Fısica Cuantica I (3er curso del Grado en Fısica) PEC-2 2016

Es necesario superar el 40 % de la nota maxima de cada parte para compensar. La puntuacion maxima por problemaes 3,5 puntos (total problemas: 7 puntos) y por cuestion es 1,5 puntos (total cuestiones: 3 puntos).Cuestiones: conteste breve y razonadamente, ajustandose a la pregunta y explicando lo que haga.Problemas: debe resolverlos, no solo decir como se podrıan resolver, ni poner la solucion, sino que hayque resolverlos realmente, explicando con claridad los pasos y discutir los resultados. Recuerde definirtodas las variables que use y explicar la notacion y las formulas que utilice.No haga numeros hasta haber obtenido una expresion algebraica (estime entonces en ordenes de magnitud).No se permite ni calculadora ni material auxiliar alguno.

CUESTIONES

C1.- Encontrar los autovalores y autovectores del siguiente operador f = αpx+βx, donde x y px son los operadoresposicion y momento, respectivamente, y α y β parametros reales.

C2.- Se tiene un Hamiltoniano de la forma

H = − }2

2m

d2

dx2+ V (x)

(a) Calcule el conmutador del hamiltoniano con el operador posicion.(b) Calcule el conmutador del hamiltoniano con el operador momento.(c) Particularice el resultado para el caso en el que el potencial es armonico.

PROBLEMAS

P1.- Se considera una partıcula de masa m cuya funcion de onda en el tiempo t=0 esta dada por:

Φ(x, 0) =

√a

(2π)3/4

∫ ∞−∞

e−(a2(k−k0)2)/4eikxdk,

donde a es una constante, k0 el momento inicial y k el momento de la partıcula.a) Calcular la evolucion temporal del paquete de ondas Φ(x, t).b) Calcular la densidad de probabilidad y hacer un esbozo de la misma para t = 0 y para t > 0.Se puede usar la siguiente identidad: ∫ ∞

−∞e−α

2(y+β)2dy =

√π

α,

donde α y β son numeros complejos y cumple que −π4 < arg(α) < π

4 .

P2.- Una partıcula esta descrita por la funcion de onda

ψ (r) = f (r) g (x, y, z)

donde f (r) es una funcion con simetrıa esferica. Se sabe ademas que el momento angular al cuadrado vale L2 =√6~2.

a) Encontrar las posibles formas de la parte no radial de la funcion de onda g (x, y, z) -en coordenas cartesianas-si al medir cualquiera de las posibles proyecciones del momento angular ml de valor impar, estas son equiprobablesy el resto cero.

0Datos que podrıan ser utiles: h = 6,63× 10−34 J s, 1 eV = 1,6× 10−19 J mp = 1,67× 10−27 kgme = 9,11× 10−31 kg, R∞ = 109737 cm−1, e = 1,6× 10−19 C, NA = 60,2× 1022, kB = 1,38× 10−23 J K−1

µb = e~/ (2me) = 9,27× 10−24 J T−1, c = 3× 108 m s−1, ao = 4πεo~2/me2 ' 0,52 A, λC = h/ (mec) = 0,024 A1/ (4πεo) = 9× 109 m3 kg s−2 C−2

0Integrales que podrıan ser utiles:∫∞0 e−ax

2dx = 1

2

√π/a

∫∞0 xe−ax

2dx = 1/ (2a)

∫∞0 x2e−ax

2dx = 1

4

√π/a3∫∞

0 x3e−ax2dx = 1/

(2a2) ∫∞

0 x4e−ax2dx = 3

8

√π/a5

∫∞0 x5e−ax

2dx = 1/a3∫∞

0 rne−ardr = n!/an+1∫ t

0 exp(−x2)dx = 12

√π erf(t)

∫x2eaxdx = eax

a

(x2 − 2x

a + 2a2

)∫cos2 x dx = 1

4 sin (2x) + x2

∫x cos2 x dx = x2

4 + x4 sin (2x) + 1

8 cos (2x)∫x2 cos2 x dx = x3

6 + x4 cos (2x) + 1

4

(x2 − 1

2

)sin (2x)

0Operadores de momento angular ∇2Φ = 1r∂2

∂r2(rΦ) + 1

r2 sin θ∂∂θ

(sin θ ∂Φ

∂θ

)+ 1

r2 sin2 θ∂2Φ∂ϕ2

L2 = −~2[

1sin θ

∂∂θ

(sin θ ∂

∂θ

)+ 1

sin2 θ∂2

∂ϕ2

]Lz = −i~

(x ∂∂y − y

∂∂x

)= −i~ ∂

∂ϕ FC1-PEC-2

b) Encontrar las posibles formas de la parte no radial de la funcion de onda g (x, y, z) -en coordenas cartesianas-si al medir cualquiera de las posibles proyecciones del momento angular ml de valor par, estas son equiprobables yel resto cero.

c) Encontrar las posibles formas de la parte no radial de la funcion de onda g (x, y, z) -en coordenas cartesianas-si al medir cualquiera de las posibles proyecciones del momento angular ml, estas son equiprobables.

Y00 (θ, ϕ) =(

14π

)1/2Y10 (θ, ϕ) =

(3

4π

)1/2cos θ Y1±1 (θ, ϕ) =

(3

8π

)1/2sin θe±iϕ

Y20 (θ, ϕ) =(

516π

)1/2 (3 cos2 θ − 1

)Y2±1 (θ, ϕ) = ∓

(15

32π

)1/2sin θ cos θe±iϕ Y2±2 (θ, ϕ) =

(15

32π

)1/2sin θ cos θe±2iϕ