Factorizacion svs
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La factorizaciónes el proceso por el cual expresamos una expresión como producto de dos o más
factores. La factorización deshace lo que la
multiplicación hace, convirtiendo una expresión que podría ser
complicada, en el producto de dos o más expresiones (factores) que son típicamente
más sencillas
Factorizar, entonces, quiere decir identificar los factores comunes a todos los
términos y agruparlos.Los factores comunes son aquellos números que
aparecen multiplicando a todos los términos de una expresión algebraica.
Estos números pueden estar dados explícitamente o representados por letras.
Así, factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o más polinomios llamados factores,
de tal modo que al multiplicarlos entre sí se obtenga el polinomio original.
En otras palabras, dada una expresión algebraica complicada,
resulta útil, por lo general,el descomponerla en un producto de varios términos más sencillos.
Por ejemplo, 2x³ + 8x²y se puede factorizar, o reescribir,
como 2x ²(x + 4y).Algunos ejemplos: Dada la expresión
ab² + 3cb - b³ podemos factorizar b
y obtenemos la expresión: b(ab + 3c - b³)
Si multiplicamos (2x + 5)(x + 3) el resultado es 2x² +11x + 15, lo cual
tiene más términos que cualquiera de los dos factores que multiplicamos y es de mayor grado (2) que ambos
factores (que son de grado 1). En este caso decimos que
2x² +11x + 15
puede ser factorizado como
(2x + 5)(x + 3)
La factorización será útil para simplificar algunas expresiones como la suma de fracciones y la
división de polinomios. También puede usarse para determinar las soluciones de una ecuación. Ahora estudiaremos algunas técnicas que nos
facilitan hallar una factorización de unaexpresión algebraica dada. Para aprovechar mejor
este material es necesario dominar la destrezade multiplicar expresiones.
Es preferible factorizar el factor común máximo (FCM) de los términos, el cual puede hallarse de la siguiente manera:
Primero: Factorizamos completamente los términos. Esto significa que los factores
obtenidos son primos (que no pueden ser factorizados más).
Segundo: El FCM es el producto de todos los factores presentes en las
factorizaciones delpaso previo, elevados a la menor potencia en que aparecen, la cual es la potencia 0si hay una factorización en la que el factor
no aparezca.
Primero: Factorizamos los términos:
15a3b5c6 = 3 ×5 × a3 × b5 ×c6
25ab2c2 = 52a × b2 × c2
10a2b4c3 = 2 ×5 ×a2 ×b4 ×c3
Hallar el FCM de (15a3b5c6, 25ab2c2 , 10a2b4c3)
Segundo: Formar el FCM.
Los factores presentes son 2, 3, 5, a, b, & c. Lamenor potencia de 2 que aparece es 20 (pues el 2 no aparece entodas las factorizaciones), la de 5 es 51, la de 3 es 30, la de a es
a1, la de b es b2, y la de c es c3. Entonces el FCM es
20 × 51 ×30 × a1 × b2 × c3 = 5ab2c3
Factoriza completamente los siguientes polinomios:
1) 18a3b + 9abc2 - 27ab4c3
2) -4x 3y2 +14xy3 z + 8xy 4 z2
3) 9xy + 3y 2w
4) 15a - 25b
Hay algunas multiplicaciones de polinomios cuyos resultados son productos sencillos. Si recordamos estas multiplicaciones, al ver uno de tales productos podremos dar su factorización.
Algunos de estos productos son:
1) (x + y)(x - y) = x 2 - y2
2) (x + y)(x + y) = x 2 + 2xy + y2
(Productos Notables)
DESCOMPOSICIÓN DE FACTORES (Factorización)
1) Factor común monomio ac + ad = a(c + d)
2) Trinomio cuadrado perfectoa2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
3) Forma an _ bn
a2 – b2 = (a + b)(a – b) a2 + b2 = Irreductible en IR
4) Trinomio cuadrado perfecto x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
Factorizar las siguientes expresiones:
a) 6x – 3y = 2(3)x – (3)y = 3(2x – y)
b) –4xy + 8x = –(4x)y + 2(4x) = 4x(–y + 2)
c) 9a2 + 27ab = (9a)a + (9a)3b = 9a(a + 3b)
d) 5x3y – 10x2y2 + 15xy3 = (5xy)x2 – (5xy)2xy + (5xy)3y2
= 5xy(x2 – 2xy + 3y2)
FACTOR COMUN MONOMIO
ac + ad = a(c + d)
Ejemplos:
a) x2 + 6x + 9 = x2 + 2(3x) +(3)2 = (x + 3)2
b) x2 + 8x + 16 = x2 + 2(4x) + (4)2 = (x + 4)2
c) x2 – 6x + 9 = x2 – 2(3x) +(3)2 = (x – 3)2
d) x2 – 8x + 16 = x2 – 2(4x) + (4)2 = (x – 4)2
Trinomio cuadrado perfecto
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
TIPO a2 – b2
a) x2 – 1 = x2 – 12 = (x – 1)(x + 1)
b) 4x2 – 16 = (2x)2 – 42 = (2x – 4)(2x + 4) TIPO a2 + b2
a) x2 + 1 No se puede factorizar en IR
b) x2 + 25 No se puede factorizar en IR
Forma an _ bn
a2 – b2 = (a + b)(a – b) a2 + b2 = Irreductible en IR
TIPO a3 – b3 a) x3 – 27 = x3 – 33 = (x – 3)(x2 + 3x + 9)
b) x3 – 8 = x3 – 23 = (x – 2)(x2 + 2x + 4) TIPO a3 + b3 a) x3 + 1 = x3 + 13 = (x +1)(x2 – x + 1)
b) x3 + 125 = x3 + 53 = (x + 5)(x2 – 5x + 25)
Estos ejercicios se desarrollan por Tanteo.
a) x2 – 7x + 6 = x2 + (–1 – 6) x + (–1)( –6) = (x – 1)(x – 6) b) x2 + 9x + 20 = x2 + (5 + 4)x + (5)(4) = (x + 5)(x + 4)
c) x2 – x – 2 = x2 + (1 – 2)x + (1)( –2) = (x + 1)(x – 2)
d) x2 – 6x + 8 = x2 + (–2 – 4)x + (–2)( –4) = (x – 2)(x – 4)
Trinomio cuadrado perfecto
x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
…y ahora a resolverAlgunos ejercicios, para Aplicar los contenidos aprendidos…
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4) ma mb mc
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153 2) x x x
1) a2b - ab2 = 2) 6p2q + 24pq2 = 3) 12x3y - 48x2y2 = 4) 9m2n + 18 mn2 - 27mn=
FACTORIZAR
7) x2 - 8x + 16 = 8) 16y2 + 24y + 9 = 9) 36a2 - 12a + 1 = 10) 4x2 + 20xy + 25y2 = 11) 16x2 - 25y2 = 12) 144 - x2y2 = 13) 36 - 25a2 = 14) 25 - 4a2 = 15) 16m2n2 - 9p2 = 16) x2 - 4x + 3 = 17) x2 - 2x - 15 = 18) x2 - 7xy - 18y2 = 19) 12 - 4x - x2 = 20) 5x2 - 11x + 2 = 21) 6x2 - 7x - 5 =
22) 12x2 + 17x - 5 = 23) 7u4 - 7u2v2 = 24) kx3 + 2kx2 - 63kx = 25) 5x3 - 55x2 + 140x = 26) 4m2n2 + 24m2n - 28m2 = 27) 7hkx2 + 21 hkx + 14hk = 28) wx2y - 9wxy + 14wy = 29) 2x3 + 10x2 + x + 5 = 30) px + py + qx + qy = 31) 3x3 + 12x2 – 2x – 8 = 32) 3x3 + 2x2 + 12x + 8 = 33) x3 – 27 = 34) 125x3 + y3 = 35) 8y3 + z3 = 36) 64 – y3 =
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) ( )
) ( )
m a b c
x x x
Respuestas: 1) ab(a - b) 2) 6pq(p + 4q) 3) 12x2y(x - 4y) 4) 9mn(m + 2n - 3)
19) (6 + x)(2 - x) 20) (5x - 1)(x - 2) 21) (3x - 5)(2x + 1) 22) (4x -1)((3x + 5) 23) 7u2(u2 - v2) = 7u2(u + v)(u - v) 24) kx(x2 + 2x -63) = kx(x + 9)(x - 7) 25) 5x(x2 - 11x +28) = 5x(x - 4)(x - 7) 26) 4m2(n2 + 6n - 7) = 4m2(n + 7)(n - 1) 27) 7hk(x2 + 3x + 2) = 7hk(x + 1)(x +2) 28) wy(x2 - 9x + 14) = wy(x - 2)(x - 7) 29) (2x2 + 1)(x + 5) 30) (p + q)(x + y) 31) (3x2 – 2)(x + 4) 32) (x2 + 4)(3x + 2) 33) (x – 3)(x2 + 3x + 9) 34) (5x + y)(25x2 – 5xy + y2) 35) (2y + z)((4y2 – 2yz + z2) 36) (4 – y)(16 + 4y + y2)
7) (x - 4)2 8) (4y + 3)2 9) (6a - 1)2 10) (2x + 5y)2 11) (4x - 5y)(4x + 5y) 12) (12 + xy)(12 - xy) 13) (6 + 5a)(6 - 5a) 14) (5 + 2a)(5 - 2a) 15) (4mn + 3p)(4mn - 3p) 16) (x - 3)(x - 1) 17) (x - 5)(x + 3) 18) (x - 9y)(x + 2y
Y….¿COMO LES FUE?....