República Bolivariana de VenezuelaUniversidad Pedagógica Experimental Libertador

Instituto de Mejoramiento Profesional del MagisterioNúcleo Mérida

Álgebra de Boole

Participantes:González LuisOntiveros KarlyRamírez Dialy

Facilitador:Martínez DarlingMateria:Electrónica Digital

Mérida, Enero 2010

Álgebra de Boole

Estructura algebraica

Operaciones lógicas

0

Falso

1

Verdadero

Operaciones Fundamentales

AND = OR = +

NOT = A

OR:0 + 0 = 0 + 1 = 1 + 0 = 1 + 1 =

Tabla de la verdad

AND:0 · 0 = 0 · 1 = 1 · 0 = 1 · 1 =

NOT:0 = 1 =

0 111

0 0 0 1

1 0

a

bc

¿ Se prende la bombilla ?

a = 1 ó b = 0

Si No

1° Pulsa el interruptor

a

bc

a = 1 ó b = 0

Muy Bien !!

a

bc

¿ Se prende la bombilla ?

a = 0 ó b = 1

Si No

1° Pulsa el interruptor

a

bc

Muy Bien !!

a = 0 ó b = 1

a

bc

¿ Se prende la bombilla ?

a = 1 ó b = 1

Si No

1° Pulsa el interruptor

a

bc

Muy Bien !!

a = 1 ó b = 1

a

bc

¿ Se prende la bombilla ?

a = 0 ó b = 0

Si No

1° Pulsa el interruptor

a

bc

Muy Bien !!

a = 0 ó b = 0

Operación Producto Supongamos que debes armar el riel de un tren para que este

pueda seguir su camino, que pasa con el tren cuando

a b ct

a = 1 y b = 0

Pulsa para ver que sucede

¿ Avanza el tren?

Si No

Operación Producto Supongamos que debes armar el riel de un tren para que este

pueda seguir su camino, que pasa con el tren cuando

a b ct

a = 1 y b = 0

Pulsa para ver que sucede

Muy Bien, se han salvado los Pasajeros !!

Es posible demostrar dichos teoremas por cualquiera de los siguientes métodos: 1. Algebraicamente (empleando postulados y teoremas ya demostrados).2. Gráficamente (por medio de los diagramas de Venn).3. Por inducción perfecta (empleando tablas de verdad).

Teoremas Booleanos

TEOREMA PRIMAL TEOREMA DUAL

T.1.a. 0 es único

T.2.a A + A = A

T.3.a. A + 1 = A

T.4.a. A + (A . B) = A

T.5. A' es único

T.6. A = A''

T.7.a. A . [(A + B) + C] = [(A + B) + C] . A = A

T.8.a. A + (B + C) = (A + B) + C

T.9.a. A + (A' . B) = A + B

T.10.a. (A + B)' = A' . B'

T.11.a. (A . B) + (A' . C) + (B . C) = (A . B) + (A' .C )

T.12.a. (A . B) + (A . B' . C) = (A . B) + (A . C)

T.13.a. (A . B) + (A . B') = A

T.1.b. 1 es único

T.2.b. A . A = A

T.3.b. A . 0 = 0

T.4.b. A . (A + B) = A

No tiene

No tiene

T.7.b. A + [(A . B) . C] = [(A . B) . C] + A = A

T.8.b. A . (B . C) = (A . B) . C

T.9.b. A . (A' + B) = A . B

T.10.b. (A . B)' = A' + B'

T.11.b. (A + B)(A' + C)(B + C) = (A + B)(A' + C)

T.12.b. (A + B)(A + B' + C) = (A + B) (A + C)

T.13.b. (A + B) . (A + B') = A

Los teoremas se resumen en la siguiente tabla:

T.1. Teoremas sobre la UNICIDAD.1.a. El elemento 0 es único. 1.b. El elemento 1 es único. Demostración de 1.a. Por contradicción, supóngase que 0 y 01 son neutros aditivos, por lo que deben satisfacer al postulado P.3.a, es decir: A + 0 = A   y   A1 + 01 = A1 Si A1 = 0 y A = 01 y como 0 es neutro, por suposición, entonces: 01 + 0 = 0                (1) Además como 01 es neutro, por suposición, entonces: 0 + 01 = 0                     (2) De (1) y (2) se tiene: 01 = 0 con lo que se demuestra el teorema.

Representación del teorema de la UNICIDAD

T.2. Teoremas sobre la EQUIPOTENCIA. 2.a. A + A = A 2.b. A . A = A Demostración de 2.a.A + A = (A + A) . 1               (P.3.b.)A + A = (A + A) . (A + A')        (P.6.a.)A + A = A + (A . A')              (P.5.a)A + A = A + 0                    (P.6.b.)A + A = A                                (P.3.a.)

T.3. 3.a. A + 1 = 1 3.b. A . 0 = 0Demostración de 3.a.A + 1 = 1 . (A + 1)                (P.3.b.)A + 1 = (A + A') . (A + 1)    (P.6.a)A + 1 = A + (A' . 1)            (P.5.a)A + 1 = A + A'                    (P.3.b.)A + 1 = 1                             (P.6.a.)

Los símbolos elementales son:· 0: representativo de FALSO· 1: representativo de VERDADEROLas operaciones fundamentales son:· Conjunción u operación AND  (se representa con   ·  )· Disyunción u operación OR (se representa con + )· Complementación, Negación u operación NOT ( se representa con una barra sobre la variable, )

Elementos del álgebra de Boole

Circuitos lógicos

si se representa de la misma forma anterior los siguientes estados para el dominio de la bóveda { "bóveda vacía", "bóveda con gente" }, es decir, creando las relaciones ("bóveda vacía", -1.5 volts) y ("bóveda con gente", +4.0 volts). Así, se podría pensar en que es posible implementar un procedimiento como el siguiente: Si está la "puerta abierta" y la "bóveda vacía" entonces realizar cerrar la puerta.Que usando la representación definida, quedaría: Si señal_puerta = -1.5 volts y señal_bóveda = -1.5 volts entonces realizar cerrar la puerta.En el dominio del problema se hace abstracción en muchos aspectos y, con ello, se identifican los objetos del problema; en este caso la puerta y sus estados { "puerta abierta", "puerta cerrada" }

Lista completa de los componentes de los circuitos lógicos

Gracias por su

atención