Figuras Geométricas

Poliedro:

Cuerpo geométrico limitado por polígonos llamados caras: el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro son los cinco poliedros regulares existentes. Sólido limitado por polígonos llamados caras. Las rectas en que se cortan las caras se llaman aristas y los puntos donde concurren varias caras se llaman vértices.

Clasificación:

Los poliedros pueden ser clasificados en muchos grupos según la familia de donde provienen o de las características que los diferencian; según sus características, se distinguen:

Convexos, como el cubo, o el tetraedro, cuando cualquier par de puntos del espacio que estén dentro del cuerpo los une un segmento de recta también interno. En el caso de que dicho segmento se salga del cuerpo se dice que son poliedros cóncavos, como es el caso del toroide facetado y los sólidos de Karim.

Poliedro de caras regulares, cuando todas las caras del poliedro son polígonos regulares.

Poliedro de caras uniformes, cuando todas las caras son iguales. Se dice poliedro de aristas uniformes cuando los pares de caras que se reúnen

en cada arista son iguales. Se dice poliedro de vértices uniformes cuando en todos los vértices del

poliedro convergen el mismo número de caras y en el mismo orden. Se dice poliedro regular o regular y uniforme, como el tetraedro o el icosaedro,

cuando es de caras regulares, de caras uniformes de vértices uniformes y de aristas uniformes.

Prisma:

Es un sólido determinado por dos polígonos paralelos y congruentes que se denominan bases y por tantos paralelogramos como lados tengan las bases, denominados caras.

Características:

En el caso en que las caras laterales sean rectangulares, se llama prisma rectangular. El prisma rectangular o cuboide, y el prisma octagonal se encuentran entre los tipos de prisma recto, con una base rectangular y octagonal, respectivamente.

El volumen de un prisma recto es el producto del área de una de las bases por la distancia entre ellas (altura).

Cilindro

Es una superficie de las denominadas cuádricas formada por el desplazamiento paralelo de una recta llamada generatriz a lo largo de una curva plana, que puede ser cerrada o abierta, denominada directriz del cilindro.

Clasificación:

Un cilindro puede ser:

cilindro rectangular: si el eje del cilindro es perpendicular a las bases. cilindro oblicuo: si el eje no es perpendicular a las bases. cilindro de revolución: si está limitado por una superficie que gira 360° grados.

Esfera:

Una superficie esférica es una superficie de revolución o el conjunto de los puntos del espacio cuyos puntos equidistan de otro interior llamado centro. Los puntos cuya distancia es menor que la longitud del radio forman el interior de la superficie esférica. La unión del interior y la superficie esférica se llama bola cerrada.

Clasificación:

1.- NO tiene vértices 2.-NO tiene aristas 3.-No tiene base 4.-No tiene una altura bien definida 5.-Un punto infinito 6.-ES redonda 7.-Tiene volumen

Triangulo:

Es un polígono determinado por tres segmentos que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados, es decir: no colineales). Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo.

Características:

Los triángulos se pueden clasificar por la relación entre las longitudes de sus lados o por la amplitud de sus ángulos. Por las longitudes de sus lados Por las longitudes de sus lados, todo triángulo se clasifica:

Como triángulo equilátero, cuando los tres lados del triángulo son del mismo

tamaño (los tres ángulos internos miden 60 grados ó   radianes.) Como triángulo isósceles (del griego ἴσος "igual" y σκέλη "piernas", es decir,

"con dos piernas iguales"), si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida. (Tales de Mileto, filósofo griego, demostró que un triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales, estableciendo así una relación entre longitudes y ángulos; a lados iguales, ángulos iguales).

Como triángulo escaleno  ("desigual"), si todos sus lados tienen longitudes diferentes (en un triángulo escaleno no hay dos ángulos que tengan la misma medida).

Cuadrilátero:

Es un polígono que tiene cuatro lados. Los cuadriláteros pueden tener distintas formas, pero todos ellos tienen cuatro vértices y dos diagonales, y la suma de sus ángulos internos siempre da como resultado 360°. Todos los cuadriláteros son cuadrángulos, ya que esta definición se aplica a los polígonos de cuatro ángulos.

Clasificación:

Los cuadriláteros se clasifican según el paralelismo de sus lados:

1. Paralelogramo: sus lados opuestos son paralelos.

Cuadrado Rombo Rectángulo Romboide

2. Trapecios: solo dos de sus lados son paralelos; los otros dos no.

Trapecio rectángulo Trapecio isósceles Trapecio escaleno

3. Trapezoide: los lados no son paralelos.

Trapezoide simétrico o deltoide Trapezoide asimétrico

Paralelogramo:

 Es un tipo especial de cuadrilátero (un polígono formado por cuatro lados) cuyos lados son paralelos dos a dos.

Características:

Los paralelogramos se clasifican en:

Paralelogramos rectángulos, son aquellos cuyos ángulos internos son todos ángulos rectos. En esta clasificación se incluyen:

El cuadrado, que tiene todos sus lados de igual longitud.

El rectángulo, que tiene sus lados opuestos de igual longitud.

Paralelogramos no rectángulos, son aquellos que tienen dos ángulos internos agudos y dos ángulos internos obtusos. En esta clasificación se incluyen:

El rombo, que tiene todos sus lados de igual longitud, y dos pares de

ángulos iguales.

El romboide, que tiene los lados opuestos de igual longitud y dos pares de

ángulos iguales.

Rectángulo:

Es un paralelogramo cuyos cuatro lados forman ángulos rectos entre sí. Los lados

opuestos tienen la misma longitud. El perímetro de un rectángulo es igual a la

suma de todos sus lados.

Características:

Sus lados paralelos son iguales. Sus dos diagonales son iguales, y se cortan en partes iguales (esta

característica también lo define). Se puede pavimentar el plano, repitiendo infinitos rectángulos.

Rombo:

Es un cuadrilátero paralelogramo cuyos cuatro lados son de igual longitud.

Características:

Los ángulos interiores opuestos son iguales. Sus diagonales son perpendiculares entre si y cada una divide a la otra en partes iguales (esta característica por sí sola también define al rombo).Un rombo con un ángulo interno de 45° suele llamarse losange. El rombo definido por los vértices A, B, C y D, cumple las siguientes propiedades:

Las diagonales son bisectrices de los ángulos internos.

Las diagonales son ejes de simetría.

El punto de intersección O de las diagonales es el centro del rombo.

Las diagonales del rombo son perpendiculares entre sí, y satisfacen la relación.

Las dos alturas: h, de un rombo tienen la misma longitud que el diámetro: d, de su circunferencia inscrita.

Cuadrado:

Un cuadrado es un paralelogramo que tiene sus lados iguales y además sus cuatro ángulos son iguales y rectos, tiene 4 ejes de simetría, 4 vértices y 4 aristas.

Características:

Es el polígono que tiene sus lados opuestos paralelos y, por tanto, es un paralelogramo. Dado que sus cuatro ángulos internos son rectos, es también un caso especial de rectángulo, es un rectángulo equilátero. De modo similar, al tener los cuatro lados iguales, es un caso especial de rombo, es un rombo

equiángulo. Cada ángulo interno de un cuadrado mide 90 grados ó   radianes, y la suma de todos ellos es 360° ó    radianes. Cada ángulo externo del

cuadrado mide 270° ó   radianes.

Entre los rectángulos que tienen el mismo perímetro, el cuadrado es el que tiene mayor área. Un cuadrado es un rombo que tiene por lo menos un ángulo recto.

Círculo:

El lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo, llamado centro, es menor o igual que una cantidad constante, llamada radio. En otras palabras, es la región del plano delimitada por una circunferencia y que posee un área definida.

Características:

Perímetro del Círculo

El perímetro de un círculo es una circunferencia y su ecuación es:

 (En función del radio).

 (En función del diámetro).

Donde   es el perímetro,   es la constante matemática pin (),   es el radio y   es el

diámetro del círculo.

Área del círculo

Existen numerosas fórmulas para calcular el área de un círculo. Un círculo de radio , tendrá un área:

 ; En función del radio (r).

O

; En función del diámetro (d), pues 

O

; En función de la longitud de la circunferencia máxima (C),

Pues la longitud de dicha circunferencia es: 

Área del círculo como superficie interior del polígono de infinitos lados.

El área de un círculo se deduce sabiendo que la superficie interior de cualquier polígono regular es igual al producto entre la apotema y el perímetro de este

polígono, es decir:  . Si se considera la circunferencia como el polígono regular de infinitos lados, entonces la apotema coincide con el radio de la circunferencia y el perímetro con la longitud de la circunferencia. Por tanto el área interior es:

Área del círculo como superficie triangular

Círculo desplegado para conformar un triángulo.

Si en un círculo desplegamos todos sus anillos circulares, y los consideramos como rectángulos, se forma un triángulo rectángulo de altura r y base 2πr (siendo la longitud de la base la de la circunferencia perimetral).

El área A de este triángulo de altura r, será:

Semicírculo

Un semicírculo de radio r.

Se llama semicírculo a la mitad de un círculo Es la figura geométrica plana (bidimensional) delimitada por un diámetro y la mitad de una circunferencia.

Su área es la mitad de la del círculo. El arco de un semicírculo siempre mide 180°, por ser la mitad de los 360° de un círculo.

El círculo en topología

En geometría y topología, un círculo se denomina disco o bola, según el contexto; será un conjunto cerrado o abierto dependiendo de si contiene o no a la circunferencia que lo limita.

En coordenadas cartesianas, el círculo abierto con centro   y radio R será:

.

El círculo cerrado con el mismo centro y radio es:

El círculo agujereado es el la corona circular.

Una esfera es un objeto tridimensional consistente en los puntos del espacio euclídeo   que están a una distancia menor o igual a una cantidad fija: el radio de la esfera.

Llamativamente, geómetras y topólogos adoptan convenios diferentes para el significado de "n-esfera". Para los geómetras, la superficie de la esfera es llamada 3-esfera, mientras que topólogos se refieren a ella como 2-esfera.