FactorizacinEnmatemticas, lafactorizacines una tcnica que consiste en la descripcin de una expresin matemtica (que puede ser un nmero, unasuma, unamatriz, unpolinomio, etc) en forma de producto. Existen distintos mtodos de factorizacin, dependiendo de los objetos matemticos estudiados; el objetivo essimplificaruna expresin o reescribirla en trminos de bloques fundamentales, que recibe el nombre defactores, como por ejemplo un nmero ennmeros primos, o un polinomio enpolinomios irreducibles.Elteorema fundamental de la aritmticacubre lafactorizacin de nmeros enteros, y para la factorizacin de polinomios, elteorema fundamental del lgebra. La factorizacin de nmeros enteros muy grandes en producto de factores primos requiere de algoritmos sofisticados, el nivel de complejidad de tales algoritmos est a la base de la fiabilidad de algunos sistemas decriptografa asimtricacomo elRSA.EjemplosDescomponer en factores sacando factor comn y hallar las races1.x3+ x2=x2(x + 1)La races son:x = 0yx = 12.2x4+ 4x2=2x2(x2+ 2)Slo tiene una raz x = 0; ya que el polinomio, x2+ 2, no tiene ningn valor que lo anule; debido a que al estar la x al cuadrado siempre dar un nmero positivo, por tanto es irreducible.3.x2 ax bx + ab =x (x a) b (x a) = (x a) (x b)La races sonx = ayx = b.

Factor comn.Para comenzar, comparemos las multiplicaciones con los factores y veamos si podemos descubrir un patrn.

Usan la propiedad distributiva. Cuando multiplicamos, tenemos que:. Cuando factorizamos.Para factorizar un binomio, debemos hallar un factor (en este casoa) que sea comn a todos los trminos. El primer paso para tener una expresin completamente factorizada es seleccionar el mximo factor comn,. Aqu tenemos como hacerlo:Mximo factor comn (MFC).- El trmino, es el MFC de un polinomio s:1. aes el mximo entero que divide cada uno de los coeficientes del polinomio, y2. nes el mnimo exponente dexen todos los trminos del polinomio.De este modo para factorizar, podramos escribirPero no est factorizado por completo por quepuede factorizarse an ms. Aqu el mayor entero que divide a 16 y 8 es 6, y el mnimo exponente dexen todos los trminos es. De esta manera la factorizacin completa es. Dondees el MFC.EJEMPLO:FactorizarEJEMPLO:FactorizarEJEMPLO:Factorizar

FACTOR COMN EN GRUPOS / EJERCICIOS RESUELTOS

EJEMPLO 1: (Todos los trminos son positivos)

4a + 4b + xa + xb =

4.(a + b) + x.(a + b) =

(a + b).(4 + x)

Saco factor comn "4" en el primer y segundo trmino; y factor comn "x" en el tercer y cuarto trmino. Los dos "resultados" son iguales: (a + b). Luego, saco como factor comn a (a + b).

EXPLICACIN DEL EJEMPLO 1

EJEMPLO 2: ("Resultado desordenado")

4a+ 4b + xb+xa =

4.(a + b)+ x.(b + a) =

4.(a + b) + x.(a + b) =

(a + b).(4 + x)

En el primer paso el "resultado" qued "desordenado": (b + a). Pero puedo cambiar el orden de los trminos, ya que (b + a) es igual que (a + b)

EXPLICACIN DEL EJEMPLO 2

EJEMPLO 3: (Con trminos negativos)

4a - 4b + xa - xb =

4.(a - b) + x.(a - b) =

(a - b).(4 + x)

Si los "resultados" quedan iguales no hay problema.

Los mejores cursos GRATISVer TODOS los1362cursos GRATISParticipa en el ForoDiferencia de cuadradosSe le llama diferencia de cuadrados al binomio conformado por dos trminos a los que se les puede sacar raz cuadrada exacta.Al estudiar losproductos notablestenamos que:

En donde el resultado es una diferencia de cuadrados, para este captulo es el caso contrario:

Donde siempre la diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de sus bases.Pasos:1. Se extrae la raz cuadrada de ambos trminos.2. Se multiplica la suma por la diferencia de estas cantidades (el segundo termino del binomio negativo es la raz del termino del binomio que es negativo).Ejemplo explicativo:

Ejemplos:Los Participa en el ForoTrinomio cuadrado perfectoSe llamatrinomio cuadrado perfectoal trinomio (polinomio de tres trminos) tal que, dos de sus trminos son cuadrados perfectos y el otro trmino es el doble producto de las bases de esos cuadrados.

En el trinomio cuadrado perfecto los trminos cuadrados son siempre positivos, en cambio el trmino del doble producto puede ser negativo; en este caso debe ser negativo uno de los trminos del binomio cuyo cuadrado es el trinomio dado, del ejemplo anterior tenemos:

CUATRINOMIO CUBO PERFECTO / EJERCICIOS RESUELTOS

EJEMPLO 1: (Todos los trminos son positivos)

x3 + 6x2 + 12x + 8 = (x + 2)3

x2 3.x2.2 3.x.22 6x212x

Las bases sonxy2.Los dos "triple-productos" dan bien (6x2y 12x).El resultado de la factorizacin es "la suma de las bases, elevada al cubo".

EJEMPLO 2: (Con trminos negativos)

x3 - 9x2 + 27x - 27 =(x - 3)3

x-3 3.x2.(-3) 3.x.(-3)2 -9x2 27xLas bases son x y -3, ya que (-3)3es igual a -27.Y los dos "triple-productos" dan bien.El resultado es (x + (-3))3, que es igual a (x - 3)3

EJEMPLO 3: (Con todos los trminos negativos)

-x3 - 75x - 15x2 - 125 =(-x - 5)3

-x -5 3.(-x)2.(-5) 3.(-x).(-5)2 -15x2 -75xLas bases son -x y -5, ya que (-x)3es igual a -x3, y (-5)3es igual a -125. Los dos "triple-productos" dan con los signos correctos. El resultado es(-x + (-5))3, que es igual a (-x -5)3.

Suma o diferencia de dos potencias igualesDe loscocientes notablesrecordamos que:

Pero en la divisin exacta el dividendo es igual al divisor multiplicado por el cociente, al despejarlo nos queda:

Y esto es valido para cualquier diferencia de dos potencias iguales ya sean impares o pares.As tambin:

Al despejarlo nos queda:

Que es valido para cualquier suma de dos potencias igualesimparesnicamente(con pares no funciona).Si tomamos tambin:

Al despejarlo nos queda:

Que es valido para cualquier diferencia de dos potencias igualesparesnicamente (con impares no funciona).