Universidad Simn BolvarDepartamento de MatemticasPuras y AplicadasVerano 2011

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3er. Parcial de Matemticas VII

TABLA DE TRANSFORMADAS DE FOURIER; a 2 R; c > 0 y ; 2 C(La expresin 1(c;c)(x) indica la funcin que vale 1 para c < x < c y 0 en otro caso)

f(x) f^(!)

f(x a) eia! f^(!)eiaxf(x) f^(! a)f(cx) 1c f^(

!c )

f(n)gen(x) (i!)nf^(!)

xnf(x) inf^(n)gen(!)

ecx2 1p

4ce!

2/4c

1c2+x2

12ce

cj!j

ecjxj c(c2+!2)sen cx

x121(c;c)(!)

1(c;c)(x) sen c!!1 (!)

(x) 12f(x)g(x) f^ g^(!)(f g)(x) 2f^(!)g^(!)

f^(!) = 12

Z 11

f(x)ei!x dx

f(x) =

Z 11

f^(!)ei!x d!F (f(x) + g(x)) = f^(!) + g^(!)

(f; g) =

Z 11

f(x)g(x)dxZ 11

f(x)g(x)dx = 2

Z 11

f^(!)g^(!) d!

1. (5 ptos.) Resuelva el siguiente problemaaux + buy = 0 ; x 2 R; y > 0u(x; 0) = f(x) ; x 2 R

donde f 2 L1(R) y a y b son constantes distintas de cero.

2. (10 ptos.) Muestre queZ 11

sen(x)x3 2x2 + 2x dx =

2(1 + e).

Sugerencia: Note que x2 2x+ 2 = (x 1)2 + 1.3. (10 ptos.) Calcule las siguientes transformadas de Fourier

F [f ], donde f(x) = cos(2x)2 + x2

Fs [xex]4. (15 ptos.) Encuentre la funcin acotada U(x; y) en R = f(x; y) 2 R2 : x > 0; 0 < y < 1g tal

que Uxx + Uyy = 0 en R con

8>:Ux(0; y) = 0 ; 0 < y < 1

Uy(x; 0) = 0 ; x > 0

U(x; 1) = 1[0;1](x) ; x > 0: