Faraday 1

Laboratorio de Fısica Contemporanea I

Efecto Faraday

Ollin Demian Langle Chimal, Jonathan Cruz Vargas,

Departamento de Fısica, Facultad de Ciencias, UNAM. Circuito Exterior S/N, Ciudad Universitaria, C.P.04510, Mexico D.F., Mexico.

6 de Septiembre del 2012Autor de contacto: [email protected]

Resumen

Esta practica consistio en el estudio del efecto Faraday, y en particular, en la determinacion de laconstante de Verdet para dos tipos de vidrio; SF-5 y F-2. Se utilizo para el analisis una muestra de cadauno de ellos con una longitud de 2.05cm y un laser verde con una longitud de onda de 543.5nm. Losvalores obtenidos para la constante de Verdet fueron de 13.876 rad

Tmy 5.275 rad

Tmpara los cristales SF-5 y S2

respectivamente

1. Introduccion

Interaccion del campo electromagnetico con la materia

De las ecuaciones de Maxwell que rigen el compor-tamiento de los campos electromagneticos, sabemosque el campo electrico y magnetico se propagan en elvacıo como una onda transversal. Para el estudio dela luz con la materia se considera a la luz como on-das electromagneticas (Fig.1), en el cual se encuentraun campo electrico oscilando y un campo magneticohaciendo lo propio con la misma frecuencia pero conorientacion perpendicular al campo electrico.El desplazamiento de una onda transversal es unacantidad vectorial. Se debe ası, no solo especificarla frecuencia, la fase y la direccion de la onda, sinotambien la magnitud y direccion del desplazamiento.La direccion del vector de desplzamiento es llamado”direccion de polarizacion”, y el plano que contiene ladireccion de polarizacion y el vector de propagaciones llamado el ”plano de polarizacion”.

Figura 1. Onda de la luz que muestra la naturaleza oscilatoriade los campos electrico y magnetico ortogonales: a)La

dependencia espacial de ondas en algun punto en el tiempo.

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b)La dependencia temporal de ondas pasando para algunpunto en el espacio.

Como ya se menciono, los campos electrico y magneti-co son mutuamente perpendiculares y yacen en unplano normal al vector de propagacion k. Sabemostambien que las fuerzas que siente una partıcula car-gada debido a estos campos es:

FE = qE (1)

FH = q (v×B) (2)

De ambas expresiones, la razon de las fuerzas es,

FEFH

=eE

eνB(3)

Y usando la relacion de las magnitudes entre campos:

n|E| = c|B| (4)

(donde c es la velocidad de la luz en el vacıo, y n elındice de refraccion del medio)Podemos escribir (3) como:

FEFH

=c

nv(5)

Donde v es la velocidad de la carga en movimiento.Asumiendo que una partıcula cargada viaja en el airea la velocidad del sonido teniendo asi v=335 m/s; lafuerza debida al campo electrico de una onda lumi-nosa sobre la partıcula serıa 8.9x105 veces mayor quela fuerza debida al campo magnetico. Es por ello quela interaccion de una onda electromagnetica con lamateria estara dominada por el campo electrico.

1.1. Generalidades de la polarizacionde la luz

Asumamos que una onda plana se propaga en la di-reccion del eje z, orientada en el plano xy. El cam-po electrico puede describirse como (en representacioncompleja):

E = E0ei(ωt−k·rΦ) = E0e

i(ωt−kz+Φ) (6)

Y en terminos de las componentes:

E = E0xei(ωt−kz+Φ1) ı + E0ye

i(ωt−kz+Φ2 )j (7)

Debe entenderse que solo la parte real de la expresionposee significado fısico. Manipulando dicha expresion,y dividiendo cada componente por su maximo valor,el problema se reduce a uno de los siguientes paravectores unitarios:

ExE0x

= cos(ωt− kz + Φ1) = (8)

= cos(ωt− kz)cosΦ1 − sen(ωt− kz)senΦ1

EyE0y

= cos(ωt− kz + Φ2) (9)

= cos(ωt− kz)cosΦ2 − sen(ωt− kz)senΦ2

Se requiere eliminar la dependencia de los vectoresunitarios respecto de (ωt− kz).Primero se multiplican las ecuaciones por senΦ2 ysenΦ1 respectivamente, luego se restan las ecuacionesresultantes. Posteriormente se multiplican las ecuacio-nes por cosΦ2 y cosΦ1 respectivamente y se restan lasecuaciones resultantes. De estas dos operaciones, ob-tenemos el siguiente par de ecuaciones:

ExE0x

senΦ2−EyE0y

senΦ1 = cos(ωt−kz)(cosΦ1senΦ2−senΦ1cosΦ2)

(10)ExE0x

cosΦ2−EyE0y

cosΦ1 = sen(ωt−kz)(cosΦ1senΦ2−senΦ1cosΦ2)

(11)Definamos ahora la variable e fase relativa:

δ = φ2 − φ1 (12)

Las ecuaciones anteriores se pueden simplificar usandola identidad trigonometrica:

senδ = sen(φ2 − φ1) = cosφ1senφ2 − senφ1cosφ2

(13)Luego de reemplazar los terminos en parentesis porsenδ, las dos ecuaciones se elevan al cuadrado y sesuman:(

ExE0x

)2

+

(EyE0y

)2

−(

2ExEyE0xE0y

)cosδ = sen2δ (14)

Donde se utilizo la identidad trigonometrica:

cosδ = cos(φ2−φ1) = cosφ1cosφ2+senφ1senφ2 (15)

Para simplificar aun mas la ecuacion.La ecuacion general de una conica es:

Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Iy +R = 0 (16)

Que es la misma forma que tiene la ecuacion (14). Lageometrıa define entonces, la conica como una elipsepues:

B2 − 4AC =4

E20xE

20y

(cos2δ − 1) < 0 (17)

Esta elipse es llamada la elipse de polarizacion, la cualpuede adquirir el campo electrico.Como bien se sabe de la geometrıa, existen dos casosimportantes de elipses degeneradas: la lınea recta y la

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circunferencia. La polarizacion se dice entonces que eslineal, circular o elıptica A continuacion se presentauna descripcion de cada una de ellas.

Luz polarizada linealmente

Trataremos a la luz como un campo electrico cuyamagnitud oscila en el tiempo y que, para luz pola-rizada linealmente, se orienta a lo largo del eje depolarizacion de la luz. Por lo tanto para la luz pro-pagandose a lo largo del eje z podemos decribir la luzpolarizada linealmente a lo largo del eje x por:

Ex = E0xsen(ωt− kz + φ0)ı (18)

Similarmente la luz polarizada linealmente a lo largodel eje y puede ser descrita por:

Ey = E0ysen(ωt− kz + φ0)j (19)

El campo electrico de la luz polarizada puede serorientada en cualquier direccion perpendicular a ladireccion de propagacion y puede ası estar descritacomo un vector suma de Ex y Ey

E = Ex + Ey = (E0xı + E0

y j)sen(ωt− k + φ0) (20)

La luz polarizada linealmente con su eje de polariza-cion orientada en cualquier direccion en el plano xypuede ası estar pensada como consistente de dos com-ponentes orientadas a lo largo del eje x y el eje y,respectivamente (Figura 2). Las magnitudes relativasde las componentes, determinan la orientacion del ejede polarizacion. Notese, que esto implica que las doscomponentes tienen la misma frecuencia ω y la mismafase absoluta φ0.

Figura 2. Representaciones de la luz polarizada linealmentecon varias orientaciones.

Luz polarizada circularmente

La descripcion de la luz polarizada linealmente quese describio, tiene un caso especian el el cual las com-ponentes x y y de la luz pueden tener amplitudesdiferentes pero estan en fase. Considere ahora el casoen el cual, dos componentes tienen magnitudes identi-cas E0 pero tienen un desfase de π

2 .Visto desde el eje z, el vector que representa el campoelectrico de la luz, tiene una magnitud constante perosu direccion cambia en el tiempo. Ası que el vectorhace una trayectoria circular Por lo cual, para el casorepresentaddo por un desfase positivo(+π

2 ), el vectoren el punto z=0 tiene una amplitud E0 al tiempodonde ωt = −φ0 y los puntos a lo largo del eje +y.En poco tiempo, la componente en y es menor y lacomponente x mayor, ası que el vector tiene la mismaamplitud rotada un poco hacia la derecha (Figura 3).Si esto continua en el tiempo, de manera que cuandoωt = π

2 − φ0, el vector apunta a lo largo del eje +x.Como esto continua, el vector en el plano z=0 parecedibujar un cırculo en el sentido de las manecillas delreloj visto desde el positivo del eje z mirando hacia lafuente.


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Figura 3. Representaciones de la luz polarizada circularmentea la derecha.

Este patron en el plano z=0 se conoce comunmentecomo el patron de la seccion. Cuando es vista en uninstante en el tiempo, este parece como una espiral.La luz con esta caracterıstica es llamada luz polariza-da a la derecha circularmente. Por otra parte, cuandola relacion de desfase es negativa, el vector del cam-po electrico de la luz describe una trayectoria circularen el sentido anti horario. En este caso, la luz se diceestar polarizada circularmente a la izquierda (Figura4).

Figura 4. Representaciones de la luz polarizada circularmentea la izquierda.

Es posible ver a la luz polarizada circularmente comouna combinacion de componentes linealmente polari-zadas que se encuentran fuera de fase entre sı, la luzpolarizada linealmente se puede ver como estar com-puesta de cantidades iguales de componentes polari-zadas circularmente a la derecha e izquierda. Ası pues,la adicion de estas componentes en fase da:

Ex =Ercp + Elcp

2= E0sen[ωt− kz + φ0 ]ı (21)

y fuera de fase da

Ey =Ercp −Elcp

2= E0cos[ωt− kz + φ0 ]j (22)

Luz polarizada elıpticamente

Se ha visto que uno puede combinar componentesortogonales de la luz polarizada linealmente para pro-ducir otras formas de la luz polarizada: si las compo-nentes tienen la misma fase se tiene la lu polarizadalinealmente; si las amplitudes de las componentes soniguales y fuera de fase por 90◦, se tiene luz polarizadacircularmente. Si las componentes estan combinadasfuera de estos criterios la luz polarizada elıpticamentees producida (Figura 5).Uno puede pensar en la luz polarizada elıpticamentecomo una forma general de polarizacion y las polari-zaciones lineales o circulares como casos especiales de



esta. Ası, si las fases de las dos componentes difierenpor 90◦ y Ex = Ey, hemos visto que la luz esta po-larizada circularmente. Sin alterar la relacion de fasepero con Ey = 0, la luz sera polarizada linealmentea lo largo del eje x. Si Ey 6= 0 pero Ey < Ex, la luzsera polarizada elıpticamente con el eje ayor a lo largodel eje x. Ademas, si Ex = 0, la luz sera polarizadalinealmente a lo largo del eje y. En el mayor caso ge-neral, la excentricidad y orientacion de la polarizacionelipse dependera de ambos tamanos relativos de Ex yEy y de las fases relativas de estos componentes. Porlo tanto:

E = E0xsen(ωt− kz)ı + E0

ysen(ωt− kz + ∆)j (23)

Donde ∆ es la fase de la componente lineal orientdaa lo largo del eje y relativa a la componente del eje x.Cuando 0 < ∆ < π, E describe las formas de pola-rizacion hacia la derecha, y cuando −π < ∆ < 0, Edescribe la forma de polarizacion hacia la izquierda.

Figura 5. Representaciones de la luz polarizada elıpticamentea la izquierda.

1.2. Efecto Faraday

Cuando un solido transparente o lıquido es colocadoen un campo magnetico y la luz polarizada linealmen-te es pasada a traves de dicho material a lo largo dela direccion del campo magnetico, la luz que emer-ge se encuentra linealmente polarizada pero con unarotacion neta θ del plano de polarizacion que es pro-porcional al espesor d de la muestra y la fuerza del

campo magnetico B, es decir:

θ = VBd (24)

Donde V es la constante de Verdet para el mate-rial, usualmente expresada en inutos de angulos porG-cm (Gauss-cm). La constante de Verdet dependetambien de la longitud de onda de la luz. Un aspec-to interesante de la rotacion de Faraday es que elsentido de rotacion con respecto a la direccion delcampo magnetico es independiente de la direccion dela luz para un determinado material. La ecuacion (24)puede ser entendida y una expresion teorica para laconstante de Verdet se puede encontrar en la siguienteforma:

La frecuenia de Larmor

Considere el efecto de un campo aplicado en un cir-cuito de corriente formado por una circulacion de unelectron (Figura 6). Un electron se mueve en un cırculode radio en alguna orientacion arbitraria θ en relacioncon el campo magnetico B aplicado. Su momento an-gular L y el momento magnetico µe estan mostrados.Sus direcciones estan opuestas porqu el electron tieneuna carga negativa El campo magnetico ejerce unatorca sobre el dipolo magnetico representado por lacirculacion del electron de acuerdo a:

τ = µe ×B (25)

El impulso angular τdt produce un cambio en el mo-mento angular segun la segunda ley de Newton,

τdt = dL (26)

Ası, la orbita circular y el adjunto vecto L rotan ensentido anti horario. De la geometrıa, se sigue que elangulo de rotacion es:

dφ = dL/L′ = τdt/Lsenθ (27)

Y entonces la velocidad angular es

ωp =dφ

dt=

τ

Lsenθ=µeBsenθ

Lsenθ=µeB

L(28)

Ahora el momento magnetico de una corriente circularesta dada por

µ = iA = i(πr2) (29)

Donde en este caso

i =dQ

dt= ev =

eω

2π(30)

Sin embargo el momento angular de una partıculapuede ser expresada por

L = r× p (31)


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o

|L| = mvr = mr2ω (32)

Sustituyendo esta expresion en la ecuacion tenemos

ωp =eB

2m(33)

o

vp =eB

4πm(34)

Figura 6. Vector momento angular alrededor del campomagnetico aplicado.

Birrefrigenia Circular

La rotacion optica de una luz polarizada pasandoa traves de una estructura electronica puede ser en-tendida como una birrefrigencia circular, existenciade diferentes ındices de refraccion para las componen-tes de luz polarizada circularmente a la izquierda ycircularmente a la derecha. Cada componente atravie-sa la muestra con un ındice de refraccion diferente ypor lo tanto con una velocidad diferente El resultadofinal consiste de componentes l y r que estan fuera defase y cuya superposicion es polarizada linealmentegirando en relacion a su direccion original.La situacion es complicada por el hecho de que la luzde frecuencia v esta atravesando un sistema electroni-co que esta rotando con la frecuencia de Larmor.En relacion con la estructura electronica, entonces lascomponentes l y r de la luz parecen rotar con frecuen-cia v+vL y v -vL. Dado que en un medio dispersivo elındice de refraccion depende de la frecuencia se puedeindicar la dependencia funcional de los dos ındices derefraccion por

nl = n(v − vL) (35)

nr = n(v + vL) (36)

Estas relaciones establecen que los dos ıdices de re-fraccion de la luz atravesando la uestra en un campomagnetico tienen los mismos valores que los ındicesde regraccion de la luz de las frecuencias v±vL en elmedio no magnetizado. Entonces la diferencia de ca-mino optico para la luz l y r es (nr − nl)d, despuesde atravesar una distancia d, se calcula la cantidadnr − nl como sigue:

nr − nl = n(v + vL)− n(v − vL) (37)

= (n(v) +dn

dvvL)− (n(v)− dn

dvvL)

= 2vLdn

dv

Introduciendo la frecuencia de Larmor encontrada an-teriormente y expresando la dispersion en terminos dedndλ ya que |dndλ | = (λ

2

c )dndλ tenemos:

nr − nl = 2

(eB

4πm

)(λ2

c

dn

dλ

)(38)

Figura 7. Recomposicion de la luz polarizada circularmente ala derecha e izquiera en la luz polarizada linealmente despues

de atravesar la muestra.

Ahora considere la superposicion de las componentesl y r emergiendo de la muetra. El cambio de fase du-rante el recorrido para cada uno es

φr =2πnrd

cλ

φl =2πnld

cλ(39)

Dado que las dos fases son identicas a la entrada de lamuestra (Figura 7). La suma vector de los dos camposelectricos que emerge es E, con una rotacion neta deθ de su valor inicial. En el paralelogramo es evidenteque

φr − θ = φl + θ (40)

o

θ =1

2(φr − φl)



Ası pues:

θ =1

2

(2πn

cλ

)(nr − nl) (41)

πd

cλ

(eB

2πm

)(λ2

c

dn

dλ

)=

(eλ

2mc2dn

dλ

)Bd

Con lo cual la constante de Verdet, comparando lasecuaciones (24) y (41) tenemos:

V =eλ

2mc2dn

dλ(42)

o con valores numericos

1,0083λdn

dλ(43)

Donde queda el valor de la constante en minG−1cm−1, y el valor de la longitud de onda debeser introducido en µm.

La ecuacion de dispersion de Sellmeier

La ecuacion se Sellmeier es una relacion empıricaentre el ındice de refraccion n y la longitud de ondaλ para un medio transparente particular. La formahabitual de la ecuacion para cristales es:

n2(λ) = 1 +B1λ

2

λ2 − C1+

B2λ2

λ2 − C2+

B3λ2

λ2 − C3(44)

donde B1,2,3 y C1,2,3 son los coeficientes de Sellmeierdeterminados experimentalmente. Habitualmente, es-tos coeficientes suelen calcularse para λ en micromen-tros. Hay que darse cuenta de que esta λ es la longitudde onda en el vacıo. Esta ecuacion se utiliza para de-terminar la dispersion de la luz en un medio refractivo.Una forma diferente de la ecuacion se usa a veces paraciertos tipos de materiales como cristales.

2. Desarrollo Experimental

2.1. Material Utilizado

1. Gaussmetro

2. Polarizador

3. Laser verde (543.5nm)

4. Bases

5. Electroiman

6. Fuente de poder

7. Vidrios de muestra (SF-5 y F2)

8. Polarizador (uno va antes del electroiman)

9. Fotometro


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Figura 8. Arreglo experimental.

2.2. Proceso experimental

Para medir el angulo de rotacion debido al campo, seprocedio a alinear el equipo registrando un mınimo deintensidad en el espectrometro con un angulo de pola-rizacion fija, para despues aplicar una corriente a lasbobinas con la muestra ya colocada entre ellas y volvera medir el angulo de rotacion para que volvieramos aencontrar un mınimo de intensidad en el espectrome-tro. Esto se desarrollo para una d de 2.05cm que es lalongitud de ambos vidrios y para el laser verde.Para encontrar el valor de la constante de Verdet teori-ca, se uso la ecuacion de Sellmeier para encontrar unarelacion de dn

dλ usando la ecuacion (43).

2.3. Analisis

Al graficar el angulo de rotacion contra el campo, mul-tiplicado por la longitud de cada cristal la pendientede la recta da el valor de la constante de Verdet. Ladispersion de los cristales se calcul´o como ya se dijo,de acuerdo a la ecuacion de Sellmeier y que tambienpermite calcular el ındice de refraccion mediante:

dn

dλ=

fλ

2n(λ)(45)

Donde

f(λ) = 2λ

(− B1C1

(λ2 − C1)2− B2C2(λ2 − C3)2 +B3(λ2 − C2)2C3

(λ2 − C2)2(λ2 − C3)2

)(46)

Que es la derivada de la parte derecha de la ultimaecuacion de la introduccion. Los valores obtenidos seenlistan en las siguientes tablas. Los resultados paracada cristal, a las distintas longitudes, el error asocia-do a la constante de Verdet (que es el mismo asociadoa la pendiente de la recta) y el valor R del ajuste a larecta, tambien se muestran en las tablas.

F-2 f(λ) n(λ) dn/dλλ=543.5 -0.362163 1.62461 -0.11146152

SF-5 f(λ) n(λ) dn/dλλ=543.5 -0.454401 1.67777 -0.13541814

Tabla 1. Valores de la dispersion, usando Sellmeier. El signo

indica la direccion de rotacion, en este caso, levogira.

SF-05 V(θ/Tm) ∆ V RVteo=7.36 13.876 0.042 0.994

F2 V(θ/Tm) ∆ V RVteo=6.05 5.275 0.020 0.9958

Tabla 2.

Valores obtenidos para la constante de Verdet teorica ycomparandola con la obtenida por la pendiente de nuestra

recta.



A continuacion se muestran las graficas obtenidas yen el apendice se muestran las tablas experimentalescompletas.

Grafica 1. Grafica para los valores de la muestra SF-5.

Grafica 2. Grafica para los valores de la muestra S2.

3. Discusion

Es posible ver grandes discrepancias entre los valoresteoricos y experimentales obtenidos. Esto se puede de-ber a una gran diversidad de causas como lo son, unerror al determinar el cristal y por ende los coeficien-tes de Sellmeier, baja pureza de nuestro material, malfuncionamiento de alguno de los aparatos involucra-dos, no poder determinar exactamente el mınimo pa-ra el angulo de polarizacion. En lo personal, creemosque la colocacion del Gaussmetro no es adecuada pues

no podemos medir correctamente el campo magneti-co que viaja a traves de la muestra pues tambien seinterpondrıa en el camino de nuestro laser. Tambien,cualquier movimiento (giro respecto al eje de polari-zacion) de nuestro laser, proboca un movimiento enlos datos obtenidos. Pudimos ver la reproducibilidadde nuestro experimento al poder obtener lıneas rec-tas (las cuales eran esperadas) al graficar el angulode polarizacion vs el campo magnetico. Pero cualita-tivamente con una montura experimental como la quetuvimos, con muchos parametros que no se podıanmantener constantes ni podıan ser bien medidos deltodo, la reproducibilidad de nuestros datos es factiblepero muy difıcil.

4. Conclusion

Es posible decir que con exito comprobamos el Efec-to Faraday de manera experimental, pues gracias alos datos obtenidos podemos notar una dependenciaen el giro del plano de polarizacion respecto al cam-po magnetico que viaja a traves de un material opto-magnetico por el cual tambien viaja nuestro haz de luzpolarizada. Si bien, nuestros datos no se ajustan a unvalor teorico obtenido, podemos observar que el com-portamiento sı es el esperado y que por lo mismo, demanera cualitativa, fue todo un exito. Nuestros datosse ajustan a recta de una manera bastante razonable.Solo no podemos corroborar la validez de la Ecuacionde Sellmeier que tambien es empırica.

Bibliografıa

[1] Polarized Light in Optics and Spectroscopy, Kliger,David S., Academic Press (1990).

[2] Modern Optics, Guenther, Robert D., John Wiley& Sons. (1990)

[3] Faraday rotation in the undergraduate advancedlaboratory, Pedrotti, Frank L, Bandettini, Peter,Am. J. Phys. 58 (6), (1990).


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