FICHAS DE MATEMATICAS - UBdiposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/1322/1/218.pdf · 2017-05-22 ·...

Fichas de Matemáticas

C. Arenas

FICHAS DE MATEMATICAS

C. Arenas Departament d'Estadística Universitat de Barcelona


C. Arenas

En un intento de adaptar la asignatura de Matemáticas de la licenciatura de

Biología al Espacio Europeo de Enseñanza Superior (EEES), nacen las “Fichas

Matemáticas”. Estas fichas pretenden proporcionar al alumno los conceptos básicos que

se tratarán en la asignatura, a fin de que tenga una base a partir de la cual pueda

profundizar y trabajar dichas ideas conceptuales. Estas fichas son un resumen de los

conceptos teóricos que deberá adquirir el alumno sobre esta asignatura obligatoria de

Matemáticas a lo largo de su aprendizaje.

Espero que estas fichas sean de utilidad a todos los alumnos en su caminar por el

sendero del aprendizaje y el conocimiento.

C. Arenas Prof. Titular de Universidad

Barcelona, 2006.


C. Arenas

FICHA 1: RECORDATORIO

Conjuntos Un conjunto es una colección de objetos. Los objetos de un conjunto se denominan elementos del conjunto. Notación El elemento x está en el conjunto A Ax ∈ El elemento x no está en el conjunto A Ax ∉ El conjunto de todos los x que verifican la propiedad P {x : P} Clasificación de los números reales R Números naturales (o enteros positivos) N 1,2,3,…… Enteros Z 1, -1, 4, 10, -5, -6…… Números racionales Q {x: x = p/q con p y q enteros, 0≠q } Números irracionales R \ Q números reales que no son racionales, así por

ejemplo π,, 3 113 . Orden en los números Los números reales están ordenados. Los símbolos ≥≤, se llaman desigualdades y

><, se llaman desigualdades estrictas. Algunas propiedades

i) si . entonces y cacbba <<< ii) si . real número todopara entonces ccbcaba +<+< iii) si .dbcadcba +<+<< ntonces y iv) si .bcaccba <>< entonces 0y v) si .bcaccba ><< entonces 0y

Valor absoluto El valor absoluto de un número a es la distancia de a al 0. Se representa por a y viene

dado por 0anegativo, es si ,

0 positivo, es si ,

<−=

≥=

aaa

aaaa.


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Si se tiene ca − representa la distancia entre a y c siendo su valor

0 si,

0 si,

<−+−=−

≥−−=−

cacaca

cacaca es decir

cacaca

cacaca

<+−=−

≥−=−

si,

si,.

Intervalos Sea ba < .

i) El intervalo abierto ( )ba, es el conjunto de todos los números comprendidos entre a y b : ( ) { }bxaxba <<= :, .

ii) El intervalo cerrado [ ]ba, es el conjunto de todos los números comprendidos entre a y b incluyendo los puntos a y b: [ ] { }bxaxba ≤≤= :, .

Otros intervalos son: iii) (a,b] { }bxax ≤<= : . iv) [a,b) { }bxax <≤= : . v) ( ) { }xaxa <=∞ :, . vi) [ ∞,a ) { }xax ≤= : . vii) ( b,∞− ] { }bxx ≤= : viii) ( b,∞− ) { }bxx <= : ix) ( ) =∞∞− , conjunto de todos los reales. Factorial de un número Sea n un entero positivo, el factorial de n es el producto de todos los enteros de 1 a n

nnn ⋅−⋅⋅⋅⋅= )(....! 1321 Por convenio 0!=1.


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Algunas fórmulas básicas ( )( )( )( )

( )( )( )( )( )( )

yxaxyxex

xyxyxyx

yxxyxx

xxxxx

xxxxx

babababababababa

bababababbaaba

babbaaba

abbaba

abbaba

ay

y

y

abba

baba

baba

aa

==

==

=

−=+=

=

≠=

=

=

=

+−+=+

++−=−

−+=−

−+−=−

+++=+

−+=−

++=+

−

+

−

ln entonces Siln entonces Si

lnlnlnln)/ln(

lnln)ln()(

0,1/

/1

33

33

2

2

0

2233

2233

22

32233

32233

222

222


C. Arenas

TABLA DE ÁREAS Y VOLÚMENES

cuadrado

A = a2

triángulo

A = B · h / 2

rectángulo

A = B · h

romboide

A = B · h

rombo

A = D · d / 2

trapecio

A = (B + b) · h / 2

polígono regular

A = P · a / 2 (1)

círculo

A = π · R2

P = 2 · π · R

corona circular

A = π · (R2 − r2)

sector circular

A = π · R2 · n / 360

cubo

A = 6 · a2

V = a3

cilindro

A = 2 · π · R · (h + R)

V = π · R2 · h

ortoedro

A = 2 · (a·b + a·c + b·c)

V = a · b · c

cono

A = π · R2 · (h + g) (2)

V = π · R2 · h / 3

prisma recto

A = P · (h + a)

V = AB · h (3)

tronco de cono

A = π · [g·(r+R)+r2+R2]

V = π · h · (R2+r2+R·r) / 3


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tetraedro regular

A = a2 · √3

V = a2 · √2 / 12

esfera

A = 4 · π · R2

V = 4 · π · R3 / 3

octaedro regular

A = 2 · a2 · √3

V = a3 · √2 / 3

huso. cuña esférica

A = 4 · π ·R2 · n / 360

V = VE · n / 360

pirámide recta

A = P · (a + a') / 2

V = AB · h / 3

casquete esférico

A = 2 · π · R · h

V = π · h2 · (3·R − h) / 3

tronco de pirámide

A=½(P+P')·a+AB+AB'

V = (AB+AB'+√AB·√AB') · h/3

zona esférica

A = 2 · π · R · h

V = π·h·(h2+3·r2+3·r'2) / 6 (1) P es el perímetro (suma de la longitud de los lados) ; a es la apotema

(2) g es la generatriz ; √ es la raíz cuadrada del número

(3) AB es el área de la base ; h es la altura ; R y r son los radios ;


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FICHA 2: FUNCIONES

Dados dos conjuntos A y B una función f de A en B es una regla que asigna a cada elemento de A uno de B. El conjunto A se llama Dominio de la función (Dom f) y el conjunto de valores de f, es decir, { }AxxfyBy ∈=∈ ),(: es la imagen de la función (Im f). Notaremos generalmente una función como f(x) siendo x la variable de la función. Una función f real de variable real es una función que su dominio es un conjunto de números reales, en general será un intervalo o una unión de intervalos. Su imagen son los números reales. La función valor absoluto es una función real de variable real, con dominio ( )∞∞− , e imagen [0, ∞ ). Funciones trigonométricas

Ya que conocemos el perímetro de una circunferencia de radio, r, unitario: rL ⋅⋅= π2 entonces el ángulo de una circunferencia completa, medido en radianes es 2 × π. Como además sabemos que este mismo ángulo, medido en grados mide 360°, entonces podemos definir una equivalencia:

2 × π radianes = 360°

y por tanto:

1 radián = 360°/(2 × π) = 57,29°

a partir de esta igualdad, determinamos que: 90° = π/2 radianes

60° = π/3 radianes



Long. arco de circunferencia = [Ángulo en radianes] × [Radio de la circunferencia]


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El triángulo ABC es un triángulo rectángulo y lo usaremos para definir las funciones seno y coseno.

En un triángulo rectángulo, el seno (abreviado como sen o sin) es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa, y el coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.

Si usamos una circunferencia unitaria (con radio igual a uno), entonces la hipotenusa, AB, del triángulo se hace 1, por lo que las relaciones quedan:

sen α = cos β = a cos α = sen β = b cot α = 1/tg α sec α = 1/cos α cosec α = 1/sen α

A continuación algunos valores de las funciones que es conveniente recordar:

ángulo sen cos tg ctg sec csc

00

0 1

300

2

450

1 1


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600

2

900

0 1

Como en el triángulo rectángulo se cumple que a2 + b2 = c2, de la figura anterior se tiene que sen α = a, cos α = b, c = 1; entonces para todo ángulo α:

sin2(α) + cos2(α) = 1

Algunas identidades trigonométricas importantes son las siguientes:

sen (90 - α) = cos α cos (90 - α) = sen α sen (180 - α) = sen α cos (180 - α) = -cos α sen 2α = 2 sen α cos α cos 2α = cos2α - sen2α sen (α + β) = sen α cos β + cos α sen β cos (α + β) = cos α cos β - sen α sen β sen (α - β) = sen α cos β - cos α sen β cos (α - β) = cos α cos β + sen α sen β sen²(α) = 1/2 * (1 - cos(2 * α)); cos²(α) = 1/2 * (1 + cos(2 * α));

En un triángulo rectángulo, la tangente (abreviada como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

tan(a) = sin(a) / cos(a)

El valor de la tangente para algunos ángulos importantes es:

tan (π/2) = tan (90°) = +∞ tan (-π/2) = tan (-90°) = -∞ tan (0) = 0 tan (π/4) = tan (45°) = 1 tan (π/3) = tan (60°)= 3 tan (π/6) = tan (30°) = 3/3

Una identidad de importancia con la tangente es:

( ) ( )( ) ( )βα

βαβαtantan1tantan)tan(

−+

=+


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Gráficas

Seno

Coseno

Tangente

Cotangente


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Función secante

Función cosecante

Operaciones entre funciones Suma [ ] )()()( xgxfxgf +=+ Diferencia [ ] )()()( xgxfxgf −=− Producto [ ] )()()( xgxfxgf ⋅=⋅ Cociente [ ] 0)( que siempre ),(/)()(/ ≠= xgxgxfxgf Composición [ ] ))(()( xgfxgf =o


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Funciones inversas dos funciones f y g son funciones inversas una de la otra si

)( todopara ))(()( todopara ))((

fdomxxxfggdomxxxgf

∈=∈=

o

o

Límite de una función: noción informal El número L es el límite de una función f cuando x se aproxima a un punto c, y lo representaremos por

cxLxf

→=)(lim si y sólo si los valores de la función f(x) se

aproximan (tienden) a L cuando x se aproxima a c. Se denominan límites laterales a: Límite por la izquierda

cxcx

Lxf<→

=)(lim cuando x se aproxima a c por la izquierda, f(x) se aproxima a L

Límite por la derecha

cxcx

Lxf>→

=)(lim cuando x se aproxima a c por la derecha, f(x) se aproxima a L

Se cumple que:

cxLxf

→=)(lim si y sólo si

cxcx

Lxf<→

=)(lim y cxcx

Lxf>→

=)(lim

es decir, existe el límite de una función en un punto si y sólo si existe límite por la izquierda y existe límite por la derecha y ambos coinciden. Algunas propiedades de los límites Si entonces )(limy )(lim MxgLxf

cxcx==

→→


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[ ][ ][ ][ ][ ]

[ ] existe no )(/)(lim entonces 0,g(x)limy 0con Lf(x)lim Si

0 si ,/)(/)(lim

)()(lim

)(lim

)()(lim

)()(lim

cxcxxgxfL

MMLxgxf

MLxgxf

Lxf

MLxgxf

MLxgxf

cx

cx

cx

cx

cx

cx

→→→

→

→

→

→

→

=≠=

≠=

⋅=⋅

=

−=−

+=+

αα


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FICHA 3: CONTINUIDAD

Dada una función f definida en un intervalo abierto de la forma (c - p, c + p) con p > 0, diremos que f es continua en el punto c si y sólo si ).()(lim cfxf

cx=

→

Que una función sea continua en un punto implica que deben cumplirse tres condiciones:

i) f esté definida en c ii) existe )(lim xf

cx→

iii) )()(lim cfxfcx

=→

Diremos que una función es discontinua en un punto c si no es continua en ese punto. Tipos de discontinuidad:

i) Discontinuidad evitable: la función tiene límite cuando x tiende a c, pero este límite no coincide con f(c), es decir se cumplen i) ii) pero no iii). Se denomina evitable porque basta cambiar la definición de la función en el punto c para conseguir que sea continua.

ii) Discontinuidad de salto: la función no tiene límite en el punto c. Es decir, existen los límites laterales pero no toman el mismo valor.

iii) Discontinuidad infinita o asintótica: al menos uno de los dos límites laterales no existe, es decir, la función por la derecha o por la izquierda tiende a

∞∞ - abien ó . Relación con las operaciones: Si f y g son continuas en c entonces:

i) f+g continua en c ii) f-g continua en c iii) fα continua en c para todo real α iv) fg continua en c v) f/g continua en c vi) si g es continua en c y f es continua en g(c), la función compuesta gf o es

continua en c. Continuidad por la izquierda y por la derecha Diremos que una función es continua por la izquierda en c si y sólo si )()(lim cfxf

cx=

−→


C. Arenas

Diremos que una función es continua por la derecha en c si y sólo si )()(lim cfxfcx

=+→

Por lo tanto, una función es en c si y sólo si )(limy )(lim),( xfxfcf

cxcx +− →→ existen y son

iguales.


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FICHA 4: DERIVADAS

Diferenciación

En terminología algo anticuada, diferenciación manifiesta el coeficiente en que una cantidad y cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad x con la que tiene una relación funcional. Usando el símbolo ∆ para referirse al cambio en una cantidad, se define este coeficiente como un límite del cociente

xy

∆∆

cuando ∆x se aproxima a 0. En la notación de Leibniz, se escribe la derivada de y con respecto a x

dxdy

Esto sugiere la razón de dos cantidades infinitesimales.

En el lenguaje matemático contemporáneo, se refiere a cantidades dependientes y declara simplemente que la diferenciación es una operación matemática de funciones. La definición precisa (esta también refiere a cantidades infinitesimales) parte de un cociente de diferencias:

hxfhxfxg )()()( −+

=

Luego a la variable h del cociente anterior se la hace tender a 0, por medio de un límite. Finalmente, queda constituida de la siguiente manera la derivada:

hxfhxfxf

h

)()(lim)('0

−+=

→

Notación

Existen diversas formas para nombrar a las derivadas. Si f es una función, se escribe la derivada de la función f al valor x en varios modos:


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)(' xf {Notación de Lagrange}

Si y = f(x), se puede escribir la derivada como

dxdy

La función a → f '(a), es la función derivada de f.

Interpretación geométrica

Sea f una función continua, y C su curva. Sea x = a la abscisa de un punto regular, es decir donde C no hace un ángulo. En el punto A(a, f(a)) de C se puede trazar la tangente a la curva. Su coeficiente director, o sea su pendiente, es f´(a), el número derivado de f en a.

Conociendo la pendiente de la tangente, es decir f '(a), puede uno saber a que ritmo crece o decrece la función. El signo de f '(a), determina en función f (si crece o no).


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En este gráfico se ve que donde f es creciente, las tangentes apuntan hacia arriba (mirando de izquierda a derecha), y por lo tanto f ' es positiva, como en el punto D (x = d), mientras que donde f es decreciente, las tangentes apuntan hacia abajo y f ' es negativa, como en el punto B (x = b). En los puntos A y C, que son máximo y mínimo local, la tangente es horizontal, luego f '(a), = 0 = f '(c).

Derivabilidad implica continuidad

Si una función es derivable en x= a entonces es continua en x= a.

Es importante notar que el recíproco no es válido; es decir que nada se puede afirmar sobre la derivabilidad de una función continua. Un ejemplo claro de esta situación es la función valor absoluto f(x)= |x| que si bien es continua en todo su dominio no es derivable en x= 0


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REGLAS DE DERIVACIÓN

Función Derivada

( ) )(xgf + )(')(' xgxf +

( ) )(xgf ⋅ )(')()()(' xgxfxgxf +

)(xkf )(' xkf

)()(

xgxf

( )2)()(')()(')(

xgxgxfxfxg −

Si g es derivable en a y f es derivable en g(a) entonces la función compuesta ( )gf o es derivable en a

( ) )(')(' agagf Regla de la cadena

( )nxf )( n entero o fraccionario ( ) )(')( 1 xfxfn n−

)( xfe )(')( xfe xf

)(xfa axfa xf ln)(')(

)(ln xf )('

)(1 xfxf

)(log xfa exfxf alog)(')(

1

)()( xgxf

+

)(

)(')()(ln)(')( )(

xf

xfxgxfxgxf xg


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DERIVADAS INMEDIATAS (1)

0)(')( =⇒= xfkxf x

xfxxf 1)('ln)( =⇒=

1)(')( =⇒= xfxxf ex

xfxxf aa log1)('log)( =⇒=

1)(')( −=⇒= nn nxxfxxf xxfsenxxf cos)(')( =⇒=

1)(')(

−=⇒= n

mnm

xnmxfxxf senxxfxxf −=⇒= )('cos)(

xxxfxxxf

21

21)(')(

121

21

==⇒==−

x

xfxxf 2cos1)('tan)( =⇒=

n nnnn

xnx

nxfxxxf

−

−==⇒==

1

111 11)(')(21

1)(')(x

xfarcsenxxf−

=⇒=

xx exfexf =⇒= )(')( 211)('arccos)(x

xfxxf−

−=⇒=

aaxfaxf xx ln)(')( =⇒= 211)('arctan)(

xxfxxf

+=⇒=

DERIVADAS INMEDIATAS (2)

'' 1unuyuy nn −=⇒= ')(log1'log ueu

yuy aa =⇒=

''1uu

nmyuy n

mnm

−=⇒= ')cos(')( uuyuseny =⇒=

'2

1'21'

121

21

uu

uuyuuy ==⇒==−

')(')cos( uusenyuy −=⇒=

'1'1'1

111

uun

uun

yuuyn n

nnn−

−==⇒== '

cos1'tan 2 u

uyuy =⇒=

'' ueyey uu =⇒= '1

1')(2

uu

yuarcseny−

=⇒=

')(ln' uaayay uu =⇒= '1

1'arccos2

uu

yuy−

−=⇒=

'1'ln uu

yuy =⇒= '1

1'arctan2

uu

yuy+

=⇒=


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FICHA 5: REGLA DE L’HÔPITAL

Guillaume Francois Antoine Marquis de L’Hopital

En cálculo (matemática), la regla de L'Hôpital es utilizada para determinar límites que de otra manera serían complicados de calcular. Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo XVII Guillaume François Antoine, Marqués de l'Hôpital (1661 - 1704), quien dio a conocer la regla en su obra Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1692), el primer texto que se ha escrito sobre cálculo diferencial.

L’Hopital sirvió como oficial de caballería pero tuvo que retirarse a causa de ser corto de vista. Desde ese tiempo dirigió su atención hacia las matemáticas. L’Hopital aprendió cálculo de su maestro Johann Bernoulli en 1691. La regla de L'Hôpital se puede aplicar si se trata del cociente entre dos funciones continuas f(x)/g(x) cuyo numerador y denominador tienden a cero (infinitésimos) o al


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infinito. Para calcular el límite se deriva dicho numerador y el denominador y se determina el límite del cociente entre dichas derivadas. Si el límite existe, la regla

afirma que coincidirá con el límite de f(x)/g(x), es decir )(')('lim

)()(lim

xgxf

xgxf

xcx ∞→→= , donde c

puede ser finito o infinito ( )∞==== )()( ó 0)()( cgcfcgcf .

Ejemplos

1. Caso de indeterminación "0/0":

11

)cos(lim)(lim00

==→→

xx

xsenxx

2. Caso de indeterminación "∞/∞":

∞===∞→∞→∞→ 2

lim1

21

lim)ln(

lim x

x

xxx

xxx

A veces algunos límites que no aparecen dados como cocientes pueden ser calculados con esta regla:

a) Indeterminación " ∞−∞ ". En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas. Ejemplo:

=−

=

−

→→ )(sen)(senlim

)(sen11lim

00 xxxx

xx xx

0cos)(sencos

)(senlim)(sen)cos(

1)coslim00

=+−

−=

+−

→→ xxxxx

xxx(x

xx

b) Indeterminación " ∞⋅0 ". Se debe escribir el límite de forma que quede una indeterminación del tipo "0/0" ó "∞/∞". Ejemplo:

xx

x

x exxe

∞→

−

∞→= limlim indeterminación del tipo ∞/∞.

c) Indeterminación 0∞ - 00 - ∞1 . Para determinar estos límites tendremos en cuenta que:

( ) ( ))(ln)()(ln)( )(

)( xfxgxfxg eexfxg

==

de donde resulta que: ( ))(ln)(lim)()(lim

xfxgxg

cxcxexf →=

→. Ejemplo:


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)ln(lim

00lim

xxx

xxex →=

→

Por lo tanto

1lim

0)(lim11lim

1lnlim)ln(lim

0

0

02000

==

=−=−

==

→

→→→→

ex

xxx

x

xxx

x

x

xxxx


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FICHA 6: ESTUDIO DE FUNCIONES

A fin de realizar un estudio completo de una función que permita la obtención de su gráfica, deben seguirse los siguientes pasos:

1) Dominio de la función

2) Estudio de la continuidad y derivabilidad de la función

3) Cálculo de las posibles asíntotas

Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.

Las asíntotas se clasifican en:

OblicuasesHorizontal

VerticalesAsíntotas

a. Asíntotas verticales (paralelas al eje OY)

Si existe un número “a” tal, que:

axxf

→∞=)(lim

La recta “x = a” es la asíntota vertical.

Ejemplo:

2 ,)2(

1lim ,)2(

1)( 222 =∞=−−

=→

xxx

xfx

b. Asíntotas horizontales (paralelas al eje OX)


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Si existe el límite:

∞→=

xbxf )(lim

La recta “y = b” es la asíntota horizontal.

Ejemplo:

1 ,131lim ,

31)( ==

++

++

=∞→

yxx

xxxf

x

c. Asíntotas oblicuas (inclinadas)

Si existen los límites:

[ ] nmxxfmxxf

xx=−=

∞→∞→)(lim ;)(lim

La recta “y = mx+n” es la asíntota oblicua.

Ejemplo:

62 ,623

2lim

,23

2lim32

lim ,3

2)(

2

2

2

2

2

−==−=

−

+

==+

=++

=

∞→

∞→∞→

xynxx

x

mxx

xx

xx

xxxf

x

xx

4) Monotonía

Sea f una función derivable en el intervalo (a,b). Luego,

i) Si f’(x)>0 para todo x en el intervalo abierto (a,b), f es creciente en (a,b).

ii) Si f’(x)<0 para todo x en el intervalo abierto (a,b), f es decreciente en (a,b).

iii) Si f’(x) = 0 para todo x en el intervalo abierto (a,b), f es constante en (a,b).

5) Máximos, mínimos y puntos de inflexión

Definición: Sea f una función en c:


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i) f(c) es un máximo relativo de f si existe un intervalo (a,b) que contiene a c tal que f(x) es menor o igual a f(c) para todo x en (a,b).

ii) f(c) es un mínimo relativo de f si existe un intervalo (a,b) que contiene a c tal que f(x) es mayor o igual f(c) para todo x en (a,b).

Teorema: Si f tiene un máximo relativo o un mínimo relativo cuando x = c, entonces:

i) f’(c) = 0, ó

ii) f’(c) no está definida

Criterio

Se c un punto tal que f’(c) = 0

Si f’’(c)>0 entonces (c,f(c)) es un mínimo relativo

Si f’’(c)<0 entonces (c,f(c)) es un máximo relativo

Definición: Sea f una función en c:

i) f(c) es un máximo absoluto de f si f(x) es menor o igual a f(c) para todo x en Dom f.

ii) f(c) es un mínimo absoluto de f si f(x) es mayor o igual f(c) para todo x en Dom f.

6) Concavidad

La concavidad de la gráfica de una función se refiere a dónde se curva la gráfica hacia arriba y dónde se curva hacia abajo. En la Figura se observa que la gráfica se curva hacia abajo en el intervalo (-2,0) y se curva hacia arriba en el intervalo (0,5).

Definición: Si f es una función derivable en el intervalo abierto (a,b), entonces la gráfica de f es:

i) cóncava hacia arriba en (a,b) si f’ es creciente en (a,b)

ii) cóncava hacia abajo en (a,b) si f’ es decreciente en (a,b)

Definición: El punto de inflexión de una gráfica f es el punto donde la concavidad cambia de hacia arriba a hacia abajo (o viceversa).


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FICHA 7: TEOREMAS SOBRE FUNCIONES

CONTINUAS Y/O DERIVABLES

Estos son algunos de los teoremas más importantes sobre funciones continuas.

Teorema de Weierstrass: Si f es continua en [ ]ba, entonces presenta máximos y mínimos absolutos.

Teorema de Bolzano: Si f es continua en [ ]ba, y además 0)()( <bfaf entonces existe al menos un punto ),( bac ∈ tal que .0)( =cf

Teorema del valor medio: Si f es continua en [ ]ba, y además )()( bfkaf << entonces existe al menos un punto ),( bac ∈ tal que .)( kcf =

Teoremas sobre funciones derivables

Estos son algunos de los teoremas más importantes sobre funciones derivables.

Teorema de Rolle: Si f es continua en [ ]ba, y derivable en (a,b) y además f(a)=f(b), entonces existe al menos un punto ),( bax ∈ tal que .0)(' =xf Teorema de Cauchy o teorema del valor medio generalizado: Si f y g son dos funciones continuas en [ ]ba, y derivables en (a,b), entonces existe al menos un ),( bax ∈ tal que [ ] [ ] ).(')()()(')()( xfagbgxgafbf −=− Teorema del valor medio o teorema de Lagrange: Si f es continua en [ ]ba, y derivable

en (a,b) entonces existe al menos un ),( bax ∈ tal que ).(')()( xfab

afbf=

−−


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FICHA 8: ALGUNAS GRAFICAS

A continuación incluimos algunas gráficas interesantes de funciones.

Gráfica de la función t

senv 385.0 π= , con 0≥t .


C. Arenas

Gráfica de la función , ( )tt eetF 65.118.05.0)( −−= , con 0≥t .


C. Arenas

Gráfica de la función , ( ) 122.033.3113)( −−+= tetN , con 0≥t .

Gráficas de las siguientes funciones en el intervalo (0, 1): a) 2494)( 23 −−+= xxxxf


C. Arenas

b) exf x −= π)(

c) xxxf cos)( −=


C. Arenas

Gráfica de la función 22)()( +−= xxsenxf .

Gráficas de las siguientes funciones:

a) xxxf

−+

=12)(


C. Arenas

b) 1

2)( 2 −=

xxxf


C. Arenas

c) 4

126)(2

−+−

=x

xxxf

d) 2

2)(2 +

−=

xxxf


C. Arenas

FICHA 9: INTEGRACION

Primitiva de una función

Definición: Dada f de dominio (a, b), decimos que P es primitiva de f en (a, b), si y sólo si P'(x) = f(x) en ese intervalo. Por lo tanto, el encontrar la función P es un proceso inverso o contrario a la derivación, y se lo conoce como integración o antiderivación.

Resumiendo:

P es primitiva de f en (a, b) si y solo si P'(x) = f(x) para todo x de (a, b).

Ejemplo: f(x)=x2, una primitiva será P(x)=x3/3. Obsérvese que existen infinitas funciones primitivas, pues P(x)=x3/3 +C siendo C una constante cualquiera tambien es una primitiva de f.

Si bien históricamente la integración empezó como dos métodos aparentemente sin relación uno con el otro, a saber:

• El cálculo de un área debajo de una curva. • La operación inversa de la derivación

fue gracias a Isaac Barrow, Isaac Newton y Gottfried Leibniz, quienes dieron forma al teorema fundamental del cálculo, que se descubrió que ambas operaciones son equivalentes. Siendo así, llamase integración definida al cálculo de un área, e integración indefinida a la operación inversa de la derivación.

Integral indefinida

Si dada una función y = F(x) su derivada es y' = f(x), entonces por definición la integral de y' = f(x) es y = F(x), definiendo la integración como la inversa de la derivación. Veamos, para una función:

)(xFy =

Cuya derivada primera es:


C. Arenas

)(xfdxdy

=

tenemos que:

dxxfdy )(=

esto es:

∫= dxxfy )(

Concluimos:

∫= dxxfxF )()(

Siendo esta una definición no muy formal de la Integración indefinida. En realidad, la integral indefinida de una función f es el conjunto de todas sus primitivas, es decir

∫ += CxFdxxf )()( , siendo F(x) una función tal que F’(x)=f(x) y C una constante, que denominaremos constante de integración.


C. Arenas

TABLA DE PRIMITIVAS INMEDIATAS

Cxdx +=∫ Cxsendxx +=∫ )()cos(

Cnxdxx

nn +

+=

+

∫ 1

1

,

con n entero o fraccionario

Cxdxxxsendxx +−== ∫∫ )cos(ln)cos()()tan(

Cedxe xx +=∫ Cxdxxdxx

dxx +=+== ∫∫∫ )tan())(tan1()(cos

1)(sec 22

2

Ca

adxax

x +=∫ ln

Cxarcsendxx

+=−

∫ )(1

12

Cxdxx

+=∫ ln1 Cxdxx

+=−

−∫ )arccos(

11

2

Cxdxxsen +−=∫ )cos()( Cxdxx

+=+

∫ )arctan(1

12

OPERACIONES BASICAS

∫∫ = dxxfadxxaf )()( , con a una constante

∫∫∫ +=+ dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

∫∫∫ −=− dxxgdxxfdxxgxf )()()()(


C. Arenas

FICHA 10: METODOS DE INTEGRACION

1) Cambio de Variable 2) Integración por partes

3) Integrales de funciones racionales 4) Integrales de funciones trigonométricas

5) Sustitución Trigonométrica

Cambio de Variable Se basa en la regla de la cadena de derivación de funciones compuestas. Fórmula: Si dxxgduxgu )(' )( == entonces ∫ += CuFduuf )()( siendo F una primitiva de f.

Ejemplo: ( ) dxxx

∫− 45ln3 . Tómese dx

xdxxgduxxgu 1)(' )ln()( ====

entonces ( ) ( ) duudxxx

∫∫ −=− 4

4

535ln3 . A su vez esta integral se resuelve usando otro

cambio de variable duduugdtuugt 3)(' 53)( ==−== o bien

dudtut =−= 3/ 53 . Por lo tanto


C. Arenas

( ) ( ) ( ) CxCtdttduudxxx

+−

=+==−=−

∫∫∫ 55)ln(3

31

531

31535ln3 55

444

.

Integración por partes Se basa en la derivación de un producto de funciones. Fórmula: Si )(y )( xgvxfu == entonces como

dvvdxduudxvuuvuv ==+= ,y '')'( se tiene ∫∫ += vduudvuv

∫ ∫∫ ∫ −=−= ;)(')()()()(')( ; dxxfxgxgxfdxxgxfvduuvudv .

Ejemplo: ∫ dxxx )cos( . Tomando )( )cos(

xsenvdxxdv

dxduxu==

== tendremos

∫∫ ++=−= Cxxxsendxxsenxxsendxxx )cos()()()()cos( . Integrales de funciones racionales Son de la forma ∫ dx

xQxP)()( con P(x) y Q(x) polinomios en x.

CASO 1. El polinomio del numerador tiene grado menor que el denominador

1.1 Integrales de la forma ∫ ++dx

cbxaxA

2 con A una constante, 0≠a , y el

polinomio del denominador sin raíces reales. * lkxacbxax ++=++ 22 )(

* ∫ ∫ ++=

++dx

lkxaAdx

cbxaxA

22 )(1 hacer el cambio du

adxukxa 1;)( ==+

* ( )∫ ∫∫ =±

=+

=++

dulua

Adualu

Adxcbxax

A2222

111 dependiendo del signo

que tuviera l quedara: si era positivo

Cl

kxala

ACl

ula

A+

+=+=

)(arctanarctan1 .


C. Arenas

Si era negativo

Ckxalkxal

laAC

ulul

laA

++−++

=+−+

=)()(ln

2ln

21

Ejemplo: ∫ +−dx

xx 7521

2

Solución. Completemos el trinomio cuadrado perfecto.

lkxxx ++=+− 22 )(2752 operando se obtiene 8/31;4/5 =−= lk

∫ ∫ +−=

+−dx

xdx

xx 8/31)4/5(21

7521

22 hacer el cambio

dudxux2

1;)4/5(2 ==−

( )∫ ∫∫ =+

=+

=+−

duu

duu

dxxx 2222

8/31

12

12

18/31

1752

1

=+−

=+= CxCu8/31

)4/5(2arctan8/312

18/31

arctan8/31

12

1

Cx+

−=

31)4/5(4arctan

312

1.2 Integrales de la forma ∫ +++ dx

cbxaxnmx

2 con 0,0 ≠≠ am , y el polinomio del

denominador sin raíces reales.

Hacer salir la derivada 2ax + b del denominador.

=++

−++=

+++

∫∫ dxcbxax

anbnbax

am

dxcbxax

nmx22

)2

()2(2

∫ ++−+++= dx

cbxaxanbncbxax

am

22 1)

2()ln(

2 siendo la nueva integral del tipo 1.1.

Ejemplo: ∫ −−− dxxx

x1

12


C. Arenas

Solución. ∫∫∫ −−−−−=

−−

−−=

−−− dx

xxxxdx

xx

xdx

xxx

11

21)1ln(

21

121)12(

21

11

22

22

siendo la nueva integral del tipo 1.1.

1.3 Integrales de la forma ∫ dxxQxP)()(

*Q(x) tiene todas sus raíces reales y distintas Cuando la factorización del polinomio Q(x) es en factores lineales y distintos, es decir:

)a)... (x - ) (x - a) (x - aa (x Q(x) n321−= , hacemos la siguiente descomposición:

)()()()()()(

3

3

2

2

1

1

n

n

axA

axA

axA

axA

xQxP

−++

−+

−+

−= L

donde ,... A, A, AA n321 son constantes reales. Nótese que una vez efectuada la descomposición, la integración es inmediata pues:

CaxAdxax

Aii

i

i +−=−∫ ln

)(

Ejemplo: ∫ −dx

x 161

2

)4)(4(162 +−=−= xx xQ(x)

)4()4()()( 21

++

−=

xA

xA

xQxP de donde AA 8/1,8/1 21 =−=

CxxCxxdx

xdx

xdx

x+

−+

=+++−−=+

+−

−=− ∫∫∫ 4

4ln8/14ln8/14ln8/14

8/14

8/116

12

* Q(x) tiene todas sus raíces reales pero puede haber repetidas Cuando la factorización del polinomio Q(x) es en factores lineales no necesariamente distintos, es decir: nr

nrrr )... (x - a) (x - a) (x - a)a (xQ(x) 321

321−= por cada factor lineal aparecerán tantas fracciones parciales como multiplicidad tenga este factor, por ejemplo para el factor )a (x kr

k− habrá rk fracciones parciales:

.kr

k

k

r

kkk ax

Aax

Aax

Aax

A)()()()( 3

32

21

−++

−+

−+

−L

donde ,... A, A, AA kr321 son constantes reales.


C. Arenas

De nuevo como en el caso anterior la integración de las fracciones parciales es sencilla

y se reduce a calcular integrales de la forma: ∫ −dx

axA

iri

i

)( las cuales, para n > 1, se

resuelven por un sencillo cambio de variable.

Ejemplo: ∫ +−+ dx

xxxx

4483

23

223 )2(44)( −=+−= xxxxxxQ

2321

23 )2()2(4483

−+

−+=

+−+

xA

xA

xA

xxxx de donde 7,2,2 321 =−== A AA

Cx

xxdxx

dxx

dxx

dxxxx

x+

−−−−=

−+

−−

+=+−

+∫ ∫∫∫ 2

172ln2ln2)2(

7)2(

2244

83223

* Q(x) tiene raíces complejas distintas Cuando en la factorización del polinomio Q(x) aparecen factores cuadráticos de la forma cbxax ++2 sin raices reales, a cada uno de estos factores le corresponderá una

fracción parcial de la forma cbxax

BAx++

+2 donde A y B son constantes reales.

Y la integral correspondiente se resolverá como se ha indicado anteriormente.

Ejemplo: ∫ +++ dx

xxxx

5213

23

)52(52)( 223 ++=++= xxxxxxxQ

525213

223 +++

+=++

+xxCBx

xA

xxxx de donde

513,

51,

51

=−

== CBA

Cxxxx

dxxx

xdxx

dxxxx

x

+

+

+++−

==++

+−+=

+++

∫ ∫∫

21arctan

21

51452ln

101ln

51

525/135/15/1

5213

2

223 L

* Q(x) tiene raíces complejas repetidas


C. Arenas

Cuando en la factorización del polinomio Q(x) aparecen factores cuadráticos repetidos de la forma ncbxax )( 2 ++ sin raices reales, a cada uno de estos factores le corresponderán n fracciones parciales de la forma

nnn

cbxaxBxA

cbxaxBxA

cbxaxBxA

)()()( 22222

211

+++

++++

++

+++

L

donde Ak y Bk son constantes reales para k = 1,2 ... n.

Ejemplo: ∫ ++dx

xxx

12 24

2

2224 )1(12)( +=++= xxxxQ

22224

2

)1(112 ++

+++

=++ x

DCxx

BAxxx

x de donde 1,0,1,0 −==== DCBA

∫ ∫∫∫ +−=

+−

+=

++dx

xxdx

xdx

xdx

xxx

2222224

2

)1(1)arctan(

)1(1

11

12 Esta última

integral se resuelve utilizando cambios trigonométricos que se explicarán más adelante.

CASO 2. El polinomio del numerador tiene grado mayor o igual que el denominador

Hacer la división de los polinomios y quedara una integral inmediata y una integral de los tipos estudiados anteriormente.

Ejemplo: ∫ ++−+−+ dx

xxxxxx

11533

2

234

Haciendo la división

)79()83)(1(1533 22234 ++−++=−+−+ xxxxxxxx de donde


C. Arenas

dxxx

xdxxdxxx

xxxxdxxx

xxxx∫ ∫∫∫ ++

++−=

++++−++

=++

−+−+1

79)83(1

)79()83)(1(1

15332

22

22

2

234

Integrales de funciones trigonométricas

CASO 1. Productos de seno y coseno dxnxmxsen∫ )cos()(

Utilizar:

2)cos()cos(coscos

2)cos()cos(

2)()(cos

yxyxyx

yxyxsenxseny

yxsenyxsenysenx

++−=

+−−=

++−=

CASO 2. Potencias de seno y coseno dxxxsen mn∫ cos

• m impar positivo

cambio: u=senx y recordar 1cos22 =+ xxsen

• n impar positivo

cambio: u=cosx y recordar 1cos22 =+ xxsen

• m y n par positivo

utilizar 2

)2(cos;2

)2cos(1cos;2

)2cos(1 22 xsenxsenxxxxxsen =+

=−

=

CASO 3. Potencias de secantes y tangentes dxxx nm∫ sectan

• n par positivo: cambio xu tan= y recordar 1tansec 22 += xx • m impar positivo: cambio xu sec= y recordar 1sectan 22 −= xx • m par positivo y n impar positivo: reducir a potencias de la secante

exclusivamente y recordar 1sectan 22 −= xx .


C. Arenas

CASO 4. Casos especiales

dxxdxx mm ∫∫ −= − )1(sectantan 22

dxxxdxx nn ∫∫ += − )1(tansecsec 22

Sustitución Trigonométrica

Cambios adecuados si aparecen los radicales:

22 xa − cambio asentx =

22 ax − cambio tax cos=

22 ax + cambio tax tan=

FICHA 11: INTEGRAL DEFINIDA


C. Arenas

Dada una función: )(xfy = , la superficie S, comprendida entre la función y el eje x, y acotada por a y b, viene determinada por la integral definida:

∫=b

a

dxxfS )(

Si sabemos de antemano o calculamos que:

∫ += CxFdxxf )()(

tenemos:

)()( aFbFS −= .

A esta relación entre la integral indefinida y la superficie bajo la función se le denomina Teorema fundamental del cálculo integral. También se le llama la Regla de Barrow, en honor a Isaac Barrow.

)()()( aFbFdxxfSb

a

−== ∫

Propiedades:

Si 0≥f entonces ∫ ≥b

a

dxxf 0)(


C. Arenas

Si )()( xgxf ≤ para todo x de (a,b) entonces ∫∫ ≤b

a

b

a

dxxgdxxf )()(

Teorema del valor medio

Si Mxfm ≤≤ )( para todo x de (a,b) entonces )()()( abMdxxfabmb

a

−≤≤− ∫ y

)()( abdxxfb

a

−=∫ µ . Además el valor ∫−=

b

a

dxxfab

)(1µ representa el valor medio de

la función en el intervalo [ ]ba,

Teorema fundamental

Dada una función f integrable sobre el intervalo [a,b], definimos F sobre [a,b] por

[ ]badttfxFx

,con )()( ∈= ∫ αα

fijo. El teorema dice que si f es continua en [ ]bac ,∈ ,

entonces F es derivable en c y F'(c) = f(c).

A continuación y a forma de ejemplos, incluimos el cálculo de algunas áreas.

1) Area limitada por la parábola 22 xy −= y la recta xy −=


C. Arenas

( )dxxxArea ∫−

−−−=2

1

2 )()2(

2) Area limitada por la función 3)1()( −= xxf y la función 1)( −= xxg


C. Arenas

( ) ( )∫∫ −−−+−−−=2

1

31

0

3 )1()1()1()1( dxxxdxxxArea


C. Arenas

3) Area de la Elipse 12

2

2

2

=+by

ax

∫∫ −=−

=aa

dxxaabdx

axbbaArea

0

22

02

2222 44 y utilizar el cambio tax sin= y recordar

que ))2cos(1(21cos2 tt += .

a

b

a-a

b

-b


C. Arenas

4) Área región dada por la intersección entre el interior de la elipse 1916 2

2

2

2

=+yx y el

semiplano 134

≥+yx .

∫∫∫−

−−=

−

−−×

=4

0

4

0

24

0

2

431216

43

4312

169916 dxxdxxdxxxArea

4

3

0


C. Arenas

FICHA 12: INTEGRAL IMPROPIA

Las integrales impropias más básicas son integrales del tipo:

(1) Sea f continua en [ )∞,a . Se define la integral impropia ∫∞

a

dxxf )( como

∫∫ ∞→

∞

=t

at

a

dxxfdxxf )(lim)(

Cuando este límite exista y sea un número real decimos que la integral converge.

Análogamente si f continua en ( ]a,∞− . Se define la integral impropia ∫∞−

a

dxxf )( como

∫∫ −∞→∞−

=a

tt

a

dxxfdxxf )(lim)(

Cuando este límite exista y sea un número real decimos que la integral converge.

Análogamente si f continua en ( ]∞∞− , . Se la integral impropia ∫∞

∞−

dxxf )( se calcula

escribiéndola como

∫∫∫∞

∞−

∞

∞−

+=a

a

dxxfdxxfdxxf )()()(

siendo a elegido de forma que las anteriores integrales sean integrales impropias del tipo descrito anteriormente y por tanto se resolverán mediante sendos límites. Cuando este límite exista y sea un número real decimos que la integral converge.


C. Arenas

(2) Sea f continua en [ )ba, verificando que no está definida en b, o no es continua en b,

o no está acotada en b. Se define la integral impropia ∫b

a

dxxf )( como

∫∫ −→=

b

abt

b

a

dxxfdxxf )(lim)(

cuando este límite exista y sea un número real decimos que la integral converge. Análogamente, si f continua en ( ]ba, verificando que no está definida en a, o no es

continua en a, o no está acotada en a. Se define la integral impropia ∫b

a

dxxf )( como

∫∫ +→=

b

aat

b

a

dxxfdxxf )(lim)(

cuando este límite exista y sea un número real decimos que la integral converge.

También es posible definir integrales impropias si f presenta "problemas" en los dos límites de integración, por ejemplo si f no está definida en a, o no es continua en a, o no

está acotada en ,, la integral impropia ∫∞−

a

dxxf )( se calcula como la suma de

∫∫∫ +=∞−∞−

a

c

ca

dxxfdxxfdxxf )()()(

siendo c un punto en el que las dos integrales impropias se reduzcan a una del tipo de las ya estudiadas y por tanto se calculen mediante sendos límites.


C. Arenas

FICHA 13: ECUACIONES DIFERENCIALES

Las ecuaciones diferenciales aparecen en modelos matemáticos que tratan de describir situaciones de la vida real. Así, muchas leyes naturales pueden ser traducidas al lenguaje matemático mediante ecuaciones que envuelven derivadas, como en física, donde la velocidad y la aceleración aparecen como derivadas; en biología, la derivada se utiliza como una razón de crecimiento de poblaciones; en química, como rapidez de reacciones, entre otros más.

En diversos modelos matemáticos, para obtener una ecuación diferencial que describa un problema real, se asume que la situación se rige por leyes simples. Una vez que se construye el modelo en forma de ecuación diferencial, lo que viene es solucionarla y con estas soluciones, se hacen predicciones relativas al comportamiento del problema en cuestión.

Una ecuación diferencial es una relación entre una función y una o varias de sus derivadas sucesivas. La incógnita en estas ecuaciones en la función que se esta derivando. Desgraciadamente no existe un método único para solucionarlas.

1. ECUACIONES CON VARIABLES SEPARABLES

Son las que pueden escribirse en la forma: f(x) dx = g(y) dy Es decir, con las variables separadas. Solución general: ∫ ∫= dxxfdyyg )()(

2. ECUACIONES HOMOGÉNEAS

Nota previa Una función f(x,y) se llama función homogénea de grado α respecto a las variables x e y, si para todo λ admisible, se verifica: f(λx, λy) = λα f (x, y).


C. Arenas

Por ejemplo, la f(x, y) = x2 + x y +y2 cumple: f(λx, λy) = λt2 f (x, y). Luego es homogénea de grado 2.

Análogamente, la función xy)y,x(f = cumple: f(λx, λy) = f (x, y). Por tanto es

homogénea de grado 0. Una ecuación diferencial se llama homogénea, si puede escribirse de la forma 0),(),( =+ dyyxNdxyxM siendo M y N funciones homogéneas del mismo grado. El cambio de función vxy = transforma la ecuación en una separable en las variables x, v.”

3. ECUACIONES LINEALES

Una ecuación diferencial se dice lineal si puede escribirse en la forma

)()( XQyxPdxdy

=+

donde P(x) y Q(x) son funciones reales y continuas en un intervalo [ ]ba, y n es una constante real diferente de 0 y 1.

Para resolver la ecuación diferencial lineal utilizaremos el método de variación de las constantes de Leibniz. Sea la siguiente ecuación diferencial ordinaria:

)()( XQyxPdxdy

=+

Primero se trata de obtener una solución de la ecuación homogénea, esto es, con término independiente nulo:

0)( =+ yxPdxdy

Esta ecuación es de variables separables dxxPy

dyyxPdxdy )(;)( ==

Y por tanto, integrando se llega a la solución ∫=− dxxP

Cey)(

, solución de la ecuación diferencial lineal homogénea.


C. Arenas

Para encontrar la solución de la ecuación diferencial lineal, utilizaremos el Método de variación de constantes.

Supongamos que C es función de x, tenemos ∫=− dxxP

exCy)(

)( , entonces

∫−∫=−− dxxPdxxP

exPxCexCdxdy )()(' )()()(

Vayamos ahora a la ecuación original no homogénea y sustituyamos

)()()()()()()()()(' xQexCxPexPxCexCdxxPdxxPdxxP

=∫+∫−∫ −−−

simplificando

)()()(' xQexCdxxP

=∫− es decir ∫=

dxxPexQxC

)(' )()(

Por tanto

KdxexQxCdxxP

+∫= ∫)(

)()(

Finalmente, la solución general de la ecuación lineal es

∫

+∫=

−

∫dxxPdxxP

eKdxexQy)()(

)(

4. ECUACIONES DE BERNOULLI

Una ecuación diferencial se dice de Bernoulli si puede escribirse en la forma

nyXQyxPdxdy )()( =+

donde P(x) y Q(x) son funciones reales y continuas en un intervalo [ ]ba, y n es una constante real diferente de 0 y 1.

Observación: cuando n=0 la ecuación de Bernoulli se reduce a una ecuación lineal y cuando n=1 se trata de una ecuación variables separables, casos ya estudiados.

Para buscar la solución se hace el cambio nyu −= 1 , con lo que se reduce a una lineal.


C. Arenas

FICHA 14: LA FUNCION LOGISTICA

La función exponencial es un modelo válido para crecimientos o decrecimientos continuos en los que las condiciones son siempre igualmente favorables: aumento del capital ingresado en un banco, desintegración de sustancias radioactivas...Las poblaciones de seres vivos comienzan creciendo según una curva exponencial pero si no hay catástrofes, llegan a invadir su espacio vital y, debido a la limitación de alimentos, etc., su crecimiento se amortigua, no sobrepasando su población límite. Este tipo de aumento, amortiguado por un nivel de saturación se llama crecimiento logístico. La función logística describe mucho mejor que la exponencial lo que realmente ocurre con las poblaciones de seres vivos.

Ejemplo: el desarrollo embrionario

En el desarrollo de un embrión, el huevo fecundado comienza a dividirse y el número de células empieza a crecer: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, etc. Éste es un crecimiento exponencial. Pero el feto sólo puede crecer hasta un tamaño que el útero pueda soportar; así, otros factores comienzan a disminuir el incremento del número de células, y la tasa de crecimiento disminuye. Después de un tiempo, el niño nace y continúa creciendo. Finalmente, el número de células se estabiliza y la estatura del individuo se hace constante. Se ha alcanzado la madurez, en la que el crecimiento se detiene.

En general, la función logística asociada a una exponencial es:

FUNCIÓN EXPONENCIAL rteNy 0= donde 0N es la población inicial, t el tiempo y r la tasa de crecimiento

FUNCION LOGÍSTICA rte

NK

Ky−

−+

=11

0

donde K es la población límite.

UN CASO REAL:

En una isla dejamos escapar 100 conejos, especie desconocida hasta entonces en esos parajes. Supongamos que las condiciones para que se reproduzcan son óptimas, por lo que se incrementan en un 10% mensual (hasta aquí sería un modelo exponencial típico).


C. Arenas

Supongamos ahora que la isla tuviera un tamaño y unas condiciones tales que, a lo sumo pudieran vivir 1000 conejos. Este número sería nuestra población límite. En este caso la función que describe el crecimiento es la función logística asociada. Observa en

la siguiente grafica sus características. K = 1000 y 10

−NK =9.

En la siguiente tabla se observa el número de conejos que habría en la isla según cada modelo.

MES LOGÍSTICA EXPONENCIAL DIFERENCIA0 10 10 01 10,89108911 11 0,1089108912 11,85112635 12,1 0,2488736533 12,88355435 13,31 0,4264456494 13,99164763 14,641 0,6493523675 15,17844100 16,1051 0,9266590016 16,44665058 17,71561 1,2689594177 17,79858848 19,487171 1,6885825248 19,23607239 21,4358881 2,1998157139 20,76033237 23,57947691 2,819144541

10 22,37191717 25,9374246 3,56550743111 24,07060334 28,53116706 4,46056371812 25,85531075 31,38428377 5,52897301913 27,72402845 34,52271214 6,798683692


C. Arenas

14 29,67375526 37,97498336 8,30122809615 31,70045912 41,77248169 10,0720225716 33,79905934 45,94972986 12,1506705317 35,96343500 50,54470285 14,5812678518 38,18646215 55,59917313 17,4127109919 40,46008101 61,15909045 20,6990094420 42,77539323 67,27499949 24,4996062621 45,12278758 74,00249944 28,8797118722 47,49209081 81,40274939 33,9106585823 49,87273923 89,54302433 39,670285124 52,25396479 98,49732676 46,24336197

Fíjate cómo durante los primeros meses los números son casi idénticos: aún estaba lejos el nivel de saturación. Sin embargo, al aumentar el tiempo la diferencia es enorme y después los resultados obtenidos para cada modelo no tienen nada que ver.


C. Arenas

FICHA 15: LA ECUACION DE VERHULST

Historia

La ecuación Verhulst fue publicada por primera vez por Pierre François Verhulst en 1838 después de haber leído el "Ensayo sobre el principio de población" de Thomas Malthus. Verhulst derivó su ecuación logística para describir el crecimiento auto-limitado de una población biológica. En ocasiones, la ecuación es también llamada "ecuación Verhulst-Pearl" por su redescubrimiento en 1920. Alfred J. Lotka obtuvo de nuevo la ecuación en 1925, llamándola "ley del crecimiento poblacional".

Esta típica aplicación de la ecuación logística es un modelo común del crecimiento poblacional según el cual:

• la tasa de reproducción es proporcional a la población existente. • la tasa de reproducción es proporcional a la cantidad de recursos disponibles.

El segundo término modela, por tanto, la competición por los recursos disponibles, que tiende a limitar el crecimiento poblacional.

Si P representa el tamaño de la población y t representa el tiempo, este modelo queda formalizado por la ecuación diferencial:

−=

KPrP

dtdP 1 ,

donde la constante r define la tasa de crecimiento y K es la capacidad de persistencia. La solución general a esta ecuación es una función logística.

Con una población inicial P0:

( )1)(

0

0

−+= rt

rt

ePKeKPtP

donde KtPt

=∞→

)(lim


C. Arenas

FICHA 16: SUCESION MATEMATICA

Una sucesión matemática es una función definida sobre los enteros naturales. Es costumbre emplear las letras u, v, w... para designarlas, en vez de f, g, h... que sirven para las funciones. Del mismo modo, la variable se nota usualmente n (por natural) en vez de x, habitual para las variables reales.

Por convención, se escribe un en vez de u(n) la imagen de n por la sucesión

nun

u

→

ℜ→ℵ

:

Existen esencialmente dos maneras de definir una sucesión: explícitamente o implícitamente. También asociado a una sucesión está el concepto de convergencia.

Definición explícita

La definición es explícita cuando se da una fórmula que permite hallar un mediante un cálculo único donde no interviene otras variable que n. En otras palabras, un es una función de n: un = f(n).

Definición implícita

La definición es implícita cuando un no sólo depende de n sino también de otros términos de la sucesión, que se tendrán que calcular antes. Por ejemplo se puede fijar uo = 1 y decidir que para cualquier natural n > 0, un = n·un-1. Para hallar u3 digamos, hay que calcular u2 lo que necesita el conocimiento de u1 el cual se calcula con uo. Obtenemos: u1 = 1×u0 = 1, luego u2 = 2×u1 = 2 y por fin u3 = 3×u2 = 6. Esta sucesión define el factorial de un número.

Otro ejemplo muy conocido es la sucesión de Fibonacci definida por un+2 = un+1 + un.

Dada una sucesión, la fórmula que define un término con relación a los anteriores se llama relación de inducción.


C. Arenas

Una sucesión, nu , está acotada superiormente/inferiormente si el conjunto, S, de todos sus elementos está acotada superiormente/inferiormente

Si la sucesión nu es convergente llamaremos al número s el límite de la sucesión Escribimos, nn

us∞→

= lim .

Las sucesiones aritméticas

Una sucesión aritmética puede ser definida como función de n:

real con 0 rrnuun +=

También puede ser definida por inducción de la siguiente forma:

real con 1

0

rruuau

nn +==

+

Al número real r se le denomina razón de la sucesión. Si la razón es positiva, la sucesión crece, y tiende hacia + ∞. Si es negativa, decrece y tiende hacia - ∞. Si es nula, la sucesión es constante.

Ejemplo:

Existe una fórmula muy sencilla para sumar números en progresión aritmética (es decir términos sucesivos de una sucesión aritmética).

2 término)ultimo rmino(primer té x terminosde numero +

=S

Como caso particular muy frecuente: 2

)1(...321 nnn +=++++ .

A veces lo más difícil es encontrar el número de términos para poder aplicar la fórmula. Si el primer término a sumar vale a, el último vale b, y la razón es r, entonces el número

de términos en la suma es: 1+−

rab


C. Arenas

Por ejemplo, para la suma: S = 1492 + 1499 + 1506 +... 2003 de términos consecutivos

de una sucesión de razón 7, encontramos 7417

14922003=+

− términos, y la suma es

1293152

)14922003(74=

+ .

Dada una sucesión aritmética ,...,...,, 21 kaaa un término cualquiera en una sucesión aritmética, viene dado por: rknaa kn )( −+=

Las sucesiones geométricas

Una sucesión geométrica puede ser definida como función de n: real con rbru nn =

También puede ser definida por inducción de la siguiente forma:

real con 1

0

rruubu

nn ==

+

Al número real r se le denomina también razón de la sucesión. Ejemplo:

El comportamiento de la sucesión geométrica depende del signo del primer término y del valor de su razón distinguiéndose cuatro casos. Si la razón es positiva, entonces la sucesión es monótona, y tiene un aspecto muy regular.

Si la razón es negativa entonces la sucesión es oscilante. Se distinguen dos casos en función de si r es menor que -1 ó no. El signo del primer término no modifica el aspecto general de la sucesión (cambiar de signo equivale a una simetría alrededor del eje horizontal, y aquí no se nota mucho).

Si el término inicial es nulo, o si la razón vale -1, 0 ó 1, la sucesión no entra en la clasificación anterior, pero no importa pues en tal caso carece de interés.

Descartando estos casos particulares, se puede decir que la convergencia de la sucesión depende del valor absoluto de la razón:

si |r| > 1, no converge, y si |r| < 1, converge hacia cero.


C. Arenas

Notemos r la razón, y supongamos r ≠ 1. Entonces la suma de números en progresión geométrica es dada por la fórmula siguiente, bajo tres formas equivalentes:

razón-1razón lapor domultiplica términoúltimo - minoprimer tér

=S

Si -1 < q < 1, la suma de todos los términos de la sucesión es: r

uS

−=

10 .

Dada una sucesión geométrica ,...,...,, 21 kaaa un término cualquiera en una sucesión viene dado por: kn

kn raa −= . Para calcular el producto de los n primeros términos de

una sucesión: nnn aaP )( 1= .


C. Arenas

FICHA 17: LA SUCESION DE FIBONACCI

La sucesión de Fibonacci en la naturaleza

En la naturaleza, hay muchos elementos relacionados con la sucesión de Fibonacci, que viene definida por definida por un+2 = un+1 + un.

1) Según el propio Leonardo de Pisa Fibonacci, en su Libro de los ábacos, la secuencia puede ayudar a calcular casi perfectamente el número de pares de conejos n meses después de que una primera pareja comienza a reproducirse (suponiendo que los conejos se empiezan a reproducir cuando tienen dos meses de edad).

2) La relación entre la cantidad de abejas macho y abejas hembra en un panal. 3) La relación entre la distancia entre las espiras del interior espiralado de cualquier

caracol (no sólo del nautilus) 4) La relación entre los lados de un pentáculo (estrella de David). 5) La disposición de los pétalos de las flores (el papel del número áureo en la

botánica recibe el nombre de Ley de Ludwig). 6) La distancia entre las espirales de una piña. 7) Las relaciones entre muchas partes corporales de los humanos y los animales:

- La relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo.

- La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos.

- La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla.

-La relación entre las divisiones vertebrales.

- La relación entre las articulaciones de las manos y los pies.

La secuencia de Fibonacci en el arte

1) Relaciones arquitectónicas en las Pirámides de Egipto. 2) La relación entre las partes, el techo y las columnas del Partenón, en Atenas

(s. V a. C.. 3) En los violines, la ubicación de las efes (los “oídos”, u orificios en la tapa) se

relaciona con el número áureo.


C. Arenas

4) El número áureo aparece en las relaciones entre altura y ancho de los objetos y personas que aparecen en las obras de Miguel Ángel, Durero y Da Vinci, entre otros.

5) Las relaciones entre articulaciones en el hombre de Vitrubio y en otras obras de Leonardo da Vinci.

6) En las estructuras formales de las sonatas de Mozart, en la Quinta Sinfonía de Beethoven, en obras de Schubert y Debussý (estos compositores probablemente compusieron estas relaciones de manera inconsciente).

7) Autores como Bártok, Messiaen, Stockhausen compusieron obras cuyas unidades formales se relacionan (a propósito) con el número áureo.

8) En la pág. 61 de la novela de Dan Brown El código Da Vinci aparece una versión desordenada de los primeros ocho números de Fibonacci (13, 3, 2, 21, 1, 1, 8, 5), que funcionan como una pista dejada por el curador del museo del Louvre, Jacques Saunière. En las pp. 121 a 123 explica algunas de las apariciones de este número en la naturaleza.

En el episodio “Sabotaje” de la serie de televisión NUMB3RS (primera temporada, 2005), el genio de la matemática Charlie Eppes menciona que el número aureo se encuentra en la estructura de los cristales, en la espiral de las galaxias y en la concha del nautilus.


C. Arenas

FICHA 18: SERIES

Una serie es una suma infinita de términos de una sucesión na que se representa por

∑∞

= pnna o bien ℵ∈==

∞→=

∞→ ∑ pcon Slim lim nn

n

pkkn

aS . Se denomina término de la serie a los

valores na y suma parcial n-ésima de la serie a nS . Por tanto, una serie es el límite de la sucesión de las sumas parciales y S se denomina suma de la serie. Según el valor de este límite, las series se denominan convergentes o divergentes.

Algunos tipos de series Una serie geométrica es una serie en la cual cada término se obtiene multiplicando el

anterior por una constante. Ejemplo: .21...

161

81

41

211

0∑

∞

=

=+++++n

n

En general una serie geométrica ∑∞

=0n

nz converge si y solo si |z| < 1 y en tal caso

.1

10 z

zn

n

−=∑

∞

=

La serie armónica es la serie .1...51

41

31

211

1∑

∞

=

=+++++n n

La serie armónica es divergente. Una serie alternada es una serie donde los términos alternan el signo. Ejemplo:

.1)1(...51

41

31

211

1

1∑∞

=

+−=++−+−n

n

n

Criterios de convergencia Clasificar una serie es determinar si converge a un número real o si diverge ( ∞± u oscilante). Para esto existen distintos criterios que, aplicados a la serie en cuestión, mostrarán de que tipo es (convergente o divergente). Condición necesaria

Si una serie ∑∞

=1kka es convergente, entonces 0lim =

∞→ kka .


C. Arenas

El recíproco no es cierto. Por ello, si 0lim ≠∞→ kk

a entonces ∑∞

=1kka es divergente

Criterios de convergencia (todos los límites que aparecen en este apartado son cuando n tiene a ∞ )

Criterio de comparación

Sean (an )y (bn )dos series.

Si lim [ an / bn ] = finito, entonces ambas series tienen el mismo carácter

Criterio de la raíz: lim (an)1/n < 1 : converge > 1 : diverge = 1 : duda

Criterio del cociente: lim an+1 / an < 1 : converge > 1 : diverge = 1 : duda (se resuelve por Raabe)

Criterio de Raabe: lim { n [1 - (an+1 / an) ] }> 1 : converge < 1 : diverge = 1 : duda

Criterio para series alternadas

∑∞

=

+−1

1)1(n

nn a

Si nna )( sucesión monótona decreciente y

0lim =∞→n

na converge

Serie telescópica Es aquella cuyos términos admiten una descomposición en fracciones simples y entonces la suma parcial n-ésima puede calcularse utilizando únicamente el primer y último término de la serie.

Ejemplo: ∑∞

= −22 11

n n

Como 1

2/11

2/11

12 +

−−

=− nnn

tendremos


C. Arenas

12/12/1

22/1

12/1

62/1

52/1

22/1

12/1

62/1

42/1

52/1

32/1

42/1

22/1

32/1

12/1

52/1

42/1

22/1

12/1

52/1

32/1

42/1

22/1

32/1

12/1

42/1

22/1

32/1

12/1

32/1

12/1

5

4

3

2

+−−+=

−−+=−+−+−+−=

−−+=−+−+−=

−+−=

−=

nnS

S

S

S

S

n

M

por lo tanto

4/31

2/12/122/1

12/1limlim =

+−−+=

∞→∞→ nnS

nnn .

Por lo tanto la serie es convergente y su suma vale ¾.


C. Arenas

FICHA 19: ECUACIONES EN DIFERENCIAS

Ecuaciones en diferencias

Definición Ejemplos

Que es una ecuación en diferencias?

Ecuación asociada a una sucesión )( nX en la que intervienen dos o más términos de la sucesión

21

12

1

)3

)2)1

−

++

+

=+

+=−+=

nn

nnn

nn

XkXkXXX

kXX

Orden Es la diferencia entre el mayor subíndice de la ecuación y el menor

1) orden = n+1-n = 1 2) orden = n+2-n = 2 3) orden = n-(n-1) = 1

Tipo Según la máxima potencia de los términos de la sucesión

1) lineal 2) lineal 3) cuadrática

Tipos de ecuaciones

Forma general Solución

Lineal homogénea de primer orden

nn aXX =+1 0XaX nn =

Lineal de primer orden baXX nn +=+1

1 si

1 si 1

1

0

0

=+=

≠

−

−+=

anbXX

aa

abaXX

n

nn

n


C. Arenas

FICHA 20: POLINOMIO DE TAYLOR

Llamaremos Polinomio de Taylor de grado n desarrollado alrededor de a en un punto x al dado por:

∑=

−=−++−+−+≅n

k

kk

nn

axk

afaxn

afaxafaxafafxf0

)()(2 )(

!)()(

!)()(

!2)(''))((')()( L

En la siguiente tabla compararemos a la función exponencial xexf =)( (última columna) con los polinomios de Taylor desarrollado alrededor de a=0 correspondientes de grados 1 hasta 4. Obsérvese que la segunda columna corresponde a la recta tangente.

x 1+x

xe

1 2 2.5 2.666666 2.7083333 2.718281828

0.5 1.5 1.625 1.645833 1.6484375 1.6487212707

0.3 1.3 1.345 1.3495 1.3498375 1.34985880757

0.1 1.1 1.105 1.10516667 1.10517083 1.10517091807

0.01 1.01 1.01005 1.01005017 1.01005017 1.010050167

0.001 1.001 1.0010005 1.00100050000 1.00100050017 1.00100050016

Si analizamos con detenimiento la información proporcionada por esta tabla, veremos lo siguiente:

1. En cada columna, vemos que la aproximación del correspondiente polinomio de Taylor es mejor cuanto más cercano se encuentre x a 0.

2. En cada renglón, vemos que para cada valor fijo de x, no importa si está cerca o no de 0, la aproximación va mejorando conforme aumentamos el grado del polinomio de Taylor.

Una representación gráfica de esta situación se muestra a continuación para los polinomios de Taylor de grado 1,2 y 3.


C. Arenas

En los siguientes ejemplos observarás como una función se puede aproximar mediante ciertos polinomios, y verás como la aproximación es mejor conforme el polinomio contiene más y más términos.


C. Arenas

f (x) = sen(x) con aproximaciones alrededor de a = 0 (polinomios hasta de grado 7)

a = 0 f(x) = sen(x) Polinomio de Taylor

Polinomio de Taylor = x

Polinomio de Taylor = 6

3xx +

Polinomio de Taylor = 1206

53 xxx ++

Polinomio de Taylor =

50401206

753 xxxx +++


C. Arenas

f (x) = sen(x) con aproximaciones alrededor de a = 1 (polinomios hasta de grado 8)

a = 1 f(x) = sen(x) Polinomio


)1cos()1()1sin( −+ x


)1sin(2

)1()1cos()1()1sin(2−

−−+xx


)1cos(6

)1(

)1sin(2

)1()1cos()1()1sin(

3

2

−−

−−−+

x

xx


)1sin(24

)1()1cos(6

)1(

)1sin(2

)1()1cos()1()1sin(

43

2

−+

−−

−−−+

xx

xx


C. Arenas


)1cos(120

)1(

)1sin(24

)1()1cos(6

)1(

)1sin(2

)1()1cos()1()1sin(

5

43

2

−+

−+

−−

−−−+

x

xx

xx


)1sin(120

)1()1cos(120

)1(

)1sin(24

)1()1cos(6

)1(

)1sin(2

)1()1cos()1()1sin(

65

43

2

−−

−+

−+

−−

−−−+

xx

xx

xx


)1cos(5040

)1(

)1sin(120

)1()1cos(120

)1(

)1sin(24

)1()1cos(6

)1(

)1sin(2

)1()1cos()1()1sin(

7

65

43

2

−−

−−

−+

−+

−−

−−−+

x

xx

xx

xx


C. Arenas


)1sin(40320

)1()1cos(5040

)1(

)1sin(120

)1()1cos(120

)1(

)1sin(24

)1()1cos(6

)1(

)1sin(2

)1()1cos()1()1sin(

87

65

43

2

−+

−−

−−

−+

−+

−−

−−−+

xx

xx

xx

xx


C. Arenas

FICHA 21: SERIE DE TAYLOR

Mediante los polinomios de Taylor, como hemos observado obtenemos aproximaciones de funciones. La serie de Taylor nos dará el valor exacto de la función en un punto. Serie de Taylor La serie de Taylor se obtiene haciendo que el grado del polinomio de Taylor sea infinito, lo que transforma la aproximación en una igualdad, debido a que el error tiende a cero si ∞→n .

∑∞

=

−=0

)(

)(!

)()(k

kk

axk

afxf .

Serie de MacLaurin Es un caso particular de la serie de Taylor con a=0.

∑∞

=

=0

)(

!)0()(

k

kk

xk

fxf

Serie de Maclaurin para algunas funciones elementales


C. Arenas

L+++++=

−=

+−

=

=

−=+

=−

=−

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∞

=

+∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

283562

31517

152

3)tan(

)!2()1(cos

)!12()1(sin

!

)1(1

11

11

1

9753

2

0

12

0

0

0

22

0

22

0

xxxxxx

xk

x

xk

x

kxe

xx

xx

xx

k

k

k

k

k

kk

kx

k

kk

k

k

k

k

Debemos concretar pues cual es el error que se comete al aproximar una función por el polinomio de Taylor en vez de utilizar la serie de Taylor.

TEOREMA DE TAYLOR. Sea f continua en [a, b] y con derivadas hasta de orden n continuas también en este intervalo cerrado; supóngase que )(1 xf n+ existe en (a,b), entonces para x y ),(0 bax ∈ la aproximación de la función usando el polinomio de Taylor de grado n es:

nn

xxn

xfxxxfxxxfxfxf )(!

)()(

2)(''

))((')´()( 002

00

000 −++−+−+≅ L

cometiendo un error de aproximación

10

1

)()!1()( +

+

−+

= nn

n xxn

cfE donde c es un punto que se encuentra entre x y 0x .

Observación: El Teorema del valor medio es un caso particular del Teorema de Taylor.

Algunas aplicaciones

1) La serie de Taylor permite estimar con la precisión deseada el valor de cualquier función mediante un polinomio. Esto es muy útil para las Unidades de Aritmética-Lógica de calculadoras y computadores.


C. Arenas

Ejemplo: cuántos términos se necesitan para calcular sin(350) = sin( π18035 ) para tener

una exactitud de al menos 10 decimales?

2) No todas las funciones admiten una primitiva. Por ejemplo, 2

2x

e−

no tiene ninguna

primitiva. Sin embargo puede calcularse dxex

∫−

1

0

2

2

aproximando la integral por

polinomios utilizando el desarrollo de Maclaurin.

CALCULO DE APROXIMACIONES Y ESTIMACION DEL ERROR

A continuación veremos algunos ejemplos para aproximar una función utilizando la fórmula de Taylor con residuo.

Ejemplo. Encuentre un valor aproximado para sen(35º) utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y estime el error.

Solución. Al igual que cuando utilizamos la recta tangente para efectuar aproximaciones, queremos aproximar a la función sen(x) en el valor de 35º, para lo cual debemos conocer a f y sus derivadas en un punto 0x cercano a éste, el cual expresado

en radianes es 00 30

6==

πx , es decir habrá que calcular:

a) Función: )()( xsenxf =

b) Punto: 60π

=x

c) Derivadas:

8660254.0)6

(')cos()('

5.0)6

()()(

==

==

π

π

fxxf

fxsenxf

8660254.0)6

()cos()(

5.0)6

('')()(''

33 −=−=

−=−=

π

π

fxxf

fxsenxf

A partir de la derivada cuarta se repiten los términos. La aproximación del valor de la función en un punto x dada por el polinomio de Taylor de grado 3 es:


C. Arenas

3

3

2 )6

(!3

)6

()

6(

2

)6

('')

6)(

6(')

6()( π

ππ

ππππ

−+−+−+≅ xf

xf

xffxf

Que sustituyendo, nos da,

32 )6

(14433756.0)6

(25.0)6

(8660254.05.0)( πππ−−−−−+≅ xxxxsen

Esta expresión nos servirá para estimar valores de sen(x) para x cercanos a 60π

=x .

En particular para 1805

6350 ππ

+==x .

320 )6

5(14433756.0)6

5(25.0)6

5(8660254.05.0)35( πππ−−+≅sen

0.57357512)35( 0 ≅sen

En la expresión para el error al aproximar con un polinomio de grado 3

)(00000241.01805

!4)( 44

3 csencfE =

=

π .

El error siempre lo obtendremos en términos de un valor c entre x y 0x , sin embargo nótese que 1)( ≤csen , entonces podremos tener una cota para el error, es decir,

00000241.0)(00000241.0)(00000241.03 ≤== csencsenE ,

y en consecuencia la aproximación se obtuvo con un error que no excede de 0.00000241.

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