EXPLORACIÓN FÍSICA

ESTUDIO DEL BAILE DE UNA BAILARINA DE BALLET

1. OBJETIVOS

2. INTRODUCCIÓN

3. PREGUNTA CENTRAL

¿Cuándo una bailarina de ballet estira sus brazos aumenta o disminuye la velocidad angular

del giro que lleva? ¿Por qué?

4. HIPÓTESIS

La bailarina de Ballet Disminuye su velocidad angular cuando extiende sus brazos

5. MARCO TEÓRICO

5.1. Conservación del momentum angular para una partícula

Considérese una partícula P de masa m que se mueve con respecto a un sistema de referencia xyz, la cantidad de movimiento lineal de la partícula en un instante determinado se define como el vector 𝑚𝒗 obtenido al multiplicar la velocidad 𝒗 de la partícula por su masa 𝑚. El momento alrededor de O del vector mv se denomina momento de la cantidad de movimiento, o la cantidad de movimiento angular de la partícula en torno a O en ese instante y se denota por medio de 𝑯𝒐. Al denotar mediante r el vector de posición de P, se escribe

𝑯𝟎 = 𝒓 x m𝐯 (1)

Figura 1. Vector momentum en coordenadas cartesianas

Se tiene que 𝑯𝒐 es un vector perpendicular al plano que contiene 𝒓 y 𝑚𝒗, y su magnitud es:

𝐻𝑜 = 𝑟𝑚𝑣 sin 𝜙 (2) Donde 𝜙 es el ángulo entre 𝒓 y 𝑚𝒗. El sentido de 𝑯𝒐 puede determinarse a partir del sentido de 𝑚𝒗 aplicando la regla de la mano derecha. Si se recurre a coordenadas polares (como se muestra en la figura 2.), se descompone la cantidad de movimiento lineal de la partícula en las componentes radial y transversal y se escribe:

𝐻𝑜 = 𝑟𝑚𝑣 sin 𝜙 = 𝑟𝑚𝑣𝜃 Como 𝑣𝜃 = 𝑟��, entonces

𝐻𝑜 = 𝑚𝑟2�� (3)

Figura 2. Vector momentum en coordenadas radial transversal

Si se deriva a los dos lados de la igualdad en la ecuación (1), se obtiene:

𝑯𝒐 = �� x 𝑚𝒗 + 𝒓x𝑚��

𝑯𝒐 = 𝒗 x 𝑚𝒗 + 𝒓x𝑚��

Pero como el vector 𝒗 se encuentra en la misma dirección del vector 𝑚𝒗, entonces su producto cruz es igual a cero y por lo tanto

𝑯𝒐 = 𝒓x𝑚��

𝑯𝒐 = 𝒓x𝑚𝒂

Considerando que la segunda ley de newton dice que Σ𝑭 = 𝑚𝒂, entonces

𝑯𝒐 = 𝒓xΣ𝑭

𝑯𝒐 = Σ𝑴𝒐 (4)

5.2. Momentos de inercia de masa

Considérese una pequeña masa ∆𝑚 montada sobre una barra de masa insignificante que puede girar libremente alrededor de un eje 𝐴𝐴′(como se muestra en la figura 4. a) ). Si se aplica un par al sistema, la barra y la masa, supuestas inicialmente en reposo, empezarán a girar alrededor del eje 𝐴𝐴′. El tiempo requerido para que el sistema alcance una velocidad de rotación determinada es proporcional a la masa ∆𝑚 y al cuadrado de la distancia 𝑟2. Por lo tanto, el producto 𝑟2 ∆𝑚 proporciona una medida de la inercia del sistema, esto es, una medida de la resistencia que el sistema ofrece cuando se intenta ponerlo en movimiento. Por esta razón, el producto 𝑟2 ∆𝑚 recibe el nombre de momento de inercia de la masa ∆𝑚 con respecto al eje 𝐴𝐴′.

Figura 3. Geometría del momento de inercia de un cuerpo rígido

Considérese ahora un cuerpo de masa m que girará alrededor de un eje 𝐴𝐴′ (figura 4. b)). Al dividir el cuerpo en elementos de masa ∆𝑚1, ∆𝑚2, etc., se encuentra que la resistencia del cuerpo que se va a girar se mide por la suma 𝑟1

2∆𝑚1 + 𝑟22∆𝑚2 + 𝑟3

2∆𝑚3 + ⋯. Esta suma define el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje 𝐴𝐴′. Al aumentar el número de elementos, se encuentra que el momento de inercia es igual, en el límite, a la integral

𝐼 = ∫ 𝑟2𝑑𝑚 (5) El radio de giro 𝑘 del cuerpo con respecto al eje 𝐴𝐴′ se define mediante la relación:

𝐼 = 𝑘2𝑚

𝑘 = √𝐼

𝑚 (6)

El radio de giro k representa, en consecuencia, la distancia a la cual la masa completa del cuerpo debe concentrarse si el momento de inercia con respecto a 𝐴𝐴′ va a permanecer sin cambio (figura 4. c) ). Ya sea que conserve su forma original o si se concentra como se muestra en la figura 4. c), la masa m reaccionará de la misma manera a una rotación, o giro, alrededor de 𝐴𝐴′. 5.3. Momento de inercia centroidal de una placa rectangular

En el caso de una placa rectangular de lados a, b, se obtienen los siguientes momentos de

inercia de masa con respecto a los ejes que pasan por el centro de gravedad dela placa:

Figura 4. Placa plana rectangular

𝐼𝐴𝐴′ =1

12𝑚𝑎2 (7)

𝐼𝐵𝐵′ =1

12𝑚𝑏2

5.4. Momento de inercia centroidal de una placa circular

En el caso de una placa circular de radio r, se obtienen los siguientes momentos de inercia

de masa con respecto a los ejes que pasan por el centro de gravedad dela placa:

Figura 5. Placa plana circular

𝐼𝐴𝐴′ = 𝐼𝐵𝐵′ =1

4𝑚𝑟2 (8)

𝐼𝐶𝐶′ =1

2𝑚𝑟2 (9)

5.5. Conservación del momentum angular cuerpo rígido

Considerando una placa rigida, con movimiento plano, asumiendo que la placa esta contemplada

por un gran numero de pequeñas particulas 𝑃𝑖 de masa ∆𝑚𝑖, cada una de esas particulas lleva una

velocidad 𝒗𝒊, como se muestra en la figura 3.

Figura 6. Momentum algular de una placa respecto de su centroide

La cantidad de movimiento angular con respecto al centroide 𝐺 de toda la placa se puede calcular

sumando la cantidad de movimiento angular de cada una de las particulas con respecto al centro de

masa 𝐺, así que teniendo en cuenta la ecuación (1) tenemos que:

𝑯𝑮 = ∑(𝒓′𝒊 x 𝐯′𝐢∆mi)

𝒊

Pero debe considerarse que 𝐯′𝐢 = 𝝎 x 𝒓′𝒊 donde 𝝎 es la velocidad angular de la placa de

donde se obtiene:

𝑯𝑮 = 𝝎 ∑(𝒓′𝒊𝟐

∆mi)

𝒊

Y como ∑ (𝒓′𝒊𝟐

∆mi)𝒊 = 𝑰, donde 𝑰 representa el momento de inercia de masa centroidal de

la placa, se concluye entonces que la cantidad de movimiento es:

𝑯𝑮 = 𝝎𝑰 (10)

Y derivando a ambos lados de la ecuación obtenemos

𝑯𝑮 = ��𝑰

𝑯𝑮 = 𝜶𝑰 (11)

6. DESARROLLO DE CONTENIDOS

El comportamiento del baile de la bailarina de ballet se puede llevar a cabo planteando

diferentes modelos que simplifiquen el problema y los cuales pueden arrojar diferentes

respuestas que conduzcan al mismo resultado.

En este trabajo se estudiara el comportamiento del baile de la bailarina de ballet desde dos

modelos, el primero será concentrando la masa de los brazos de la bailarina en sus extremos

y aplicando conservación del momentum angular de una partícula y el segundo será

asumiendo que los brazos y el troco de la bailarina se asumen como una placa circular y una

barra ligera

6.1. Modelo 1 Conservación del momentum angular de la particula

Este es el modelo más simplificado que podemos encontrar y los resultados pueden

manejar un mayor margen de error, sin embargo, es un buen modelo para responder a la

pregunta, que ¿Cuándo la bailarina de ballet estira sus brazos aumenta o disminuye su

velocidad angular?

En la figura 7. se presenta el caso de la bailarina con los brazos abiertos y se considera una

distancia de las masas puntuales al eje central de 𝑅

Figura 7. Bailarina con brazos abiertos

Aplicando la ecuación (3) tenemos:

𝐻1 = 𝑚𝑅2𝜔1

En la figura 8. Se presenta el caso de la bailarina con los brazos cerrados y se considera una

distancia de las masas puntuales al eje central de 𝑟.

Figura 8. Bailarina con brazos cerrados

Aplicando la ecuación (3) tenemos:

𝐻2 = 𝑚𝑟2𝜔2

Debido a que el momentum angular se conserva podemos igualar y obtener:

𝐻1 = 𝐻2

𝑚𝑅2𝜔1 = 𝑚𝑟2𝜔2

De donde simplificando obtenemos que:

𝜔2 =𝑅2

𝑟2𝜔1

Y como 𝑅 > 𝑟 entonces 𝜔2 > 𝜔1, es decir que la velocidad angular de la Bailarina de ballet

disminuye cuando abre sus brazos y aumenta cuando los cierra, como hipotéticamente se

había afirmado.

𝜔2 =0,752

0,32𝜔1 = 6,25𝜔1

Claro está que este modelo es muy simplificado y no considera factores como la resistencia

al aire que opone la bailarina.

6.2. Modelo 2 Conservación del momentum angular de un cuerpo rígido

Este modelo es algo más completo, sin embargo, considera el movimiento no en 3

dimensiones sino en el plano (como una proyección) y tampoco considera factores como la

resistencia al aíre que presenta el cuerpo, Pero es un modelo que evidencia mejor por qué

la velocidad disminuye cuando la bailarina estira sus brazos.

En la figura 9. Se presenta el caso de la bailarina con los brazos cerrados y por lo tanto toda

la masa se concentra en un disco circular cuyo radio es 𝑟, el momento de inercia de masa

centroidal de este disco circular está dado por la ecuación (9), es decir.

𝐼 =1

2𝑚𝑟2

Figura 9. Modelo con brazos cerrados

Aplicando la ecuación (10) tenemos que:

𝑯𝟏 = 𝝎𝟏𝑰��

En la figura 10. Se presenta el caso de la bailarina con los brazos abiertos y por lo tanto la

masa se distribuye en un disco circular cuyo radio es 𝑟 y en una barra ligera cuya logitud se

determina sabiendo que la longitud de cada brazo es L.

Figura 9. Modelo con brazos abiertos

El momento de inercia de masa centroidal de la barra ligera se calcula haciendo una resta

entre dos momentos de inercia equivalentes uno a una barra que contiene a los brazos y

que atraviesa el disco y otro a una barra que tiene como longitud el diámetro del disco como

se presenta en la figura 11.

Figura 11. Barras para calcular momento de inercia

Teniendo en cuenta la ecuación (7) sabemos que el momento de inercia de una barra ligera

cuya longitud es 𝑙 es:

𝐼 =1

12𝑚𝑙2

Así que el momento de inercia que queremos calcular es:

𝐼2 =1

12𝑚(2(𝐿 + 𝑟))2 −

1

12𝑚𝑟2

Aplicando la ecuación (10) tenemos entonces que:

𝑯𝟐 = 𝝎𝟐𝑰��

Aplicando conservación del momentum angular obtenemos

𝐻1 = 𝐻2

𝝎𝟏𝑰�� = 𝝎𝟐𝑰��

𝝎𝟏 =𝑰��

𝑰��

𝝎𝟐

En consecuencia se debe verificar cuál de las dos inercias es mayor, por lo tanto

𝑰��

𝑰��

=

112 𝑚(2(𝐿 + 𝑟))2 −

112 𝑚𝑟2

12 𝑚𝑟2

=4(𝐿 + 𝑟)2

6𝑟2−

1

6

Como (𝐿 + 𝑟)2 > 𝑟2 entonces 𝑰𝟐

𝑰𝟏 > 1 y por lo tanto 𝑰�� > 𝑰��, así 𝝎𝟏 > 𝝎𝟐

Y esto quiere decir que la velocidad angular es mayor cuando la bailarina cierra sus brazos

que cuando los abre.

Asumiendo que 𝐿 = 0,75𝑚 y 𝑟 = 0,3 numericamente también se puede ver que:

𝐼1

𝑚=

1

2𝑟2 =

1

2(0,3)2 = 0,045

𝑚𝑡𝑠2

𝑘𝑔

𝐼2

𝑚=

1

12(2(𝐿 + 𝑟))

2−

1

12𝑟2 =

1

12(2(0,75 + 0,3))

2−

1

12(0,3)2 = 0,36

𝑚𝑡𝑠2

𝑘𝑔

Luego

𝐼2

𝑚𝐼1

𝑚

=

0,36

0,045

𝐼2

𝐼1

= 8

𝐼2 = 8𝐼1

Con este modelo puede observarse con mayor claridad que realmente la disminución de la

velocidad se debe a un aumento en la inercia del cuerpo, que hace referencia a la resistencia

al giro del cuerpo

7. RESULTADOS DEL SOFTWARE PHYSICS TRACKER

En la parte experimental se grabó un video de una persona que simulara el movimiento de

la bailarina girando en una silla con movimiento rotacional. Este video fue llevado al

software Physics Tracker, el cual permitió hacer un análisis de la cinemática del cuerpo y el

cual arrojo una serie de datos que se presentan aquí y que serán comparados con los

resultados teóricos.

Con el fin de dar respuesta a la pregunta central, el modelo que se construyó en la parte

experimental está enfocado en el análisis del cambio en la velocidad de la bailarina de ballet

cuando abre y cierra sus brazos, por eso se hace énfasis en los resultados que arrojó el

software Physics Tracker, de las gráficas de velocidad angular respecto al tiempo.

Como muestra la gráfica de velocidad angular en función del tiempo, hay un cambio drástico

en la velocidad entre los 2.7 s y los 3.5 s, la velocidad aumentó de 170 rpm a 385 rpm, esto

es aumentar en un factor de 2.3.

Gráfica 1. Velocidad angular en función del tiempo

A continuación se analiza qué sucedió antes y después de este tiempo.

En la Figura 12. se puede observar que en el tiempo 2.74 s los brazos se encontraban

abiertos

Figura 12. Captura de pantalla con brazos abiertos en tiempo 2,74 s

En la Figura 13, se puede observar que en el tiempo 3.14 s los brazos se encontraban

cerrados

Figura 13. Captura de pantalla con brazos cerrados en tiempo 3,14 s

En los anexos se presenta la tabla con los datos obtenidos de tiempo y velocidad angular.

En el software se puede observar que antes del tiempo 2.6 s el promedio de la velocidad

angular es:

�� =∑ 𝜔𝑖

𝑛= 215,91 𝑟𝑝𝑚

Gráfica 2. Promedio de velocidad angular antes de 2.7 s

Desviación estándar

𝑠2 =∑ (𝜔𝑖 − ��)2𝑛

𝑖

𝑛 − 1= 41,53

También se puede observar que a partir de los 2.4 s, el valor máximo de la velocidad angular

es:

𝜔𝑚𝑎𝑥 = 385,22 𝑟𝑝𝑚

Que se encuentra en el tiempo 3.4 s

No se calculó el promedio de velocidades a partir del tiempo 2.4 s porque a partir de ese

momento la fricción afecta mucho el modelo hasta llevarlo al estado de velocidad cero, lo

que significa que hay demasiados datos atípicos.

8. ANÁLISIS DE RESULTADOS

En la gráfica se puede observar un aumento drástico en la velocidad entre los 2.7 s y los 3.5

s, y de las imágenes presentadas se encontró que antes de 2.7 s los brazos estaban abiertos,

y después de 3.5 s, los brazos estaban cerrados.

Según los cálculos de la velocidad promedio antes de 2.4 s y de velocidad máxima después

de 3.4 s, se calcula un aumento en la velocidad de 215.91 rpm a 385.22 rpm, esto es

equivalente a aumentar la velocidad en un factor de 1.78.

De lo anterior se puede validar la hipótesis ya que la velocidad de la bailarina de ballet

disminuye cuando extiende sus brazos, pero se puede ver que la diferencia con los datos

teóricos es alta.

El error obtenido de lo experimental respecto de lo teórico es:

Para modelo como partícula:

𝜀 = |𝜔𝑡 − 𝜔𝑒

𝜔𝑡| = 71,5%

Donde

𝜔𝑡 es la velocidad angular teórica

𝜔𝑒 es la velocidad angular experimental

Para modelo como cuerpo rígido:

𝜀 = |𝜔𝑡 − 𝜔𝑒

𝜔𝑡| = 77,8%

9. CONCLUSIONES

El modelo físico que se presentó valida completamente la hipótesis: “La velocidad

angular de la Bailarina de ballet disminuye cuando extiende sus brazos”

Es posible que los errores obtenidos en los cálculos sean elevados porque en las

resultados teóricos no se consideró la fuerza de fricción ni la estabilidad que presenta

la silla giratoria, tampoco se tuvo en cuenta el error que presentan las medidas de la

persona con la que se hizo el modelo.

Los modelos ideales sirven como objeto de estudio porque explican el comportamiento

físico de la naturaleza, sin embargo los resultados ideales varían en gran magnitud de

los reales.

El modelo teórico pudo ser más preciso si se hubiera realizado un análisis del

movimiento en el espacio y no como una proyección en el plano (que fue lo que se

hizo), esto no se realizó por la complejidad que presenta la determinación de las

inercias para hallar el tensor de inercia.

La implementación de un software para realizar modelos físicos como Physics Tracker,

es útil ya que no es necesario tomar mediciones del modelo real (evitando aumentar el

error) sino que se pueden obtener de dicho software, mejorando así la precisión de los

datos obtenidos.

10. BIBLIOGRAFÍA

[1] R. C. Hibbeler, Ingeniería Mecánica Dinámica, décimo segunda edición. Pearson 2009

11. ANEXOS