Fernandez Garcia Tesis

UNIVERSIDAD DE GRANADA

DEPARTAMENTO DE DIDCTICA DE LA MATEMTICA

EVALUACIN DE COMPETENCIAS EN LGEBRAELEMENTAL A TRAVS DE PROBLEMAS VERBALES

Tesis Doctoral que presenta

Francisco Fernndez Garca

Realizada bajo la direccin de los doctoresLuis Rico Romero Antonio Fernndez Cano

GRANADA, 1997

Esta Tesis ha sido realizada en el Departamento deDidctica de la Matemtica de la Universidad de Gra-nada, dentro del grupo de Pensamiento Numrico delII Plan Andaluz de Investigacin de la Junta de Anda-luca FQM 0193 y parcialmente financiada por el Pro-yecto PS93-0195, Evaluacin de Conocimientos, Pro-cesos y Actitudes en Matemticas, subvencionado porla Direccin General de Investigacin Cientfica y Tc-nica (DGICYT).

A mi esposa y a mis hijas Patricia y Luca

AGRADECIMIENTOS

A Luis Rico, que ha despertado en m la satisfaccin por el trabajo de investigaciny que se ha empeado en que esta tesis sea una realidad.

A Antonio Fernndez Cano, por el inters que se ha tomado y por su valiosa aportacin en la metodologa de investigacin aplicada en este trabajo.

A los miembros del Seminario de Investigacin CIEM, muy especialmente a Enrique Castro, Encarna Castro e Isidoro Segovia,

por la ayuda y afecto mostrados hacia esta investigacin.

A los profesores y alumnos de los Centros de Secundaria Aynadamar y Hermenegildo Lanz, as como a los estudiantes de la

Facultad de Ciencias de la Educacin de Granada, por todas las facilidades que me brindaron en la toma de datos.

Deseo agradecer de forma general el apoyo y aliento recibido por los compaeras y compaeros del Departamento de Didctica de la Matemtica y en

particular, por las aportaciones de documentacin para este estudio, a Juan Daz , Moiss Coriat y Pablo Flores.

PRLOGO

No juzgues... Juzga, por el contrario; no ceses, con-ciencia infatigable, de evaluar tus acciones, tus pen-samientos y los de los dems con la ayuda de tusinstrumentos an primitivos; utliliza lo mejor que tupuedas tu balanza a la vez demasiado y poco sensi-ble, nunca en el fiel, equilibrada bien que mal me-diante la aportacin de incesantes escrpulos. Juz-ga para no ser juzgado el peor de los seres, el co-barde de espritu, perezosamente dispuesto a todo,que se niega a juzgar.

(Marguerite Yourcenar, Peregrina y extranjera)

NDICE

CAPTULO 1: FUNDAMENTACIN

1.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2. Sobre la Evaluacin en Matemticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.1. Nocin de Evaluacin en Matemticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.2. La Evaluacin parte integrante de la instruccin . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.3. Consideraciones sobre la Evaluacin en Matemticas . . . . . . . . . . 16

1.3. Los Problemas Verbales como Instrumentos de Evaluacin . . . . . . . . . . . . 18

1. 4. El lgebra Escolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4.1. Enseanza y aprendizaje del lgebra Escolar . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4.2. El currculo del lgebra Escolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.4.3. Pensamiento algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1. 5. lgebra Escolar y sistemas de representacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.5.1. Sobre la nocin de representacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.5.2. Comprensin y sistemas de representacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.5.3. Conocimiento algebraico escolar y

sistemas de representacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.6. Resolucin de problemas y evolucin del lenguaje simblico . . . . . . . . . . . 391.6.1. Historia de la Matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.6.2. La resolucin de problemas en la transicin de la aritmtica

al lgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.6.3. Implicaciones para la enseanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

CAPTULO 2: EL PROBLEMA A INVESTIGAR

2.1. Delimitacin del rea problemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.1.1. Primera aproximacin: evaluacin del lgebra Escolara travs de problemas verbales algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.1.2. Resolucin de problemas algebraicos verbales . . . . . . . . . . . . . . . 452.1.3. Competencias que se van a evaluar y otros estudios . . . . . . . . . . . 472.1.4. El rea problemtica dentro de la ciencia cognitiva . . . . . . . . . . . . . 51

2.2. Cuestiones en estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.3. Caracterizacin del problema de investigacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.4. Inters general del estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.4.1. Documentos de expertos para la enseanza-aprendizaje

del lgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.4.2. Documentos normativos para la evaluacin en matemticas . . . . . 612.4.3. Elaboracin de instrumentos de evaluacin fiables . . . . . . . . . . . . 632.4.4. Balance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.5. Trminos clave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.5.1. Instrumento de evaluacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.5.2. Problema verbal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.5.3. Problema algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.5.4. Fases en la resolucin de un problema verbal . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.5.4.1. Planteamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.5.4.2. Ejecucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.5.4.3. Desempeo final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.5.5. Sistemas de representacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.5.5.1. Sistema de representacin Ensayo-Error . . . . . . . . . . . . . . 762.5.5.2. Sistema de representacin Parte-Todo . . . . . . . . . . . . . . . . 782.5.5.3. Sistema de representacin Grfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.5.5.4. Sistema de representacin Grfico-Simblico . . . . . . . . . . 822.5.5.5. Sistema de representacin Simblico . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2.6. Finalidad del estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

2.7. Racionalidad del estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.7.1. Marco curricular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.7.2. Marco conceptual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902.7.3. Marco cognitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912.7.4. Ubicacin del estudio y referencias a otras investigaciones . . . . . 93

CAPTULO 3: REVISIN DE LA LITERATURA DE INVESTIGACIN

3.1. Fuentes documentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.2. Evaluacin en matemticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.3. Criterios e instrumentos para la evaluacin en matemticas . . . . . . . . . . . 107

3.4. El paso de la Aritmtica al lgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

3.5. Pensamiento algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3.6. Resolucin de problemas algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

3.7. Representacin en matemticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

CAPTULO 4: OBJETIVOS E HIPTESIS DE LA INVESTIGACIN

4.1. Enfoque exploratorio de la investigacin. Objetivos a cubrir . . . . . . . . . . . 1274.1.1. Propsito central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.1.2. Objetivos subsidiarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284.1.3. Objetivos especficos necesarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.2. Enfoque confirmatorio de la investigacin: Hiptesis a contrastar . . . . . . 131

4.3. Racionalidad de las hiptesis: sentido y lateralidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334.3.1. Diferencias entre los grupos de edad/nivel acadmico . . . . . . . . . 1334.3.2. Diferencias entre tipologas de resolutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

4.4. Relacin entre problemas, objetivos e hiptesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

CAPTULO 5: POBLACIN Y MUESTRA. VARIABLES E INSTRUMENTOS DE EVALUACIN

5.1. Descripcin de la poblacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.2. Descripcin de la muestra utilizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

5.3. Representatividad muestral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

5.4. Caractersticas de la muestra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

5.5. Estudio de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1465.5.1. Variables independientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1465.5.2. Variables dependientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

5.6. Enfoque mtrico general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

5.7. El proceso de construccin del instrumento central . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1535.7.1. Descripcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

5.7.1.1. Primer paso: Explicitando el contenido . . . . . . . . . . . . . . . 1535.7.1.2. Segundo paso: Primera prueba piloto . . . . . . . . . . . . . . . . 1545.7.1.3. Tercer paso: Segunda prueba piloto . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

5.7.1.4. Cuarto paso: Tercera prueba piloto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555.7.2. Variables de control en la tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

5.8. Hacia la estandarizacin del instrumento de evaluacin . . . . . . . . . . . . . . 1675.8.1.Puesta a punto del instrumento de evaluacin . . . . . . . . . . . . . . . . 1675.8.2. Administracin del instrumento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1685.8.3. Baremacin del instrumento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

5.9. Validez del instrumento de evaluacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1745.9.1. Aproximacin a la validez de contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1745.9.2. Aproximacin a la validez de constructo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

5.10. Fiabilidad del instrumento de evaluacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

5.11. Errores de medida plausibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

CAPTULO 6: DISEO Y PROCEDIMIENTO6.1. Seleccin del diseo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

6.2. Amenazas a la validez del diseo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

6.3. El procedimiento: descripcin y temporalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1846.3.1. Primera Fase: Campo de investigacin a estudiar . . . . . . . . . . . . . 1846.3.2. Segunda Fase: Determinacin del Proyecto de Tesis . . . . . . . . . . 1846.3.3. Tercera Fase: Primeras pruebas piloto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1856.3.4. Cuarta Fase: Opiniones de expertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

6.3.5. Quinta Fase: Plan estructurado de actuacin . . . . . . . . . . . . . . . . . 1866.3.6. Sexta Fase: Primera categorizacin de las respuestas . . . . . . . . . 1866.3.7. Sptima Fase: Presentacin a la Comunidad de Investigadores . 1876.3.8. Octava Fase: La variable Sistemas de Representacin . . . . . . . . . 1886.3.9. Novena Fase: Caractersticas del pensamiento algebraico . . . . . . 1896.3.10. Dcima Fase: Determinacin de las variables . . . . . . . . . . . . . . . 1916.3.11. Undcima Fase: Administracin del instrumento

y correccin de protocolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1936.3.12. Duodcima Fase: Redaccin del informe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1936.3.13. Decimotercera Fase: Discusin con expertos . . . . . . . . . . . . . . . 1936.3.14. Decimocuarta Fase: Redaccin de laTesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1966.3.15. Finalizacin del trabajo y presentacin de la memoria . . . . . . . . 196

CAPTULO 7: ANLISIS DE DATOS. ESTUDIO EXPLORATORIO7.1. Estudio muestral. Datos descriptivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

7.1.1. Tasa de respuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1977.1.2. Planteamiento de los problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1987.1.3. Ejecucin de los problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2007.1.4. Desempeo Final de los problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2027.1.5. Relacin entre las tres fases de un problema verbal . . . . . . . . . . . 2047.1.6. Modelo de Lins y resolucin de problemas algebraicos . . . . . . . . 2087.1.7. Sistemas de representacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2107.1.8. Problemas bien resueltos en los distintos sistemas

de representacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

7.2. Anlisis de clusters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2147.2.1. Clusters para los tems/problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2147.2.2. Anlisis de clusters para sujetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

7.2.2.1. Cluster 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2197.2.2.2. Cluster 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2227.2.2.3. Cluster 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2247.2.2.4. Cluster 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

7.3. Hallazgos del anlisis de clusters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

CAPTULO 8: ANLISIS DE DATOS. ESTUDIOS CONFIRMATORIOS

8.1. Primer estudio comparativo-transversal. Diferencias entre grupos . . . . . . 2338.1.1. Transformaciones mtricas de carcter aditivo . . . . . . . . . . . . . . . 233

8.2. Estadsticos a utilizar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

8.3. Hiptesis a contrastar en el primer estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2348.3.1. Anlisis de datos relativos a la hiptesis 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

8.3.1.1. Estadsticos descriptivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2358.3.1.2. Estadsticos inferenciales de contraste . . . . . . . . . . . . . . . 238

8.4. Discusin de resultados para las hiptesis 1, 2 y 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

8.5. Segundo estudio comparativo-transversal. Diferencias segn tipologas/clusters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

8.6. Hiptesis a contrastar en el segundo estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2438.6.1. Anlisis de datos relativos a la hiptesis 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

8.6.1.1. Estadsticos descriptivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2448.6.1.2. Estadsticos inferenciales de contraste . . . . . . . . . . . . . . . 246

8.6. Discusin de resultados para las hiptesis 4, 5 y 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

CAPTULO 9: UN ESTUDIO DE CASOS PARA SEGUIMIENTO DE PROCESOS9.1. Acotacin del problema. Hiptesis a contrastar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

9.2. Seleccin de casos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

9.3. Configuracin del instrumento de recogida de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . 2539.3.1. Instrumento para el Cluster 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

9.3.1.1. Primera Etapa: Eleccin de planteamiento . . . . . . . . . . . . 2549.3.1.2. Segunda Etapa: Primera Entrevista . . . . . . . . . . . . . . . . . 2569.3.1.3. Tercera Etapa: Resolucin de otro tem/problema . . . . . . 257

9.3.1.4. Cuarta Etapa: Segunda Entrevista . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2609.3.2. Instrumento para el Cluster 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

9.3.2.1. Primera Etapa: Eleccin de planteamiento . . . . . . . . . . . . 2629.3.2.2. Segunda Etapa: Primera Entrevista . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2649.3.2.3. Tercera Etapa: Resolucin de otro tem/problema . . . . . . 2649.3.2.4. Cuarta Etapa: Segunda Entrevista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

9.3.3. Instrumento para el Cluster 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2679.3.3.1. Primera Etapa: Eleccin de planteamiento . . . . . . . . . . . . 2679.3.3.2. Segunda Etapa: Primera Entrevista . . . . . . . . . . . . . . . . . 2699.3.3.3. Tercera Etapa: Resolucin de otro tem/problema . . . . . . 2699.3.3.4. Cuarta Etapa: Segunda Entrevista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

9.3.4. Instrumento para el Cluster 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2749.3.4.1. Primera Etapa: Eleccin de planteamiento . . . . . . . . . . . . 2749.3.4.2. Segunda Etapa: Primera Entrevista . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2749.3.4.3. Tercera Etapa: Resolucin de otro tem/problema . . . . . . 2759.3.4.4. Cuarta Etapa:Segunda Entrevista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

9.3.5. Procesos a verificar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

9.4. Recogida de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

9.5. Anlisis de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2789.5.1. Resultados para el Cluster 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2799.5.2. Resultados para el Cluster 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2849.5.3. Resultados para el Cluster 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2859.5.4. Resultados para el Cluster 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

9.6. Estudio de un caso compilativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2919.6.1. Resultados para el caso compilativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

9.7. Discusin de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2939.7.1. Hiptesis 7.Tipologas de resolutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2939.7.2. Variables de los problemas y sistemas de representacin . . . . . . 2959.7.3. Mejora en problemas de dos relaciones respecto a los de una . . 296

CAPTULO 10: RESUMEN DE RESULTADOS10.1. Consideracin general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

10.2. Conclusiones especficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29810.2.1. Resultados sobre resolucin de problemas algebraicos . . . . . . 29810.2.2. Presencia de pensamiento algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30110.2.3. Sistemas de representacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30210.2.4. Tipologas de sujetos segn sistemas de representacin . . . . . 30410.2.5. Diferencias entre grupos de edad o nivel acadmico . . . . . . . . . 30710.2.6. Diferencias entre tipologas de resolutores . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

10.3. Implicaciones y repercusiones de los hallazgos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31210.3.1. Implicaciones acerca de la evaluacin en lgebra Escolar . . . . . 31210.3.2. Enseanza y aprendizaje del lgebra Escolar . . . . . . . . . . . . . . . 314

10.4. Aperturas y nuevas propuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

ANEXOSAnexo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343Anexo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351Anexo III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361Anexo IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363Anexo V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371Anexo VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372Anexo VII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392Anexo VIII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394Anexo IX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396Anexo X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411Anexo XI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417Anexo XII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432

Captulo 1: Fundamentacin 11

Tesis: Evaluacin de Competencias en lgebra Elemental a travs de Problemas Verbales

CAPTULO 1FUNDAMENTACIN

1.1. Introduccin.

En este trabajo de investigacin inciden varios campos o lneas de estudio enDidctica de la Matemtica. En primer trmino, la Evaluacin en Matemticas comotema crtico principal, que consideramos enmarcada por la Teora Curricular en laque se fundamentan la enseanza y aprendizaje de las matemticas por medio delSistema Educativo, y de inters creciente para la comunidad de educadores mate-mticos.

En segundo lugar, el lgebra Escolar que contemplamos como herramientapara la manipulacin simblica de cantidades desconocidas y la determinacin desus valores a partir de las relaciones que guardan con otras cantidades conocidas;el aprendizaje del lgebra Escolar necesita desarrollar un modo propio de pensa-miento, llamado pensamiento algebraico, no exento de dificultades, que se mani-fiesta por el manejo significativo de un nuevo lenguaje.

Un tercer campo de estudio, la Resolucin de Problemas Verbales, conectacon los dos anteriores. La Resolucin de Problemas se muestra como modelo po-tente de tareas para la enseanza y el aprendizaje y como instrumento adecuadopara la evaluacin en matemticas.

En otro plano consideramos un cuarto campo de reflexin, que interrelacionala Resolucin de Problemas Verbales y el lgebra Escolar. Nos referimos a los Sis-temas de Representacin, entendidos como aquellas notaciones simblicas o grfi-cas mediante las que un sujeto expresa su pensamiento de manera organizada y,de este modo, trasmite su conocimiento sobre las matemticas. Los sistemas designos matemticos mediante los que se pueden expresar relaciones de tipo alge-braico, que se derivan de los problemas verbales, tambin tienen relacin con laevaluacin sobre este tpico.

12 Departamento de Didctica de la Matemtica. Granada


De esta forma nuestro estudio tiene cuatro soportes principales, interconecta-dos entre s segn distintos planos de relacin en los que sustentamos nuestra in-vestigacin.

E neste Cap-

tulo nos proponemos presentar y desarrollar el marco terico en que nos basamospara llevar a cabo una propuesta de evaluacin de competencias en lgebra ele-mental a travs de problemas verbales. Para ello, abordaremos los cuatro camposde estudio mencionados y estableceremos las conexiones que dan cuerpo a nues-tro trabajo; en consecuencia, deben quedar explcitos los fundamentos que sostie-nen la propuesta enunciada y que llevan a la elaboracin y puesta en prctica de uninstrumento de evaluacin.

1.2. Sobre la Evaluacin en Matemticas.

1.2.1. Nocin de Evaluacin en Matemticas.El trmino evaluacin tiene hoy en da multitud de usos en campos muy di-

versos, tanto tcnico-cientficos como sociales, culturales e incluso polticos.Nuestro estudio se encuentra dentro del campo social y se refiere a la valo-

racin de los procesos de enseanza y aprendizaje en matemticas; ms en parti-cular, est relacionado con los criterios e instrumentos convenientes para valorar losefectos del aprendizaje que pueden mostrar los estudiantes como resultado de suactividad escolar. La reflexin sobre evaluacin desde la Educacin Matemtica en-



cuentra su marco de referencia dentro de los estudios sistmicos sobre el currculode matemticas, y considera la evaluacin en conexin con las otras componentescurriculares: objetivos, contenidos y metodologa (Rico, 1990).

Consideramos la Evaluacin en Matemticas como un campo especfico deestudio e investigacin, ineludiblemente conectado con el campo general de la eva-luacin del conocimiento pero con carcter propio, determinado por la especificidaddel conocimiento matemtico, lo cual permite su consideracin diferenciada de laevaluacin en otras reas (Webb, 1992). Una teora de la Evaluacin en Matemti-cas ha de describir, explicar y predecir algunos fenmenos y situaciones dentro delrea, adems de clarificar los trminos y conceptos utilizados en relacin con lavaloracin especfica en matemticas. La propia evolucin histrica de la Evalua-cin en Matemticas explica su emergencia como campo diferenciado y avala susituacin singularizada actual (Romberg, 1989).

En la bibliografa especializada se establece una distincin entre la evalua-cin como juicio y la valoracin como anlisis comprensivo:

La consideracin comprensiva del funcionamiento de un grupo o in-dividuo en matemticas o en la aplicacin de las matemticas, implica consi-derar la actuacin del individuo o grupo en una variedad de contextos, reco-ger informacin y hacer inferencias acerca del conocimiento con el propsitode determinar su estado actual o bien guiarle hacia aprendizajes posteriores.Lo que interesa en este caso es levantar el mapa del conocimiento que unsujeto o grupo tienen sobre un determinado tpico o contenido, del modoms exacto posible, para su utilizacin didctica. En el otro extremo tenemos



la evaluacin como investigacin sistemtica de la vala o mrito de algnobjeto o persona, para ayudar en la toma de decisiones que le afectan. Eva-luar en este caso consiste en emitir un juicio sobre el aprendizaje de losalumnos que puede tener implicaciones muy variadas para su orientacinescolar y su promocin en el sistema educativo (Rico y col., 1993, p. 15).

En nuestro caso, y para este trabajo, el significado que asignamos al trminoEvaluacin en Matemticas es el de Valoracin mediante un anlisis compren-sivo del funcionamiento de un grupo o un individuo en matemticas, tal y comose ha descrito en el prrafo anterior, acepcin que suelen utilizar los documentosnormativos y de poltica educativa.

De ahora en adelante, y mientras no se indique lo contrario, cuando hable-mos de evaluacin nos referimos a este sentido sealado.

El mtodo con el que se lleva a cabo una evaluacin refleja cierta concepcinsubyacente de las matemticas. Dentro de aquellos mtodos que consideran lasmatemticas como una coleccin de hechos, destrezas y conceptos, coincidimoscon el Mtodo del Proceso (Webb, 1992), que identifica los procesos de resolucinde problemas, las destrezas de pensamiento de orden superior u otras estrategiasde pensamiento como medios para producir resultados. Este mtodo considera losprocesos como resultados de la instruccin y, por lo tanto, objeto de evaluacin.Este mtodo dirige su atencin hacia los procesos, los estima comparables con losproductos y da a los procesos un estatus de resultado de la instruccin.

1.2.2. La Evaluacin parte integrante de la instruccin.El concepto de Evaluacin en Matemticas que hemos considerado, siguien-

do a Webb (1992), se puede analizar desde cuatro perspectivas:

- Como herramienta utilizada por los profesores para conseguir evi-dencia y retroalimentacin sobre lo que los estudiantes conocen y son capaces dehacer.



- Como expresin de aquello que se valora, en relacin con lo que losestudiantes deben conocer, hacer o creer. Comunica lo que es importante conocer.

- Como medio de informacin para los gestores que deben tomar deci-siones, los especialistas gubernamentales y otros.

- Como indicativo sobre la efectividad del sistema educativo como untodo.

Ms importante que obtener una puntuacin mediante una prueba, es deter-minar las habilidades de los estudiantes en una variedad de situaciones y tomardecisiones educativas de lo que stos conocen y pueden hacer.

En efecto, la evaluacin y la instruccin coexisten y se refuerzan mutuamen-te. La evaluacin, como parte integrante de la instruccin, es continua: se desarrollacuando el profesor procesa informacin sobre lo que el estudiante sabe y utiliza esainformacin para guiarlo en la instruccin. Evaluar implica algo ms que aplicar testso realizar pruebas; implica una variedad de medios para determinar lo que el estu-diante conoce con la mayor precisin posible.

Continuando con la propuesta de Webb (1992), podemos considerar cuatrocaractersticas de este modo de evaluacin:

1.- El profesor comprende la estructura del contenido y utiliza esta estructurapara definir expectativas de aprendizaje.

2.- El profesor es sensible a los procesos que los estudiantes utilizan paraaprender durante las etapas del desarrollo y estimula los procesos disponibles parafacilitar ese aprendizaje.

3.- La evaluacin es un proceso en el cual, en primer lugar, se recoge infor-macin acerca del conocimiento del estudiante, acerca de la estructura y organiza-cin de este conocimiento y acerca de los procesos cognitivos del estudiante. Ensegundo lugar, hay que dotar de significado a esta informacin.

4.- La evaluacin se emplea para tomar decisiones documentadas durante lainstruccin sobre la base de la informacin actual disponible acerca de lo que unestudiante conoce y de lo que se est esforzando por conocer.

1.2.3. Consideraciones sobre la Evaluacin en Matemticas.



En el transcurso de la historia reciente, la Evaluacin en Matemticas en laEnseanza Secundaria ha servido para proporcionar criterios de promocin, a lolargo del sistema escolar, y de seleccin de minoras cualificadas.

Slo en fechas recientes se han llegado a poner en tela de juicio las funcio-nes clasificadoras y de promocin de la evaluacin en matemticas: en el Simposiode Valencia (1987), la comunidad de educadores matemticos espaoles reflexionsobre estas cuestiones en los siguientes trminos:

"La formalizacin, jerarquizacin y escisin de las matemticas encaja bien conlas funciones del sistema escolar: al separar a los alumnos, reproduce la separa-cin social; al legitimar la diferenciacin de los alumnos, legitima las jerarquassociales; adems, los distintos estatutos de las matemticas puras y aplicadaspermiten cualificar de forma diferenciada la fuerza del trabajo (por regla generalmediante el establecimiento de currculos diferentes)" (Alonso y col., 1987; p. 50).

La evaluacin, a lo largo de todas las fluctuaciones que se han generado enla historia reciente de la Educacin Matemtica, ha sido la componente curricularque mayores resistencias al cambio ha provocado en amplios sectores de la comu-nidad educativa (padres profesores e incluso estudiantes) y, por lo tanto, ha sido lamenos alterada en todo el currculo de matemticas.

En 1990 la International Commission on Mathematics Instruction impuls larealizacin de un seminario internacional monogrfico sobre evaluacin en matem-ticas. Los promotores de la convocatoria ya indicaban la existencia de una tensincreciente entre el estado de la enseanza contempornea de las matemticas y lasprcticas de evaluacin tradicionales, de tal forma que se estaba ampliando el hue-co entre ambas.

El ICMI Study Assessment in Mathematics Education and its Effects, celebra-do en 1991 en Calonge, Espaa, marc un punto de partida para la delimitacin delos problemas relacionados con la evaluacin en matemticas. En un documentoprevio, proporcionado por el Comit Organizador, Izard (1991) describe los efectosde la evaluacin en relacin con los estudiantes, entre los que destacamos:

... Consecuencias a largo plazo:



14. Influir en la habilidad de los estudiantes para retener y aplicar el materialaprendido en contextos y formas diferentes.15. Influir en el desarrollo del aprendizaje de habilidades y estilos de los estu-diantes.16. Influir continuamente en la motivacin de los estudiantes, tanto en mate-rias generales como particulares.17. Influir en las autopercepciones de los estudiantes, tales como las de suautoeficacia como aprendices.

La evaluacin tambin condiciona los estilos de enseanza y el funciona-miento de todo el sistema educativo:

... la evaluacin, al prescribir realmente los objetivos de la educacin, deter-mina, en gran medida, las caractersticas de la enseanza y del aprendizaje,lo que los alumnos aprenden y cmo lo aprenden, lo que los profesores en-sean y cmo lo ensean, los contenidos y los mtodos, en otras palabras,el producto y el proceso de la educacin y, en consecuencia, su calidad.(Orden, 1985, pp. 521-537)

La influencia de la evaluacin en el sistema de enseanza-aprendizaje de lasmatemticas escolares es una realidad. Una alteracin de alguno de los elementosde la evaluacin (tipos, mtodos, criterios, instrumentos, valoraciones) determina undesequilibrio entre las restantes componentes del Currculo, lo cual obliga a ciertoscambios en los objetivos, contenidos y metodologa, para recomponer el equilibrio.

De esta forma, aquellas investigaciones en las que se pone a prueba uninstrumento de evaluacin en matemticas debern tener en cuenta, adems de lavalidez y fiabilidad del instrumento, la obtencin de conclusiones acerca de:

- La eficacia de los instrumentos empleados y los procedimientos se-guidos.

- Conocimiento sobre la evolucin del conocimiento del estudiante, ysu distanciamiento o ajuste a las previsiones conjeturadas.

- Determinacin de actuaciones instruccionales que mejoren el apren-dizaje del estudiante y la enseanza impartida por el profesor.



- Clarificacin de metas y objetivos relevantes para la enseanza deltpico que se evala.

1.3. Los Problemas Verbales como instrumentos de Evaluacin.

La evaluacin, como parte integral de la instruccin, depende considerable-mente del modo en que los profesores indagan el conocimiento de los estudiantes.El tipo de informacin que se logre obtener de los escolares depender considera-blemente de las cuestiones que se pregunten. Disear situaciones y tareas de eva-luacin para un propsito particular puede resultar una actividad complicada (Webb,1992).

La naturaleza de las matemticas y los enfoques pedaggicos para su ense-anza-aprendizaje permiten considerar tcnicas e instrumentos de valoracin espe-cficos en el rea de las matemticas (Rico y col., 1993, 1995). El avance en laEvaluacin en Matemticas se ha realizado histricamente integrando en una nuevaconceptualizacin, de manera crtica, instrumentos y mtodos ya empleados conanterioridad.

Los estudios para determinar nuevos criterios y para el diseo de nuevosinstrumentos de evaluacin deben permitir una prctica sobre la valoracin del co-nocimiento matemtico de los estudiantes, concordante con los cambios curricula-res, que conlleve la emisin de juicios vlidos y fiables sobre sus competencias enel rea de las matemticas.

Los instrumentos de evaluacin concretan una opcin sobre cmo valorar loslogros o capacidades de los estudiantes en algn o algunos de los aspectos relati-vos al dominio de conceptos, procedimientos y actitudes en la aplicacin de las ma-temticas. Deben facilitar la recogida de observaciones encaminadas a emitir unjuicio sobre la vala o mrito de una actuacin, as como dotar del mayor grado deobjetividad y precisin a los juicios emitidos.

A lo largo de su evolucin en los ltimos cien aos, las pruebas de evalua-cin en matemticas han adquirido estos rasgos (Romberg, 1989):



* constan de una variedad de cuestiones* cada cuestin tiene un planteamiento preciso* el formato responde a una variedad de tareas* satisfacen diferentes niveles de complejidad* hay nitidez en los criterios de valoracin* suponen consenso en el enjuiciamiento de las respuestas* hay objetividad en los juicios emitidos* tienen facilidad para expresar los datos sobre una escala* tienen facilidad para la comparacin de los resultados

Sin embargo, el informe Cockcroft (1985) concluye reconociendo que toda latecnologa sobre pruebas de evaluacin y criterios de valoracin elaborados hastael momento resultan insuficientes para las necesidades que surgen de los nuevoscurrculos para la enseanza de las matemticas escolares, ya que los proyectos derenovacin implican nuevos planteamientos sobre evaluacin.

El planteamiento de dicho informe ampla el concepto de evaluacin tradicio-nal e incorpora nuevas tcnicas e instrumentos para obtener informacin sobre elprogreso y desarrollo en matemticas de los escolares.

Hay, por lo tanto, una necesidad creciente de instrumentos de evaluacin queproporcionen medidas basadas en las actuaciones que surgen en la puesta enprctica de un proceso, motivo por el cual la resolucin de problemas ha cobradogran importancia. En este particular, cada vez son mayora los autores que propo-nen que las tareas de evaluacin permitan interpretaciones alternativas o mltiplessoluciones correctas, por lo que se disean tareas en formato abierto, con peticinde explicaciones y razonamientos.

En esta perspectiva, los problemas verbales juegan un papel muy importantepara la Evaluacin en Matemticas, en general, y en lgebra en particular.

En efecto, Lamon y Lesh (1992) explican que la clave para el aprendizaje y lainstruccin en dominios matemticamente complejos resulta de dos perspectivas:una, la identificacin de los procesos cognitivos que contribuyen a la competenciaen un dominio; y otra, el anlisis del pensamiento del sujeto para decidir el desarro-llo de estrategias y, as, determinar cundo el proceso cognitivo clave se ha adquiri-


1 BAILS, Benito (1779): Elementos de Matemtica. Madrid: D. Joachin Ibarra, impresor de

Cmara de S.M.


do. En otro orden de ideas, podemos identificar otra perspectiva en elestablecimiento de contextos ms eficaces para que el sujeto adopte los procesosque el profesor pretende que adquiera.

Las tareas que se basan en modelos de elicitacin son un intermediario entrelas dos primeras perspectivas. Los problemas verbales algebraicos son tareas queelicitan el conocimiento y ofrecen oportunidad de documentar las competencias al-gebraicas debido a la multiplicidad de formas de abordarlos, lo cual permite al suje-to expresar sobre el papel (son tareas fundamentalmente de papel y lpiz) su pen-samiento algebraico.

De esta forma los problemas verbales algebraicos, que admiten mltiples tiposde representacin para su resolucin correcta y proporcionan al estudiante la opor-tunidad para que construya un sistema de representacin propio ms o menos so-fisticado, contribuyen a la obtencin de una visin ms adecuada del desarrollo delas competencias del sujeto; posteriormente, y mediante la instruccin conveniente,ser posible alcanzar concepciones ms elaboradas y complejas, las cuales puedencontinuar ejercindose mediante las mismas tareas.

La resolucin de problemas verbales de las caractersticas descritas cumple,por tanto, con los fines de la evaluacin en el sentido explicado.

La eleccin de contextos tiles, cercanos al entorno del escolar, en el cual sedesarrollen las historias de los problemas verbales, favorecer la elicitacin delconocimiento y facilitar que el estudiante adopte los sistemas de representacindel pensamiento algebraico que el profesor pretende.

1. 4. El lgebra Escolar.

1.4.1. Enseanza y aprendizaje del lgebra Escolar.En los Elementos de Matemtica de Bails1 (1779), en su prlogo, ya encontra-

mos la siguiente declaracin sobre la importancia del lgebra, y su caracterizacin:


2 Mathematical Sciences Education Board and National Research Council (1989): Everybody

Counts. Washington D.C.


Entre los muchos descubrimientos con que puede honrarse la Matemtica, elmas portentoso, quando no sea el mas fundamental, es sin duda alguna el Alge-bra. Haber inventado smbolos caracteres que representen todas las cantida-des, sea la que fuere su naturaleza; dar reglas seguras para combinarlas y va-luarlas, de modo que en un solo caso vengan cifrados otros infinitos, aunque sediferencien del primero en alguna circunstancia particular; trasladar la clase dereales cantidades de suyo imposibles; calcular finalmente el mismo infinito, to-dos estos que parecen prodigios los executa el Algebra con igual acierto quefacilidad. (Tomo II, p. I del Prlogo).

En nuestra poca, documentos curriculares muy elaborados, como EverybodyCounts2 o los Estndares curriculares y de evaluacin para la educacin matemti-ca (NCTM, 1991), coinciden en que el lgebra es una de las reas crticas que laeducacin matemtica necesita contemplar y que, por tanto, debe incluirse en laenseanza regular de las matemticas escolares, tratndola desde un punto de vis-ta ms amplio que un curso corriente de lgebra.

Para muchos jvenes el lgebra se percibe como una rama separada de lasmatemticas, sin relacin con lo que se aprende en los primeros niveles escolares.En estos niveles iniciales se debe de ayudar a los estudiantes para que establezcanconexiones entre conceptos matemticos y construyan relaciones entre la Aritmti-ca y el lgebra.

El lgebra y el pensamiento algebraico deben ser parte de la formacin detodos los ciudadanos antes de su incorporacin al mundo del trabajo, tanto de losque quieren estar bien informados como de todos los que desean ser usuarios inte-ligentes. El incremento creciente del uso de la tecnologa requiere que las matemti-cas escolares aseguren el desarrollo del pensamiento algebraico en los niveles ele-mentales y en la Educacin Secundaria. Las nuevas tecnologas presentan oportu-nidades de generar muchos ejemplos numricos, de representar datos y de analizarpatrones, generalizando la informacin que se maneja.


3 NCTM = National Council of Teachers of Mathematics.


En el congreso de 1988 del NCTM3 en Chicago, el Mathematics EducationTrust (MET) Committee invit a un grupo de profesores, interesados por la ensean-za de las matemticas, a discutir este tpico y a sugerir caminos que cubrieran lanecesidad de conseguir una amplia comprensin del lgebra para toda la poblacinestudiantil. La conclusin del MET Committee fue que el enfoque de una enseanzadel lgebra hacia una poblacin menos capacitada contiene tambin los valoresprincipales para el total de la poblacin, includos los intereses de aquellos estudian-tes que siguen un curso de lgebra superior.

Fruto de esta reunin fue la publicacin Algebra for Everyone (NCTM, 1990),documento en el cual se propone un currculo amplio desde los primeros niveles, detal modo que, incrementando los grados de comprensin, se consiga que los menoscapacitados logren alcanzar los resultados esperados. Los fundamentos del lgebrason necesarios para todos los estudiantes si pretenden tener xito en el mercadoactual de trabajo. Una sociedad industrial debe mantener un nivel alto de competen-cia, lo que implica la incorporacin de personas con una mejor formacin en mate-mticas, en general, y en lgebra en particular.

De acuerdo con los informes elaborados por el NCTM (1990), todos los seg-mentos de la poblacin, tambin los estudiantes menos capacitados, deben teneruna base en lgebra, empezando por los niveles elementales de la escuela, paraque puedan tanto seguir un curso formal de lgebra como estar capacitados paracompetir en el mercado de trabajo, donde los conceptos y estrategias algebraicasgenerales son necesarios.

1.4.2. El currculo del lgebra Escolar.Aceptamos que un currculo de Matemticas es un plan operativo que detalla

qu matemticas necesitan conocer los alumnos, cmo deben alcanzar los alumnosestos objetivos curriculares, qu deben hacer los profesores para conseguir que susalumnos desarrollen su conocimiento, y el contexto en el que se desarrolla el proce-so de enseanza-aprendizaje (NCTM, 1991).



De acuerdo con Rico (1997), consideramos que en todo currculo, como plande formacin, hay cinco elementos clave: personas a las que hay que formar, tipode formacin, institucin social que realiza la formacin, finalidades que se quierenalcanzar y evaluacin del plan.

El currculo de matemticas debe reflejar el proceso constructivo del conoci-miento algebraico, tanto en su progreso histrico como en su apropiacin por el in-dividuo. La construccin de instrumentos intelectuales eficaces para interpretar, re-presentar, analizar, explicar y predecir determinados aspectos de la realidad debeculminar en la formalizacin y estructuracin del conocimiento algebraico como sis-tema deductivo y no al contrario.

La enseanza del lgebra debe contemplar el aspecto funcional y el formativode manera indisociable. Los objetivos de progreso intelectual mediante desarrollode capacidades cognitiva deben quedar conectados con el valor funcional que po-seen los procedimientos para resolver problemas y para poner de manifiesto aspec-tos de la realidad no directamente observables. Esto justifica, en una lnea no siem-pre coincidente con una visin tradicional, la presencia de los contenidos de lgebraen el currculo de las matemticas escolares; tambin las caractersticas bsicas desu enseanza.

La enseanza y el aprendizaje del lgebra deben atender equilibradamente adistintos objetivos educativos:

a) Establecimiento de destrezas cognitivas de carcter general, susceptiblesde utilizarse en una amplia gama de casos particulares y que contribuyan, por smismas, a la potenciacin de las capacidades cognitivas de los estudiantes.

b) La aplicacin funcional, que posibilite a los estudiantes valorar y aplicarsus conocimientos algebraicos fuera del mbito escolar, en situaciones de la vidacotidiana.

c) La valoracin instrumental, creciente a medida que el estudiante progresahacia tramos superiores de la educacin, y en la medida en que el lgebra propor-ciona formalizacin al conocimiento humano riguroso y, en particular, herramientaspara la simbolizacin y acceso al lenguaje cientfico.



El currculo de la Educacin Secundaria Obligatoria viene especificado en elReal Decreto 1345/1991 de 6 de Septiembre, BOE n 220 de 13 de Septiembre de1991. Esta etapa tambin se conoce como Etapa 12-16", que son las edades enque han de comenzar y finalizar la generalidad de los estudiantes.

El currculo bsico del lgebra en esta etapa ha de procurar los conocimientosconsiderados imprescindibles para satisfacer las necesidades algebraicas de unciudadano adulto en la sociedad actual y futura. Por lo que en los contenidos bsi-cos hay que otorgar un lugar prioritario a los procedimientos o modos de saber ha-cer, procedimientos de naturaleza muy diversa y que se refieren principalmente a:

- Habilidades en la comprensin y en el uso de los diferentes lenguajes matemticos,de la simbologa y la notacin especfica de cada uno de ellos, as como la traduccin deunos a otros (por ejemplo, entre representaciones grficas y expresiones algebraicas).

- Las rutinas y algoritmos particulares, caracterizados por tener un propsito concretoy unas reglas de uso claras y bien secuenciadas.

- Los heursticos o estrategias heursticas, como las relativas a la estimacin de canti-dades y medidas, los procesos de simplificacin y anlisis de tareas, de bsqueda de regu-laridades y pautas, de expectativas de resultados, de comprobacin y refutacin de hipte-sis.

- Las competencias relativas a la toma de decisiones sobre qu conceptos, algoritmoso heursticos utilizar en una situacin dada, en el planteamiento y solucin de un problemay, en general, en el manejo conjunto y coordinado de las habilidades relativas a los anterio-res grupos de procedimientos.

En el cuarto y ltimo curso de esta etapa obligatoria el rea de matemticas seconfigura en dos opciones en base al diferente acento que se ha de poner en algu-nos rasgos del rea, segn el nfasis se ponga en las matemticas que, en su ca-so, se van a encontrar en niveles superiores, o bien se orienten ms hacia su papelinstrumental y funcional. Estas diferencias se traducen no slo en contenidos, sinoen buena medida en la forma en que sern tratados.

Entre los Objetivos Generales propuestos para la enseanza de las Matem-


4 Los comentarios estn tomados del documento Curriculo de Matemticas para Educacin

Secundaria Obligatoria, elaborado por Luis Rico para la asignatura de Didctica de la Matemtica dela Licenciatura de Matemticas (curso 1995-96) en la Universidad de Granada.


ticas en la Educacin Secundaria Obligatoria, indicados en el Real Decreto citado,los objetivos nmero 1, 2, 4, 9 y 10 se refieren o estn especialmente relacionadoscon la enseanza del lgebra.

Los Contenidos indicados para la enseanza del lgebra, recogidos en elReal Decreto, se presentan detallados dentro del Bloque Nmeros y Operaciones.

En cuanto a la Metodologa, el profesor debe elegir la orientacin metodolgi-ca ms adecuada a cada actividad de aula y combinarla adecuadamente con otras,haciendo uso de los recursos y materiales apropiados. Por lo que respecta a nues-tra propuesta, queremos destacar las estrategias metodolgicas basadas en la re-solucin de problemas, que ponen el nfasis en el proceso seguido por el resolutorms que en los resultados obtenidos.

Respecto a los criterios de Evaluacin, indicamos aquellos que tienen relacincon el lgebra, junto a un breve comentario4.

5. Resolver problemas de la vida cotidiana por medio de la simbolizacin de las rela-ciones que puedan distinguirse en ellos y, en su caso, de la resolucin de ecuaciones deprimer grado.

Este criterio va dirigido a comprobar que el estudiante es capaz de utilizar lasherramientas algebraicas bsicas en la resolucin de problemas. Para ello ha deponer en juego la capacidad de utilizar los smbolos, con las convenientes notacio-nes habituales, para el planteamiento de ecuaciones y resolverlas por algn mediofiable, que no necesariamente ha de ser la manipulacin algebraica de las expresio-nes.

6. Resolver problemas en los que se precise el planteamiento y resolucin de siste-mas de ecuaciones lineales con dos incgnitas (especfico de la opcin B).

Se trata de garantizar, con este criterio, la adquisicin de una cierta destrezaen la utilizacin del lenguaje algebraico. El planteamiento y resolucin de sistemas



de ecuaciones requiere estar familiarizado con los conceptos de variable-incgnita,con las convenciones de notacin y transformacin algebraicas y con el significadode ecuacin y sistema, as como conocer tcnicas de resolucin algebraica. El plan-teamiento de ecuaciones fuera de contexto no constituye una tarea con la que pue-da valorarse este criterio.

14. Utilizar estrategias sencillas, tales como la reorganizacin de la informacin departida, la bsqueda de ejemplos, contraejemplos y casos particulares o los mtodos deensayo y error sistemtico, en contextos de resolucin de problemas.

Este criterio se refiere a la manera de enfrentarse a la resolucin de proble-mas, as como a alguna de las posibles estrategias que se pueden poner en prcti-ca. Debera tenerse en cuenta la familiaridad del estudiante con los objetos de losque se trata, la disponibilidad de informacin explcita y no excesivamente abundan-te, o la facilidad de codificacin u organizacin de la informacin a la hora de aplicareste criterio.

1.4.3. Pensamiento algebraico.El proceso de aprendizaje del lgebra lleva aparejado el desarrollo de una de-

terminada forma de pensamiento: el pensamiento algebraico, que se diferencia delpensamiento aritmtico de las etapas escolares anteriores, del pensamiento propor-cional o del geomtrico. En nuestro trabajo vamos a considerar el concepto depensamiento algebraico descrito por Lins (1992) como una forma de organizar elmundo a travs de modelizar situaciones y manipular esos modelos de una determi-nada forma.

Lins (1992) define una serie de caractersticas del pensamiento algebraico,distinto del lgebra, que enuncia de la forma siguiente:

Pensar algebraicamente es:1) Pensar Aritmticamente2) Pensar Internamente3) Pensar Analticamente


5 Campo Semntico denota a un conjunto de significados generados por una forma de

conocimiento dado (Lins, 1992).

6 Pappo de Alejandra fue un matemtico griego que se le sita entre los siglos III y IV d.C.


Seguimos las argumentaciones que ofrece Lins para aclarar estas caractersti-cas:

1) Aritmeticidad. Aritmeticidad significa modelizar con nmeros, lo que noimplica el uso de operaciones aritmticas en orden a producir las relaciones queconstituyen el modelo. Sin embargo, los problemas con nmeros pueden ser mo-delados tambin usando geometra o relaciones parte-todo, que son modelos noaritmticos.

2) Internalidad. Se refiere al tratamiento de las relaciones algebraicas (ecua-ciones) a travs slo de las propiedades de las operaciones y de la relacin deigualdad para modelizarlas en un contexto no-aritmtico. El internalismo facilita ladistincin entre soluciones internas dentro de un mismo Campo Semntico5. Unaecuacin, por ejemplo, tiene distinto significado en un Campo Semntico de nme-ros y operaciones aritmticas, que en uno de relaciones parte-todo.

Supongamos 3x + 10 = 100 . En un Campo Semntico de nmeros y opera-ciones aritmticas se puede razonar as: 100 se reparte entre 3x y 10, con lo cual a3x le corresponde 90 y, entonces, x = 30.

Las operaciones aritmticas se tratan como objetos y pueden manipularse co-mo herramientas para conseguir el efecto deseado.

La argumentacin anterior no puede realizarse en las ecuaciones: 3x + 10 = 6;en 1,8x + 10 = 75; incluso en 100 - 3x = 87.

Una solucin que implica la produccin de pensamiento algebraico sera, parala primera ecuacin: 3x = 100 - 10 = 90; x = 90/3 = 30

Las operaciones aritmticas implicadas tienen otro significado, estn tratadasa travs de sus propiedades y de la relacin de igualdad. La solucin es interna enun Campo Semntico no aritmtico.

3) Analiticidad. En este apartado se recurre al concepto de anlisis y sntesisque describe Pappo6 en su libro VII (Vera, 1970, p. 991):



El anlisis es el camino que parte de la cuestin que se busca, suponindolaconocida, para llegar, por medio de las consecuencias que se deduzcan, a lasntesis de lo que se dio por conocido.

Suponiendo obtenido, en efecto, lo que se busca, se considera lo que se deri-va de ello y lo que le precede, hasta que, volviendo sobre los pasos dados, sellega a una cuestin que ya se conoce o pertenece al orden de los principios; yeste camino se llama anlisis porque es una inversin de la solucin, mientrasque en la sntesis, por el contrario, suponiendo la cuestin, finalmente, conocidapor el anlisis, disponiendo sus consecuencias y causas en su orden natural yenlazando unas y otras, se llega a construir lo que buscamos; y este mtodo esla sntesis.

Hay dos clases de anlisis: el propio de la investigacin, que se llama teorti-co, y el que se aplica para encontrar lo que se propone, y se llama problemtico.En el anlisis teortico se considera establecido y verdadero lo que se busca, ydespus, apoyndose en las consecuencias deducidas y aceptadas como ver-daderas, y respondiendo a la hiptesis, se llega a una cuestin ya fijada que, sies verdadera, tambin lo es la que se busca y la demostracin ser la inversade este anlisis; y si es falsa, falsa ser tambin la que se busca.

En el anlisis problemtico se supone conocida la proposicin, y despus, te-niendo en cuenta las consecuencias deducidas y admitidas como verdaderas,se llega a una cuestin que si se puede realizar o ya est adquirida -lo que losmatemticos llaman datos- tambin se podr realizar la proposicin, y la de-mostracin sera, como antes, inversa del anlisis; y si se llega a una cuestinimposible, tambin lo ser el problema.

La distincin entre anlisis teortico, cuyo objeto es buscar la verdad, y anli-sis problemtico, cuyo objeto es encontrar alguna cosa o conjunto de cosas pordescubrir, nos lleva a caracterizar la analiticidad del pensamiento algebraico comoun mtodo para buscar la verdad, ya que en el pensamiento algebraico lo desco-nocido se opera como si fuera conocido.

No obstante, la analiticidad no es suficiente para esta caracterizacin del pen-samiento algebraico, sino que ste necesita de las tres componentes descritas. Lastres caractersticas son independientes.



La caracterizacin propuesta por Lins no implica que se d pensamiento alge-braico slo en contextos simblicos (literales u otros), pero s implica que la nota-cin simblica es la ms adecuada para producirlo: Creemos que nuestra caracte-rizacin del pensamiento algebraico proporciona precisamente un marco en que lasrespuestas de los alumnos se pueden examinar y comprender, y que puede guiar laenseanza del lgebra de una forma ms coherente y fructfera.

Se trata de no confundir el aprendizaje del lgebra con el desarrollo de habili-dades para hacer lgebra.

El lenguaje algebraico simblico constituye una poderosa herramienta intelec-tual, que no puede reducirse a una coleccin de reglas huecas de significado, o almero desarrollo de estrategias de supervivencia escolar.

Las limitaciones que impone el aprendizaje y el manejo de los formalismos delnuevo lenguaje aconsejan una introduccin graduada. En muchas ocasiones, porpremura de tiempo, se recorre rpidamente el camino que va de las situacionesconcretas, cercanas a la intuicin, a las expresiones algebraicas y a las operacionesformales con ellas. Esto produce, generalmente, una tendencia hacia los automatis-mos, lo que conlleva relegar aspectos bsicos del pensamiento algebraico que de-ben ser trabajos por los estudiantes antes de abordar las operaciones con expresio-nes algebraicas.

Arzarello, Bazzini y Chiappini (1995) expresan su conviccin de que las situa-ciones de aprendizaje efectivo en lgebra slo se pueden desarrollar dentro de unespacio-tiempo didctico de produccin y comunicacin (SP) apropiado. En estasituacin, el estudiante puede producir pensamiento algebraico y aplicarlo en uncontexto que le es familiar y, a su vez, el profesor puede analizar las diversas situa-ciones de aprendizaje en lgebra que se generan.

1. 5. lgebra Escolar y sistemas de representacin.



1.5.1. Sobre la nocin de representacin.El Grupo de Investigacin "Didctica de la Matemtica: Pensamiento Numri-

co" (del II Plan Andaluz de Investigacin de la Junta de Andaluca FQM 0193), en elcual se encuadra esta investigacin, ha reflexionado detalladamente sobre la nocinde representacin y ha utilizado este concepto en estudios anteriores (Rico, Castroy Romero, 1996; Castro y Castro, 1997). El concepto de representacin tambin seutiliza en el marco conceptual de este estudio; por este motivo hacemos una revi-sin de algunas de las ideas ms importantes en las que nos sustentamos, que va-mos a resumir.

Entre los rasgos generales que caracterizan el concepto de representacin seencuentra, en primer lugar, la riqueza de interpretaciones que ha tenido este con-cepto a lo largo de la historia de la filosofa (Ferrater, 1981). Las diversas interpreta-ciones del concepto de representacin asumen que esta nocin implica dos entida-des relacionadas pero funcionalmente separadas; precisamente es el carcter dualde este concepto lo que hace que sea una herramienta importante en la mayora delos planteamientos epistemolgicos dualistas, tanto en el paradigma idealista (con-ceptos intuidos e ideas en la mente) como en el paradigma realista (objetos reales yexperiencias percibidas y organizadas). La dificultad de separar la nocin de repre-sentacin de su origen y fundamentacin dual la encontramos en la postulacin quehace Kaput (1987) sobre un mundo representado y un mundo de las representacio-nes cuando analiza las representaciones en matemticas.

No es nuestro propsito entrar en esta discusin, sino dejar constancia de ellapara ser precavidos en el manejo de este concepto. Un aspecto interesante, que sepuede derivar de las consideraciones anteriores, es la idea de que no se puede re-ducir un concepto matemtico a uno cualquiera de sus modos de representacin;cada concepto o estructura matemtica viene dado por varias representaciones.

Nuestra posicin epistemolgica la tomamos de Dancing y Sosa (1993), qui-nes argumentan que representacin es todo aquello que puede evaluarse semnti-camente; y sealan que el contenido de una representacin es aquello que haceque la representacin se pueda evaluar semnticamente. Desde esta perspectivalas expresiones simblicas, los enunciados, diagramas, grficas, tablas y otras nota-



ciones usuales en matemticas son representaciones, y su caracterizacin vienedada por el significado que les asignamos.

Otro rasgo importante de nuestro planteamiento epistemolgico lo ubicamosen el carcter sistmico de las representaciones matemticas (Filloy y Kieran, 1989;Kaput, 1992, Duval, 1993). Asumimos una base fenomenolgica para los conceptosy relaciones matemticos (Freudenthal, 1983). Debido a que los conceptos mate-mticos no se refieren a objetos o fenmenos fsicos, sino a las relaciones entreobjetos, fenmenos o conceptos, consideramos los conceptos y estructuras mate-mticas como entidades abstractas que vienen expresadas mediante uno o variossistemas de representacin. Consideramos, al menos, dos niveles diferentes derepresentacin: hechos especficos o conceptos particulares dados por smbolosespecficos, y las relaciones entre conceptos que vienen dadas mediante enuncia-dos o relaciones simblicas.

La pluralidad de sistemas de representacin tiene, pues, un doble origen: pordiferencias en los sistemas de signos y relaciones bsicas o por diferencias en lasrelaciones de segundo nivel consideradas.

Hasta este momento no hemos considerado una segunda dualidad caracters-tica de la nocin de representacin: la distincin entre representaciones internas yexternas, que surge cuando se considera la actividad mental de los seres humanos.Los conceptos matemticos vienen establecidos, en primer lugar, por sus diferentesusos y significados y, por tanto, mediante sus representaciones; cada conceptoviene dado por extensin mediante su campo conceptual. Las representaciones sonpara nosotros, en este trabajo, externas y su carcter semitico viene establecidopor los signos, smbolos o grficos utilizados as como por sus reglas de procesa-miento.

1.5.2. Comprensin y sistemas de representacin.En Educacin Matemtica tiene gran inters el conocimiento acerca de cmo

comprenden los estudiantes los conceptos matemticos. Sobre la base de las mani-festaciones externas producidas por cada uno de los alumnos particulares se pue-den hacer inferencias sobre su comprensin. La comprensin viene dada por las



expresiones particulares de los escolares junto con las reglas y argumentos queutilizan en sus producciones y tareas.

En este sentido interpretamos algunas ideas de Hiebert y Carpenter (1992):Las matemticas escolares son comprendidas si su representacin mental es partede una red de representaciones. El grado de comprensin viene determinado por elnmero y la fuerza de las conexiones. Una idea, procedimiento o hecho matemticoes comprendido a fondo si se liga a redes existentes con conexiones ms numero-sas o ms fuertes (p. 67).

Se admite que los procesos cognitivos son aquellos que manipulan represen-taciones (Rico, Castro y Romero, 1996). En efecto, para pensar sobre ideas mate-mticas y comunicarlas necesitamos representarlas de algn modo. La comunica-cin requiere que las representaciones sean externas, tomando forma de lenguajeoral, smbolos escritos, dibujos u objetos fsicos. (...) Para pensar sobre ideas mate-mticas necesitamos representarlas internamente, de manera que permita a lamente operar sobre ellas (Hiebert y Carpenter, 1992, pp- 66-67).

La representacin es una actividad esencial en matemticas; los modos deexpresin de conceptos y leyes matemticas vienen dados mediante representacio-nes simblicas o grficas (Rico, Castro y Romero, 1996). El conocimiento matemti-co slo es accesible mediante representaciones semiticas y, por lo tanto, los trata-mientos matemticos estn relacionados directamente a tales representaciones.

Las representaciones de los objetos matemticos son inherentes a los mis-mos, aunque no deben confundirse: lo que importa conceptualmente es el objetomatemtico. La representacin concierne al funcionamiento mismo del pensamientoy es esencial en la enseanza y el aprendizaje de las matemticas.

En el trabajo Semiosis y Noesis de Duval (1993b), este autor distingue tresactividades cognitivas asociadas a los sistemas semiticos:

- La formacin de representaciones identificables, mediante una seleccin derasgos y datos en el contenido a representar.

- El tratamiento de una representacin, que es la transformacin en el mismosistema en el que se ha formado, es decir, una transformacin interna.

- La conversin de una representacin, que es la transformacin de dicha



representacin a otro sistema distinto, conservando la totalidad o slo parte del con-tenido o, en su caso, ampliando el contenido de la representacin inicial.

Duval (1993b) indica que, de las tres actividades, slo las dos primeras se sue-len tener en cuenta en la enseanza de las matemticas, ya que se considera quela conversin entre representaciones es evidente cuando se domina cada uno delos sistemas semiticos, lo que no siempre suele ocurrir. Sin embargo, la compren-sin de los conceptos y procedimientos reposa sobre la coordinacin de, al menos,dos sistemas de representacin, lo cual se manifiesta por la rapidez y naturalidadde la actividad cognitiva de conversin.

Se considera que la conversin entre representaciones es evidente, una vezque se dominan las actividades de formacin y tratamiento en cada uno de los sis-temas semiticos. Esto no siempre es as, pues surgen bloqueos y obstculos parala compresin por la irreductibilidad entre los sistemas.

Tales coordinaciones no se presentan de modo natural en los procesos deaprendizaje y, desde luego, no suelen considerase en los programas de enseanza.La tendencia usual enfatiza el carcter cerrado de cada uno de los sistemas derepresentacin; no se destaca la consideracin conjunta de los mismos objetos me-diante sistemas semiticos diferentes.

No obstante, la ausencia de coordinacin no impide cierta comprensin, quese produce para cada sistema aisladamente, mono-registro, lo cual dificulta y entor-pece los aprendizajes posteriores. Esto suele ocurrir tanto en aquellos casos en losque hay un sistema simblico que predomina, por ejemplo en el aprendizaje del l-gebra, como en aquellos otros en los que hay varios sistemas que, formalmente,tienen el mismo estatus como puede ser el caso de la geometra.

1.5.3. Conocimiento algebraico escolar y sistemas de representacin.El proceso de adquisicin del conocimiento en lgebra se reconoce general-

mente por el manejo del lenguaje formalizado. El lgebra no se puede realizar sinuna componente escrita, con sus reglas sintcticas: traduccin de las estrategiasverbales a las frmulas o planteamientos escritos (Arzarello, Bazzini y Chiappini, -1995).


7 La nocin de campo conceptual se encuentra en Vergnaud (1990). Tambin consideramos

la ampliacin que propone Gonzlez (1995) en la que un campo conceptual incluye:a) unos instrumentos conceptuales: sistemas simblicos estructurados,b) unos modos de uso de los sistemas simblicos: funciones cognitivas,c) un campo de actuacin: fenmenos, cuestiones y problemas.


Comprender la funcionalidad del sistema de signos del lgebra es uno de losproblemas didcticos ms delicados de su enseanza-aprendizaje. El uso correctode las reglas algebraicas suele tener, en algunos casos, principalmente en la etapaescolar, mucho de rutina y poco de significacin.

El fenmeno de la comprensin rene, a la vez, la produccin de varios siste-mas de representacin, el trabajo en el interior de cada uno y la coordinacin entreellos, para la aprehensin del objeto matemtico que se representa. Es decir, lapuesta en juego de cada sistema de representacin de un objeto matemtico y lastransformaciones dentro de ese sistema junto con el paso a los dems sistemas,contribuyen a la comprensin conceptual del objeto matemtico en cuestin.

Por lo tanto, podemos afirmar, extrapolando lo indicado por Rico, Castro y Ro-mero (1996), que un conocimiento ms exhaustivo de los diversos sistemas de re-presentacin y de sus relaciones mejora la comprensin de los conceptos algebrai-cos y de su significado, lo que redunda en una mayor capacidad para comprender yabordar otras tareas algebraicas ms complejas.

Cuando en la resolucin de un problema verbal algebraico un estudiante pro-duce un texto como resultado de su interpretacin (traduccin), necesita activar yponer de acuerdo a sucesivos campos conceptuales7, estableciendo representacio-nes de distinta complejidad segn la diversidad de los campos conceptuales activa-dos.

En Wagner y Kieran (1989), aparecen varias preguntas acerca de la naturale-za aritmtica o algebraica de los problemas verbales. Una de ellas es: hay jerar-quas cognitivas con respecto a los modos de representacin (lenguaje natural, gr-fico, numrico, simblico, etc.,) que justifiquen un anlisis en resolucin de proble-mas algebraicos?

Nuestra respuesta es que resulta pertinente un estudio acerca de los diversossistemas de representacin que utilizan los estudiantes cuando resuelven proble-



mas verbales algebraicos elementales, pues, con la seleccin de tareas adecuadas,se pone en juego y se explicita mejor el conocimiento que sobre lgebra escolar po-seen los estudiantes. Pero previamente ser necesario establecer los posibles siste-mas de representacin en que se aborda una tarea algebraica, definirlos y categori-zarlos.

En la literatura especializada (Wagner y Kieran, 1989; Puig y Cerdn, 1989,1991; Filloy y Rubio, 1992; Fong y Chong, 1995; Meavilla, 1995; Palarea y Socas,1995; Rojano, 1996), los sistemas de representacin de tareas algebraicas se pue-den clasificar, grosso modo, en tres grupos: los sistemas de representacin numri-cos, los grficos y los simblicos.

Para nuestro estudio, y teniendo en cuenta los sistemas de representacinusuales y los dos niveles considerados en el punto 1.5.1 (sistemas de signos, reglasde procesamiento), consideramos tres de los sistemas bsicos de signos: numri-cos, grficos y simblicos, mediante los cuales establecemos cinco sistemas derepresentacin diferentes que articulan este estudio. Estos sistemas proceden deuna adaptacin de los sistemas usuales que se encuentran en la literatura de in-vestigacin, realizada por nuestro grupo de investigacin para conceptualizar lainformacin obtenida; se trata pues de una caracterizacin fundada inductivamente.

Los cinco sistemas mencionados son:Ensayo y error, cuyos signos son numricos y cuyas relaciones se producen al

conjeturar y probar sistemticamente valores numricos para las incgnitas.Parte-Todo, cuyos signos tambin son numricos (o tratados como tal) y cuyas

relaciones se centran en la inclusin de clases, comparando el todo con la parte.Grfico, cuando los signos son grficos (en sentido ampio) y las relaciones se

sustentan en los propios grficos.Grfico-Simblico, caracterizado por el uso conjunto de signos grficos y sim-

blicos, y las relaciones se explicitan tanto grfica como simblicamente.Simblico, en el que tanto los signos como las relaciones son simblico-alfab-

ticas.En el apartado 2.5.5 caracterizamos con detalle cada uno de los sistemas postula-dos.



El trnsito de la Aritmtica al lgebra est lleno de lagunas en el currculo es-colar, y el conocimiento de los sistemas de representacin que utilizan los estudian-tes para resolver los problemas verbales algebraicos, debe ser una de las herra-mientas que permitan al profesor conocer estas lagunas y desarrollar estrategia deenseanza y de aprendizaje.

Filloy y Rubio (1992) proponen que para la resolucin de un problema verbalde aplicacin en lgebra se establezcan una serie de pasos, inicindose con unainterpretacin numrica que despus vaya acercndose al lenguaje algebraico: "Enesta interpretacin numrica ya va a estar seguramente subyaciendo la interpreta-cin algebraica del problema" (p. 38).

Los sistemas de representacin no simblicos, como los numricos (en parti-cular el Ensayo-Error) y el sistema de representacin de imgenes (fsico-visual) ogrfico, aportan elementos de anlisis en la resolucin de problemas algebraicos,permitiendo, en muchos casos, una representacin y resolucin correcta del mismo.Sin embargo, la resolucin de un problema o de una ecuacin por tanteo, en ge-neral, se considera de importancia menor y se abandona enseguida, quiz para evi-tar el que los estudiantes sientan que todo problema matemtico ha de tener unasolucin numrica.

Los sistemas de representacin numricos estn en consonancia con ciertaspreferencias aritmticas y pre-algebraicas que tiene el estudiante cuando comienzala secundaria. Las representaciones visuales pueden resultar ms intuitivas y dotarde significado a las relaciones algebraicas. De esta forma se puede establecer unpuente entre aritmtica y lgebra, entre el pensamiento aritmtico y el algebraico, atravs de acercamientos numricos y grficos que desemboquen en los sistemas derepresentacin simblicos.

Estos sistemas de representacin numricos y grficos necesitan de una ma-yor presencia en el sistema educativo, presentarlos organizados y sistematizados, ytener carcter autnomo, es decir, autosuficiente.

Las tareas de coordinacin entre diferentes sistemas de representacin sonprcticamente inexistentes en el tratamiento curricular estndar del lgebra Escolar.La armonizacin en la enseanza y el aprendizaje de las diversas representaciones



mejorar la comprensin y, por lo tanto, el conocimiento de los contenidos de lge-bra.

1.6. Resolucin de problemas y evolucin del lenguaje simblico.

1.6.1. Historia de la Matemtica.De acuerdo con Radford (1995), una de las aproximaciones que est emer-

giendo de las investigaciones en Educacin Matemtica se refiere al estudio sobrela construccin histrica del conocimiento matemtico; estos conocimientos puedenayudarnos para:

- Comprender mejor las dificultades experimentadas por nuestros alumnos, ascomo interpretar los errores y las conceptualizaciones incorrectas que aparecen enel proceso de aprendizaje especfico de los contenidos matemticos.

- Tomar decisiones ms elaboradas concernientes al conocimiento que se haenseado; en particular, se est produciendo una nueva va para abordar con nue-vos recursos la organizacin y articulacin de este conocimiento en la clase de ma-temticas.

El estudio de la evolucin histrica de los conceptos matemticos resulta inte-resante para los programas de formacin de los profesores y es importante para lapropia investigacin en didctica de la matemtica.

Los resultados de una visin didctica de la historia de la matemtica puedenconducir a nuevos caminos en las investigaciones en didctica de la matemtica yproporcionar un conocimiento ms profundo de los conceptos generales incluidosen los currculos actuales. Esta perspectiva histrica se puede aprovechar, no slocon intencin motivadora, sino para elaborar modelos de enseanza que tengan encuenta los procesos histricos de adquisicin de los conceptos y los obstculos quese han tenido que superar.

Para esto una lectura de los textos clsicos puede resultar muy conveniente,sobre todo si se sigue una metodologa que tenga en cuenta la triple dimensin fun-cional de las matemticas: la correspondiente a los conceptos, a los problemas y a



los procedimientos en la resolucin de problemas. Es natural que un concepto seentienda mejor en el conjunto de las relaciones dinmicas que lo ligan con otrosconceptos, en los problemas en los que se aplica, y en los procedimientos y estrate-gias que se elaboran para resolver esos problemas (Radford, 1995).

1.6.2. La resolucin de problemas en la transicin de la aritmtica al lge-bra.

Diversos autores han destacado el hecho de que el lgebra progres como unmtodo para resolver problemas en la poca de pujanza econmica de la Europamedieval (Parads, 1993; Puig, 1993; Radford, 1995; Rojano, 1996). El lgebra sepresent como una regla (regola) desarrollada con la finalidad de resolver proble-mas verbales; en principio para resolver problemas de entretenimiento, no prcticos,pero enseguida se extendi a los problemas comerciales.

La resolucin de problemas ha sido, por tanto, eje predominante en el desarro-llo y consolidacin del lenguaje simblico algebraico. El paso de la aritmtica al l-gebra se produjo, principalmente, por la necesidad de tener un mecanismo potentepara resolver problemas (inicialmente fueron problemas aritmticos y geomtricosclsicos). Cada familia de problemas tiene diferentes dificultades: algunas aparecen entrminos de parametrizacin, otras en trminos de sintaxis. El lenguaje algebraicopermite abordar los problemas a travs de sistemas de representacin simblicosque generalizan los mtodos de resolucin. El lgebra, posteriormente, evoluciondesde ser una herramienta al servicio de la resolucin de problemas a ser un objetomatemtico en s, una rama autnoma de las matemticas.

1.6.3. Implicaciones para la enseanza. El lgebra se desarrolla y afianza apoyada en una mejora de los aspectos

simblicos y operativos que generan formas de pensamiento propios. El lgebraEscolar debiera tener por meta inducir determinadas aptitudes relacionadas conestas formas generales de pensamiento.

Las dos lneas que ha seguido el desarrollo del lgebra, la lnea simblica y la



de los mtodos de resolucin de problemas, pueden considerarse que representanlo conceptual y lo operacional, y deben ir fuertemente interrelacionadas en la ense-anza y aprendizaje del lgebra y, por tanto, en la construccin del pensamientoalgebraico.

Sostenemos que el conocimiento sobre el desarrollo histrico de los conceptosalgebraicos debe proporcionar una nueva perspectiva para su enseanza. No setrata que los alumnos sigan los mismos pasos que los matemticos antiguos, sinoque se comprenda mejor la naturaleza del conocimiento algebraico por medio de suevolucin histrica, lo cual se puede traducir en nuevas posibilidades para el apren-dizaje de las matemticas.

El desarrollo del lgebra se realiz desde la aritmtica, por una parte, al tratarde encontrar solucin a los problemas mercantiles (las escuelas de baco de la Ita-lia medieval) y, por otra, a travs de la geometra resolviendo problemas algebraicosde forma geomtrica (Vita). La enseanza debe tener en cuenta y sacar provechode esta evolucin histrico-epistemolgica para enfocar su aspecto operativo, y po-tenciar metodologas que permitan, a travs de la resolucin de problemas, facilitarel paso complejo desde sistemas de representacin ms intuitivos y con mayor car-ga aritmtica hacia los sistemas simblicos de representacin, ms sofisticados.

Captulo 2: El Problema a Investigar 43


CAPTULO 2 EL PROBLEMA A INVESTIGAR

2.1. Delimitacin del rea problemtica.

La eleccin de un rea de investigacin abre una serie de perspectivas que,necesariamente, no convergen en un solo problema. La revisin de la literatura espe-cializada en cada campo conlleva, por lo general, la delimitacin de un grupo de pro-blemas. La preferencia por uno de ellos permite encauzar todos los esfuerzos paradesarrollar una tarea investigadora concreta, que fructifique en realizaciones de inte-rs para la comunidad preocupada, en este caso, por la Educacin Matemtica.

La delimitacin de un problema de investigacin es un proceso complejo quese lleva a cabo por aproximaciones sucesivas, que se van precisando segn se al-canzan diferentes niveles de concrecin.

Hemos de indicar que las fases en la realizacin de este trabajo, como en lasde otras investigaciones, no se desarrollan linealmente en el tiempo sino que interac-tan entre ellas y los resultados de unas influyen e intervienen en el desarrollo de lasotras.

2.1.1. Primera aproximacin: evaluacin del lgebra Escolar a travs deproblemas verbales algebraicos.

Nuestra rea de indagacin es la de la evaluacin en matemticas. Dentro deella hemos elegido considerar la faceta de su aplicacin prctica en el campo de lasmatemticas escolares.

El perodo escolar que nos interesa es la Educacin Secundaria Obligatoria(E.S.O.), de reciente implantacin. El tpico especfico considerado ha sido el del l-gebra para el perodo escolar de 12-16 aos, que es el perodo donde todos los estu-diantes inician el estudio del lgebra Escolar de forma obligatoria. El instrumento eva-luativo que se va a utilizar ser una seleccin adecuada de tems, en formato de pa-



pel y lpiz, a travs de la resolucin de problemas verbales. Tambin nos interesaconsiderar el dominio que se mantiene sobre el lgebra Escolar en los aos posterio-res de la Educacin Post-Obligatoria.

De todos los posibles aspectos de las competencias en lgebra Escolar, lascompetencias especficas que vamos a considerar en nuestro estudio, para su eva-luacin, estn descritas en el apartado 2.1.3.

La poblacin sobre la que se va a llevar a cabo el estudio, as como las carac-tersticas de la muestra que se va a seleccionar, las describiremos ampliamente en elCaptulo 5.

En Espaa, la adaptacin de la evaluacin en matemticas a la nueva situa-cin de obligatoriedad para la etapa de 12-16 aos plantea nuevas cuestiones organi-zativas, legales y tcnicas. Entre estas cuestiones podemos sealar: la necesariapromocin continua entre cursos de un mismo ciclo, la falta de precisin en los crite-rios administrativos para llevar a cabo la evaluacin, la contradiccin entre el carcterabierto de la valoracin habitual y la decisin final de promocin de los estudiantes, yla falta de instrumentos de evaluacin suficientes y diversificados.

La falta de criterios precisos para esta nueva situacin ha dado lugar a unaserie de desequilibrios entre los principios enunciados en los documentos normativosy la puesta en prctica de los mismos, que se traducen en malestar de los sectoresimplicados en la evaluacin y, en particular, en el profesorado.

En este trabajo nos vamos a centrar sobre la evaluacin en la Educacin Se-cundaria Obligatoria (12-16 aos) que, actualmente, est en perodo de implantacinen el Sistema Educativo Espaol y, por lo tanto, en la Comunidad Autnoma Andalu-za; se trata del perodo escolar que mayores atenciones y preocupaciones suscita enel colectivo de profesionales de la enseanza.

Tambin queremos conocer la competencia algebraica que permanece cuandola instruccin en lgebra ha terminado, es decir, el poso de conocimientos que quedaen aquellos estudiantes que no han seguido recibiendo una enseanza especfica enlgebra. Para ello estudiaremos a su vez las competencias algebraicas en estudian-tes universitarios que llevan varios aos sin recibir instruccin en lgebra, y que no

Captulo 2: El Problema a Investigar 45


- el tpico de estudio es la evaluacin en el rea de las matemticas escolares,

- el contenido es la iniciacin al lgebra,- la etapa de estudio seleccionada es la Educacin Secundaria Obligatoria,- los instrumentos que utilizaremos son pruebas de papel y lpiz,- las tareas propuestas sern la resolucin de problemas verbales.

han cursado asignaturas de matemticas fuera de las obligatorias; estos estudiantesse suelen denominar comnmente estudiantes de letras.

El reconocimiento cada vez mayor de la estrecha relacin que existe entre untema

Fernandez Garcia Tesis

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