INTRODUCCIÓN

Nos permitimos presentar este trabajo con el propósito de conocer todos sobre el cálculo de Pregrado como son las matemáticas básicas, introducción a los polinomios, conceptos, definiciones, suma, resta, multiplicación y división el inicio un curso de una materia de ingeniería, ciencias exactas, o administración.

Mas halla del desarrollo de los ejercicios, se hace la práctica para que el estudiante mejore en sus falencias y se prepare para educación de alta calidad y profesional con conocimientos de auge, es así como las matemáticas hace ver a la persona un ser perfecto y capaz de sobrepasar cualquier actividad.

Para la realización de este trabajo no tuvimos ninguna dificultad, ya que realizamos los ejercicios, se hizo una práctica, como estuvimos atentos a la explicación del profesor e investigaciones que realizamos.

OBJETIVOS

Identificar y conocer los conceptos de la matemática básica como son las expresiones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división). Y la realización de ejercicios, en cada uno de los temas.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Definir los conceptos de expresiones algebraicas.

La realización de ejercicios como la suma, resta, multiplicación, división.

Conocer los conceptos de signos de agrupación.

Operaciones entre polinomios

Sistemas de ecuaciones lineales

Circulo geométrico

TABLA DE CONTENIDOS

INTRODUCCIÓNOBJETIVOS

TABLA DE CONTENIDO

1. Expresiones algebraicas1.1 Suma1.2 Resta1.3 Multiplicación1.4 División

2. Signos de agrupación3. Operaciones entre polinomios

3.1 Suma3.2 Resta3.3 Multiplicación3.4 División

4. Sistemas de ecuaciones lineales5. Círculo geométrico

1. Expresiones algebraicas

Definición: es la representación de un símbolo algebraico o de unas más operaciones algebraicas.1

1.1 Suma1.1.1 Definición: la suma es una operación que tiene por objetivo reunir

dos o más expresiones algebraicas (sumandos) en una sola expresión algebraica.2

1.1.2 Ejercicios:

Sumar: 1.3a y−2b

3a+(−2b )=3a−2b

2.3a2b ,4ab2 , a2b ,7ab2 ,6b3

3a2b+4ab2+a2b+7ab2+6b3

3. x2+4 x;−5 x+x2

x2+4 x+(−5 x+x2)2 x2−x

4. 4 x−5 y ;−3 x+6 y−8 ;−x+ y

4 x−5 y+ (−3 x+6 y−8 )− (−x+ y )2 y−8

5. 12ab+a2;−1

4ab+ 1

2b2

12ab+a2+(−12 ab+ 12 b2)

a2+ 12b2

1. Algebra de Baldor: Nomeclatura algebraica, expresión algebraica página 14.

2. Algebra de Baldor: Capitulo I: Suma página 40.1.2 Resta

1.2.1 Definición: es una operación que tiene por objetivo, dada una suma de dos sumandos (minuendo) y una de ella sustraendo, hallar el otro sumando (resta o diferencia).3

1.2.2 Ejercicios:

1.4 x−3 y+z−(2 x+5 z−6)2 x−3 y−4 z+6

2.a+b−(a−b )

a+b−a+b2b

3.2x−3 y−(−x+2 y )2 x−3 y+ x−2 y¿

3 x−5 y

4. 56a2−( 36 a2−56 a)56a2−3

6a2+ 5

6a

26a2+ 5

6a

5.a4b−3 x−(3a4b )

−2a4b−3 x

3. Algebra de Baldor: Capitulo II: Suma página 47.1.3 Multiplicación

1.3.1 Definición: la multiplicación es una operación que tiene como objetivo, dado dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, hallar una tercera cantidad, llamada producto, que sea respecto del multiplicando, en valor absoluto y signo, lo que el multiplicador es respecto de la unidad positiva.4

1.3.2 Ejercicios:

(6m5n−3 p−4 )∗(5mn−1 p2)=30m6n−4 p2

7a4b∗(2a3−ab+5b3 )=14 a7b−7a5b2+35a4b4

(2a−3b ) (3a−7b )=6a2−23ab+21b2

(−4a5b4 )∗(12ab2 )=−48a6b6

m2−{−7mn+ [−n2− (m2−3mn+2n2 ) ]}=2m2+4mn+3n2

1.4 División1.4.1 Definición: es una operación que tiene como objeto, dado el

producto de dos factores (dividiendo) y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente).5

1.4.2 Ejercicios:

4 x5

x2= 41x5

x2=4 x (5−2 )=4 x3

8 x4

x2= 81x4

x2=8 x (4−2 )=8 x2

4 x5−10 x3+3 x2− x+6x2−2 x+1

=4 x3+8 x2+2x−1

x5

x2=11x5

x2=x (5−2 )=x3

8 x4

x3=81x4

x3=8 x (4−3 )=8 x

5. Algebra de Baldor: Capitulo V: Suma página 782. Signos de agrupación

2.1 Definición: los signos de agrupación o paréntesis son de cuatro clases; paréntesis ordinario (), el paréntesis angular [ ] , las llaves { }, y el vínculo o barra ----

2.2 Ejercicios:

1) a+ (b−c )+2a−(a+b )=2a−c

2) 5 x+ (−x− y )−[− y+4 x ]+ {x−6 }

3) (3 x+5 )+(2x−2 )=5 x+3

4) (4 x−5 )+(7 x−3 )=11 x−8

5) (3a+5b )+ (4 a−9b )=7a−4 b

6. Algebra de Baldor: Capitulo III: Suma página 59.

3. Operaciones entre polinomios3.1 Suma

Definición: La adición consiste en reunir dos o más expresiones algebraicas, llamadas sumandos, en una sola que se le llama suma.

En la aritmética la adición siempre significa aumento, pero en el álgebra es un concepto más general por lo que puede significar aumento o disminución.

En una adición de polinomios se puede dar una agrupación de términos semejantes. Incluso, hasta un polinomio puede tener inmerso términos semejantes.7

Ejercicios:

P(x) + Q(x) = (–5x4 + 0x3 + 7x2 + 3x – 15) + (5x3 + 9x2 – 6x – 7) =

= –5x4 + 5x3 + 16x2 – 3x – 22

P4 ( x )+Q5 ( x )+R3( x )=x5−5x 4+(−3+4 )⋅x3+(2−2 )⋅x2+(3+1+1 )⋅x+(1−3 )==x5−5 x4+ x3+5 x−2

(8x2 – 2x + 1) + (3x2 + 5x – 8) =11x2 + 3x – 7

(2x3 – 3x2 + 5x – 1) + (x2 + 1 – 3x) =2x3 – 2x2 -2x

(7x4 – 5x5 + 4x2 –7) + (x3 – 3x2 – 5 + x)= 7x4 – 5x5 + x3 +x2 +x-13

7. Algebra de Baldor: Capitulo VI: Suma página 120.3.2 Resta

Definición: Suma y resta: como un polinomio no es más que la suma o resta indicada de varios monomios no semejantes, sumar dos o más polinomios consiste en localizar los términos semejantes que hay entre todos ellos y reducirlos.Ejercicios:

(2x3 – 3x2 + 5x – 1) – (x2 + 1 – 3x) =2x3 – 4x2 + 8x – 2

(4x-5y)-(6y-4x)=8x-11y

(3x+4y-4z)-(3x+4y-4)=4-4z

(–3z – 4y – 9x) – (–4y + 8x – 5)=-3z-17x+5

(x3 – 3x2 – 5 + x) – (–3x4 + 5 – 8x + 2x3) =3x4 + 10 – 9x – 3x2 - 2x3

3.3 MultiplicaciónDefinición: sea el producto (a+b-c)(m+n) haciendo (m+n)=y tendremos(a+b-c)(y)= ay+by-cy

Ejercicios:

( 2x3 +57 )⋅(2 x3 −5

7 )=( 2 x3 )2−( 57 )

2=4 x

2

9−2549 .

(2 x+3 y )⋅(2x−3 y )= (2x )2−(3 y )2=4 x2−9 y2 .

( a2 b2xy + xya2b2 )⋅( a

2b2

xy− xya2b2 )=( a2b2xy )

2

−( xya2b2 )2=

= a

4 b4

x2 y2− x

2 y2

a4b4 .

(4 x−3 x3+2 x2−1 )⋅(4 x+2 x2+3 )=(−3 x3+2 x2+4 x−1 )⋅(2 x2+4 x+3 )

(−3 x3+2 x2+4 x−1 )⋅(2 x2+4 x+3 )=−6 x5+4 x4+8 x3−2 x2−12x4+8 x3+16 x2−4 x−

−9 x3+6 x2+12 x−3=−6 x5+(4−12 ) x4+(8+8−9 ) x3+(−2+16+6 ) x2+ (−4+12 ) x−3=

=−6 x5−8 x4+7 x3+20 x2+8 x−3

3.4 DivisiónDefinición: es una operación que tiene como objeto, dado el producto de dos factores (dividiendo) y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente).Ejercicios:

3x4−5 x3+4 x2

x2=3x2−5 x+4

x6−x3−3 x−3x2−3

=x4+3 x2−x+9 (Cociente )−6 x+24 (Resto)

(3 x4−5 x3+4 x2)÷(x2)= 3 x4−5 x3+4 x2

x2=3x

4

x2−5 x

3

x2+ 4 x

2

x2

3x 42

x2−5 x

31

x2+ 4 x

2

x2=3 x2−5 x+4

4 x5−10 x3+3 x2− x+6x2−2 x+1

=4 x3+8 x2+2x−1 (cociente )−5 x+7(Resto)

4. Sistemas de ecuaciones linealesDefinición: Un sistema de ecuaciones es cuando tenemos dos o más ecuaciones que trabajan juntos

Ejercicios:

1.2 x+6 y=143 x+3 y=2

Por igualación:

14−2x6

= 2−3 x3

42−6 x=12−18 x

30=−12x

−53

=−3012

=x

y=73

2.

{5 x−2 y=4 ¿¿¿¿

{15 x−6 y=12 ¿ ¿¿¿

{15 x−6 y=12 ¿ ¿¿¿¿¿¿

¿

5 x−2⋅12=4⇒5 x=5⇒ x=1

, que es la solución en x.

Luego la solución del sistema será:

{x=1 ¿¿¿¿.

3.

{2 x− y=8 ¿ ¿¿¿4 x+5⋅(2x−8 )=2

4 x+5⋅(2x−8 )=2⇒4 x+10x−40=2⇒14 x=42⇒ x=3 ,

y=2 x−8⇒ y=2⋅3−8=−2 , que es la solución en y.

La solución del sistema será{x=3 ¿ ¿¿¿

4.

{3 x+2 y=11 ¿¿¿¿y=−3 x+11

2⇒ y=−3⋅5+11

2=−15+11

2=−42

=−2

5.

(5 x−2 y=4 )−5⋅(3 x−4 y=1 )=(14 y=7 )

{5 x−2 y=4 ¿¿¿¿

SISTEMAS DE ECUACIONES 3X3

2x + 3y - z = 5x + 2y + 2z = 11-2x - 2y + 3z = 3

2x + 3y - z = 5

x + 2y + 2z = 11

2x + 3y - z = 5-2x - 4y - 4z = -22

-------------------------------0 - y - 5z = -17

2x + 3y - z = 5-2x - 2y + 3z = 3

--------------------------0 + y + 2z = 8

- y - 5z = -17y + 2z = 8

- y - 5z = -17y + 2z = 8

-----------------0 - 3z = - 9 --> z = -9/-3 = 3, z = 3.

z = 3, y + 2z = 8, y = 8 - 2×3= 2---> y = 2.Como z = 3, y = 2, y x + 2y + 2z = 11,

x + 2×2 + 2×3 = 11x + 4 + 6 = 11

x = 11 - 10x=1.

x = 1, y = 2, z = 3.

6x+5y+5z=39 …E1x-16y+2z=-88 …E2-3x+4y+4z=0 …E3

3(-x-16y+2z=-88) …E2-1(-3x+4y+4z=0) …E3

-3X-48Y+6Z=-264

+3X-4Y-4Z=0-51Y-2Z=-264 …E4

1(6x+5y+5z=39)6(-x-16y+2z=-88)

6x+5y+5z=39-6x-96y+12z=-528

= -91y+17z= -489 …E5

17(52y-2z=264) …E42(-91y+17z=-489) …E5

884y-34z=4488-182y+34z=-978

702y=3510y=3510/702

y=552y-2z=264

52(5)-2z=264260-2z=264-2z=264-260

-2z=4z=4/(-2)

z=-2

-3x+4y+4z=0-3x+4(5)+4(-2)=0

-3x+20-8=0-3x=0-20+8

-3x=-12x=-12/(-3)

x=4x= 4 y=5 z= -2

2x - 2y + z = 6 ----------- Ecuación 1 x + y - 2z = -4 ------------ Ecuación 2 3z - y + z = 6 ------------ Ecuación 3

1(2x - 2y + z = 6) = 2x - 2y + z = 6

- 2(x + y - 2z = -4) = -2x - 2y + 4z = 8

2x - 2y + z = 6 -2x - 2y + 4z = 8 ---------------------

/ - 4y + 5z = 14 ---------- Ecuación 4

Ecuación 1 y Ecuación 3:

3(2x - 2y + z = 6) = 6x - 6y + 3z = 18 -2( 3x - y + z = 6) = -6x + 2y - 2z = -12

6x - 6y + 3z = 18 -6x + 2y - 2z = -12

---------------------- / -4y + z = 6 ----------- Ecuación 5

-1(-4y + 5z = 14) = 4y - 5z = -14 (-4y + z = 6) = -4y + z = 6

4y - 5z = -14 -4z = -8 -4y + 5z = 14 -4y + z = 6 Z = -8 / -4 -4y + 5(2) = 14 ---------------- Z = 2 -4y + 10 = 14

/ -4z = -8 Y = 14 - 10 / -4 Y = 4 / -4 Y = -1

2x - 2y + z = 6 Resultado: 2x - 2(-1) + 2 = 6 X = 1 2x + 2 + 2 = 6 Y = -1 2x = 6 -2 -2 Z = 2

2x = 2 X = 2 / 2 X = 1

2x - y - 4z = 12 ----------- 1 3x - 4y + 2z = -11 --------- 2 -5x + 2y - z = 2 ----------- 3

1) 2x - y - 4z = 12 2) 3x - 4y + 2z = -11 3) -5x + 2y - z = 2

2x = 12 - y + 4z 3x = -11 + 4y - 2z -5x = 2 - 2y + z X = 12 - y + 4z X = -11 + 4y - 2z X = 2 - 2y + z

_________ __________ ________ 2 3 -5

12 - y + 4z -11 + 4y - 2z

----------- = -------------- 2 3

3(12 + y + 4z) = 2(-11 + 4y - 2z) 36 + 3y + 12z = -22 + 8y - 4z 3y + 12z - 8y + 4z = -22 - 36

-5y + 16z = -58 ---------------- Ecuación 7 12 + y + 4z 2 - 2y + z

------------- = ------------ 2 -5

-5(12 + y + 4z) = 2(2 - 2y + z) -60 - 5y - 20z = 4 - 4y + 2z -5y - 20z + 4y - 2z = 4 + 60

-y - 22z = 64 1) -5y + 16z = -58

2) -y - 22z = 64

-5y + 16z = -58 -y - 22z = 64 Y = -58 - 16z Y = 64 + 22z

----------- ----------- -5 -1

-58 - 16z 64 + 22z

---------- = ---------- -5 -1

-1(-58 - 16z) = -5(64 + 22z) -y -22z = 64 58 + 16z = -320 - 110z -y -22(-3) = 64 16z + 110z = -320 - 58 -y + 66 = 64 126z = -378 -y = 64 - 66

Z = -378 / 126 -y = -2 Z = -3 Y = -2 / -1

Y = 2

3x - 4y + 2z = -11 3x - 4(2) + 2(-3) = -11 Resultado:

3x - 8 - 6 = -11 X = 1 3x = -11 + 8 + 6 Y = 2 X = 3 / 3 Z = -3

2x - y + z = -3 -------------- Ecuación 1 3x + 2y - z = 1 -------------- Ecuación 2 x - 3y + 2z = -6 ------------- Ecuación 3

2x - y + z = -3

Z = -3 -2x + y ----------- Ecuación 4

3x + 2y - z = 1

3x + 2y -(-3 - 2x + y) = 1 3x + 2y + 3 + 2x - y = 1

5x + y = 1 - 3 5x + y = -2 ------------- Ecuación 5

x - 3y + 2z = -6

x - 3y + 2(-3 -2x +y) =- 6 x - 3y - 6 - 4x + 2y = -6

-3x - y = -6 +6 -3x - y = 0 ------------- Ecuación 6

5x + y = -2 Y = -2 - 5x

-3x - y = 0 5x + y = -2

-3x -(-2 - 5x) = 0 5(-1) + y = -2 -3x + 2 + 5x = 0 -5 + y = -2 2x = 0 - 2 Y = -2 + 5 2x = -2 Y = 3

X = -2 / 2 X = -1

2x - y + z = -3

2(-1) -(3) + z = -3 Resultado: -2 - 3 + z = -3 X = -1 Z = -3 + 2 + 3 Y = 3 Z = 2 Z = 2

5. Círculo geométricoDefinición: un círculo es un lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo llamado centro.8

La distancia entre los puntos P(x, y) de la circunferencia y el punto

C(h, k) , la cual denotamos como “ r ”, está dada por r = (x − h)2 + ( y − k)2 ,

Ejercicios:

1. Graficar la circunferencia que tiene por ecuación x 2 + y 2 −4x +6 y −12 = 0

La ecuación general dada, la transformamos a la ecuación canónica completando cuadrados

(x 2 −4x + 4)+(y 2 +6 y +9)=12 + 4 +9 (x −2) 2 +( y +3) 2 = 25

Tenemos una circunferencia de radio r = 5 y centro C(2,−3)

r = 5

C(2,−3)

2. Una plaza de forma circular mide 137,60 m. alrededor. ¿Cuánto costará ponerle baldosas si cada m2 cuesta 7euros?

Necesitamos calcular la superficie de la plaza, para lo cual es necesario conocer su radio, cosa que podemos hacer pues nos dan la longitud y sabemos que

Por lo tanto la superficie de la plaza es: Como cada m2 cuesta 1.200 Ptas., el costo de la plaza será de

3. Calcula el área de un sector circular de 16 cm de radio y 40º de amplitud

Puesto que

4. Calcula el área de una corona circular de 6 cm. de radio mayor y 4 cm. de radio menor.

El área de una corona circular es la diferencia entre el área del circulo mayor y el área del

círculo menor, por ello .

8. Geometría Euclidiana, José Rodolfo Londoño (segunda edición, 2006). Capítulo 5:

Circunferencia