Factores de pérdidas por cortante para flujo de agua en tuberías

Jaime A. Revilla Fajardo1

Universidad Veracruzana

Las pérdidas de carga por cortante en las tuberías son un elemento importante, que se debe tener en cuenta en el diseño de conducciones, pues influyen en la decisión del diámetro de éstas. Por lo tanto, son uno de los factores de mayor peso en los aspectos económicos de cualquier obra hidráulica. Su cálculo correcto es fundamental en el diseño de estas obras. Aunque en la actualidad se considera que la ecuación de Darcy-Weisbach (D-W) es la más confiable para calcular estas pérdidas, sobre todo a partir de la formulación propuesta por Colebrook-White (C-W) para calcular el factor de fricción f , aún se siguen usando las llamadas ecuaciones “empíricas” como las de Manning (Mn), Hazen-Williams (H-W), Scobey (Sc), entre otras, principalmente a causa de su sencillez matemática. Por lo que, y con objeto de seguir aprovechando esta sencillez matemática, en este trabajo se propone un método de correlación entre los coeficientes de pérdidas por cortante de las ecuaciones de Darcy-Weisbach y Manning, a fin de que sus resultados sean iguales para las mismas condiciones de flujo, de fluido y de material del tubo.

La resistencia al flujo de cualquier fluido incompresi- ble, en cualquier tubería, es uno de los factores más importantes en el diseño de toda obra hidráulica. Su valor afecta directamente el tamaño de estas tube- En la cual rías y, en ocasiones, determina el valor de la potencia de los equipos de bombeo que se instalen en dichas Hf= pérdida de carga por fricción. obras. De aquí que, su predicción correcta es funda- L longitud total de la tubería recta. mental en la economía de costos de operación y de V velocidad media del flujo. adquisición de cualquier obra hidráulica. d = diámetro interior de la tubería.

K = coeficiente de resistencia que es función de la Si, por ejemplo, en una estación de bombeo, rugosidad de la pared interior de la tubería. los diámetros de las tuberías de descarga se

incrementan para un caudal y carga total dados, En la ecuación (1), los exponentes m y x se las pérdidas por cortante por unidad de longitud

obtienen empíricamente y en el coeficiente K se decrecen, y en consecuencia, los requerimientos de incluye el valor del “coeficiente de rugosidad”. energía de los motores de las bombas y los costos de

Estas relaciones (ecuación 1) fueron las primeras operación son menores. que se usaron para calcular estas pérdidas y son

mayor exactitud estas pérdidas. la zona del flujo y tubería para la cual se estableció Existen varias ecuaciones que permiten calcular las experimentalmente su respectivo coeficiente de

pérdidas por fricción con cierta exactitud. Estas se rugosidad. pueden escribir, en términos generales, en la forma Algunas de estas ecuaciones, como las de siguiente: Manning (Mn), Hazen-Williams (H-W), Chezy (Ch),

Por estas razones, es importante calcular con llamadas “empíricas”. Sus valores son válidos para

etc., aún en la actualidad son muy utilizadas a causa de su gran sencillez de operación en cálculos complejos o iterativos.

Muchos investigadores han empleado las ecuacio- nes empíricas con un coeficiente simple de rugosi- dad en diseño de redes y en optimización: Mandry (1967); Karmelli y otros (1968), etcétera. Lee (1959) preparó un nomograma relacionando los factores de rugosidad de las ecuaciones de Chezy y Manning con el de la ecuación de Darcy-Weisbach. Hughes y Jeppson (1978), basados en mediciones de cam- po efectuadas sobre tubos de PVC de 44.00, 55.00 y 67.00 mm de diámetro, compararon los valores de las ecuaciones de H-W y D-W y concluyeron que es más exacto usar un coeficiente de rugosidad de 133 (C = 133) en la ecuación de H-W, en lugar de C =150 como recomiendan muchos fabricantes de estos tubos.

Fadi Z. Kamand (1 988) relacionó los coeficientes de rugosidad de !as ecuaciones de Mn y H-W con el factor de fricción f dado por la ecuación de C-W, y preparó dos nomogramas a partir de las relaciones obtenidas por estas ecuaciones. Estas relaciones son:

En estas ecuaciones:

V = velocidad media del flujo k1 y K2= constantes que dependen del sistema de

C y n = coeficientes de rugosidad de H-W y Mn, unidades usado

respectivamente g = aceleración de la gravedad D = diámetro interior de la tubería y

H-W = factores de fricción correspondientes, con fMn los cuales si se usan en la ecuación

de D-W en lugar del calculado por la ecuación de C-W, para las condiciones de flujo dadas, se obtendrían iguales pérdidas por cortante que las calculadas con las ecuaciones de H-W y Mn, respectivamente.

El significado implícito en estos trabajos es que n valor constante del coeficiente de rugosidad de las ecuaciones empíricas es válido únicamente para n cierto rango de velocidades y para un diámetro e tubo determinado. Esto explica las grandes

diferencias que se obtienen cuando se calculan las pérdidas por cortante con las ecuaciones de D-W y cualquiera de las ecuaciones empíricas.

Si se quiere seguir utilizando la simplicidad matemática de estas últimas y obtener resultados iguales a los de la ecuación de D-W, debe aplicarse un método que permita calcular los coeficientes de rugosidad en función de las características del flujo, del fluido y del material de la tubería de conducción.

El objetivo principal de este trabajo es encontrar las relaciones analíticas que permitan calcular el coeficiente de rugosidad n de Manning en función de las características mencionadas, y que al utilizarse en la ecuación de Mn, permita obtener resultados iguales a los de la ecuación de D-W.

Procedimiento

La ecuación de D-W ha sido ampliamente usada a partir de la determinación del factor de fricción f propuesta por Colebrook-White y la cual, a pesar de los factores empíricos incluidos en ella, se considera como la que mejor describe el comportamiento de las pérdidas por cortante en flujos de transición y turbulentos en tuberías comerciales con RE 4000.

La muy conocida ecuación de D-W se escribe:

En ésta:

Hf = pérdida por cortante L y D = longitud y diámetro interior de la tubería,

respectivamente V g f

= velocidad media del flujo = aceleración debida a la gravedad y = factor de fricción, el cual se calcula con la

ecuación de C-W, que se escribe:

Donde

e

V D v

Como f aparece en ambos lados de la ecuación (3), no es posible una solución explícita para f ,

= rugosidad absoluta de la pared del tubo

= velocidad media del flujo = diámetro interior del tubo y = viscosidad cinemática del agua.

RE = V D / v

con e / D y RE conocidos. Entonces se utiliza una solución del tipo iterativo y la ecuación (3) se arregla en la forma siguiente: En esta ecuación n = coeficiente de rugosidad de

Mn, y las demás literales son como se definieron en las ecuaciones (3) y (5).

La ecuación (6) se conoce como ecuación de Mn para calcular las pérdidas por cortante en tuberías a presión y, como es evidente, se expresa en función de la velocidad media del flujo V. Es posible, gracias a la ecuación de continuidad v = 4Q/IID2, utilizar la ecuación (6) en función del caudal Q , la que después de sustituir el valor de V , hacer operaciones Y simplificar, se obtiene:

Una característica usual de la ecuación (4) es que converge rápidamente cuando se estima un valor inicial de f y se calcula un nuevo valor de f del lado derecho de la ecuación. Entonces, el nuevo valor de f se usa para recalcular f y el procedimiento se repite hasta que el cambio en valor de f es despreciable. Así por ejemplo, con e / D = 0.000587 y RE = 105 se supone fi = 0.040 como valor inicial, y se hace el cálculo con la ecuación (4) f1 = 0.017560; sustituyendo este valor en la ecuación (4) se obtiene f2 = 0.017712; se repite la operación y se obtiene f3 = 0.0177710; y finalmente f4 = 0.017710 que resulta igual al anterior, por lo que se considera como el valor correcto de f.

La ecuación 3 (ó 4) ha sido dibujada sobre papel Log-Log, y la gráfica resultante se conoce como diagrama de Moody (1944), la cual ha sido muy Útil en los cálculos iterativos, especialmente cuando no se dispone de calculadoras programables.

Los valores experimentales que se usan en la ecuación (4), tales como la rugosidad absoluta e han sido reportados por varios investigadores y en la actualidad se consideran como mas exactos los reportados por el Instituto Americano de Hidráulica (IAH) en el Engineering Data Book ( l a Edic. EUA, 1979). Los valores de la viscosidad cinemática del agua a diferentes temperaturas se pueden consultar en cualquier manual de hidráulica.

La ecuación (7) indica la característica variable del coeficiente de rugosidad n de Mn y permite correlacionar su valor con las características del flujo, para lo cual y utilizando un procedimiento de regresión lineal, se obtendrá el valor de n en función del Número de Reynolds RE como una relación del tipo potencial n = B

Es Útil mencionar que los valores de B y m de la relación de potencia, reportados en los cuadros 1 y 2, son los mismos cualquiera que sea el sistema de unidades con el que se este trabajando y que, por utilizar el Número de Reynolds como variable independiente, se toma en cuenta cualquier variación en viscosidad cinemática del agua y la precisión de la ecuación de Manning respecto a la de Darcy- Weisbach sigue siendo la misma.

Con objeto de obtener una mayor exactitud con el método de regresión empleado, en el cuadro 1 para tuberías de acero comercial (forjado) la región de flujo se dividió como sigue:

A. Tuberías de 1.00 a 5.00' de diámetro NOM,

La ecuación empírica de Manning se escribe:

Donde

V = velocidad media del flujo RH radio hidráulico (para tubos totalmente

llenos, RH = D/4) D S = pendiente de la línea de pérdidas por

K2 1.00 (para el sistema internacional de

K2 = 1.486 (para el sistema inglés de unidades).

Sustituyendo valores, simplificando y resolviendo

= diámetro interior del tubo

cortante (S = H f / L )

unidades) y

para Hf se obtiene: 5000 RE 50000; y 50000 < RE < 200000

Que es otra forma de la ecuación de Manning. Como las ecuaciones de Darcy-Weisbach y

Manning, ecuaciones (2) y (6), deben dar resultados iguales para iguales condiciones de flujo, tipo de fluido y material y diámetro del tubo, es posible entonces igualar estas ecuaciones, y:

Reduciendo términos iguales y resolviendo para n se tiene:

Estas regiones de flujo cubren la mayoría de

La validez y precisión de los valores del coeficiente valores del Número de Reynolds utilizados en

de rugosidad de Manning n calculado con el aplicaciones industriales y para riego.

Para el caso de tuberías de asbesto-cemento, las procedimiento antes descrito, fue verificado usando regiones de flujo consideradas son: las Tablas de perdidas de carga por fricción

publicadas por el mencionado IAH, tablas núms. 9, 13,16 y 19, pp. núms. 53, 54 y sucesivas.

En los cuadros 3, 4, 5 y 6 se proporcionan los resultados obtenidos y lab diferencias en porcentaje entre los valores calculados con las ecuaciones de Mn y D-W.

Ecuación de Manning simplificada

Si en la ecuación (6a) se sustituye el valor de n = B RE-m = se obtiene:

Hf =10.2942L K2-2 + 6m)1/3)B2v2m x

Si se define:

= 10.2942(II/4)2m = Cte.

para un caso determinado, la ecuación de Manning (6a) se escribe:

Hf K0v2m L Q2(1-m) (8)

Aquí se ha llamado a la ecuación (8) “ecuación de Manning simplificada” y permite calcular con una gran precisión las pérdidas por cortante, toman-

do en cuenta la viscosidad cinemática del agua; los valores que se obtienen son iguales a los calculados con la ecuación de Darcy-Weisbach, evitando además las iteraciones que introduce la ecuación de Colebrook-White.

En los cuadros 1 y 2 se dan los valores de B y m obtenidos por regresión lineal, para cada diámetro de

tubería y también los valores de Ko y calculados para el sistema internacional de unidades y para el sistema ingles de unidades, respectivamente.

Aplicaciones

(1) Considerando que circula agua a 60” F de temperatura (v = 0.00001217 ft2/s), por una tubería de 8.00” de diámetro nominal, de acero comercial nueva, e = 0.00015 ft; L = 1600 ft; Q = 2.1207 ft3/s; D=7.981” (véase cuadro 1). Area transversal = 0.347410 ft2, calcular la pérdida de carga por cortante con las ecuaciones de D-W y Mn (ecuaciones (2) y (8)).

Solución

Calculando con la ecuación de D-W, se tiene:

333597.27; por lo que de la ecuación de C-W (ecuación (4)) se obtiene:

V 6.104319 ft/s; RE VD/v

Conocido el valor de f , se sustituye en la ecuación de D-W (ecuación (2)) y se obtiene:

Calculando con la ecuación de Manning (ecuación (8)), el calculo es directo. Es decir:

Sustituyendo valores en la ecuación (8) se obtiene:

La diferencia resulta de +1.2759% la ecuación de Mn respecto a la de Darcy-Weisbach.

(2) Con los datos del ejemplo 1, excepto que el agua está a 120º F de temperatura, por lo que: v = 0.00000609 ft2/s; y RE 666646.76

Solución

Con la ecuación de D-W se tiene:

V = 6.104319 ft/s, por lo que la ecuación de C-W da f=0.015290

En los cálculos anteriores se usó g = 32.174 ft/s2.

Sustituyendo valores en la ecuación de D-W, ecuación (2), se tiene:

Usando la ecuación de Mn, se obseva que el Único cambio es el valor de la viscosidad cinemática, entonces:

Haciendo operaciones se obtiene:

produciendo un diferencial de% Hf = +0.454477% entre la ecuación de Mn y la de D-W,

Explicación

En los cuadros 3, 4, 5 y 6, como ya se men- cionó, se comprueban los valores obtenidos por regresión lineal para determinar los valores de B y m que permiten definir la ecuación de potencia del coeficiente n de Manning (n = B Para lograr esto se compararon los los valores de las perdidas por cortante dados por el Instituto Americano de Hidráulica en la publicación mencionada. En ella se usa la ecuación de Darcy-Weisbach para calcular la pérdida por cortante (ecuación (2), y el factor de fricción se calcula con la ecuación (4) (de C-W). La viscosidad cinemática del agua (a 60º F) y la rugosidad absoluta del acero forjado son V =

0.00001217 ft2/s; y e = 0.00015 ft

Con la ecuación anterior se calcularon las pérdidas y SUS resultados se reportan en la casilla F1 a F18, que corresponde a valores del Núm. de Reynolds desde 5000 RE < 50000.

De la columna E19 a E25 y F19 a F25 corresponde a: 50000 RE 200000 y del cuadro 1 se obtiene:

La secuencia de cálculos es como sigue:

En todos los cuadros 3, 4, 5 y 6, las columnas A, B, C y D se tomaron de la publicación señalada y carresponden a las tablas 9, 13,16 y 19, pp. 53, 56, 59 y 62 (Ibid, 1979). Las demás columnas (E, F y G) se calcularon como sigue:

B = 0.014395

m = 0.0499

Ko = 9.3777

La ecuación de Manning simplificada (ecuación 8) queda (para v = 0.00001217 ft2/s) y L = 100 ft

Cuadro 3:

De la casilla E l a El8 inclusive se tiene:

B = 0.024899 m = 0.1007 Ko = 22.8965

(véase cuadro I ) (véase cuadro 1) (véase cuadro 1)

La ecuación de Manning simplificada (ecuación 8) da:

Como v = 0.00001217 tt2/s, entonces:

La columna G completa se calculó con la relación:

Cuadro 4:

Para calcular los valores de las casillas E l a E7 y F1 a F7, que corresponden a 5000 RE I 50000, en el cuadro 1, hay:

La ecuación de Mn simplificada queda:

Hf(Mn) 8.760382(Q) 1.778740

De la casilla E8 a E24 y F8 a F24, los valores son:

Para 5000 RE 200000, del cuadro 1 se lee:

B = 0.018798 m = 0.06677

= 0.4667

La ecuación de Mn simplificada queda:

Para esta tubería se consideran los rangos de flujo más usuales, por razones económicas, los comprendidos entre los Números de Reynolds de 65000 a 190000, que corresponden a V = 2.36 a 6.89 ft/s. Y como se observa en la columna G, la diferencia en valor es siempre menor que 0.90%.

Cuadro 5:

En este caso el rango más usual corresponde a V- 2.57 a 15.4 ft/s, Ó 140449 I RE I 841600.

Por lo que, la ecuación de Mn simplificada es:

Y las diferencias en valor, entre la ecuación de D-W y Mn se dan en la columna (G).

Cuadro 6:

De la casilla E l a E19 inclusive, en el cuadro 1

para valores del Núm. de Reynolds de 100000 a 1000000 se lee:

y la ecuación de Mn simplificada queda:

De la casilla E20 a E23 y F20 a F23, se usan los siguientes valores:

La ecuación de Mn simplificada queda:

Por razones económicas, la región del flujo más usada corresponde a velocidades de 7.11 a 16.6 ft/s y en esta región del flujo, las diferencias entre ambas no llega a ser mayor de +0.66%.

Conclusiones

En la práctica, cuando se calculan redes de distribución de agua potable o líneas largas de descarga de estaciones de bombeo, es posible usar las ecuaciones empíricas para calcular las pérdidas por cortante, principalmente por su sencillez matemática.

Esto es posible siempre y cuando se utilice un método que permita obtener el valor correlacionado de los coeficientes de rugosidad de las ecuaciones empíricas y la de Darcy-Weisbach.

En este caso sólo se correlacionaron la ecuación de Manning y el factor de fricción dado por la ecuación de Colebrook-White, con la finalidad de obtener resultados iguales entre ambas ecuaciones, lo cual ha quedado demostrado en el presente trabajo.

Aun cuando sólo aplicamos el método de correlación a las tuberías de acero forjado y asbesto- cemento, evidentemente se puede ampliar el método a las demás tuberías comerciales y, por supuesto, se puede usar cualquier otra de las ecuaciones empíricas.

Es importante mencionar que el uso de los valores obtenidos para calcular el coeficiente de rugosidad de Manning n dados en los cuadros 1 y 2,

produce resultados satisfactorios a menos que estén disponibles otros valores basados en mediciones de campo, de laboratorio o en experiencias practicas. 1 Unidad docente interdisciplinaria de Ingeniería y Ciencias Químicas,

Karmeli, D., Gadish, Y and Meyers, S. "Design of optimal water distribution networks", J. Pipeline Div., vol. 94, núm. (1), 1968.

Lee, F. S. Y. “Pipe-Flow formulas compared by nomograph" Civ. Engrg., vol. 29, núm. (11), ASCE, 1959.

Kamand, Fadi Z "Hydraulic friction factor for pipe flow", J. of Irrig. and Drainage Engrg, vol. 114, núm. (2), ASCE, 1988. Streeter, V. L. y While, E. B. Mecánica de los fluidos, 8a.

Edic., México, McGraw-Hill, 1987. Hydraulic Institute. Engineering Data Book, 1a. Ed. EUA,

Mandry, J. E. "Design of pipe distribution systems for sprinkler projects", J. Irrig. and Drain. Engrg., ASCA. Chapra C. Steven y Canale R. P. Métodos numéricos para vol. 93, núm. (3), 1967.

Facultad de Ingenieria Civil.

Bibliografía

1979.

ingenieros, México, McGraw-Hill, 1987.