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Forma de la superfcie de un líquido en rotación

Habremos observado que cuando un recipiente cilíndrico que contiene un líquido se pone en

rotación alrededor de su eje, la superficie del líquido adquiere la forma de un paraboloide.

Vamos a realizar una “experiencia” semejante a la descrita en Universit !aborator"xperiments #.$.% de &'(e. "sta pr)ctica est) dise*ada para establecer una relación entre la

forma de la superficie de un líquido contenido en un recipiente en rotación su velocidadan+ular bajo los efectos del campo +ravitatorio de la fuerza centrífu+a.

"l líquido se coloca en una celda de material pl)stico transparente de forma paralepipdica dedimensiones #$-/%0/ cm. "n la experiencia simulada, estudiaremos una l)mina de líquido

contenida en un recipiente de forma rectan+ular que +ira alrededor del eje de simetría paralelo allado maor. 1onsideramos despreciables los efectos debidos a tensión superficial.

 

Descripción

"n la fi+ura de la izquierda, el recipiente de anc'ura %a est)

en reposo ω23, por lo que la superficie del líquido es

'orizontal. "stablecemos un sistema de referencia 45

inercial 6vinculado al observador en rotación7 de modo que

el eje de rotación es el eje 8 la superficie del líquido en

reposo es el eje 9.

1uando el eje del recipiente se conecta a un motor de velocidad an+ular variable, la superficie

del líquido cambia de forma. Vamos a determinar la ecuación que describe la forma de la

superficie a partir de las fuerzas que se ejercen sobre las molculas de fluido.

:esde el punto de vista del observador en rotación, las fuerzas que act;an sobre una partícula demasa m situada en su superficie, a una distancia  x del eje de rotación, son

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• "l peso, -mg  j

• !a fuerza centrífu+a, mω2 xi

• !a fuerza R  que ejercen las otras partículas defluido sobre la partícula considerada

:esde el punto de vista del observador no inercial, la partícula est) en equilibrio, de modo que la

resultante de las fuerzas que act;an sobre la partícula debe ser cero

R <mg  j=mω2 xi23

!a forma de la superficie del líquido en equilibrio ser) tal que R  es perpendicular a la tan+ente a

la curva en cada punto  x. 1omo vemos en la fi+ura

>nte+rando tenemos

que es la ecuación de una par)bola simtrica respecto del eje 8.

&ara determinar la constante de inte+ración c o el punto m)s bajo de la par)bola, supondremos que el líquido es

incompresible. 1omparando la situación inicial cuando la

superficie del fluido es 'orizontal con la situación final,

cuando la velocidad an+ular de rotación es ω.

"n la situación inicial, la forma de la superficie es el se+mento

de la recta  y=0 comprendido entre -a a.

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5bservaremos, que el líquido se 'unde por la parte cercana al eje de rotación se eleva en la parte colindante con las paredes del recipiente. "l )rea total debe ser cero como al principio,

cuando la l)mina est) en reposo.

!a ordenada c del punto m)s bajo de la par)bola valdr), entonces

!a ecuación de la par)bola ser), finalmente

1ualquiera que sea la velocidad an+ular de rotación ω, las par)bolas pasan por el punto

Una molcula situada en este punto, no cambia de posición.