f2 s05 Guias Estudio Ondas Mecánicas
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DOCENTE
MOVIMIENTO OSCILATORIO
Si en una determinada región de pequeñas
dimensiones de un medio elástico como el agua, aire o
una barra metálica se provoca una deformación
momentánea que denominaremos perturbación, seobserva que debido a la elasticidad del material, la
perturbación no queda localizada en dicha región sino
que se propaga en todo el volumen del medio material
y aun es capaz de reflejarse en las superficies que
limitan a dicho medio.
Figura 1. Ondas en la superficie del agua
Las formaciones circulares de radio creciente en la
superficie del agua como consecuencia de una
deformación inicial en un punto que sirve de centro a
las circunferencias concéntricas o la propagación de un
pulso (deformación instantánea) a lo largo de unacuerda tensa, revelan que en este tipo de movimiento
denominado onda se cumple que:
1. Las moléculas del medio oscilan en torno a su
posición de equilibrio.
2.
No hay transporte de masa a lo largo del medio
material.
3.
Lo que se trasmite o se transfiere es el
movimiento oscilatorio a puntos distantes respecto
de su localización inicial.
En consecuencia:
- Una onda es esencialmente la propagación de una
perturbación o la transferencia de la condición
dinámica.
- Toda onda es portadora de alguna forma de energía
El sonido constituye una onda longitudinal iniciado por
la vibración de un cuerpo dentro del aire u otro medio,
dicha vibración es trasmitida gracias a las propiedades
elásticas del medio. Sin embargo cierto tipo de ondas
también se trasmiten en ausencia de medio material,
en este caso la perturbación ocurre en los campos
eléctrico y magnético de los átomos o cargas eléctricas,
dando lugar a las ondas electromagnéticas tales comola luz, rayos gamma, rayos X, microondas etc.
1. VELOCIDAD DE PROPAGACION DE UNA ONDA
TRANSVERSAL
Consideremos una cuerda de diámetro uniforme con
una densidad de masa constante µ = masa/longitud,
sujeta en el extremo derecho en un punto fijo y
sostenida horizontalmente por una fuerza de tracción F
como se ve en la Figura (2a). Si en el extremo izquierdo
se genera un pulso (deformación de corta duración)
transversal se observará que dicho pulso viaja hacia la
derecha (Figura 2b) y luego hacia la izquierda después
de reflejarse en su extremo derecho; Figura (2c)
Figura 2 (a) cuerda tensa (b) pulso viajando (c) pulso
reflejado
Consideremos como en la Figura 3 una porción de
cuerda de masa m y longitud 2s, cuya forma es la de
un arco de circunferencia de radio r y subtiende un
ángulo 2 en el centro de la circunferencia. La porción
de cuerda está sujeta a la tensión F por ambosextremos. Vemos en la Figura 3 que dichas fuerzas de
tensión F son tangentes a la circunferencia y dan una
resultante Fc dirigida hacia su centro.
a) F
b) F
c) F
I c
c
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Figura 3. Fuerzas sobre el fragmento de cuerda
vibrante
Esta fuerza es la fuerza recuperadora del medio
elástico que es la cuerda y puede considerase como
una fuerza centrípeta para un observador que viaja
junto con el pulso, para tal observador la porción de
cuerda en estudio está realizando un movimiento
circular con una velocidad tangencial igual a lavelocidad de propagación del pulso (v = c). Luego la
ecuación de la fuerza centrípeta es:
Fc = mr
c2
(1)
donde Fc = 2Fsen y m = (2s) = (2r) que
sustituidos en la ecuación anterior y utilizando la
aproximación sen da como resultado: F = c2 de
donde la velocidad de propagación de las ondas
transversales en una cuerda está dada por:
c =
F (2)
2. VELOCIDAD DE PROPAGACION DE UNA
ONDA LONGITUDINAL
Consideremos ahora las perturbaciones en el seno de
un líquido o un gas debido a las variaciones de presión.
En este caso se encuentra que la dirección de vibración
de las moléculas del medio coincide con la dirección de
propagación de la perturbación. Tomemos para el caso
un cilindro abierto de gran longitud lleno de gas aire. Si
mediante un pistón de superficie S realizamos una
rápida compresión incrementando localmente la
presión en dp; obsérvese la Figura (4) en el intervalo de
tiempo el pistón avanza la distancia v comunicando
a las moléculas la velocidad v mientras que en el
mismo intervalo la perturbación avanzó la distancia c.
El impulso trasmitido por el pistón incrementa la
cantidad de movimiento de las moléculas. Si tal
incremento es mv, podemos escribir:
F. = mv (3)
siendo F = (dp)S la fuerza neta que actúa sobre el
volumen gaseoso. Desde que el módulo de
compresibilidad de una sustancia está dada por B =
Vodp/dV; se obtiene dp = (B.dV/Vo) y luego F =
(B.dV/Vo)S
De la Figura (4) se tiene que dV = S(v) y Vo = S(c)
reemplazando estos valores
F = B (v/c)S
Figura 4 (a) Aire en reposo (b) La perturbación viaja a
la velocidad c mientras el pistón a la velocidad v
Si la densidad del medio es , la masa del volumen de
sustancia perturbada es:
m = Vo = .S.(c)
Sustituyendo este valor y el de la fuerza en la ecuación
(3) se obtiene la velocidad c para las ondas
longitudinales en un medio de compresibilidad B y
densidad .
Bc (4)
El mismo razonamiento se puede aplicar para
determinar la velocidad de las ondas en el interior de
2s
Fc
r
FF
F
Vo
dV
vτ
cτ
aire
(a)
(b)
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una barra metálica, puesto que la tracción o
compresión en el interior de la barra da lugar a una
perturbación longitudinal. El resultado es
Y c (5)
donde Y es el módulo de Young del material donde se
propaga la onda.
En el seno de un líquido o en un gas sólo es posible
generar ondas longitudinales porque es imposible
producir en las capas de un fluido esfuerzos cortantes
que darían lugar a las ondas transversales, como
ocurre en los sólidos, en los que se puede generar y
transmitir ondas longitudinales, transversales,
torsionales, etc.
3. ECUACION DE ONDA
Un tren de pulsos positivos y negativos generado de
modo continúo y viajando sin retorno forman las
ondas viajeras, su forma es similar a la que se muestra
en la Figura (5) visto en un instante dado en el plano
XY.
Figura 5. Onda viajera
La ecuación de ésta curva es una función armónica
senoidal y = f(x) dada por:
y = A sen kx (6)
donde A es la amplitud de la onda que no es sino laamplitud de las vibraciones de las moléculas del medio
y kx es la fase:
= kx (7)
donde la constante k se denomina número de ondas y
se mide en inverso de metros: [k] = 1/m , [] = radian.
Como la función senoidal es una función periódica,
existe un período espacial denominado longitud de
onda y se representa con la letra griega lambda ( ). La
longitud de onda es la distancia que avanza la onda en
el tiempo de una oscilación completa (periodo T) de
una partícula del medio.
= cT
Esto es, la longitud de onda es la mínima distancia
entre dos puntos con igual fase (puntos de abscisas x1
y x2 en la Figura 5.
De la Ecuación (7) vemos que la diferencia de fase
entre dichos puntos es: = k(x2 – x1)
Pero los puntos de igual fase son tales que = 2; así
resulta:
2 = k.
2k (8)
El vector cuyo módulo es el número de ondas se
denomina vector de propagación k, e indica la
dirección de propagación de la onda. Ahora bien,
supóngase que la onda de la Figura 5 se traslada hacia
la derecha una distancia h
Figura 6. Avance de la onda en el tiempo t
la ecuación que corresponde a esta nueva situación es:
y = A sen k(x – h)
Esto es equivalente a una traslación del origen de
coordenadas hacia la izquierda una distancia h (Figura6); por consiguiente la ecuación dinámica de una onda
trasladándose hacia la derecha estará dada haciendo
h = ct donde c es la velocidad de la onda
y = A sen k(x – ct) (9)
x1x2
0
yc
x h
x
y
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Esta ecuación denominada función de onda es la
representación matemática de la onda.
La función de onda puede expresarse en otras formas
observando que:
c =T
2 =
T
2 =
y = A sen(kx – t + φ) (10)
donde φ es una constante denominada constante de
fase cuyo valor está relacionado con los valores
iniciales de x y/o de t. Y evidentemente la velocidad de
la onda también puede expresarse del siguiente modo:
k c (11)
La velocidad de propagación calculada de esta manera
se denomina velocidad de fase.
TRANSPORTE DE ENERGIA EN EL MOVIMIENTO
ONDULATORIO
En las diferentes clases de ondas mencionadas en las
secciones anteriores se ha visto que son los átomos o
moléculas del medio a través de los cuales se propaga
la onda, pero los átomos se mantienen en promedio
en sus posiciones de equilibrio, por tanto no haytransporte de masa. Es el movimiento o el estado
dinámico que se trasmite de una región a otra. Es decir
en una onda son transmitidos o propagados la
energía y la cantidad de movimiento.
En el caso de la propagación de las ondas transversales
en una cuerda cada segmento de masa m = x se
encuentra en movimiento armónico simple, de modoque podemos aplicar la energía total de dicho segmento
con la ecuación:
E = ½ kA
2
(12)
Siendo A la amplitud de las oscilaciones y k la
constante elástica (no confundir con la constante de
propagación) k = (m)2 = (x)
2. Esto es, la energía
de la onda en un segmento de cuerda de longitud x
es:
E = ½ (A)2x (13)
y como x = ct, la potencia media Pm transmitida en
la dirección de propagación de la onda está dada por
Pm = t
E
= [ ½ (A)2
]c (14)
Figura 7- Cada segmento realiza movimiento armónico
simple
Este resultado es de validez general, para el caso de las
ondas longitudinales la masa dm está relacionada con
la densidad del medio y el elemento de volumen dV
del siguiente modo dm = dV, por tanto podemos
hacer el siguiente cambio:
=d
dm =
d
dV =
d
Sd. = S (15)
Figura 8
Reemplazando este resultado en la ecuación (14), se
tiene la potencia media:
Pm = S[2
1 (A)2]c (15)
Las dimensiones de la cantidad que queda entre
corchetes son las de una densidad de energía (energía
por unidad de volumen). Por consiguiente
designaremos con la densidad de energía media
= ½ (A)² (16)
y
Fy
F
- Fy
m
x
d
S
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Luego la potencia media está dada por:
Pm = .S.c (17)
La magnitud que define al flujo de energía a través de
una superficie es denominada intensidad I de la onda,
Esto es:
área
tiempo/energíaI (18)
S
PI m =
2
1 (A)2c (19)
I = .c (20)