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Fenômenos de Transporte III
Prof. Dr. Gilberto Garcia Cortez
1
Aula 1
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Bibliografia:
[1] Fundamentos de Transferência de Calor e Massa – Incropera, F. P.;
Dewitt, D. P. – Ed. Guanabara Koogan
[2] Fenômenos de Transporte - Bennet, C. O.; Myers, J. E. – Ed. McGraw-Hill
[3]Fenômenos de Transporte - Pitts, D. R.; Sisson, L. E. – Ed. McGraw-Hill
[4] Mass Transfer Operations - Treybal, R. E. – Ed. McGraw-Hill
[5] Fundamentos de Transferência de Massa - Cremasco, M. A. – Ed.
UNICAMP
[6] Fenômenos de Transporte - Bird, R. B.; Stewart, W. E.; Lightfood, E. N. –
Ed. Reverté
[7] Fundamentals of Momentum Heat and Mass Transfer - Welty, J. R.;
Wilson, R. E.; Wicks, C. E. – Ed. John Wiley & Sons
[8] Cinética Química Aplicada e Cálculo de Reatores - Schmal, M. – Ed.
Guanabara Dois
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1- INTRODUÇÃO
Entende-se por transferência de massa, o transporte de um
componente de uma região de alta concentração para outra
de baixa concentração.
Big Bang
3
∆C
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Encontramos transferência de massa na indústria, no
laboratório, na cozinha, no corpo humano, enfim em todo lugar
em que há diferença de “concentração” de uma determinada
espécie para que ocorra o seu transporte.
A transferência de calor é promovida pelos gradientes de
temperatura. A transferência de massa num sistema ocorre de
maneira análoga.
O fluxo de massa ocorre no sentido das regiões de alta para
os de baixa concentração. A este fenômeno denomina-se difusão
molecular de massa.
O transporte de massa pode também estar associado com a
convecção, processo este no qual porções do fluido são
transportados de uma região a outra do escoamento em escala
macroscópica.
1- INTRODUÇÃO
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De acordo com a segunda lei da termodinâmica (dS ≥ 0), haverá fluxo de
matéria (ou massa, ou mols) de uma região de maior a outra de menor
concentração de uma determinada espécie química. Esta espécie que é
transferida denomina-se soluto. As regiões que contêm o soluto podem
abrigar população de uma ou mais espécies químicas distintas do soluto, as
quais são denominadas de solvente. O conjunto soluto/solvente, por sua vez,
é conhecido como mistura (para gases) ou solução (para líquidos). Tanto
uma quanto a outra constituem o meio onde ocorrerá o fenômeno de
transferência de massa.
“Transferência de massa é um fenômeno ocasionado pela diferença de
concentração, maior para menor, de um determinado soluto em um certo
meio”
2-TRANSFERÊNCIA DE MASSA: DIFUSÃO vs.
CONVECÇÃO MÁSSICA
5
AC
0AC
...............
...............
...............
...............
...............
0 AC
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“A causa gera o fenômeno, provoca a sua transformação, ocasionando o
movimento”
A diferença de concentração do soluto, enquanto causa, traduz-se em força
motriz necessária ao movimento da espécie considerada de uma região a
outra; levando-nos a:
motrizforçamatériadamovimento
O teor da resposta de reação desse movimento, em virtude da ação da
força motriz, está associado à resistência oferecida pelo meio ao
transporte do soluto como:
1 motrizforça
transporteaoaresistêncimatériadamovimento
Observa-se desse enunciado uma nítida relação de causa e efeito na
transferência de massa. Para causa: diferença de concentração de soluto,
existe o efeito da transferência de massa. Portanto:
6
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A resistência presente na equação anterior está
relacionada com:
* interação soluto/meio
* interação soluto/meio + ação externa
A transferência de massa pode ocorrer em nível
macroscópico, cuja força motriz é a diferença de
concentração e a resistência ao transporte está associada à
interação soluto/meio + ação externa. Essa ação externa
relaciona-se com as características dinâmicas do meio e
geometria do lugar onde ele se encontra. Esse fenômeno é
conhecido como convecção mássica. Por outro lado, o
movimento das espécies (soluto) no meio, é conhecido como
difusão.
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Existem diversos mecanismos de transferência de massa. A classificação
dada por R. B. Bird abrange oito tipos:
1- Difusão molecular (ordinária), resultante de um gradiente de
concentração.
2- Difusão térmica, resultante de um gradiente de temperatura;
3- Difusão devido à pressão, que ocorre em virtude de um gradiente de
pressão;
4- Difusão forçada, que resulta de outras forças externas além das
gravitacionais;
5- Transferência de massa por convecção forçada;
6- Transferência de massa por convecção natural;
7- Transferência de massa turbulenta, resultante das correntes de
redemoinho existente num fluido;
8- Transferência de massa entre as fases que ocorre em virtude do não
equilíbrio através da interface.
Os quatro primeiros tipos ocorrem com transferência de massa
molecular, os quatro últimos ocorrem com transferência de massa por
conveçcão.
8
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2- CONCENTRAÇÕES, VELOCIDADES E FLUXOS
2.1 Concentrações
Concentração mássica:
V
m i
iρ massa da espécie i por unidade de volume da solução
Concentração molar:
M
VM
m
V
n
i
i
i
ii
i
Cnúmero de mols da espécie i por unidade de
volume da solução
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Fração mássica:
i
iw
concentração mássica da espécie i dividida pela
concentração mássica total.
onde:
n
1 i
i
Fração molar:
i
C
Cx
i
concentração molar da espécie i dividida pela
concentração molar total da solução.
onde:
n
1 i
i CC
A notação para gases de fração molar será: C
Cyi
i 10
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Quando relacionado com a fase gasosa em condições ideais, as
concentrações molares são expressas em termos de pressões parciais, isto é:
i
i
iiM
RTm RTn VP
RT
P
V ii
i
nC
onde Pi é a pressão parcial do componente i na fase gasosa e R é a
constante universal dos gases.
Para uma mistura gasosa ideal temos:
onde P é a pressão total da mistura gasosa.
RT
P C
RT
MP
V
m ρ iii
i
RT
PM
V
m ρ
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Quando relacionado com a fase gasosa em condições ideais, as frações
molares yi são expressas em termos de pressões parciais, isto é:
P
P i
iy
TR
PTR
P
i
i
i
C
Cy
Representação algébrica da Lei de Dalton
P P ii
y
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Definições básicas para uma mistura binária (A + B):
BA ( concentração mássica da solução )
BA CCC
( concentração molar da mistura )
AAMC A
BBMC B
( concentração mássica de A ou B )
A
A
M
AC
B
B
M
BC
( concentração molar de A ou B )
M
C
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A A
B B
( fração mássica de A ou B )
C
CxA
A
C
CxB
B
( fração molar de A ou B para líquidos )
C
Cy A
A
C
Cy B
B
( fração molar de A ou B para gases )
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Relações adicionais de uma mistura binária (A + B):
1 BA xx
1 BA yy
( molar para líquidos )
( molar para gases )
1 BA ( mássico )
M M MBBAA yy ( massa molar média para gases )
M M M BBA xxA( massa molar média para líquidos )
MMM
1
B
B
A
A
( massa molar médio mássico )
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Por definição temos:
i iwiiMC i CM
Portanto temos: M
M
M
M
CM
MC i
i
i
i
iii yxwi
B
A
BA
A
A
A
M
w
M
w
M
w
x
BBAA
AA
AMxMx
Mxw
( molar em fase líquida)
( mássico )
MM
w
M
w 1
B
B
A
A
M M M BBA xxA
M
1
M i
i
i
w
x ou
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Exemplo 01: Determine a massa molecular da seguinte mistura gasosa:
5% de CO, 20% de H2O, 4% de O2 e 71% de N2. Calcule, também, as
frações mássicas das espécies que compõe essa mistura:
a) Solução:
b) Solução:
Frações mássicas:
g/gmol 26,173 M
013,280,71 )015,18(0,2 999,310,04 01,280,05 M
My My My My M222222 NNOHOHOOCOCO
CM ρ ; MC ρ ; ρ
ρ
iiii
iw
M
My
CM
MC i
iii
iw
17
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Espécie químicaMassa molecular
M (g/gmol)
Fração molar
yi
Fração mássica
wi = yiMi/M
CO 28,01 0,05 0,0535
O2 31,999 0,04 0,0489
H2O 18,015 0,20 0,1377
N2 28,013 0,71 0,7599
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19
Exemplo 02: Calcule a massa molecular do ar considerando-o como uma
mistura nas seguintes proporções:
a) 79% de N2 e 21% de O2 (ar puro!)
a) 78,09% N2 , 20,65% de O2 , 0,93% de Ar (argônio) e 0,33 de CO2
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a) Solução:
b) Solução:
g/gmol 28,85 M
28,0130,79 31,9990,21 My My M
Ar
NNOOAr 2222
g/gmol 28,99 M
44,013,3x10 39,9489,3x10 28,010,7809 31,9990,2065 M
My My My My M
Ar
33
Ar
COCOArArNNOOAr 222222
20
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Exemplo 03: Calcule a concentração mássica da mistura e de cada
componente a 1 atm e 25C, assim como as frações mássicas de cada
espécie presente nos item (a) do exercício anterior (ar puro nas CNTP).
a) Concentração mássica do N2
b) Concentração mássica do O2
34
N
3
NN
N
NN
g/cm9,05x10 ρ
98,15K)/gmol.K)(2atm.cm (82,05
g/gmol) atm)(28,01 (0,79
RT
MP ρ
atm 0,79 0,79(1atm) Py P
2
22
2
22
34
O
3
OO
O
OO
g/cm2,75x10 ρ
98,15K)/gmol.K)(2atm.cm (82,05
g/gmol) 9atm)(31,99 (0,21
RT
MP ρ
atm 0,21 0,21(1atm) Py P
2
22
2
22
21
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c) Concentração mássica da mistura:
d) Fração mássica do N2
e) Fração mássica do O2
0,767
g/cm1,18x10
g/cm9,05x10
ρ
ρ
2
2
2
N
33
34N
N
w
w
0,233
g/cm1,18x10
g/cm2,75x10
ρ
ρ
2
2
2
O
33
34O
O
w
w
334
NO
n
1 i
ig/cm1,18x10 109,05 2,75 ρ ρ ρ ρ
22
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Exemplo 04: Calcule a massa molecular do ar úmido com 5% de umidade
(yágua = 0,05). Suponha o ar puro como uma mistura ideal das espécies
químicas contidas no item (a) do exercício 02. Calcule também a fração
mássica do vapor d’água.
g/gmol 28,31 M
g/gmol 85,280,05 1 g/gmol 18,0150,05 M
My 1 My My My M
úmido AR
úmido AR
AROHOHOHARAROHOHúmido AR 22222
33
úmidoAr
3
úmidoAr
úmidoAr
g/cm1,157x10 ρ
98,15K)/gmol.K)(2atm.cm (82,05
g/gmol) (28,311atm
RT
PM ρ
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35
OH
3
OHOH
OH
OHOH
g/cm3,719x10 ρ
98,15K)/gmol.K)(2atm.cm (82,05
g/gmol) 5atm)(18,01 (0,05
RT
MP ρ
atm 0,05 0,05(1atm) Py P
2
22
2
22
0,032
g/cm1,157x10
g/cm3,719x10
ρ
ρ
OH
33
35
úmidoAr
OH
OH
2
2
2
w
w
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2.2 Velocidades
Quando mencionamos velocidade, esta não será apenas de uma molécula
da espécie i, mas sim a média de n moléculas dessas espécies contidas em
um elemento de volume. Como a solução é uma mistura de distintas
espécies químicas, a velocidade com a qual escoa esta solução é dada
pelas seguintes equações:
( velocidade média mássica )
( velocidade média molar )
v
v n
1 ii
n
1 iii
C
vC V n
1 ii
n
1 iii
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) vC ( v iiii
) V ( viv
onde é uma velocidade local com que a massa da solução atravessa
uma seção unitária colocada perpendicularmente à velocidade . Convém
salientar que é uma velocidade absoluta, pois diz respeito à espécie química i.
Essa velocidade pode estar referenciada a outro tipo de velocidade:
1- à de eixos estacionários:
2- à da solução ( para velocidade mássica ):
3- à da solução ( para velocidade molar ):
0 v
v v i
V v i
O resultado oriundo das diferenças dos itens 2 e 3 denomina-se velocidade
de difusão da espécie i relativa a velocidade média mássica e molar,
respectivamente.
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27
Exemplo 05: Sabendo que as velocidades absolutas das espécies químicas
presentes na mistura gasosa do exemplo 01 são: vCO,z = 10 cm/s, vO2,z = 13 cm/s,
vH2O,z = 19 cm/s, vN2,z = 11 cm/s, determine:
a) A velocidade média molar da mistura;
b) A velocidade mássica da mistura;
c) A velocidade de difusão do O2 na mistura, tendo como referência a
velocidade média molar da mistura;
d) Idem ao item (c), tendo como referência a velocidade média mássica da
mistura.
Obs: Utilizar as composições molares e mássicas dos gases do exemplo 1.
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Solução:
a) Da definição da velocidade média molar da mistura para a direção z,
temos:
mas
Substituindo (2) em (1), temos:
C
vC
Vn
1 ii
n
1 ii,i
z
Z ( 1 )
Cy C ;C
C y ; C C
ii
i
i
n
1 ii
( 2 )
vy V zi,
n
1 ii
Z
( 3 )zzzz ,NNO,HOH,OOzCO,CO 222222
vy vy vy vy V
28
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cm/s 12,63 V
110,71 190,2 130,04 100,05 V
vy vy vy vy V ,NNO,HOH,OOzCO,CO 222222
z
z
zzzz
b) Da definição da velocidade média mássica da mistura para a direção z,
temos:
Porém
Substituindo (5) em (4), temos:
ρ
vρ
vn
1 i
i
n
1 i
zi,i
Z
ρ ρ ;ρ
ρ ; ρ ρ
ii
i
i
n
1 ii
ww
( 4 )
( 5 )
v vzi,
n
1 ii
wz
zzzzwwww
,NNO,HOH,OOzCO,CO 222222
v v v v v ( 6 )29
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Conhece-se os valores de wi do exemplo 01:
c) Da definição de velocidade de difusão do O2, referenciada à velocidade
média molar na direção z, temos:
d) Da definição de velocidade de difusão do O2, referenciada à velocidade
média mássica na direção z, temos:
cm/s 12,15 v
110,7599 190,1377 130,0489 100,0535 v
v w v w v w v w v ,NNO,HOH,OOzCO,CO 222222
z
z
zzzz
cm/s 0,85 12,15 13 v v v v zz,Oi 2
cm/s 0,37 12,63 13 V v V v zz,Oi 2
30
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2.3 Fluxos
No item anterior sempre que houve a menção “velocidade”, havia para
ela algum complemento:
- da espécie química ou
- da solução.
No caso dos peixes, foi:
- dos peixes ( cardume ) ou
- do rio
Evidenciou-se que, ao mencionar peixe, estava implícito o conjunto de
uma determinada espécie, ou seja, cardume. O cardume de peixes traz a
idéia de concentração de uma certa espécie. Escreve-se, dessa maneira,
o seguinte produto do qual resulta a definição de fluxo total:
ãoConcentraçVelocidade FLUXO
tempoárea
molsoumassa
.
) (sendo a unidade de fluxo:
31
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FLUXO: Quantidade de matéria que atravessa uma superfície
com uma determinada área num intervalo de tempo.
O fluxo é gerado pelo gradiente de concentração.
sm
Kgou
sm
mols
Tempolsuperficia Área
Massa)(ou Mols FLUXO
22
Área Unitária
32
Fluxo Fluxo
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Se considerarmos que os diversos cardumes de peixes passem por
debaixo de uma ponte, a qual está situada perpendicularmente ao
escoamento do rio ( observe que a área entre os colchetes na unidade de
fluxo é aquela situada perpendicularmente sob a ponte ), fica a seguinte
questão: que velocidade está associada ao fluxo ? Qualquer que seja a
velocidade, ou seja, velocidade do rio, velocidade de difusão do cardume
ou velocidade absoluta do cardume, o fluxo total do cardume “A”
referenciado a um eixo estacionário é dado por:
rio do escoamento
do resultante
A de Movimento
rio nonadar de
ato do decorrente
A de Movimento
ponte da observado
A de Movimento( 1 )
33
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Definimos anteriormente a “velocidade de difusão” como sendo a
diferença entre a velocidade absoluta da espécie química “i” com a
velocidade média (molar ou mássica). Assim, no exemplo dos cardumes
de peixes em um rio, implica a interação cardume A / rio, portanto um
fenômeno difusivo e o fluxo associado será devido à contribuição
difusiva, escrita como:
V vC J ZZA,AZA,
( 2 )
velocidade da espécie A ( peixe “i” cardume “i” ) na direção Z:v ZA,
velocidade do rio ( meio ) na direção Z:VZ
34
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Suponha agora que, ao invés de nadar, o cardume A deixe-se levar pelo
rio. O movimento do cardume será devido à velocidade do meio. O fluxo
associado, nesse caso, decorre da contribuição convectiva ou advecção de
acordo com:
VC J ZA
C
ZA, ( 3 )
A equação anterior representa a contribuição convectiva analisada por
aquele observador parado, pescando tranquilamente sobre uma ponte.
A equação 1 é vista, também da seguinte maneira:
VC V vC N ZAZZA,AZA,
( 4 )
a qual representa o fluxo decorrente do cardume A nadar na direção Z,
enquanto o rio estiver escoando.
35
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Assim, a equação 4 é válida para o fluxo unidirecional de qualquer espécie
química A, referenciada à coordenada estacionária Z.
solução da global
movimento do
resultante Fluxo
difusiva
ãocontribuiç da
resultante Fluxo
ioestacionár eixo
um a doreferencia
A de totalFluxo
convectiva
ãoContribuiç
difusiva
ãoContribuiç
ioestacionár
eixo um a doreferencia
A espécie da totalFluxo
ou
( 5 )
36
:envolvidas
svelocidade v v
i
V v
i
ou v
ou V
i
v
J J N C
ZA,ZA,ZA,
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3- LEI DE FICK DA DIFUSÃO (1855)
Considere um recipiente que contém dois gases A e B ( CA >> CB ),
inicialmente separados entre si por uma partição:
dx
Gás A Gás B
Partição
T e P constantesx
y
V
n C
A
A
A
V
n C
B
B
B
AAV , n
BBV , n
37
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Gás A + B
T e P constantes
V
n C A
A
V
n C B
B
V
C
V
CA
CB
CA >> CB
Ao retirar-se a partição, os dois gases difundem um através do outro até
que a concentração de ambos seja uniforme em todo o volume “V”.
BAC C C
BAV V V
As concentrações de cada gás serão, respectivamente:
38
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Este fenômeno é regido pela primeira lei de Fick, que pode ser expressa pela
seguinte equação:
CD yCDdx
dyCDJ
AABAAB
A
ABA
O sinal negativo indica o decréscimo da concentração da espécie A com o
sentido do fluxo
onde:
C = Concentração molar total [mols/cm3]
= Densidade de fluxo molar de difusão [mol/cm2.s]AJ
DAB = Coeficiente de difusão da espécie A em relação a espécie B
ou difusividade [cm2/s ou m2/s]
C
C AAy
( 6 )
dx
dC C A
A
39
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dx
dC C A
A Gradiente de concentração
inicialfinal
AAAA
x x
C C
x
C
dx
dCinicialfinal
Se for linear:
1C
2C
1x 2x
x
CD
dx
dCDJ A
ABA
ABA
Lei de Fick para difusão em estado estacionário
40
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Exemplo 06: O diclorometano é um ingrediente comum em
decapantes de tintas. Além de causar irritações, pode ser
absorvido pela pele. Deve-se usar luvas de proteção quando
manipular este decapante. Usando-se luvas de borracha
butílica (0,04 cm de espessura), qual é o fluxo de
diclorometano através da luva?
Dados:
Coeficiente de difusão em borracha butílica: 110x10-12 m2/s
Concentrações superficiais:
1 = 440 Kg/m3
2 = 20 Kg/m3
41
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Decapante Pele
1ρ
2ρ
1x 2x
42
.skg/m1,16x10 J
m0,04x10
kg/m440 20/sm110x10 J
x x
ρ ρD
Δx
ΔρD
dx
dρD J
ρ
dρ d ;
ρ
ρ ;
dx
dρD J
24
A
2
3
212
A
12
AA
AB
A
AB
A
ABA
A
A
A
A
A
ABA
12
ww
w
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A partir da equação 5, toma-se uma mistura binária (A + B), em que CA
representa a concentração molar da espécie química A e , a velocidade
absoluta de A e a velocidade média molar da solução, respectivamente. O
fluxo molar total da espécie A referenciado a eixos estacionários “z” será:
AvV
( 4 )
Como consequência da equação 4:
vC N AA
A ( 7 )
sendo que o fluxo posto desta forma é denominado fluxo absoluto
molar da espécie A.
AN
43
VC V vC N ZAZZA,AZA,
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A parcela correspondente à contribuição difusiva é:
V vC J AA
A ( 8 )
sendo restrita segundo a lei ordinária da difusão:
CD J AAB
A ( 9 )
Como a concentração total da solução é constante e considerando o soluto
A em fase gasosa, a relação para gases será:
yCD J AAB
A ( 10 )
44
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Levando a definição de velocidade média molar, para uma mistura
binária, na parcela da contribuição convectiva, o resultado fica:
C
vC vCC VC
BB
AA
AA
N Ny VC BAAA
( 11 )
Substituindo as equações 10 e 11 na equação 4, temos:
N Ny yCD N BAAAAB
A ( 12 )
A equação 12 representa o fluxo total da espécie A em uma mistura
binária (A+B), válida para gases.
45
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Para líquido a equação 12 torna-se:
N N x xCD N BAAAAB
A ( 13 )
No caso de fluxo mássico do soluto A referenciado a eixos estacionários, o
procedimento é análogo ao molar, ou seja:
n n w wD n BAAAAB
A ( 14 )
As equações 12, 13 e 14 são denominadas primeira lei de Fick escrita
para e . No caso de eleger apenas a direção z para o fluxo, tais
equações serão, respectivamente:
AN An
46
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N Ny dz
dyCD N ZB,ZA,A
AABZA,
N N x dz
dxCD N ZB,ZA,A
AABZA,
n n w dz
dwD n ZB,ZA,A
AABZA,
( 15 )
( 16 )
( 17 )
O fluxo total para uma espécie química “1” presente em uma mistura
com “n” espécies químicas será dado por:
yyD.CN n
1jj11M,11 N
( 18 )
47
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Ny NyCD
1 y 1jj1
n
2 j 1j
1
Ny NyD
1
Ny yN
D n
2 j
1jj1
j1
n
2 j
n
2 j
j1j1
M,1
( 19 )
( 20 )
A equação 20 é conhecida como a equação de Stefan-Maxwell, ela é útil
para a determinação do coeficiente de difusão na situação em que o meio
não é estagnado; na ventura de sê-lo (para todas as espécies j).
Neste caso, a equação 20 torna-se:0 N j
D
Ny
yN
D n
2 j j1
1j
n
2 j
j1
M,1
( 21 )
48
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Como não entra no somatório, a equação 21 torna-se:1N
D
y ...
D
y
D
y
D
y
y 1
D
y
y
D
1n
n
14
4
13
3
12
2
1
n
2 j j1
j
n
2 j
j
M,1
( 22 )
49