociones fundamentales sobre teorıa espectral,asumiendo que A es un operador lineal autoadjunto, definido positivo y no necesa-riamente acotado.

Definicion 1.1.1. Sea A : D(A) ⊂ H −→ H un operador sobre H. Se define elconjunto resolvente de A como ρ(A) := λ ∈ C : (λI−A) es invertible y (λI−A)−1 ∈L(H), y al espectro de A como σ(A) := C \ ρ(A). Para λ ∈ ρ(A), llamaremos aR(λ,A) := (λI − A)−1 el resolvente u operador resolvente de A en λ.

El espectro de A es un concepto familiar en la teorıa de Algebra Lineal en espaciosde dimension finita, pues en tal caso, este consiste en el conjunto de los valores propiosdel operador A.

Definicion 1.1.2. Diremos que un operador A definido en un espacio de Hilbert Htiene resolvente compacto si ρ(A) 6= ∅ y R(λ,A) es un operador compacto, para cadaλ ∈ ρ(A).

Si dim H =∞ entonces los operadores con resolvente compacto son no acotados,pues de lo contrario para λ ∈ ρ(A) entonces el operador (λI − A) es acotado y,al ser R(λ,A) un operador compacto, obtenemos que el operador identidad I =(λ − A)R(λ,A) es compacto lo cual contradice el hecho que dim H = ∞. Paraciertos operadores, tenemos la siguiente caracterizacion.

3

Teorema 1.1.3. [12] Sea A : D(A) ⊆ H −→ H un operador con ρ(A) 6= ∅ y seaXA = D(A), con la norma del grafico, esto es: ||x||A = ||x|| + ||Ax||. Entonces lassiguientes afirmaciones son equivalentes.

i) A tiene resolvente compacto.

ii) i : XA → H es compacta.

Antes de probar el teorema, daremos algunos resultados necesarios para su de-mostracion.

Lema 1.1.4. Para λ ∈ ρ(A) fijo, la norma ||x||λ = ||(λI − A)x|| es equivalente conla norma del grafico en D(A).

Demostracion. Sea λ ∈ ρ(A) fijo y x ∈ D(A) arbitrario. Entonces

||x||λ ≤ ||λx||+ ||Ax||= |λ| ||x||+ ||Ax||≤ |λ| ||R(λ,A)|| ||x||λ + ||Ax||≤Mλ|λ| ||x||λ + ||Ax||,

donde Mλ := ||R(λ,A)||. Ası

Cλ||x||λ ≤ ||Ax|| ≤ ||x||A,

donde Cλ = (1−Mλ|λ|). Analogamente,

||x||A = ||(λI − A)R(λ,A)x||+ ||Ax||≤ ||R(λ,A)|| ||x||λ + ||Ax||≤Mλ||x||λ + ||Ax||= Mλ||x||λ + ||(λI − (λI − A))x||≤Mλ||x||λ + |λ| ||x||+ ||x||λ≤ (Mλ + 1)||x||λ + |λ|||x||A.

Ası, si |λ| 6= 1, tenemos||x||A ≤ Kλ||x||λ,

donde Kλ = Mλ+11−|λ| . Ahora si |λ| = 1, tenemos

||x||A ≤ Kλ||x||λ,

donde Kλ = 2Mλ + 1.

4

Teorema 1.1.5. [10][Teorema de la Aplicacion Inversa] Sean X1 y X2 dos espaciosde Banach y A ∈ L(X1, X2), biyectivo, entonces A−1 es acotado.

Demostracion. (Teorema 1.1.3)

i)⇒ ii)

Sea λ ∈ ρ(A) fijo. Luego, por Lema 1.1.4 y Teorema 1.1.5, el operador R(λ,A) :H −→ D(A) es biyectivo y con inversa continua (λI − A). Por lo tanto el operadorλI −A es acotado y en consecuencia D(A) = H. Luego como R(λ,A) : H −→ H esun operador compacto, se tiene que i = R(λ,A)(λ− A) es compacto.

ii) ⇒ i)

Supongamos que i : XA −→ H es compacta. Como (λI−A)−1 es un operador acotadopara λ ∈ ρ(A), tenemos que el operador i (λI − A)−1 = (λI − A)−1 = R(λ,A) escompacto.

Para operadores no acotados en H un resultado fundamental es el teorema es-pectral, el cual muestra que todo operador autoadjunto con resolvente compacto sepuede representar por un operador diagonal. A continuacion, daremos algunas defi-niciones usuales de la teorıa de operadores con el objetivo de demostrar el teoremaespectral.

Definicion 1.1.6. Un operador A : D(A) −→ H con dominio D(A) denso en H sedice:

i) Autoadjunto si A = A∗, donde D(A∗) := x′ ∈ H : ∃ y′ ∈ H, (Ax, x′) =(x, y′), ∀x ∈ D(A);

ii) Simetrico si (Ax, y) = (x,Ay) para todo x, y ∈ D(A);

iii) Definido positivo si <(Ax, x) > 0 para todo x ∈ D(A);

Notar que todo operador autoadjunto A es simetrico. Ahora, si D(A) = H en-tonces el recıproco es cierto.

Proposicion 1.1.7. [2][Propiedades espectrales de operadores con resolvente com-pacto] Sea A un operador con resolvente compacto. Entonces

1. σ(A) = σp(A);

2. σ(A) es finito, o bien existe una sucesion (λn)n∈N ⊂ C tal que lımn→∞

|λn| =∞ y

σ(A) = λn : n ∈ N;

3. dim ker(λI − A) < ∞ para cada λ ∈ C, donde ker(λI − A) = x ∈ D(A) :Ax = λx.

5

Proposicion 1.1.8. Si A : D(A) ⊂ H −→ H un operador autoadjunto y definidopositivo en H con dominio denso, entonces

i) (Ax, x) ∈ R, para cada x ∈ H,

ii) σ(A) ⊂]0,+∞[.

Demostracion. Claramente se tiene i) debido a que (Ax, x) = (x,Ax) = (Ax, x),para cada x ∈ H. Por otra parte, si λ ∈ σ(A), entonces Ax = λx, para algunx ∈ D(A), x 6= 0 y ası λ||x||2 = (λx, x) = (Ax, x) = (x,Ax) = (x, λx) = λ||x||2, de locual se tiene (λ− λ)||x||2 = 0 y ası λ = λ. Luego λ ∈ R y por ser A definido positivo,se tiene que λ ∈ R+.

Para demostrar el teorema espectral requerimos del siguiente resultado.

Teorema 1.1.9 (Teorema de Hilbert-Schmidt). Sea B un operador compacto ysimetrico en un espacio de Hilbert H sobre K = R o C. Entonces H tiene unabase ortonormal cuyos elementos son vectores propios de B

Demostracion. La demostracion se puede hallar en [18](p. 203).

Teorema 1.1.10 (Teorema Espectral). Sea A un operador autoadjunto con resol-vente compacto en un espacio de Hilbert H de dimension infinita sobre K = R o C.Entonces existe una base ortonormal en : n ∈ N de H, λn ∈ R tal que en ∈ D(A),Aen = λnen y lımn→∞ |λn| =∞. Mas aun, el operador A tiene como dominio

D(A) = x ∈ H : λn(x, en)n∈N ∈ l2(N),

y es definido por

Ax =∞∑n=1

λn(x, en)en.

Demostracion. Como A tiene resolvente compacto, por Proposicion 1.1.7 existe µ ∈(0,∞) ∩ ρ(A). Luego R(µ,A) es compacto y simetrico. Por Teorema 1.1.9 existeuna base ortonormal en : n ∈ N de H y αn ∈ R tal que R(µ,A)en = αnen.Como R(µ,A) es inyectivo se tiene que αn 6= 0, n ∈ N. Por lo tanto en ∈ D(A) yen = αn(µI − A)en. De esto se sigue que Aen = λnen donde λn = µ − 1

αn. Como

lımn→∞

|αn| = 0, se tiene que lımn→∞

|λn| = ∞. Sea x ∈ D(A), entonces (λn(x, en))n∈N =

((x,Aen))n∈N ∈ l2 y Ax =∞∑n=1

(Ax, en)en =∞∑n=1

λn(x, en)en. Ahora supongamos que

x ∈ H tal que (λn(x, en))n∈N. Sean xm =m∑n=1

(x, en)en, ym =m∑n=1

λn(x, en)en. Entonces

lımm→∞

xm = x e ym converge cuando m → ∞. Notar que xm ∈ D(A) y Axm = ym.

Como A es cerrado, se tiene que x ∈ D(A).

6

Como consecuencia del teorema anterior, obtenemos el siguiente corolario.

Corolario 1.1.11. Sea A un operador autoadjunto, definido positivo con resolven-te compacto en un espacio de Hilbert H de dimension infinita sobre K = R o C.Entonces existe una base ortonormal en : n ∈ N de H, λn ∈ R , λn ≥ 0 tal queen ∈ D(A), Aen = λnen y lımn→∞ λn = ∞. Mas aun, el operador A tiene comodominio

D(A) = x ∈ H : λn(x, en)n∈N ∈ l2(N),

y es definido por

Ax =∞∑n=1

λn(x, en)en.

Note que como A es definido positivo el primer valor propio λ1, es positivo, y porlo tanto tendremos una sucesion de valores propios reales positivos λn.

1.2. Semigrupos

Sea X un espacio de Banach. Definiremos ahora el concepto de semigrupo, gene-rador infinitesimal, y despues algunos tipos de semigrupos.

Definicion 1.2.1. Una familia (T (t))t≥0 ⊆ L(X) se llama semigrupo fuertementecontinuo (o C0-semigrupo) si cumple las siguientes condiciones:

i) T (0) = I

ii) T (t+ s) = T (t)T (s) para todo s, t ≥ 0.

iii) La aplicacion t 7→ T (t)x es continua de R+ en X para cada x ∈ X.En lo que sigue, simplemente llamaremos a (T (t))t≥0 semigrupo, y lo entenderemos

como un semigrupo fuertemente continuo. Veremos que la aplicacion definida enel inciso iii) produce soluciones a ecuaciones diferenciales definidas en espacios deBanach. El concepto apropiado para ver este hecho es la siguiente definicion.

Definicion 1.2.2. Sea (T (t))t≥0 un semigrupo sobre un espacio de Banach X y seaD(A) el subespacio de X definido por

D(A) := x ∈ X : lımh→0+

T (h)x− xh

existe.

y para cada x ∈ D(A), definimos

Ax := lımh→0+

T (h)x− xh

.

El operador A : D(A) ⊂ X −→ X se llama el generador del semigrupo (T (t))t≥0.

7

Lema 1.2.3. Si A es el generador de un semigrupo (T (t))t≥0 en un espacio deBanach X, entonces se verifica:

i) Para x ∈ X,

lımh→0

1

h

∫ t+h

t

T (s)xds = T (t)x.

ii) Si x ∈ D(A), entonces T (t)x ∈ D(A) yd

dtT (t)x = T (t)Ax = AT (t)x para todo

t ≥ 0.

iii) Para cada t ≥ 0 y x ∈ X, se tiene

∫ t

0

T (s)xds ∈ D(A) y se verifican las

siguientes identidades

T (t)x− x = A

∫ t

0

T (s)xds, x ∈ X,

y

T (t)x− x =

∫ t

0

T (s)Axds, x ∈ D(A).

iv) El operador A : D(A) ⊂ X −→ X es un operador cerrado y densamentedefinido en X.

v) Existen constantes w ∈ R y M ≥ 1 tal que ||T (t)|| ≤Mewt, para todo t ≥ 0.

Demostracion. i) Se sigue de la continuidad de t 7→ T (t)x. SeaG(t) :=

∫ t

0

T (s)xds,

luego

T (t)x = G′(t)x = lımh→0+

G(t+ h)x−G(t)x

h

= lımh→0

1

h

∫ t+h

t

T (s)xds

ii) Sea x ∈ D(A), entonces se tiene que 1h(T (t + h) − T (t)) converge a T (t)Ax

cuando h→ 0. Luego

lımh→0

1

h(T (h)T (t)x− T (t)x)

existe, de donde T (t)x ∈ D(A) por la definicion de D(A), con AT (t)x =T (t)Ax.

8

iii) Para x ∈ X y t ≥ 0, tenemos

1

h

(T (h)

∫ t

0

T (s)xds−∫ t

0

T (s)xds

)=

1

h

∫ t

0

T (s+ h)xds− 1

h

∫ t

0

T (s)xds

=1

h

∫ t+h

h

T (s)xds− 1

h

∫ t

0

T (s)xds

=1

h

∫ t+h

t

T (s)xds−∫ h

0

T (s)xds,

la cual converge a T (t)x− x cuando h → 0. Si x ∈ D(A), entonces la funcion

s 7→ T (s)T (h)x−xh

convergen uniformemente en [0, t] a la funcion s 7→ T (s)Axcuando h→ 0. Luego,

lımh→0

1

h(T (h)− I)

∫ t

0

T (s)xds = lımh→0

∫ t

0

T (s)1

h(T (h)− I)xds

=

∫ t

0

T (s)Axds.

iv) Para cada x ∈ X sea xh = 1/h∫ h

0T (s)xds. Por iii), xh ∈ D(A) para t > 0 y

por i) xh → x cuando h→ 0. Luego D(A) = X. Para probar que A es cerrado,sea xn ∈ D(A) tal que xn → x y Axn = y cuando n→∞. De iii) tenemos

T (t)xn − xn =

∫ t

0

T (s)Axnds. (1.1)

El integrando al lado derecho de (1.1) converges a T (s)y uniformemente enintervalos acotados. Por lo tanto, haciendo n→∞ en (1.1) tenemos

T (t)x− x =

∫ t

0

T (s)yds. (1.2)

Dividiendo (1.2) por t > 0 y haciendo t → 0, por ii), vemos que x ∈ D(A) yAx = y.

v) Escojamos m ≥ 1 tal que ||T (s)|| ≤M para todo 0 ≤ s ≤ 1 y escribamos t ≥ 0como t = s+ n para n ∈ N y 0 ≤ s < 1. Entonces

||T (t)|| ≤ ||T (s)|| · ||T (1)||n ≤Mn+1 = Men logM ≤Meωt

donde ω := logM , para cada t ≥ 0.

9

Ejemplos:

1. Sea X un espacio de Banach y A ∈ L(X). Se define

T (t) := etA :=∞∑n=0

(tA)n

n!, t ≥ 0.

Entonces (T (t))t≥0 es un C0-semigrupo con generador A.

2. Sea Ω un espacio metrico localmente compacto, q : Ω→ C una funcion continuacon parte real acotada inferiormente, esto es, supω∈Ω<q(ω) < ∞. Sobre elespacio de Banach X := C0(Ω) de funciones continuas que se anulan en elinfinito, se define el operador de multiplicacion.

T (t)f := etq · f, f ∈ X, t ≥ 0.

Entonces (T (t))t≥0 es un C0-semigrupo en X, llamado semigrupo de multipli-cacion, y su generador es dado por el operador de multiplicacion

Af = q · f,

con dominio D(A) = f ∈ X : qf ∈ X. Un resultado analogo se tiene paralos espacios Lp(Ω, µ), 1 < p < ∞, donde (Ω, µ) es un espacio de medida σ-finito, con q : Ω→ C una funcion medible con parte real esencialmente acotadainferiormente.

3. Sea X uno de los siguientes espacio de Banach:

i) C0(R) de todas las funciones continuas en R que se anulan en infinito conla norma del supremo || · ||∞.

ii) Lp(R), 1 ≤ p < ∞, de todas las funciones p-integrables en R con lap-norma || · ||p.

iii) Cub(R) de todas las funciones acotadas y uniformemente continuas en Rcon la norma del supremo || · ||∞.

Para f ∈ X y t ≥ 0, llamamos a

(Tl(t)f)(s) := f(s+ t), s ∈ R,

la traslacion a la izquierda (de f por t), mientras que

(Tr(t)f)(s) := f(s− t), s ∈ R,

la traslacion a la derecha (de f por t).

10

Las familias (Tr(t))t≥0 y (Tl(t))t≥0 son C0-semigrupos en X con generadores

Alf = f ′

Arf = f ′,

respectivamente, y sus dominios son

D(Al) = D(Ar) = f ∈ X : f es diferenciable y f ′ ∈ X,

si X = Cub(R) o C0(R), y

D(Al) = D(Ar) = W 1,p(R),

si X = Lp(R).

4. Sea A : D(A) ⊆ H −→ H un operador autoadjunto y definido positivo, definidoen un espacio de Hilbert H. El operador −A definido en el Teorema 1.1.10 esgenerador del C0-semigrupo

T (t)x =∞∑n=1

e−λnt(x, en)en, x ∈ H. (1.3)

1.2.1. Semigrupos Analıticos.

Hasta ahora hemos considerado, semigrupos cuyo dominio es el eje real no ne-gativo. Consideraremos ahora semigrupos cuyo dominio es algun sector del planocomplejo. En lo que sigue X es un espacio de Banach.

Definicion 1.2.4. Diremos que un operador A sobre un espacio de Banach X essectorial si es un operador cerrado, con dominio denso en X y existen φ ∈ (0, π/2),M ≥ 1 y a ∈ R, tal que el sector

Sa,φ = λ ∈ C : φ ≤ |arg(λ− a)| ≤ π, λ 6= a ⊆ ρ(A)

y se verifica

||(λI − A)−1|| ≤ M

|λ− a|,

para todo λ ∈ Sa,φ

11

Ejemplos:

1. Si A es un operador lineal acotado en un espacio de Banach X, entonces A essectorial.

2. Si A es un operador auto-adjunto, densamente definido en un espacio de BanachX y si A es acotado inferiormente, entonces A es sectorial.

3. Si Au(x) = −∆u(x), x ∈ Ω, cuando u ∈ C20(Ω) (Ω ⊂ Rn), y A es la clausura

en Lp(Ω) de −∆|C20 (Ω) (1 < p < ∞) entonces A es sectorial si el conjunto

resolvente de A se encuentra en el semiplano z ∈ C : <z < 0.

4. Sea A es un operador sectorial en X y ||A(λI − A)−1|| ≤ C para |argλ| ≥ φ0,|λ| ≥ R0 para algunas constantes positivas R0, C, y φ0 < π/2. Suponga ademasque B es un operador lineal con D(A) ⊂ D(B), y verifica para todo x ∈ D(A),||Bx|| ≤ ε||Ax|| + K(ε)||x||, ε, K constantes positivas con εC < 1, entoncesA + B es un operador sectorial. En efecto, supongamos que a = 0, luego parax ∈ D(A), |argλ| ≥ φ0, |λ| ≥ R0 tenemos

||B(λI − A)−1|| ≤ ε||A(λI − A)−1||+K(ε)||(λI − A)−1||≤ εC +K(ε)(1 + C)/|λ|,

Luego

||(λI − (A+B))−1|| ≤ ||(λI − A)−1(I −B(λI − A)−1)−1||

≤ 1 + C

|λ|

(εC +

K(ε)(1 + C)

|λ|

)−1

≤ M

|λ|,

para |argλ| ≥ φ0 y |λ| suficientemente grande. Por lo tanto A+B es sectorial.

Definicion 1.2.5. Sea (T (t))t≥0 un C0-semigrupo en X. (T (t))t≥0 se dice analıtico,si existe un sector del plano complejo S = z ∈ C : φ1 < argz < φ2 con φ1 < 0 < φ2

y una familia de operadores lineales continuos T (z) : X → X, z ∈ S, que coincidencon T (t) para t ≥ 0 y tal que

1. z 7→ T (z)x es analıtica en S, para cada x ∈ X.

2. lımz→0,z∈S

T (z)x = x, para todo x ∈ H.

3. T (z + w) = T (z)T (w), para todo z, w ∈ S.

12

El siguiente teorema caracteriza a los semigrupos analıticos, la demostracion sepuede hallar en [14].

Teorema 1.2.6. Sea A un operador lineal densamente definido. Entonces −A generaun semigrupo analıtico, (T (t))t≥0 de operadores lineales acotados T (t) : X → X,t ≥ 0, si y solo si, A es un operador sectorial en X.

Ejemplos:

1. Sea z ∈ C y A ∈ L(X) definido por

T (z) := ezA :=∞∑n=0

(zA)n

n!.

Entonces, T (z) es un semigrupo analıtico.

2. Consideremos el nucleo del calor

K(x, t) =1

(4πt)n/2e−|x|2

4t , x ∈ Rn, t > 0,

y definamos Kt(x) = K(x, t). Dada f ∈ Lp(Rn), se define

Ttf(x) =1

(4πt)n/2

∫Rne−|x−y|2

4t f(y)dy = (Kt ∗ f)(x), T0f(x) = f(x).

La familia Tt define un semigrupo cuyo generador infinitesimal es el operadorLaplaciano ∆. A este semigrupo se le conoce como semigrupo del calor deDirichlet en Lp(Rn), 1 ≤ p < +∞.

3. Sea A un operador autoadjunto y definido positivo. Definimos,

T (t)x =∞∑n=1

e−λnt(x, en)en, x ∈ X,

donde λn son los valores propios del operador A. Entonces T (t) es un semigrupoanalıtico con generador −A que ademas satisface:

||T (t)|| ≤ e−λ1t , para todot ≥ 0 (1.4)

||AT (t)|| ≤ C

t, para todot > 0, (1.5)

donde λ1 es el primer valor propio de A (ver Teorema 1.1.10).

13

1.2.2. Semigrupos Compactos.

Definicion 1.2.7. Sea (A,D(A)) el generador de un C0-semigrupo (T (t))t≥0 en unespacio de Banach X. Diremos que (T (t))t≥0 es compacto para t > t0, si para cadat > t0, el operador T (t) es compacto. El semigrupo T (t) se dice compacto si escompacto para cada t > 0.

Notamos que si T (t) es compacto para t ≥ 0, entonces en particular la identidades compacta y X es necesariamente de dimension finita. Observar ademas que si paraalgun t0 > 0, T (t) es compacto, entonces tambien lo es T (t) para cada t ≥ t0 puesT (t) = T (t− t0)T (t0) y T (t0) es compacto.

Definicion 1.2.8. Sea (T (t))t≥0 un semigrupo. Diremos que T es inmediatamentecontinuo en norma si T : (0,∞)→ L(X) es continua.

Teorema 1.2.9. Sea (T (t))t≥0 un semigrupo. Si T es inmediatamente continuo ennorma y su generador tiene resolvente compacto, entonces T (t) es compacto paracada t > 0.

Demostracion. Sea λ ∈ ρ(A). Reemplazando A por A − λ, podemos asumir que A

es invertible. Sea S(t) :=

∫ t

0

T (s)ds, entonces por Lema 1.2.3 se tiene la identidad:

S(t) = T (t)A−1 − A−1. (1.6)

Ahora supongamos que A−1 es compacto. Entonces S(t) es compacto por (1.6). ComoT es inmediatamente continua en norma, deducimos que T (t) = lımh→0+

1h(S(t+h)−

S(t)) es compacto para todo t ≥ 0.

Teorema 1.2.10. [3][Voigt] Sean X e Y dos espacios de Banach, J ⊂ R. Se defineS : J −→ L(X, Y ) que verifica:

i) S(·)f ∈ L1(J, Y ), para cada f ∈ X,

ii) S(t) es compacto para cada t ∈ J ,

iii) ||S(t)|| ≤ κ(t), t ∈ J , y para algun k ∈ L1(J,R).

Entonces R : X → Y definida por Rf :=∫JS(t)fdt, f ∈ X es un operador compacto

.

14

Ejemplo:

1. Sea X un espacio de Banach y 1 ≤ p < ∞. Sobre el espacio Lp([−1, 0], X)de todas las funciones Bochner p-integrables consideraremos el semigrupo detraslacion a la izquierda (T0(t))t≥0 definido por

(T0(t)f)(σ) =

f(σ + t) si σ + t ≤ 0,

0 si σ + t > 0.(1.7)

Entonces (T0(t))t≥0 es un C0-semigrupo en Lp([−1, 0], X) con generador

A0f =d

dσf,

y dominioD(A0) = f ∈ W 1,p([−1, 0]; , X) : f(0) = 0,

donde ddσ

denota la derivada debil en Lp([−1, 0], X). Mas aun, este semigrupoes nilpotente, i.e., T0(t) = 0 para t ≥ 1. En particular, es continuo en nor-ma y compacto para t ≥ 1, pero su resolvente es compacto sı y solo sı Xes finito-dimensional. Esto es debido a que la inclusion W 1,p([−1, 0], X) →Lp([−1, 0], X) es compacta si y solo si X es finito-dimensional.

1.3. Potencias Fraccionarias

En esta seccion, daremos algunas nociones sobre potencias fraccionarias de unoperador A definido sobre un espacio de Hilbert H con norma definida medianteel producto interno. Nos concentraremos en las potencias fraccionarias de A donde−A es el generador infinitesimal de un semigrupo analıtico. Los resultados de estaseccion seran usados en el estudio de soluciones del problema de Cauchy (1)-(2).

Definicion 1.3.1. Sea A un operador sectorial en H con <σ(A) > 0 (i.e. <λ > 0,para todo λ ∈ σ(A)). Dado α > 0, se define el operador A−α como

A−α :=1

Γ(α)

∫ ∞0

sα−1T (s)ds,

cuyo dominio es

D(A−α) := x ∈ H :

∫ ∞0

tα−1T (t)xdt existe,

donde Γ(·) es la funcion gamma de Euler.

Observacion 1.3.2. 1. Notamos que esta integral existe pues −A genera un semi-grupo exponencialmente estable (ver [13]).

15

2. Si A es un escalar positivo (H = R), entonces A−α es la −α potencia de A.

3. A−α tambien se puede escribir como

A−α =1

2πi

∫Γ

λ−αR(λ,A)dλ, (1.8)

donde el camino Γ actua en el conjunto resolvente de A de ∞e−iθ a ∞eiθ,φ < θ < π, 0 < φ < pi/2 evitando el eje real negativo y el origen y λ−α estomado positivo para valores positivos de λ.

4. Cuando 0 < α < 1 se puede deformar el camino de integracion Γ en loslados superior e inferior del eje real negativo y se obtiene la representacion deBalakrishnan:

A−α =sin πα

π

∫ ∞0

λ−α(λI + A)−1dλ, (1.9)

5. Note ademas que cuando α = 1, entonces A−1 es la inversa de A.

Con respecto a la Observacion 1,3,2 parte (3), se tiene que la integral (1.8) con-verge en la norma de operadores para cada α > 0 y por lo tanto define un operadoracotado A−α. Si α = n el integrando es analıtico en Sa,φ y se verifica que el caminode integracion Γ puede ser transformado a un pequeno cırculo alrededor del origen.Entonces usando el teorema del residuo se sigue que la integral es igual a A−α y porlo tanto para valores enteros positivos de α la Definicion (1.8) coincide con la clasicadefinicion de (A−1)n

Proposicion 1.3.3. Sean A un operador sectorial sobre un espacio de Banach X,con <σ(A) > 0 y α, β > 0, entonces se tienen las siguientes propiedades

i) A−α ∈ L(X);

ii) A−(α+β) = A−αA−β;

iii) A−α es inyectivo.

Demostracion. i) Claramente A−α es lineal. Veamos que A−α es acotada. Seax ∈ X. Dado que el semigrupo es exponencialmente estable, tenemos:

||A−αx|| ≤ 1

Γ(α)

∫ ∞0

sα−1||T (s)x||ds

≤ 1

Γ(α)

∫ ∞0

sα−1Me−ωs||x||ds

≤ Mω−α

Γ(α)

∫ ∞0

uα−1e−u||x||du

≤Mω−α||x||.

Por lo tanto A−α es acotado.

16

ii) Dado x ∈ X, tenemos

A−αA−βx =1

Γ(α)Γ(β)

∫ ∞0

∫ ∞0

tα−1sβ−1T (s)T (t)xdsdt

=1

Γ(α)Γ(β)

∫ ∞0

tα−1

(∫ ∞t

(u− t)β−1T (u)xdu

)dt

=1

Γ(α)Γ(β)

∫ ∞0

(∫ u

0

tα−1(u− t)β−1dt

)T (u)xdu

=1

Γ(α)Γ(β)

∫ 1

0

vα−1(1− v)β−1dv

∫ ∞0

uα+β−1T (u)xdudt

=1

Γ(α)Γ(β)

Γ(α)Γ(β)

Γ(α + β)

∫ ∞0

uα+β−1T (u)xdu

=1

Γ(α + β)

∫ ∞0

uα+β−1T (u)xdu

= A−(α+β)x.

iii) Dado x ∈ X, si A−αx = 0 para algun α > 0, entonces para todo enteron > α ,A−nx = A−(n−α)A−αx = 0. Pero A−1 es inyectiva ası que A−n = (A−1)n

es inyectiva. Luego x = 0.

Proposicion 1.3.4. Sea A un operador sectorial sobre un espacio de Banach X, con<σ(A) > 0 y α > 0, entonces son equivalentes

i) El C0-semigrupo T (t) = e−tA es compacto para todo t > 0.

ii) A−α es compacto para todo α > 0.

iii) A−1 es compacto.

Demostracion. i)⇒ ii)]Supongamos que T (t) = e−tA es compacto para todo t > 0, luego por Teorema

1.2.10 se tiene que A−α es un operador compacto.

ii)⇒ iii)]

Como A−α es compacto para todo α > 0, en particular para α = 1 se tiene lo pedido.

iii)⇒ i)]

Supongamos que A−1 es compacto. Sea S(t) = T (t)A−1 − A−1. Claramente S(t) escompacto por (1.6), luego T (t) = lımh→0+

1h(S(t+ h)− S(t)) es compacto para todo

t ≥ 0.

17

Definicion 1.3.5. Sean A un operador sobre X. Para α ≥ 0, se define Aα comoAα = (A−α)−1, con dominio D(Aα) = R(A−α).

Note que al espacio D(Aα), lo podemos dotar de un producto interno (·, ·)α =(Aα·, Aα·). Ademas, las siguientes propiedades son validas.

Teorema 1.3.6. Sean A un operador sectorial sobre un espacio de Hilbert H conresolvente compacto y α > 0, entonces se cumple que:

i) Si 0 ≤ α ≤ β entonces D(Aβ) ⊂ D(Aα).

ii) Aα es lineal.

iii) Aα es cerrado.

iv) Hα := (D(Aα), (·, ·)α) es un espacio de Hilbert.

v) Si 0 ≤ α < β, entonces Hβ es densa en Hα y la inclusion Hβ → Hα escompacta.

vi) Si A es un operador autoadjunto y definido positivo, entonces Aα tambien loes.

Demostracion. Ver [14], [15].

Proposicion 1.3.7. Sea A un operador sectorial en H con <σ(A) > a > 0 y(T (t))t≥0 el semigrupo generado por −A. Para α ≥ 0, t ≥ 0, tenemos que AαT (t) ∈L(H),

||AαT (t)|| ≤ Cαtαe−at , t > 0

y

AαT (t) = T (t)Aα enHα , t ≥ 0

Demostracion. Ver [14, 17].

18

Capıtulo 2

Un Problema con Condiciones noLocales

En este capıtulo se estudiaran condiciones para obtener la existencia de solucionestanto fuertes como debiles para el problema de valores iniciales

u′(t) + Au(t) = f(t, u(t)) , t ∈ J = [0, a]

u(0) =m∑i=1

γiu(ti),(2.1)

donde A : D(A) ⊂ H −→ H es un operador autoadjunto, definido positivo, f :J × H −→ H es una funcion que cumple algunas condiciones de regularidad, J =[0, a], a > 0, 0 < t1 < t2 < . . . < tm ≤ a, m ∈ N, γi ∈ R \ 0, i = 1, 2, . . . ,m. Estecapıtulo esta basado en la referencia [8].

2.1. Solucion clasica, debil y fuerte

Comenzaremos dando algunas nociones basicas acerca de las soluciones debiles,clasicas y fuertes del problema

u′(t) + Au(t) = h(t), t ∈ Ju(0) = u0 ∈ H.

(2.2)

con h : J → H, J = [0, a], a > 0.

Definicion 2.1.1. Una funcion u : J −→ H es una solucion clasica de (2.2) en J siu ∈ C1(J,H) ∩ C(J,D(A)), y se satisface (2.2).

Observe que si A genera un C0-semigrupo, entonces la solucion de (2.2) verifica

u(t) = T (t)u(0) +

∫ t

0

T (t− s)h(s)ds, t ∈ J (2.3)

19

Definicion 2.1.2. Sean u0 ∈ H y h ∈ L1(J,H). La funcion u ∈ C(J,H) dada por(2.3) es llamada una solucion debil de (2.2) en J .

Esta definicion de solucion debil del problema con valores iniciales (2.2) coincide,cuando h = 0, con la definicion de que T (t)u0 sea solucion de la ecuacion homogeneacorrespondiente. Es evidente que no toda solucion debil de (2.2) es una solucionclasica, inclusive en el caso h = 0. Sin embargo para h ∈ L1(J,H) el problema(2.2), posee una unica solucion debil. Nos concentraremos en imponer condicionesadicionales a h de manera que para u0 ∈ D(A), la solucion debil se convierte ensolucion clasica y ası probar, bajo tales condiciones, la existencia de soluciones de(2.2) para u0 ∈ D(A). Se observa que la continuidad de h no es suficiente paraasegurar la existencia de soluciones clasicas para (2.2) para x ∈ D(A).

Ejemplo: Sea A el generador infinitesimal de un C0-semigrupo T (t) y sea x ∈ Xtal que T (t)x /∈ D(A) para cada t ≥ 0. Sea h(s) = T (s)x. Entonces h(s) es continuapara s ≥ 0. Consideremos el problema de valores iniciales

u′(t) = Au(t) + T (t)x

u(0) = 0(2.4)

Afirmamos que (2.4) no tiene solucion clasica, a menos que 0 ∈ D(A). En efecto, lasolucion debil de (2.4) es

u(t) =

∫ t

0

T (t− s)T (s)xds = tT (t)x,

pero tT (t)x no es diferenciable para t > 0 y por lo tanto no puede ser solucion clasicade (2.4). Por ello requeriremos de otras condiciones en h, mas que la continuidad deh, de manera que existan soluciones clasicas para el problema en cuestion.

Definicion 2.1.3. Si la solucion debil u de (2.2) pertenece aW 1,1(J,H)∩L1(J,D(A))y satisface la ecuacion (2.2) para casi todo t ∈ J , se le llama solucion fuerte de (2.2),donde W 1,1(J,H) := u ∈ L1(J,H) : u′ ∈ L1(J,H).

20

2.2. Resultados principales

En esta seccion, consideraremos el problema de evolucion con condiciones nolocales.

u′(t) + Au(t) = h(t) , t ∈ J (2.5)

u(0) =m∑i=1

γiu(ti). (2.6)

donde A : D(A) ⊂ H −→ H es un operador autoadjunto, definido positivo, J =[0, a], a > 0, 0 < t1 < t2 < . . . < tm ≤ a, m ∈ N, γi ∈ R \ 0, i = 1, 2, . . . ,m. Deahora en adelante para el problema (2.5)-(2.6) vamos a suponer que h ∈ C(J,H) yademas se verifican las siguientes hipotesis:

(H0) A es autoadjunto, definido positivo y −A genera un C0-semigrupo analıtico.

(H1)m∑i=1

|γi| < eλ1t1 , donde λ1 es el primer valor propio de A

Por (H0), (H1) y (1.4), tenemos que∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣m∑i=1

γiT (ti)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ≤

m∑i=1

|γi|e−λ1ti ≤m∑i=1

|γi|e−λ1t1 < 1.

Luego el operador B, dado por

B :=

(I −

m∑i=1

γiT (ti)

)−1

(2.7)

existe, es acotado y se puede representar como

B =∞∑n=0

(m∑i=1

γiT (ti)

)n

. (2.8)

Ademas,

||B|| ≤∞∑n=0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(

m∑i=1

γiT (ti)

)∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣n

=1

1−

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣m∑i=1

γiT (ti)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

≤ 1

1− e−λ1t1m∑i=1

|γi|. (2.9)

21

Comenzaremos con el siguiente resultado

Lema 2.2.1. Si (H0)-(H1) se satisface, entonces el problema (2.5)-(2.6) tiene unaunica solucion debil u ∈ C(J,H) dada por

u(t) =m∑i=1

γiT (t)B∫ ti

0

T (ti − s)h(s)ds+

∫ t

0

T (t− s)h(s)ds , t ∈ J. (2.10)

Mas aun, u ∈ W 1,2(J,H) ∩ L2(J,D(A)) y es una solucion fuerte de (2.5)-(2.6).

Demostracion. Por (H0),sabemos que el problema (2.5) - (2.6) tiene una unica solu-cion debil u ∈ C(J,H) dada por

u(t) = T (t)u(0) +

∫ t

0

T (t− s)h(s)ds, t ∈ J. (2.11)

En particular tenemos que

u(ti) = T (ti)u(0) +

∫ ti

0

T (ti − s)h(s)ds , i = 1, 2, . . . ,m. (2.12)

De (2.6) y (2.11) tenemos que

u(0) =m∑i=1

γi

(T (ti)u(0) +

∫ ti

0

T (ti − s)h(s)ds

)= u(0)

m∑i=1

γiT (ti) +m∑i=1

γi

∫ ti

0

T (ti − s)h(s)ds.

Como I −m∑i=1

γiT (ti) tiene inversa B, entonces

u(0) =m∑i=1

γiB∫ ti

0

T (ti − s)h(s)ds. (2.13)

De (2.11) y (2.13), se tiene que u satisface (2.10). De manera recıproca, la funcionu ∈ C(J,H) dada por (2.10) es solucion debil de (2.5)-(2.6). En efecto

u′(t) =m∑i=1

γid

dtT (t)B

∫ ti

0

T (ti − s)h(s)ds+d

dt

∫ t

0

T (t− s)h(s)ds

= −Am∑i=1

γiB∫ ti

0

T (ti − s)h(s)ds+ T (t)h(0) +

∫ t

0

T (t− s)h′(s)ds

= −Am∑i=1

γiB∫ ti

0

T (ti − s)h(s)ds+ h(t)−∫ t

0

−AT (t− s)h(s)ds

= −Au(t) + h(t)

22

Luego, por regularidad maximal de ecuaciones de evolucion lineales con operadordefinido positivo en un espacio de Hilbert (ver [19], Capitulo II, Teorema 3.3), siu0 ∈ H1/2, entonces la solucion debil de (2.2) tiene la regularidad

u ∈ W 1,2(J,H) ∩ L2(J,H1) ∩ C(J,H1/2), (2.14)

donde H1/2 = D(A1/2). Mas aun es una solucion fuerte del problema (2.1). No-temos que la funcion u(t) definida en (2.2.1) es solucion debil de (2.1) cuando

u(0) =m∑i=1

γiB∫ ti

0

T (ti − s)h(s)ds. Sabemos que una solucion debil de (2.3) es

u(t) = T (t)u(0) + v(t) con v(t) =

∫ t

0

T (t − s)h(s)ds. Como esta ultima es solucion

debil de (2.2) con u(0) = 0, entonces v tiene la regularidad (2.14). Como (T (t))t≥0

un semigrupo analıtico, T (ti)u(0) ∈ D(A) ⊆ H1/2. Ası u(0) =m∑i=1

γiT (ti)u(0) +

m∑i=1

γiv(ti) ∈ H1/2. Usando nuevamente la regularidad (2.14), tenemos que u ∈

W 1,2(J,H) ∩ L2(J,D(A)), por lo tanto u es solucion fuerte de (2.5)-(2.6).

Definicion 2.2.2. Para cualquier r > 0, definimos el siguiente subconjunto deC(J,H)

Ωr := u ∈ C(J,H) : ||u(t)|| ≤ r, t ∈ J.

Notar que Ωr es un conjunto cerrado, acotado y convexo. De la definicion anterior,si agregaremos otra condicion sobre f(·, u(·)), se garantiza la existencia de solucionesfuertes del problema semilineal (2.1).

(H2) Para algun r > 0, existe φ ∈ C(J,R+) tal que para todo u ∈ H que cumpla||u|| ≤ r, se tiene ||f(t, u)|| ≤ φ(t), t ∈ J

Teorema 2.2.3. Sean A un operador autoadjunto, definido positivo sobre un espaciode Hilbert H con resolvente compacto y f : J ×H −→ H una funcion continua. Siademas se cumplen (H0),(H1) y (H2), entonces el problema (2.1) tiene, al menos,una solucion fuerte u ∈ W 1,2(J,H) ∩ L2(J,D(A)).

23

Demostracion. Sea Q un operador sobre C(J,H) definido para cada t ∈ J como

Qu(t) =m∑i=1

γiT (t)B∫ ti

0

T (ti − s)f(s, u(s))ds+

∫ t

0

T (t− s)f(s, u(s))ds. (2.15)

Por la hipotesis (H1) y el Lema 2.2.1, encontrar una solucion debil de (2.5)-(2.6)es equivalente a encontrar un punto fijo al operador Q. Para esto, utilizaremos elteorema del punto fijo de Schauder.

i) Q es continuo: En efecto, sea unn∈N ⊆ C(J,H) una sucesion tal que lımn→+∞

un =

u en C(J,H). Como f es continua, se tiene que para cada s ∈ J ,

lımn→+∞

f(s, un(s)) = f(s, u(s)),

esto essups∈J||f(s, un(s))− f(s, u(s))|| → 0 , n→∞. (2.16)

De (1.4) y (2.15), se tiene para todo t ∈ J

||Qun(t)−Qu(t)|| ≤

(m∑i=1

|γi|e−λ1ti ||B||∫ ti

0

e−λ1(ti−s)ds

+

∫ t

0

e−λ1(t−s)ds)

sups∈J||f(s, un(s))− f(s, u(s))||

≤( ∑m

i=1 |γi|e−λ1ti1− e−λ1t1

∑mi=1 |γi|

∫ ti

0

e−λ1(ti−s) ds

+

∫ t

0

e−λ1(t−s)ds

)sups∈J||f(s, un(s))− f(s, u(s))||. (2.17)

Como e−λ1ti ≥ e−λ1t1 para todo i = 1, 2, . . . ,m y e−λ1t < 1, tenemos que∑mi=1 |γi|e−λ1ti

1− e−λ1t1∑m

i=1 |γi|

∫ ti

0

e−λ1(ti−s)ds+

∫ t

0

e−λ1(t−s)ds =∑mi=1 |γi|e−λ1ti(1− e−λ1t1)λ1(1− e−λ1t1

∑mi=1 |γi|)

+1− e−λ1t1

λ1

<

eλ1t1 + 1

λ1(1− e−λ1t1∑m

i=1 |γi|).

Notar que este ultimo termino es positivo por (H1), y ademas

||Qun −Qu|| <eλ1t1 + 1

λ1(1− e−λ1t1∑m

i=1 |γi|)sups∈J||f(s, un(s))− f(s, u(s))||,

y de (2.16) se tiene que ||Qun − Qu|| → 0, cuando n → ∞, es decir, Q escontinuo en C(J,H).

24

ii) Q es compacto: En efecto para t ∈ J fijo definimos un operador S : [0, t] →L(C(J,H), H) definido para cada u ∈ C(J,H) como

S(s)u = T (t− s)u(s).

Este operador verifica:

i) S(·)u ∈ L1([0, t], H) pues∫ t

0||S(s)u||ds ≤ ||u||

∫ t0e−λ1(t−s)ds <∞.

ii) Si B es un subconjunto acotado en C(J,H), definimos Bs = u(s) : u ∈B. Al ser Bs acotado en H y T (t − s) un operador compacto, tenemosque S(s)B = T (t− s)Bs es compacto.

iii) ||S(s)|| = e−λ1(t−s) y claramente e−λ1(t−s) ∈ L1(J,R).

Luego por Teorema 1.2.10 tenemos que∫ t

0T (t − s)u(s)ds es compacto. De la

misma forma si en lugar de t ponemos ti, i = 1, 2 . . . ,m, el resultado anteriorsigue siendo valido. Por lo tanto ,el operador T , dado por

T u =m∑i=1

γiT (t)B∫ ti

0

T (ti − s)u(s)ds+

∫ t

0

T (t− s)u(s)ds

es compacto. Ademas como el operador no lineal de NemytskiiNf : C(J,H) −→C(J,H) dado por Nfu(t) = f(t, u(t)) es continuo por (2.16) y ademas como Ωr

es un subconjunto acotado de C(J,H), por (H2) el conjunto Nfu : u ∈ Ωr esacotado, y ası el operador no lineal de Nemytskii es acotado. Luego Q = T Nfes compacto (en el sentido de que lleva conjuntos acotados en relativamentecompactos).

iii) Existe un R > 0 tal que Q(ΩR) ⊂ ΩR: En efecto, sea

R =

∑mi=1 |γi|(1− e−λ1t1) + 1

1− e−λ1t1∑m

i=1 |γi|

∫ a

0

φ(s)ds.

Entonces, para cualquier u ∈ ΩR, tenemos

||Qu(t)|| ≤m∑i=1

|γi|e−λ1t||B||∫ ti

0

e−λ1(ti−s)||f(s, u(s))||ds

+

∫ t

0

e−λ1(t−s)||f(s, u(s))||ds

≤( ∑m

i=1 |γi|1− e−λ1t1

∑mi=1 |γi|

+ 1

)∫ a

0

φ(s)ds

= R.

25

Por lo tanto Q(ΩR) ⊂ ΩR y ası Q : ΩR −→ ΩR es compacto y continuo. Luego porel teorema de punto fijo de Schauder, Q tiene al menos un punto fijo u ∈ ΩR. Comosabemos que u es solucion debil de (2.5)-(2.6) con h(·) = f(·, u(·)), por el Lema(2.2.1), tenemos que u ∈ W 1,2(J,H) ∩ L2(J,D(A)) es solucion fuerte de (2.1).

Ahora supongamos la hipotesis:

(H3) Para algun r > 0, existe φ ∈ C(J,R+) y una funcion continua no decrecienteψ : R→ R+ tal que u ∈ H, ||u|| ≤ r, se tiene ||f(t, u)|| ≤ φ(t)ψ(||u||), t ∈ J.

La hipotesis (H3) nos permite formular el siguiente teorema.

Teorema 2.2.4. Sean A un operador autoadjunto, definido positivo sobre un espaciode Hilbert H con resolvente compacto y f : J×H −→ H una funcion continua. Si secumplen (H0),(H1) y (H3), entonces el problema (2.1) tiene, al menos, una solucionfuerte u ∈ W 1,2(J,H) ∩ L2(J,D(A)) siempre y cuando exista una constante R con

Mψ(R)

∫ a

0

φ(s)ds ≤ R, (2.18)

donde

M =

∑mi=1 |γi|(1− e−λ1t1) + 1

1− e−λ1t1∑m

i=1 |γi|. (2.19)

Demostracion. Del teorema anterior, sabemos que Q : C(J,H) → C(J,H) definidopor (2.15) es continuo y compacto. Luego, para algun u ∈ ΩR, de (2.19) y la condicion(H3) tenemos

||Qu(t)|| ≤m∑i=1

|γi|e−λ1t||B||∫ ti

0

e−λ1(ti−s)||f(s, u(s))||ds+

∫ t

0

e−λ1(t−s)||f(s, u(s))||ds

≤∑m

i=1 |γi|1− e−λ1t1

∑mi=1 |γi|

∫ ti

0

φ(s)ψ(||u(s)||)ds+

∫ t

0

φ(s)ψ(||u(s)||)ds

≤∑m

i=1 |γi|1− e−λ1t1

∑mi=1 |γi|

ψ(R)

∫ ti

0

φ(s)ds+ ψ(R)

∫ t

0

φ(s)ds

≤( ∑m

i=1 |γi|1− e−λ1t1

∑mi=1 |γi|

+ 1

)ψ(R)

∫ a

0

φ(s)ds

= Mψ(R)

∫ a

0

φ(s)ds

≤ R.

26

Por lo tanto Q(ΩR) ⊂ ΩR. Ası Q : ΩR → ΩR es un operador completamentecontinuo. Luego por teorema de punto fijo de Schauder, Q tiene al menos un puntofijo u ∈ ΩR, como sabemos que u es solucion debil de (2.5)-(2.6) con h(·) = f(·, u(·)),y por Lema 2.16, u ∈ W 1,2(J,H)∩L2(J,D(A)) es solucion fuerte de (2.5)-(2.6).

Corolario 2.2.5. Sean A un operador autoadjunto, definido positivo sobre un espaciode Hilbert H con resolvente compacto y f : J × H → H una funcion continua. Siademas se cumplen (H0),(H1) y (H3), entonces el problema (2.1) tiene, al menos,una solucion fuerte u ∈ W 1,2(J,H) ∩ L2(J,D(A)) siempre y cuando

lım infr→+∞

ψ(r)

r<

1

M∫ a

0φ(s)ds

,

donde M esta definida por (2.19).

27

2.3. Aplicaciones

Una aplicacion de los resultados anteriores, nos permite resolver la siguiente ecua-cion parabolica en derivadas parciales con condicion no local.

∂

∂tu(x, t)− ∂2

∂x2u(x, t) = f(x, t, u(x, t))

u(0, t) = u(1, t) = 0 , t ∈ J = [0, a], a > 0

u(x, 0) =m∑i=1

γiu(x, ti) , x ∈ [0, 1],

(2.20)

donde J = [0, a], 0 < t1 < t2 < . . . < tm ≤ a, γi ∈ R \ 0, i = 1, 2, . . . ,my f : [0, 1] × J × R −→ R continua. Sea H = L2([0, 1],R), con la norma || · ||2.Definimos el operador A sobre en el espacio de Hilbert H por

Au = − ∂2

∂x2u , u ∈ D(A) = H2(0, 1) ∩H1

0 (0, 1)

donde H2(0, 1) = W 2,2(0, 1), H10 (0, 1) = W 1,2

0 (0, 1). Se sabe de [14], [17] que A esun operador autoadjunto definido positivo sobre H y que −A genera un semigrupoanalıtico y compacto T (t)t≥0. Ademas σp(A) = σ(A) = λn := n2π2, n ∈ N y lasautofunciones asociadas a estos autovalores son vn(x) =

√2 sin(nπx) los cuales estan

normalizados. El conjunto vn : n ∈ N es una base ortonormal de H y ademas setiene

T (t)u =∞∑i=1

e−n2π2

(u, vn)vn,

||T (t)|| ≤ e−π2t, para todot ≥ 0.

Sea f(t, u(t)) = f(·, t, u(·, t)). El problema (2.20) se puede reescribir como un proble-ma del tipo (2.1). A continuacion presentaremos algunos resultados que garantizanla existencia de soluciones para el problema (2.20).

Teorema 2.3.1. Si f(x, t, u(x, t)) =sin(u(x, t))√

t+ 1, x ∈ [0, 1] , t ∈ J y

m∑i=1

|γi| < eπ2t1,

entonces el problema (2.20) tiene al menos una solucion fuerte u ∈ C(J,H10 (0, 1) ∩

L2(J,H2(0, 1)) ∩W 1,2(J, L2([0, 1],R)).

Demostracion. Sea φ(t) =√t−1, t > 0 usando la condicion

m∑i=1

|γi| < eπ2t1 es facil

ver que las condiciones (H1) y (H2) se cumplen. Luego por Teorema 2.2.3, el proble-ma (2.20) tiene al menos una solucion fuerte u ∈ C(J,H1

0 (0, 1) ∩ L2(J,H2(0, 1)) ∩W 1,2(J, L2([0, 1],R)).

28

Antes de enunciar el segundo resultado, daremos la siguiente definicion.

Definicion 2.3.2. Dados α , β ∈ N , µ ∈ R+ ,Ω ⊆ Rn , T > 0, se definen los espaciosde Banach Cµ,µ/2([0, T ]× Ω) y Cα+µ,β+µ/2([0, T ]× Ω), respectivamente por:

Cµ,µ/2([0, T ]× Ω) = u ∈ C([0, T ]× Ω) : supti∈(0,T ),xi∈Ω

|u(t1, x1)− u(t2, x2)||x1 − x2|µ + |t1 − t2|µ/2

<∞.

Cα+µ,β+µ/2([0, T ]× Ω) = u : Dixu,D

ltu ∈ Cµ,µ/2([0, T ]× Ω), i ≤ α, l ≤ β.

Teorema 2.3.3. Suponga quem∑i=1

|γi| < eπ2t1 y f : [0, 1] × J × R −→ R es una

funcion continua que cumple las siguientes condiciones:

(P1) Para algun r > 0, existe una funcion φ ∈ C(J,R+) tal que para todo t ∈ J , x ∈[0, 1] , u ∈ H , ||u|| ≤ r , |f(x, t, u(x, t))| ≤ φ(t),

(P2) Existe una funcion c : R+ −→ R tal que

|f(x, t, ξ)− f(y, s, η)| ≤ c(r)(|x− y|µ + |t− s|µ/2 + |ξ − η|),

para algun r > 0, µ ∈ (0, 1) , (y, s, η) ∈ [0, 1]× J × [−r, r],

entonces el problema (2.20) tiene al menos una solucion clasica u ∈ C2+µ,1+µ/2([0, 1]×J)

Demostracion. De la condicionm∑i=1

|γi| < eπ2t1 y (P1), es facil ver que las condiciones

(H1) y (H2) se cumplen. Luego por teorema 2.2.3, el problema (2.20) tiene al menosuna solucion fuerte u ∈ C(J,H1

0 (0, 1))∩L2(J,H2(0, 1))∩W 1,2(J, L2([0, 1],R)). Comof satisface la condicion (P2), usando el mismo metodo de regularizacion de [1], seprueba que u ∈ Cα+µ,β+µ/2([0, 1]× J) es solucion clasica de (2.20).

29

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