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Expresión canónica

Si aplicamos lo visto hasta el momento al mismo tiempo, tendremos una expresión (llamada canónica) f(x) = a (x + (-Vx))2 + Vy donde el vértice será (Vx;Vy).

a representa la concavidad de la parábola, al ser positiva el vértice es el valor mínimo de la función, si es negativa, la concavidad se invierte y el vértice es el máximo.

La abertura de las ramas de la parábola depende del valor absoluto de a. Cuanto mayor es el valor absoluto, más cera están las ramas de la parábola del eje.

Ejemplo

f(x) = (x – 2)2 + 1

Observamos que el vértice es (2;1). a = 1, por lo tanto la parábola es cóncava hacia arriba y su vértice coincide con el mínimo.

Ejercitación

1) Completar la siguiente tabla.Parábola Vértice Eje de

simetríaMínimo Máximo.

y = (x+2)2-3y = -2(x+1)2

y = -(x-1)2-1

y = x2-4

y = 3(x-2)2 +1

1

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y =

Representar aproximadamente las parábolas del cuadro.Sugerencias: Representar el vértice y el eje. Calcular el valor de la función para un valor x a la derecha del eje de simetría y otro para la izquierda del mismo.

Indicar dominio e imagen de cada una de las funciones.

2) Indicar dos parábolas para cada uno de los siguientes vértices.a) V1 = (-1;3)

b) V2 =

c) V3 = (-5:-4)d) V4 = (2;-3)

Expresión polinómica

Otra forma de escribir la función cuadrática es en forma polinómica.

f(x) = a x2 + b x + c a, b y c R a 0

Pasaje de la expresión canónica a la polinómica

Ejemplos

y = 3 (x–1)2 + 2 = 3 (x2 – 2x + 1) + 2 = 3x2 – 6x + 3 + 2 = 3x2 – 6x + 5

Pasaje de la expresión polinómica a la canónica

Dada y = a x2 + b x + c

O sea

Ejemplos

2

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y = 3 x2 – 6x + 5

y = 3 (x - 1)2 + 2

Ejercitación

1) Expresar en forma polinómica cada una de las siguientes funciones.a)b)

c)

d)

2) Expresar en forma canónica cada una de las siguientes funciones.

a)

b)

c)

d)e)

3) Indicar para las funciones de los puntos 1) y 2) dominio, imagen, vértice, eje de simetría, máximo o mínimo y gráfico aproximado.

4) Representar gráficamente utilizando tabla de valores las siguientes funciones:a) y = 2 x 2 b) y = - 2x2 c) y = x2 – 1

3

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d) y = x2 + 3 e) y = x2 – x f) y = x2 + x

5) Representar gráficamente cada una de las siguientes parábolas y determinar el vértice y la ecuación del eje.a) y = x2 – 2x + 1 b) y = -x2 + 8x – 7c) y = 4 x2 – 20x +25 d) y = 2x2 – 3x + 1

4