FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS....
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IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Departamento de Matemáticas 3º ESO
1
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS. SOLUCIONES
1. Factoriza los siguientes polinomios e indica las raíces en cada caso:
a) )4(282 −=− xx }4{=Raíz
b) )3(5155 −−=+− xx }3{=Raíz
c) )5(5255 −=− xx }5{=Raíz
d)
+=+4
134134 aa
−=
4
13Raíz
e)
−=−3
113113 xx
=3
11Raíz
f)
+=
+=+2
56
6
156156 xxx
−=
2
5Raíz
g)
−−=
−−=+−3
89
9
249249 xxx
=3
8Raíz
h)
+=+6
12
3
12 xx
−=
6
1Raíz
i)
−−=+−20
18
5
28 xx
=20
1Raíz
j) )2(363 2 −=− xxxx }2,0{=Raíces
k) )4(282 2 −−=+− xxxx }4,0{=Raíces
l) )3(5155 223 −=− xxxx }3 , (doble) 0{=Raíces
m) ( )93273 2 −−=+− xxxx { }9,0=Raíces
n) ( )55255 334 −=− xxxx { }5 (triple), 0=Raíces
o) ( )27147 2 +=+ xxxx { }2 , 0 −=Raíces
p) ( )66366 2 +=+ xxxx { }6,0 −=Raíces
q) )4(3123 223 −−=+− xxxx }4 , (doble) 0{=Raíces
r) )6(2122 223 −−=−− xxxx }6 , (doble) 0{=Raíces
s) )1(3
1
3
1
3
1 334 +=+ xxxx } 1 (triple), 0 { −=Raíces
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2. Factoriza los siguientes polinomios e indica las raíces en cada caso:
a) 1072 +− xx
1º) Hallamos las raíces del polinomio
=⇒−
=
=⇒+
==
±=
±=
−±=
⋅
⋅⋅−−±=⇒=+−
22
37
52
37
2
37
2
97
2
40497
12
1014)7(70107
2
2
xx
xxxxx
2º) Factorización: )2)(5(1072 −−=+− xxxx }2,5{=Raíces
b) 1872 −− xx
1º) Hallamos las raíces del
polinomio
−=⇒−
=
=⇒+
==
±=
±=
+±=
⋅
−⋅⋅−−±=⇒=−−
22
117
92
117
2
117
2
1217
2
72497
12
)18(14)7(70187
2
2
xx
xxxxx
2º) Factorización: )2)(9(1872 +−=−− xxxx }2,9{ −=Raíces
c) 963 2 −− xx
1º) Extraemos factor común )32(39633 22 −−=−−⇒ xxxx
2º) Hallamos las raíces del polinomio )32( 2 −− xx
)1)(3(32
12
42
32
42
2
42
2
162
2
1242
12
)3(14)2(2032
2
2
2
+−=−−⇒
⇒
−=⇒−
=
=⇒+
==
±=
±=
+±=
⋅
−⋅⋅−−±=⇒=−−
xxxx
xx
xxxxx
3º) Factorización: )1)(3(3963 2 +−=−− xxxx }1,3{ −=Raíces
d) 253 2 +− xx
1º) Hallamos las raíces del
polinomio
=⇒=−
=
=⇒+
==
±=
±=
−±=
⋅
⋅⋅−−±=⇒=+−
3
2
6
4
6
15
16
15
6
15
6
15
6
24255
32
234)5(50253
2
2
xx
xx
xxx
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3
2º) Factorización:
−−=+−3
2)1(3253 2 xxxx
=
3
2 , 1Raíces
e) 32 2 ++ xx
1º) Hallamos las raíces del polinomio
realsolución tieneno4
231
4
2411
22
324)1(1032
2
2 =−±−
=−±−
=⋅
⋅⋅−±−=⇒=++ xxx
2º) Factorización: )32( 2 ++ xx es irreducible
f) 202 −+ xx
1º) Hallamos las raíces del polinomio
−=⇒−−
=
=⇒+−
==
±−=
±−=
+±−=
⋅
−⋅⋅−±−=⇒=−+
52
91
42
91
2
91
2
811
2
8011
12
)20(14)1(1020
2
2
xx
xxxxx
2º) Factorización: )5)(4(202 +−=−+ xxxx }5,4{ −=Raíces
g) 16 2 −+ xx
1º) Hallamos las raíces del polinomio
−=⇒−
=
=⇒=
=±−
=±−
=+±−
=⋅
−⋅⋅−±−=⇒=−+
2
1
12
6
3
1
12
4
12
51
12
251
12
2411
62
)1(64)1(1016
2
2
xx
xx
xxx
2º) Factorización:
+
−=−+2
1
3
1616 2 xxxx
−=
2
1 ,
3
1Raíces
h) 1572 2 −− xx
1º) Hallamos las raíces del polinomio
−=⇒−
=
=⇒==
±=
±=
+±=
⋅
−⋅⋅−−±=⇒=−−
2
3
4
6
54
20
4
137
4
1697
4
120497
22
)15(24)7(701572
2
2
xx
xx
xxx 2
º) Factorización:
+−=−−2
3)5(21572 2 xxxx
−=
2
3 , 5Raíces
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i) 234 862 xxx ++−
1º) Extraemos factor común 22x−
)43(2862 22234 −−−=++− xxxxxx
2º) Hallamos las raíces y factorizamos el polinomio )43( 2 −− xx
)1)(4(43
12
53
42
53
2
53
2
253
2
1693
12
)4(14)3(3043
2
2
2
+−=−−⇒
⇒
−=⇒−
=
=⇒+
==
±=
±=
+±=
⋅
−⋅⋅−−±=⇒=−−
xxxx
xx
xxxxx
3º) Factorización: )1)(4(2)43(2862 222234 +−−=−−−=++− xxxxxxxxx }1,4 (doble), 0{ −=Raíces
j) xxx 4113 23 −−
1º) Extraemos factor común “ x ”
)4113(4113 223 −−=−− xxxxxx
2º) Hallamos las raíces y factorizamos el polinomio )4113( 2 −− xx
+−=−−⇒
−=⇒−
=
=⇒+
==
±=
=±
=+±
=⋅
−⋅⋅−−±=⇒=−−
3
1)4(34113
3
1
6
1311
46
1311
6
1311
6
16911
6
4812111
32
)4(34)11(1104113
2
2
2
xxxxxx
xx
xxx
3º) Factorización:
+−=
+−⋅⋅=−−=−−3
1)4(3
3
1)4(3)4113(4113 223 xxxxxxxxxxxx
−=
3
1 , 0,4Raíces
k) 345 45396 xxx −−−
1º) Extraemos factor común “33x− ”
)15132(345396 23345 ++−=−−− xxxxxx
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2º) Hallamos las raíces y factorizamos el polinomio )15132( 2 ++ xx
++=++⇒
−=⇒−−
=
−=⇒+−
==
±−=
=±−
=−±−
=⋅
⋅⋅−±−=⇒=++
2
3)5(215132
54
713
2
3
4
713
4
713
4
4913
4
12016913
22
)15()2(4)13(13015132
2
2
2
xxxx
xx
xx
xxx
3º) Factorización:
++−=
++⋅⋅−=++−=−−−2
3)5(6
2
3)5(23)15132(345396 3323345 xxxxxxxxxxxx
−−=
2
3 , 5 (triple), 0Raíces
l) xxx7
6
7
1
7
1 23 −+
1º) Extraemos factor común “ x7
1”
)6(7
1
7
6
7
1
7
1 223 −+=−+ xxxxxx
2º) Hallamos las raíces y factorizamos el polinomio )6( 2 −+ xx
)3)(2(6
32
51
22
51
2
51
2
251
2
2411
12
)6(14)1(106
2
2
2
+−=−+⇒
⇒
−=⇒−−
=
=⇒+−
==
±−=
±−=
+±−=
⋅
−⋅⋅−±−=⇒=−+
xxxx
xx
xxxxx
3º) Factorización: )3)(2(7
1)6(
7
1
7
6
7
1
7
1 223 +−=−+=−+ xxxxxxxxx }3,2 ,0{ −=Raíces
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6
2−
1−
3. Factoriza los siguientes polinomios e indica las raíces en cada caso:
a) 863 23 +−− xxx
Posibles raíces enteras = {divisores de 8} = }8,4,2 ,1{ ±±±±
8 6 3 1 +−−
8 10 2 −+−
0 4 5 1 +− yfactor es )2( raíz es 2 +⇒−⇒ xgrado 2º de polinomio
2 )45()2()( +−⋅+= xxxxP
Finalmente, para buscar las raíces y factorizar )45( 2 +− xx (en caso de que las tenga, porque podría ser
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
)1)(4(45
12
2
42
8
2
35
2
16255045
22 −−=+−⇒
==
===
±=
−±=⇒=+− xxxx
x
xxxx
Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,
)1()4()2()45()2(863 223 −⋅−⋅+=+−⋅+=+−− xxxxxxxxx
SOLUCIÓN
)1)(4)(2()( −−+= xxxxP
}1,4,2{−=Raíces
b) 1256 23 ++− xxx
Posibles raíces enteras = {divisores de 12} = }12,6,4,3,2 ,1{ ±±±±±±
12 5 6 1 ++−
12 7 1 −+−
0 12 7 1 +− factor es )1( raíz es 1 +⇒−⇒ xgrado 2º de polinomio
2 )127()1()(y +−⋅+= xxxxP
Finalmente, para buscar las raíces y factorizar )127( 2 +− xx (en caso de que las tenga, porque podría ser
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
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2
)3)(4(127
32
6
42
8
2
17
2
484970127
22 −−=+−⇒
==
===
±=
−±=⇒=+− xxxx
x
xxxx
Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,
)3()4()1()127()1(1256 223 −⋅−⋅+=+−⋅+=++− xxxxxxxxx
SOLUCIÓN
)3)(4)(1()( −−+= xxxxP
}3,4,1{−=Raíces
c) 1834 23 −−+ xxx
Posibles raíces enteras = {divisores de – 18} = }18,9,6,3,2 ,1{ ±±±±±±
18 3 4 1 −−+
18 12 2 +++
0 9 6 1 ++ factor es )2( raíz es 2 −⇒⇒ xgrado 2º de polinomio
2 )96()2()(y ++⋅−= xxxxP
Finalmente, para buscar las raíces y factorizar )96( 2 ++ xx (en caso de que las tenga, porque podría ser
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
222)3(96
32
6
32
6
2
06
2
36366096 +=++⇒
−=−
=
−=−
==
±−=
−±−=⇒=++ xxx
x
xxxx
Para factorizar )96( 2 ++ xx también podemos utilizar las identidades notables: 22 )3(96 +=++ xxx
Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,
2223 )3()2()96()2(1834 +⋅−=++⋅−=−−+ xxxxxxxx
SOLUCIÓN
2)3)(2()( +−= xxxP
} (doble) 3,2{ −=Raíces
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2
2
d) 61132 23 −−+ xxx
Posibles raíces enteras = {divisores de 6− } = }6,3,2 ,1{ ±±±±
6 11 3 2 −−+
6 14 4 +++
0 3 7 2 ++ factor es )2( raíz es 2 −⇒⇒ xgrado 2º de polinomio
2 )372()2()(y ++⋅−= xxxxP
Finalmente, para buscar las raíces y factorizar )372( 2 ++ xx (en caso de que las tenga, porque podría ser
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
++=++⇒
−=−
=
−=−
==
±−=
−±−=⇒=++
2
1)3(2372
34
12
2
1
4
2
4
57
4
244970372
22 xxxx
x
xxxx
Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,
++−=
++⋅−=++⋅−=−−+2
1)3)(2(2
2
1)3(2)2()372()2(61132 223 xxxxxxxxxxxx
SOLUCIÓN
++−=2
1)3)(2(2)( xxxxP
−−=
2
1,3,2Raíces
e) 1243 23 −−+ xxx
Posibles raíces enteras = {divisores de – 12}= }12,6,4,3,2 ,1{ ±±±±±±
12 4 3 1 −−+
12 10 2 +++
0 6 5 1 ++ factor es )2( raíz es 2 −⇒⇒ xgrado 2º de polinomio
2 )65()2()(y ++⋅−= xxxxP
Finalmente, para buscar las raíces y factorizar )65( 2 ++ xx (en caso de que las tenga, porque podría ser
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
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3−
)3)(2(65
32
6
22
4
2
15
2
24255065
22 ++=++⇒
−=−
=
−=−
==
±−=
−±−=⇒=++ xxxx
x
xxxx
Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,
)3)(2)(2()65()2(1243 223 ++−=++⋅−=−−+ xxxxxxxxx
SOLUCIÓN
)3)(2)(2()( ++−= xxxxP
}3,2,2{ −−=Raíces
f) 18693 23 −−+ xxx
Sacamos factor común “3” )623(3 23 −−+→ xxx
Ahora continuamos factorizando el polinomio 623)( 23 −−+= xxxxP
Posibles raíces enteras = {divisores de – 6} = }6,3,2 ,1{ ±±±±
6 2 3 1 −−+
6 0 3 +−
0 2 0 1 − factor es )3( raíz es 3 +⇒−⇒ x
grado 2º de polinomio
2 )2()3()(y −⋅+= xxxP
Finalmente, para factorizar )2( 2 −x utilizamos las identidades notables, en concreto, 22))(( BABABA −=+−
)2)(2()2( 2 +−=− xxx
Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,
)2)(2)(3(3)2)(3(3)623(318663 22323 +−+=−+=−−+=−−+ xxxxxxxxxxx
SOLUCIÓN
)2)(2)(3(3)( +−+= xxxxP
}2,2,3{ −−=Raíces
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3−
5−
g) 122332 23 +−− xxx
Posibles raíces enteras = {divisores de 12} = }12,6,4,3,2 ,1{ ±±±±±±
12 23 3 2 +−−
12 27 6 −+−
0 4 9 2 +− factor es )3( raíz es 3 +⇒−⇒ xgrado 2º de polinomio
2 )492()3()(y +−⋅+= xxxxP
Finalmente, para buscar las raíces y factorizar )492( 2 +− xx (en caso de que las tenga, porque podría ser
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
−−=+−⇒
==
===
±=
−±=⇒=+−
2
1)4(2492
2
1
4
2
44
16
4
79
4
328190492
22 xxxx
x
xxxx
Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,
−−+=
−−⋅+=+−⋅+=+−−2
1)4)(3(2
2
1)4(2)3()492()3(122332 223 xxxxxxxxxxxx
SOLUCIÓN
−−+=2
1)4)(3(2)( xxxxP
−=
2
1,4,3Raíces
h) 1538236 23 −−+ xxx
Posibles raíces enteras = {divisores de – 15} = }15,5,3,1{ ±±±±
15 38 23 6 −−+
15 35 30 ++−
0 3 7 6 −− factor es )5( raíz es 5 +⇒−⇒ xgrado 2º de polinomio
2 )376()5()(y −−⋅+= xxxxP
Finalmente, para buscar las raíces y factorizar )376( 2 −− xx (en caso de que las tenga, porque podría ser
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
+
−=−−⇒
−=−
=
===
±=
±=
+±=⇒=−−
3
1
2
36376
3
1
12
4
2
3
12
18
12
117
12
1217
12
724970376
22 xxxx
x
xxxx
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11
1−
Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,
+
−+=
+
−⋅+=−−⋅+=−−+3
1
2
3)5(6
3
1
2
36)5()376()5(1538236 223 xxxxxxxxxxxx
SOLUCIÓN
+
−+=3
1
2
3)5(6)( xxxxP
−−=
3
1,
2
3,5Raíces
i) 65 234 −−++ xxxx
Posibles raíces enteras = {divisores de – 6} = }6,3,2 ,1{ ±±±±
6 1 5 1 1 −−++
6 7 2 1 ++++
0 6 7 2 1 +++ factor es )1( raíz es 1 −⇒⇒ x )672()1()(y 23 +++⋅−= xxxxxP
6 1 1 −−−
0 6 1 1 ++ factor es )1( raíz es 1 +⇒−⇒ x grado 2º de polinomio
2 )6()1()1()(y ++⋅+⋅−= xxxxxP
Finalmente, para buscar las raíces y factorizar )6( 2 ++ xx (en caso de que las tenga, porque podría ser
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
)6( realsolución tieneno 2
231
2
241106 22 ++⇒⇒
−±−=
−±−=⇒=++ xxxxx es irreducible
Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,
)6)(1)(1()672()1(65 223234 +++−=+++⋅−=−−++ xxxxxxxxxxxx
SOLUCIÓN
)6)(1)(1()( 2 +++−= xxxxxP
}1,1{ −=Raíces
1
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12
2
3−
j) 18911 234 ++−− xxxx
Posibles raíces enteras = {divisores de 18} = }18,9,6,3,2 ,1{ ±±±±±±
18 9 11 1 1 ++−−
18 9 2 1 −++−
0 18 9 2 1 +−− factor es )1( raíz es 1 +⇒−⇒ x )1892()1()(y 23 +−−⋅+= xxxxxP
18 0 2 −+
0 9 0 1 − factor es )2( raíz es 2 −⇒⇒ x
grado 2º depolinomio
2 )9()2()1()(y −⋅−⋅+= xxxxP
Finalmente, para factorizar )9( 2 −x utilizamos las identidades notables, en concreto, 22))(( BABABA −=+−
)3)(3()9( 2 +−=− xxx
Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,
)3)(3)(2)(1()9)(2)(1()1892()1(18911 223234 +−−+=−−+=+−−⋅+=++−− xxxxxxxxxxxxxxx
SOLUCIÓN
)3)(3)(2)(1()( +−−+= xxxxxP
}3,3,2,1{ −−=Raíces
k) 65 234 −+−+ xxxx
Posibles raíces enteras = {divisores de – 6} = }6,3,2 ,1{ ±±±±
6 1 5 1 1 −+−+
6 2 6 2 ++++
0 3 1 3 1 +++ factor es )2( raíz es 2 −⇒⇒ x )33()2()(y 23 +++⋅−= xxxxxP
3 0 3 −−
0 1 0 1 + factor es )3( raíz es 3 +⇒−⇒ x
grado 2º depolinomio
2 )1()3()2()(y ++⋅−= xxxxP
Finalmente, para buscar las raíces y factorizar )1( 2 +x (en caso de que las tenga, porque podría ser irreducible)
resolvemos la ecuación de 2º grado:
)1( realsolución tieneno 1101 222 +⇒⇒−=⇒−=⇒=+ xxxx es irreducible
1−
2
IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Departamento de Matemáticas 3º ESO
13
4−
Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,
)1)(3)(2(65 2234 ++−=−+−+ xxxxxxx
SOLUCIÓN
l) 4119 234 −+−+ xxxx
Posibles raíces enteras = {divisores de – 4} = }4,2 ,1{ ±±±
4 11 9 1 1 −+−+
4 7 2 1 +−++
0 4 7 2 1 +−+ factor es )1( raíz es 1 −⇒⇒ x )472()1()(y 23 +−+⋅−= xxxxxP
4 8 4 −+−
0 1 2 1 +− factor es )4( raíz es 4 +⇒−⇒ x grado 2º de polinomio
2 )12()4()1()(y +−⋅+⋅−= xxxxxP
Finalmente, para buscar las raíces y factorizar )12( 2 +− xx (en caso de que las tenga, porque podría ser
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
)1(12
1
1
2
02
2
02
2
442012
222 −=+−⇒
=
=
=±
=±
=−±
=⇒=+− xxx
x
x
xxx
Para factorizar )12( 2 +− xx también podemos utilizar las identidades notables: 22 )1(12 −=+− xxx
Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,
)4()1(
)1)(4)(1()12)(4)(1()472)(1(4119
3
2223234
+−=
=−+−=+−+−=+−+−=−+−+
xx
xxxxxxxxxxxxxxx
SOLUCIÓN
)4()1()( 3 +−= xxxP
}4,(triple) 1{ −=Raíces
)1)(3)(2()( 2 ++−= xxxxP
}3,2{ −=Raíces
1
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14
5
m) xxxx 206122 234 ++−
1º) Extraemos “2x” factor común y tenemos: )1036(2206122)( 23234 ++−⋅=++−= xxxxxxxxxP
2º) Ahora tenemos que factorizar el polinomio )1036()( 23 ++−= xxxxQ
Posibles raíces enteras = {divisores de 10}= }10,5,2 ,1{ ±±±±
10 3 6 1 ++−
10 5 5 −−+
0 2 1 1 −− factor es )5( raíz es 5 −⇒⇒ xgrado 2º de polinomio
2 )2()5()(y −−⋅−= xxxxQ
Finalmente, para buscar las raíces y factorizar )2( 2 −− xx (en caso de que las tenga, porque podría ser
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
)1)(2(2
12
2
22
4
2
31
2
91
2
81102
22 +−=−−⇒
−=−
=
===
±=
±=
+±=⇒=−− xxxx
x
xxxx
Luego, )1)(2)(5()1036()( 23 +−−=++−= xxxxxxxQ
3º) Por tanto,
)1)(2)(5(2)1036(2206122 23234 +−−=++−=++− xxxxxxxxxxxx
SOLUCIÓN
)1)(2)(5(2)( +−−= xxxxxP
}1,2,5,0{ −=Raíces
n) 2345 2222 xxxx ++−−
1º) Extraemos “22x− ” factor común y tenemos: )1(22222)( 2322345 −−+⋅−=++−−= xxxxxxxxxP
2º) Ahora tenemos que factorizar el polinomio )1()( 23 −−+= xxxxQ .
Posibles raíces enteras = {divisores de – 1}= }1{±
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15
1
1 1 1 1 −−+
1 2 1 +++
0 1 2 1 ++ factor es )1( raíz es 1 −⇒⇒ xgrado 2º de polinomio
2 )12()1()(y ++⋅−= xxxxQ
Finalmente, para buscar las raíces y factorizar )12( 2 ++ xx (en caso de que las tenga, porque podría ser
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
222)1()1)(1(12
12
2
12
2
2
02
2
02
2
442012 +=++=++⇒
−=−
=
−=−
==
±−=
±−=
−±−=⇒=++ xxxxx
x
xxxx
Otra forma de factorizar )12( 2 ++ xx es darnos cuenta que es una identidad notable 22 )1(12 +=++ xxx
Luego, 223 )1)(1()1()( +−=−−+= xxxxxxQ
3º) Por tanto,
222322345 )1)(1(2)1(22222 +−−=−−+−=++−− xxxxxxxxxxx
SOLUCIÓN
22 )1)(1(2)( +−−= xxxxP
} (doble) 1 1, (doble), 0{ −=Raíces
o) xxxx5
6
5
11
5
6
5
1 234 −−−−
1º) Extraemos “ x5
1− ” factor común y tenemos:
)6116(5
1
5
6
5
11
5
6
5
1)( 23234 +++⋅−=−−−−= xxxxxxxxxP
2º) Ahora tenemos que factorizar el polinomio )6116()( 23 +++= xxxxQ .
Posibles raíces enteras = {divisores de 6} = }6,3,2 ,1{ ±±±±
IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Departamento de Matemáticas 3º ESO
16
1−
5
6 11 6 1 +++
6 5 1 −−−
0 6 5 1 ++ factor es )1( raíz es 1 +⇒−⇒ xgrado 2º de polinomio
2 )65()1()(y ++⋅+= xxxxQ
Finalmente, para buscar las raíces y factorizar )65( 2 ++ xx (en caso de que las tenga, porque podría ser
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
)3)(2(65
32
6
22
4
2
15
2
15
2
24255065
22 ++=++⇒
−=−
=
−=−
==
±−=
±−=
−±−=⇒=++ xxxx
x
xxxx
Luego, )3)(2)(1()6116()( 23 +++=+++= xxxxxxxQ
3º) Por tanto,
)3)(2)(1(5
1)6116(
5
1
5
6
5
11
5
6
5
1 23234 +++−=+++−=−−−− xxxxxxxxxxxx
SOLUCIÓN
)3)(2)(1(5
1)( +++−= xxxxxP
}3,2,1,0{ −−−=Raíces
p) 2345 303110 xxxx −+−
1º) Extraemos “2x ” factor común y tenemos: )303110(303110)( 2322345 −+−⋅=−+−= xxxxxxxxxP
2º) Ahora tenemos que factorizar el polinomio )303110()( 23 −+−= xxxxQ
Posibles raíces enteras = {divisores de – 30}= }30,15,10,6,5,3,2,1{ ±±±±±±±±
30 31 0 1 1 −+−
30 25 5 +−+
0 6 5 1 +− factor es )5( raíz es 5 −⇒⇒ xgrado 2º de polinomio
2 )65()5()(y +−⋅−= xxxxQ
Finalmente, para buscar las raíces y factorizar )65( 2 +− xx (en caso de que las tenga, porque podría ser
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Departamento de Matemáticas 3º ESO
17
4−
)3)(2(65
22
4
32
6
2
15
2
15
2
24255065
22 −−=+−⇒
==
===
±=
±=
−±=⇒=+− xxxx
x
xxxx
Luego, )3)(2)(5()303110()( 23 −−−=−+−= xxxxxxxQ
3º) Por tanto,
)3)(2)(5()303110(303110 22322345 −−−=−+−=−+− xxxxxxxxxxxx
SOLUCIÓN
)3)(2)(5()( 2 −−−= xxxxxP
}3 ,2 ,5 , (doble) 0{=Raíces
q) 23456 2414132 xxxxx +−−+
1º) Extraemos “2x ” factor común y tenemos:
)2414132(2414132)( 234223456 +−−+⋅=+−−+= xxxxxxxxxxxP
2º) Ahora tenemos que factorizar el polinomio )2414132()( 234 +−−+= xxxxxQ
Posibles raíces enteras = {divisores de 24}= }24,12,8,6,4,3,2 ,1{ ±±±±±±±±
24 14 13 2 1 +−−+
24 10 3 1 −−++
0 24 10 3 1 −−+ factor es )1( raíz es 1 −⇒⇒ x )24103()1()(y 23 −−+⋅−= xxxxxQ
24 4 4 ++−
0 6 1 1 −− factor es )4( raíz es 4 +⇒−⇒ x grado 2º de polinomio
2 )6()4()1()(y −−⋅+⋅−= xxxxxQ
Finalmente, para buscar las raíces y factorizar )6( 2 −− xx (en caso de que las tenga, porque podría ser
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
)2)(3(6
2
3
2
51
2
251
2
241106
22 +−=−−⇒
−=
=
=±
=±
=+±
=⇒=−− xxxx
x
x
xxx
1
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18
2−
Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,
)2)(3)(4)(1()6)(4)(1(
)24103)(1()2414132(2414132
222
232234223456
+−+−=−−+−=
=−−+−=+−−+=+−−+
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
SOLUCIÓN
)2)(3)(4)(1()( 2 +−+−= xxxxxxP
}2,3 ,4,1, (doble) 0{ −−=Raíces
r) xxxxxx 12164163284 23456 −−+++
1º) Extraemos “ x ” factor común y tenemos:
)12164163284(12164163284)( 234523456 −−+++⋅=−−+++= xxxxxxxxxxxxxP
2º) Ahora tenemos que factorizar el polinomio )12164163284()( 2345 −−+++= xxxxxxQ
Posibles raíces enteras = {divisores de – 12}= }12,6,4,3,2 ,1{ ±±±±±±
12 16 41 63 28 4 −−+++
12 10 46 40 8 ++−−−
0 6 5 23 20 4 −−++
6 2 24 8 ++−−
0 3 1 12 4 −−+
3 0 12 +−
0 1 0 4 −
grado 2º depolinomio
22 )14()3()2()( Luego, −⋅+⋅+= xxxxQ
Finalmente, para buscar las raíces y factorizar )14( 2 −x (en caso de que las tenga, porque podría ser
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
+
−=−⇒±=⇒=⇒=−2
1
2
1414
2
1
4
1014 222 xxxxxx
)3()2(2
1
2
14
2
1
2
14)3()2()(Luego, 22 ++
+
−=
+
−⋅+⋅+= xxxxxxxxxQ
3−
2−
IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Departamento de Matemáticas 3º ESO
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1−
3º) Por tanto,
)3()2(2
1
2
14)()( 2 ++
+
−=⋅= xxxxxxQxxP
SOLUCIÓN
)3()2(2
1
2
14)( 2 ++
+
−= xxxxxxP
−−−= 3doble),(2,
2
1,
2
1,0Raíces
s) 1547655017 23456 −−−−−+ xxxxxx
Posibles raíces enteras = {divisores de 15− } = }15,5,3 ,1{ ±±±±
15 47 65 50 17 1 1 −−−−−+
15 32 33 17 0 1 ++++−
0 15 32 33 17 0 1 −−−−
15 17 16 1 1 ++++−
0 15 17 16 1 1 −−−−
15 20 20 5 ++++
0 3 4 4 1 +++
3 3 3 −−−
0 1 1 1 ++
grado 2º depolinomio
22 )1()3()5()1()( Luego, +++⋅−⋅+= xxxxxxP
Finalmente, para buscar las raíces y factorizar )1( 2 ++ xx (en caso de que las tenga, porque podría ser
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
eirreducibl es 1)x( realsolución tieneno2
31
2
41101 22 ++⇒⇒
−±−=
−±−=⇒=++ xxxx
SOLUCIÓN
)1)(3)(5()1()(22 +++−+= xxxxxxP
}3,5, (doble) 1{ −−=Raíces
3−
5
1−
IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Departamento de Matemáticas 3º ESO
20
2−
t) 34567 18012025305 xxxxx −−++
1º) Extraemos “35x ” factor común y tenemos:
)362456(518012025305)( 234334567 −−++⋅=−−++= xxxxxxxxxxxP
2º) Ahora tenemos que factorizar el polinomio )362456()( 234 −−++= xxxxxQ
Posibles raíces enteras = {divisores de –36}= }36,18,12;9,6,4,3,2 ,1{ ±±±±±±±±±
36 24 5 6 1 −−++
36 42 16 2 ++++
0 18 21 8 1 +++
18 12 2 −−−
0 9 6 1 ++
grado 2º depolinomio
2 )96()2()2()( Luego, ++⋅+⋅−= xxxxxQ
Finalmente, factorizamos )96( 2 ++ xx . Se trata de una identidad notable, 22 )3()96( +=++ xxx
2)3()2()2()(Luego, +⋅+⋅−= xxxxQ
3º) Por tanto,
233 )3)(2)(2(5)(5)( ++−=⋅= xxxxxQxxP
SOLUCIÓN
23 )3)(2)(2(5)( ++−= xxxxxP
{ }doble)( 3,2,2, (triple) 0 −−=Raíces
u) xxxxx 16812102 2345 +−−+−
1º) Extraemos “ x2− ” factor común y tenemos:
)8465(216812102)( 2342345 −++−⋅−=+−−+−= xxxxxxxxxxxP
2º) Ahora tenemos que factorizar el polinomio )8465()( 234 −++−= xxxxxQ
Posibles raíces enteras = {divisores de – 8}= }8,4,2 ,1{ ±±±±
2
IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Departamento de Matemáticas 3º ESO
21
2
8 4 6 5 1 −++−
8 0 6 2 +−+
0 4 0 3 1 +− factor es )2( raíz es 2 −⇒⇒ x )43()2()(y 23 +−⋅−= xxxxQ
4 2 2 −−+
0 2 1 1 −− factor es )2( raíz es 2 −⇒⇒ x grado 2º de polinomio
2 )2()2()2()(y −−⋅−⋅−= xxxxxQ
Finalmente, para buscar las raíces y factorizar )2( 2 −− xx (en caso de que las tenga, porque podría ser
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
)1)(2(2
1
2
2
31
2
91
2
81102
22 +−=−−⇒
−=
=
=±
=±
=+±
=⇒=−− xxxx
x
x
xxx
3º) Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,
)1()2(2)1)(2)(2)(2(2)2)(2)(2(2
)43)(2(2)8465(216812102
32
232342345
+−−=+−−−−=−−−−−=
=+−−−=−++−−=+−−+−
xxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
SOLUCIÓN
)1()2(2)( 3 +−−= xxxxP
}1, (triple) 2,0{ −=Raíces
v) )44()4( 22 ++⋅− xxx
Los dos polinomios son identidades notables.
� )2)(2(42 +−=− xxx
� 22 )2(44 +=++ xxx
Por tanto,
3222 )2)(2()2)(2)(2()44()4( +−=++−=++⋅− xxxxxxxx } (triple) 2 ,2{ −=Raíces
w) )76()2510( 22 −+⋅++ xxxx
� 22 )5(2510 +=++ xxx
� ⇒
−=
==
±−=
±−=
+±−=
⋅
−⋅⋅−±−=⇒=−+
7
1
2
86
2
646
2
28366
12
)7(14)6(6076
22
x
xxxx
)7)(1(762 +−=−+⇒ xxxx
2
IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Departamento de Matemáticas 3º ESO
22
Por tanto,
)7)(1()5()76()2510( 222 +−+=−+⋅++ xxxxxxx }7 ,1, (doble) 5{ −−=Raíces
x) )43()23( 22 +−⋅++ xxxx
� ⇒
−=
−==
±−=
±−=
−±−=
⋅
⋅⋅−±−=⇒=++
2
1
2
13
2
13
2
893
12
)2(14)3(3023
22
x
xxxx
)2)(1(232 ++=++⇒ xxxx
� ⇒=−±−
=⋅
⋅⋅−−±=⇒=+− realsolución tieneno
2
1693
12
)4(14)3(3043
22 xxx
)43( 2 +−⇒ xx es irreducible
Por tanto,
)43)(2)(1()43()23( 222 +−++=+−⋅++ xxxxxxxx }2, 1{ −−=Raíces
y) )1()36( 22 ++⋅+ xxx
Los dos polinomios son irreducibles
z) )352()25()42( 22 −+⋅+⋅− xxxx
� )2(2)42( −=− xx
� )25( 2 +x es irreducible
� ⇒
−=
==
±−=
±−=
+±−=
⋅
−⋅⋅−±−=⇒=−+
3
2
1
4
75
4
495
4
24255
22
)3(24)5(50352
22
x
xxxx
)3(2
12352 2 +
−=−+⇒ xxxx
Por tanto,
)25)(3(2
1)2(4)3(
2
12)25()2(2)352()25()42( 2222 ++
−−=+⋅
−⋅⋅+⋅−⋅=−+⋅+⋅− xxxxxxxxxxxx
−= 3,
2
1,2Raíces
4. Factoriza los siguientes polinomios extrayendo factor común y/o con ayuda de las identidades
notables e indica las raíces en cada caso:
IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Departamento de Matemáticas 3º ESO
23
a) 22 )8(6416 −=+− xxx }(doble) 8{=Raíces
b) 2223 )4(5)168(580405 +=++=++ xxxxxxxx }(doble) 4,0{ −=Raíces
c)
+
−=
+
−=−5
2
5
2
10
4
10
4
100
162 xxxxx
−=
5
2,
5
2Raíces
d)
+
−=
−=−3
4
3
49
9
169169 22 xxxx
−=
3
4,
3
4Raíces
e) )4)(4(5)16(5805 22224 +−=−=− xxxxxxx }4,4(doble), 0{ −=Raíces
f) 2223 )6(2)3612(272242 +−=++−=−−− xxxxxxxx }(doble) 6, 0{ −=Raíces
g) 2323345 )3(2)96(218122 −=+−=+− xxxxxxxx }(doble) 3(triple), 0{=Raíces
h) 2323345 )3(7
1)96(
7
1
7
9
7
6
7
1−=+−=+− xxxxxxxx
}(doble) 3(triple), 0{=Raíces
i) )2)(2)(2()2)(2(4 2224 ++−=+−=− xxxxxx }2,2{−=Raíces
j) )5)(5)(5(9)5)(5(9)25(92259 222224226 ++−=+−=−=− xxxxxxxxxxx
}5,5(doble), 0{ −=Raíces
k) 2222234 )2(15)44(15606015 −−=+−−=−+− xxxxxxxx }(doble) 2(doble), 0{=Raíces
l) 222 )1(4
5)12(
4
5
4
5
2
5
4
5−=+−=+− xxxxx
}(doble) 1{=Raíces
m) 222 )1(3)12(3363 −=+−=+− xxxxx }(doble) 1{=Raíces
n) 2223 )4(3)168(348243 +−=++−=−−− xxxxxxxx }(doble) 4, 0{ −=Raíces
o) )9)(3)(3(5)9)(9(5)81(54055 22245 ++−−=+−−=−−=+− xxxxxxxxxxx }3,3, 0{ −=Raíces
p) )4)(2)(2()4)(4(16 2224 ++−=+−=− xxxxxx }2,2{ −=Raíces
q) )2)(2)(2(5
3)2)(2(
5
3)4(
5
3
5
12
5
3 22244 ++−=+−=−=− xxxxxxx
}2,2{−=Raíces
r) )8)(8)(8(5)8)(8(5)64(53205 22245 ++−−=+−−=−−=+− xxxxxxxxxxx }8,8,0{ −=Raíces
s) )1)(1)(1()1)(1(1 2224 ++−=+−=− xxxxxx }1,1{ −=Raíces
t) )16)(4)(2)(2()16)(4)(4()16)(16(256 42422448 +++−=++−=+−=− xxxxxxxxxx }2,2{ −=Raíces
u) )5)(5(2)25(2502 22224 +−=−=− xxxxxxx }5,5(doble), 0{ −=Raíces
v) 2222234 )5(5)2510(5125505 +−=++−=−−− xxxxxxxx }(doble) 5(doble), 0{ −=Raíces
w) )16(2322 23 +=+ xxxx }0{=Raíces
5. Factoriza completamente los siguientes polinomios e indica las raíces en cada caso:
a) )1()5)(4)(4()1()2510()16( 22222 +−+−=+⋅+−⋅− xxxxxxxx
IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Departamento de Matemáticas 3º ESO
24
Los dos primeros polinomios son identidades notables y el tercero es irreducible
}5(doble),4,4{ −=Raíces
b) )22()45( 32 xxxx +−⋅+−
� ⇒
=−
=
=+
==
±=
±=
−±=
⋅
⋅⋅−±=⇒=+−
12
35
42
35
2
35
2
95
2
16255
12
)4(14)5(5045
2
2
x
xxxx
)1)(4(452 −−=+−⇒ xxxx
� )1)(1(2)1(222 23 +−−=−−=+− xxxxxxx
Por tanto,
)1)(4()1(2)1)(1)(2)(1)(4()22()45( 232 +−−−=+−−−−=+−⋅+− xxxxxxxxxxxxx
}1,4(doble),1 ,0{ −=Raíces
c) =+−−+−=−⋅+−⋅− )5)(5()4)(1)(1()25()168()1( 222422 xxxxxxxxx
)5)(5)(5()4)(1)(1( 22 ++−−+−= xxxxxx
Para factorizar los tres polinomios utilizamos las identidades notables.
}5,5(doble), 4,1,1{ −−=Raíces
d) )87()4()4( 222 −+⋅+⋅− xxxx
� )2)(2(42 +−=− xxx
� 42 +x
Es irreducible
� ⇒
−=
==
±−=
±−=
+±−=
⋅
−⋅⋅−±−=⇒=−+
8
1
2
97
2
817
2
32497
12
)8(14)7(7087
2
2
x
xxxx
)8)(1(872 +−=−+⇒ xxxx
Por tanto,
)8)(1)(4)(2)(2()87()4()4( 2222 +−++−=−+⋅+⋅− xxxxxxxxx
}8,1,2,2{ −−=Raíces
e) )96()56()1( 222 +−⋅+−⋅+ xxxxx
� )1( 2 +x
es irreducible
IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Departamento de Matemáticas 3º ESO
25
� ⇒
=
==
±=
±=
−±=
⋅
⋅⋅−−±=⇒=+−
1
5
2
46
2
166
2
20366
12
514)6(6056
2
2
x
xxxx
)5)(1(562 −−=+−⇒ xxxx
� 22 )3(96 −=+− xxx
Identidad notable
Por tanto,
22222 )3)(5)(1)(1()96()56()1( −−−+=+−⋅+−⋅+ xxxxxxxxx
}(doble) 3,5, 1{=Raíces
f) )49()753( 435 −⋅+− xxx
� )5)(5(3)25(3753 32335 +−−=−−=+− xxxxxxx
� )7)(7)(7()7)(7(49 2224 ++−=+−=− xxxxxx
Por tanto,
)7)(7)(7)(5)(5(3)49)(753( 23435 ++−+−−=−+− xxxxxxxxx
}7,7,5,5(triple), 0{ −−=Raíces
g) )25()1()84( 22 xxxx −⋅++⋅+−
� )2(484 −−=+− xx
� 12 ++ xx
Es irreducible
realsolución tieneno 2
31
2
411
12
114)1(101
2
2 ⇒−±−
=−±−
=⋅
⋅⋅−±−=⇒=++ xxx
� )5)(5()25(2525 222 +−−=−−=−−=− xxxxx
Por tanto,
)5)(5)(1)(2(4)]5)(5()[1)(2(4)25()1()84( 2222 +−++−=+−−++−−=−⋅++⋅+− xxxxxxxxxxxxxx
}5,52,{ −=Raíces
h) )5()16()16( 242 xxx −⋅−⋅−
� )4)(4()16(1616 222 +−−=−−=−−=− xxxxx
� )4)(2)(2()4)(4(16 2224 ++−=+−=− xxxxxx
� )5)(5()5(55 222 +−−=−−=+−=− xxxxx
Por tanto,
IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Departamento de Matemáticas 3º ESO
26
a
)5)(5)(4)(2)(2)(4)(4(
)]5)(5()[4)(2)(2)(4)(4()5()16()16(
2
2242
+−++−+−=
=+−−++−+−−=−⋅−⋅−
xxxxxxx
xxxxxxxxxx
}5,5,2,2,4,4{ −−−=Raíces
i) )363()4914( 22 −+−⋅+− xxxx
� 22 )7(4914 −=+− xxx
� 222 )1(3)12(3363 −−=+−−=−+− xxxxx
Por tanto,
222222 )1()7(3)1)(3()7()363()4914( −−−=−−−=−+−⋅+− xxxxxxxx
}(doble)1(doble), 7{=Raíces
j) )66()1213()5( 22 +⋅++⋅− xxxx
� )5)(5(52 +−=− xxx
� ⇒
−=
−=
=±−
=−±−
=⋅
⋅⋅−±−=⇒=++
12
1
2
1113
2
4816913
12
1214)13(1301213
2
2
x
x
xxx
)12)(1(12132 ++=++⇒ xxxx
� )1(666 +=+ xx
Por tanto,
)12()1)(5)(5(6)1(6)12)(1)(5)(5()66()1213()5( 222 +++−=++++−=+⋅++⋅− xxxxxxxxxxxxx
}12,(doble)1,5,5{ −−−=Raíces
� +ℜ∈++−=−= aaaxxaxaxxP con ))(()( 2233
0 0 1 3a−
IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Departamento de Matemáticas 3º ESO
27
a−
32 aaa +++
0 1 2aa ++ factor es )( raíz es axa −⇒⇒grado 2º de polinomio
22 )()()(y aaxxaxxP ++⋅−=
eirreducibl es realsolución 2
3
2
40 22
22222 aaxx
aaaaaxaaxx ++⇒∃/⇒
−±−=
−±−=⇒=++
Luego, ))(()()( 2233 aaxxaxaxxP ++−=−=
� +ℜ∈+−+=+= aaaxxaxaxxP con ))(()( 2233
0 0 1 3a+
32 aaa −+−
0 1 2aa +− factor es )( raíz es axa +⇒−⇒grado 2º de polinomio
22 )()()(y aaxxaxxP +−⋅+=
eirreducibl es realsolución 2
3
2
40 22
22222 aaxx
aaaaaxaaxx +−⇒∃/⇒
−±=
−±=⇒=+−
Luego, ))(()()( 2233 aaxxaxaxxP +−+=+=
k) )1)(1(1 23 ++−=− xxxx }1{=Raíces
l) )1)(1(1 23 +−+=+ xxxx }1{−=Raíces
m) )42)(2(8 23 ++−=− xxxx }2{=Raíces
n) )42)(2(8 23 +−+=+ xxxx }2{−=Raíces
o) )42)(2(2 33233 ++−=− xxxx }2{3=Raíces
p) )255)(5(5 33233 +−+=+ xxxx }5 { 3−=Raíces
q) )1)(1)(1)(1()1)(1(1 22336 +−+++−=+−=− xxxxxxxxx }1,1{−=Raíces
r) )42)(2)(42)(2()8)(8(64 22336 +−+++−=+−=− xxxxxxxxx }2,2{−=Raíces
s) )255)(5(2)125(22502 234 +−+=+=+ xxxxxxxx }5,0{ −=Raíces