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VERIFICACIÓN DE SUPOSICIONES SOBRE CAÍDA LIBRE. CÁLCULO Y

AJUSTE DE LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD.

AUTORES Julio A. Mendoza 00008812, Jennifer L. Martínez 00015012,

María J. Vallejo 00026912, Ronald F. Soler 00027912, Ester M. Guerrero 00048612.

Universidad Centroamericana José Simeón Cañas

Física I, Laboratorio 3A Mesa No.3

Correos electrónicos:00008812@uca.edu.sv;00015012@uca.edu.sv;

00026912@uca.edu.sv; 00027912@uca.edu.sv; 00048612@uca.edu.sv

COORDINADOR Humberto Molina

hmolina@uca.edul.sv

INSTRUCTORES Marcela Flores y Carlos Avelar

Resumen

El presente trabajo tuvo como objetivos verificar ciertas suposiciones sobre caída libre y calcular la

aceleración de la gravedad. Para ello se recurrió a realizar un experimento que consistió en dejar caer

ciertos objetos desde ciertas alturas y medir el tiempo de caída. Se realizó un ajuste de datos para

verificar la relación potencial entre ellos utilizando métodos estadísticos como el método de mínimos

cuadrados y el método logarítmico. Se analizaron los resultados y se comparó con lo que teóricamente

se esperaba.

Palabras clave

Caída libre, aceleración de la gravedad, métodos estadísticos, ajuste de datos, relación potencial.

1. Introducción: movimiento de los cuerpos en

caída libre, aportes y leyes fundamentales.

Ecuaciones de movimiento con aceleración debida a

la gravedad.

A lo largo de la historia se han realizado múltiples estudios

relacionados con la caída libre de los cuerpos, por ello

actualmente se conocen las diferentes posturas que han ido

formulando científicos y filósofos para poder comprender

este fenómeno entre ellos se encuentran Aristóteles, Galileo

Galilei, Einstein, entre otros.

1.1 Aristóteles.

La doctrina aristotélica fue dominante; durante siglos las

investigaciones de Aristóteles, principalmente empíricas, determinaron la forma de ver el mundo, en esta argumentaba

que todas las cosas están constituidas por cuatro elementos

fundamentales: fuego, agua, tierra y aire; y que el peso de un

cuerpo está determinado por la proporción que tiene de cada

uno de estos elementos.

Para él la física está dedicada fundamentalmente al estudio

de las causas eficientes y su relación con el movimiento, el

cual clasifico en dos tipos el movimiento natural y movimiento violento. El movimiento natural es el que

realizan los cuerpos para llegar a una posición preferida, es

decir que realizan los cuerpos para llegar a su estado natural,

planteaba que los cuerpos pesados (como una piedra)

tendían naturalmente a ir hacia abajo, y los cuerpos

livianos (como el humo) tendían naturalmente a ir hacia

arriba; mientras que en el movimiento violento los cuerpos

necesitan que se les aplique una fuerza que actué de manera

constante para producir y mantener el movimiento, es decir

que es un movimiento impuesto, originado por la acción de

fuerzas que actúan sobre un cuerpo (tiran o empujan). Los cuerpos en su estado natural de reposo no pueden

moverse por sí mismos, sino que es necesario aplicarles

una fuerza (empujarlos o tirarlos) para que se muevan.

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Para Aristóteles en el movimiento en caída libre los objetos

caen con una rapidez proporcional a su peso. “Aristóteles

creía que al dejar caer cuerpos livianos y pesados desde la

misma altura, sus tiempos de caída serian diferentes, los más

pesados llegarían antes al suelo que los más livianos.”

(Heinemann, Estrada, 1995).

La física de Aristóteles se resume en cuatro principios

sobre los cuales desarrolla sus estudios:

Negación del vacío.

Existencia de una causa eficiente en todo

cambio.

Principio de la acción por contacto.

Existencia de un primer agente inmóvil.

1.2 Galileo Galilei.

Galileo Galilei es considerado como el genio que sentó las

bases de la ciencia moderna al establecer una relación

entre la experimentación y la teoría. Galileo realizó

diferentes estudios que significaron un avance importante para las ciencias, principalmente para la astronomía, óptica

y mecánica. Fue revolucionando las teorías adoptadas hasta

el momento, refutando lo propuesto por Aristóteles, Galileo

encontró la manera de explicar cómo se mueven los

cuerpos independientemente de su naturaleza, incorporando

el concepto de vacío y el de aceleración de la gravedad. En

uno de sus experimentos dejo caer objetos de diferentes

pesos desde la Torre de Pisa y observo que los cuerpos caían

igual independientemente de su masa, tamaño y forma; y no

caían con una velocidad constante de sino que se aceleraban

de manera constante. También experimento dejando caer

esferas sobre planos inclinados con distintas pendientes y observo que la velocidad de las esferas aumentaba de forma

constante y que adquiría su máxima aceleración cuando el

plano estaba en forma vertical.

“En el caso de un cuerpo que se mueva en caída libre con

un movimiento rectilíneo, para Galileo la aceleración de ese

cuerpo no dependía de la masa del mismo, y esta idea

constituía un cambio de paradigma en el mundo de la física, por oponerse a la idea de Aristóteles.” (Hewit, 1999)

Galileo afirmó que si se deja caer simultáneamente desde la

misma altura un cuerpo liviano y otro pesado, ambos caerán

con la misma aceleración, llegando al suelo al mismo

instante; esta afirmación es correcta si se hace caso omiso a

los efectos producidos por el aire, es decir, este es un

movimiento idealizado de caída libre; en donde los cuerpos

que encuentran en el vacío, sin presencia del aire.

1.3 Albert Einstein: principio de equivalencia

Albert Einstein tras su famosa teoría de la relatividad

especial, quiso desafiarse abordando un tema muy complejo

incorporando el tema del campo gravitatorio a sus estudios.

Einstein dedujo que ningún tipo de experimento podría

determinar si habría o no un campo gravitacional, extrajo

del principio débil de equivalencia que las leyes de la

mecánica son las mismas en un campo gravitatorio uniforme

que un sistema con aceleración. Albert Eistein estableció en el principió de equivalencia que dos cuerpos caen (en un

campo gravitatorio) al mismo tiempo, independientemente

de su masa y su composición, no se puede distinguir entre

un campo gravitatorio uniforme y una aceleración uniforme.

Según Einstein las leyes de la física en un laboratorio,

inercial local, en caída libre, sin rotación, en un campo

gravitatorio son las mismas que en un sistema inercial.

Según las teorías newtonianas siempre y cuando la masa inercial sea idéntica a la masa gravitacional, todos los

graves, cuerpos libres, presentan un movimiento de caída

libre gravitatoria equivalente, Einstein estableció que todo

sistema de referencia en caída libre gravitatoria es inercial.

“Entonces caí en la cuenta: el hecho de la igualdad entre

masa inercia y pesante, o si se quiere, el hecho de que la

aceleración gravitatoria es independiente de la naturaleza de la sustancia que cae, puede expresarse así: en un campo

gravitacional, de extensión espacial reducida, las cosas se

comportan igual que en un espacio libre de gravitación,

siempre y cuando se introduzca en este, en lugar de un

sistema inercial, un sistema de referencia acelerado con

respecto a aquel.¨ (Einstein, 1947).

1.4 Caída libre: aceleración de la gravedad. Ecuaciones.

Se puede decir que el movimiento en caída libre es: cuando

se deja caer un objeto, el cual cae con hacia abajo con

movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, en el cual no se toman en cuenta la resistencia del aire, la rotación

terrestre y la disminución de la aceleración con la altitud. La

velocidad de un objeto que cae desde un lugar elevado

aumenta cada segundo una cantidad constante. El concepto

de caída libre es aplicado para un movimiento que va ya sea

en descenso o en ascenso Un ejemplo común de este

movimiento es cuando se deja caer un cuerpo con dirección

a la tierra, al comienzo el movimiento es uniformemente

acelerado, cambiando así de manera constante la velocidad.

El movimiento en caída libre se resume en tres leyes

fundamentales:

Todo cuerpo que cae libremente describe un

trayectoria vertical.

Caída libre es un movimiento uniformemente

acelerado.

Todos los cuerpos caen con la misma aceleración.

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1.4.1 La aceleración de la gravedad.

Todo objeto en caída libre acelera hacia debajo de manera

constante por la aceleración debida a la gravedad, la cual,

cerca de la superficie terrestre tiene una magnitud de 9.8

m/s², si suponemos que no hay resistencia del aire, todas las

cosas caen con esta misma aceleración.

1.4.2 Ecuaciones del movimiento en caída libre.

Para el movimiento en caída libre se toman en cuenta tres ecuaciones básicas que se utilizan para encontrar las

incógnitas en este movimiento, las cuales son:

(1)

(2)

(3)

En donde: Vy es la velocidad final en y, Voy es la velocidad

inicial en y, g es la gravedad, t el tiempo, Y posición final,

Yo posición inicial.

2. Materiales y métodos.

2.1 Materiales.

FIGURA 1. Materiales utilizados en el experimento.

1. Regla

2. Conectores de banana

3. Barrera de luz y su protector

4. Fuente de poder

5. Soportes y sus bases

6. Electroimán

7. Objetos utilizados para el experimento

8. Esponja amortiguadora

9. Multímetro

2.2 Método.

Se colocó el equipo necesario para realizar la práctica de la siguiente manera:

1. Se colocó en el soporte la barrera de luz y su protector.

2. Se colocó el electroimán a 785mm.

3. Se conectó el electroimán, la barrera de luz y

la fuente de poder, con los conectores de banana.

4. Se conecto la fuente de poder y se midió con

el multímetro el voltaje de salida. 5. Se colocó la esponja amortiguadora bajo la

barrera de luz.

Se procedió a tomar las medidas del tiempo en el cual un objeto metálico, el más grande de los tres

utilizados, lanzado desde cierta altura tardó en pasar

por la barrera de luz, para ello se siguieron los siguientes pasos:

1. Se obtuvo el voltaje adecuado para sostener la pieza metálica en el electroimán.

2. Se puso la barrera de luz en modo inicio-paro.

3. Se midió la altura inicial de la posición del

electroimán. 4. Se colocó la pieza en el electroimán y se

presionó el disparador en la barrera de luz.

5. Se realizó esta misma prueba tres veces, y se obtuvieron diferentes tiempos.

6. Se colocó el electroimán diez centímetros más

abajo y se realizó las mismas pruebas. Así se fue bajando cada diez centímetros el

electroimán hasta bajarlo 4 veces.

Se siguió este mismo procedimiento para realizar las pruebas con las otras dos piezas metálicas.

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3. Resultados y Discusión.

3.1 Resultados.

A partir de las medidas obtenidas en el experimento, se calculó la aceleración de la gravedad varias veces y se

realizó un ajuste a una relación potencial para calcular

el valor más apropiado de la aceleración de caída libre

de acuerdo a los datos medidos.

Tabla I. Tiempos de caída de objetos de distinto peso medidos de alturas

distintas.

Tabla II. Aceleraciones de caída libre calculadas para cada altura y tiempo medido

Tabla III. Datos para ajuste a una relación potencial.

FIGURA 2. Variación lineal de la altura en relación al tiempo de caída.

FIGURA 3. Variación de la altura en relación al tiempo de caída (relación

logarítmica. Se observan los datos y la recta de ajuste. El coeficiente de

correlación de los datos es de 0.86,. La probabilidad de que la relación no

sea de tipo potencial es de 1.7%. Incerteza Δc de la pendiente: ±0.38

(±24%). Incerteza Δa del intercepto: ±0.36 (±70%). Gravedad

experimental: 6.5 m/s2.

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

0.00 0.20 0.40 0.60

Variación lineal de la altura en relación al tiempo de caída.

y = 1.56x + 0.51 r=0.86

-0.40

-0.35

-0.30

-0.25

-0.20

-0.15

-0.10

-0.05

0.00

-0.60 -0.40 -0.20 0.00

log(

h),

h=a

ltu

ra

log(t), t=tiempo

Variación de la altura en relación al tiempo de caída (relación logarítimica).

Altura (m) Tiempo (s)

Error porcentual

del Tiempo (%)

Objeto liviano

0.749±0.001 0.361±0.003 0.9

0.649±0.001 0.334±0.003 0.8

0.551±0.001 0.302±0.002 0.5

0.449±0.001 0.289±0.002 0.7

Objeto pesado

0.683±0.001 0.390±0.001 0.1

0.641±0.001 0.366±0.001 0.3

0.541±0.001 0.336±0.001 0.2

0.441±0.001 0.302±0.001 0.2

Altura (m)

Aceleración

calculada

(m/s2

Error porcentual de la

gravedad (%)

Objeto liviano

0.749±0.001 11.47±0.20 1.8

0.649±0.001 11.61±0.18 1.5

0.551±0.001 12.06±0.12 1.0

0.449±0.001 10.73±0.16 1.5

Objeto pesado

0.683±0.001 8.97±0.03 0.3

0.641±0.001 9.59±0.06 0.7

0.541±0.001 9.57±0.04 0.4

0.441±0.001 9.65±0.04 0.4

Tiempo (s) Altura (t)

0.390 0.683

0.366 0.641

0.336 0.541

0.302 0.441

0.361 0.749

0.334 0.649

0.302 0.551

0.289 0.449

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3.2 Discusión.

El propósito de este experimento era verificar la

independencia de la aceleración gravitatoria con la

masa en el movimiento de caída libre. Asimismo, se debía verificar mediante una relación potencial que la

distancia recorrida por un cuerpo sometido a la

aceleración de la gravedad variase conforme al

cuadrado del tiempo de caída. Además, se calculó experimentalmente la gravedad.

Se tomaron mediciones del tiempo de caída de dos objetos de distinto pero para unas alturas dadas. Los

datos se reflejan en la Tabla I. Obsérvese que, en

general, el error porcentual del tiempo de caída del objeto liviano es mayor que el error porcentual del

tiempo de caída del objeto pesado.

Para cada altura dada se calculó teóricamente la aceleración de la gravedad así como su incerteza. Estos

datos se encuentran en la Tabla II. Nótese que las

aceleraciones calculadas para el objeto liviano son en general mayores que las del objeto pesado. Obsérvese

también que, similar al error del tiempo, el error

porcentual de la gravedad es mayor para los datos el objeto liviano que para los datos del objeto pesado.

La figura 2 muestra la variación lineal de la altura en

relación al tiempo de caída. Se observa una tendencia levemente lineal y una dispersión moderada.

La figura 3 muestra la variación de la altura en relación al tiempo de caída a través de una relación

logarítmica. Se usó el método de mínimos cuadrados

junto con el método logarítmico para realizar un ajuste de tipo potencial. La ecuación de la recta de ajuste es

y=1.56x+0.51. Se verifica un coeficiente de relación

más o menos alto, siendo éste de 0.86, lo que implica

que existe un 1,7% de que la relación entre los datos no sea de tipo potencial. Se calcularon también las

incertezas para la pendiente y el intercepto de la recta

de ajuste. Obsérvese que se obtuvieron incertezas relativamente grandes (±24% para la pendiente y

±70% para el intercepto). Dado que la gravedad se

calcula como la exponencial base 10 del intercepto, ésta tiene un valor; de acuerdo al ajuste, de 6.5 m/s

2.

Nótese que este valor experimental tiene un error

bastante grande dado que el error del intercepto es de

±70%. Además, la pendiente refleja una relación potencial de 1.56.

Causas de error. A la hora de realizar las mediciones de las alturas de las cuales se dejaron caer los objetos,

se utilizó una regla graduada hasta los milímetros; sin

embargo, no se midió apropiadamente la altura dado

que no se acercó la regla lo suficiente al objeto desde

el cual se quería medir la altura. Este error es de tipo sistemático y la causa es metodológica. A su vez, sólo

se realizó una única medición por altura, por lo que no

se consideró las fluctuaciones al azar en la medición.

Considérese también que el tiempo real de caída fue ligeramente mayor el medido. A pesar de haber

medido el tiempo con un instrumento de una precisión

relativamente alta, no se consideró el tiempo de retraso debido a la magnetización residual de los objetos. Este

error es también de tipo sistemático y causa

metodológica. Además, en general se tomaron pocas medidas de tiempo, lo que pudo haber repercudido en

la confiabilidad de los datos.

4. Conclusiones.

A partir de la interpretación hecha sobre los resultados,

se pueden generalizar las siguientes conclusiones:

1. Galileo propuso que la aceleración de caída

libre no depende de la masa del objeto en caída. De acuerdo a los datos obtenidos en este

experimento, las aceleraciones de caída del

objeto liviano son mayores a las aceleraciones del objeto pesado. Esta diferencia puede

deberse a factores como la resistencia que

ejerce el aire sobre los objetos. Intuitivamente

se puede pensar que a mayor peso, mayor es la resistencia que ejerce el aire sobre el objeto en

caída. Esto no concuerda con lo observado en

el experimento, por lo que debe investigarse más al respecto.

2. Se sabe teóricamente que la distancia recorrida

por un cuerpo en caída libre varía conforme al

cuadrado del tiempo de caída. La recta de ajuste de los datos tiene la ecuación

y=1.56x+0.51. por lo que la relación potencial

obtenida es de 1.56, lo cual difiere de lo que teóricamente se espera (se esperaba que la

recta de ajuste tuviese una pendiente de

aproximadamente 2). 3. La aceleración gravitatoria promedio en la

superficie terrestre es de 9.8m/s2.

Experimentalmente y a partir de la ecuación de

la recta de ajuste, se obtuvo que la aceleración gravitatoria es de 6.5m/s

2, lo cual difiere

considerablemente del valor promedio de la

gravedad. No esta demás recordar que los resultados finales probablemente difieren

dados los errores de medición y dada la

resistencia del aire en las pruebas realizadas.

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5. Referencias Bibliográficas.

Carvajal, O. 2007 .Einstein y la teoría de la relatividad. Del universo estático al universo en expansión. Recuperado

en Octubre 12, disponible en http://www.ucm.es/info/hcontemp/leoc/Einstein%20y%20la%20relatividad%20general.pdf

García, H. s.f. Caída Libre. Recuperado en Octubre 12, disponible en

http://www.proyectosalonhogar.com/Enciclopedia_Ilustrada/Ciencias/Caida_Libre.htm

Heinemann, A. & Estrada, E., 1995. Física. Mecánica. Fluidos. Calor.

Hewit, P., 1999. Física Conceptual. México: Addison Wesley Longman.

Mendoza, J.D., 2006. Física. 8° Ed. Lima: Editorial Terra.

Nuñez, R. & Molina, H., 2012. Manual de Laboratorio de Física I. 1° Ed. El Salvador: Talleres Gráficos UCA.

Sears, F., Zemansky, M., Young, H. & Freedman, R., 2004. Física Universitaria. Volumen 1. México: Pearson

Educación.