La geometría de los egipcios y de los babilonios fue, sobre todo, práctica. Sin embargo, la actitud de los griegos fue muy distinta: desligaron el estudio de las figuras geométricas y de sus propiedades de cualquier provecho práctico que pudiera obtenerse de ellas.

Tales de Mileto vivió entre los siglos vii y vi a.C. De joven pasó varios años en Egipto, donde aprendió la geometría egipcia, a la que supo dar un gran im-pulso, ampliando sus contenidos e imponiendo que cada fórmula y cada procedimiento fuera consecuen-cia de un razonamiento lógico. Además de matemá-tico, Tales fue astrónomo (entre otras cosas, predijo eclipses de Sol) y el primero de los grandes filósofos griegos. Ejerció gran influencia sobre los pensadores posteriores.

Casi tres siglos después, Euclides culminó el proce-so deductivo en la matemática griega. Sus obras de geometría tuvieron una enorme importancia hasta el siglo xix. Incluso hoy en día, a la geometría que se estudia más a menudo se la llama euclídea.

12 Figuras geométricas

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DEBERÁS RECORDAR

■ Qué son los polígonos y cómo se clasifican.■ Cómo se designan los elementos de un triángulo.■ Cuáles son los elementos relacionados con la cir-

cunferencia.

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Clasificación

Con seguridad, dos de los ángulos de un triángulo son agudos. Según como sea el otro ángulo, el triángulo es acu-tángulo, rectángulo u obtusángulo.

Un triángulo con los tres lados iguales se llama equilátero. Si tiene dos lados iguales, se llama isósceles. Y si los tres lados son distintos, se llama escaleno.

Relaciones entre los ángulos y los lados

Los triángulos equiláteros también tienen los ángulos iguales.

En un triángulo isósceles, los ángulos opuestos a los lados iguales son también iguales. Y, en general, si un lado es mayor que otro, entonces sus ángulos opues-tos siguen la misma relación (si a > b entonces A

ì > B

ì).

a b

c AB

Ca b

c AB

C

A = B

a = bì ì ì

A < B < Cì ì

a < b < c

Construcción de triángulos

Para construir un triángulo, es suficiente conocer solo algunos de sus elementos. Pueden darse distintos casos. Veamos aquí la construcción a partir de los tres lados. En www.anayadigital.com puedes encontrar los demás.

Triángulos1

1Construye con regla y compás un triángulo cuyos la-dos midan 7 cm, 5 cm y 8 cm, respectivamente.

2Di cómo es, según sus ángulos y según sus lados, cada triángulo de la derecha.

3Dibuja un triángulo escaleno obtusángulo y un trián-gulo isósceles acutángulo.

Actividades

datos construcción resultado

a

b

c

a a

Ab bc

cAì

Bì

Cì

ACUTÁNGULO RECTÁNGULO OBTUSÁNGULO

equilátero y equiángulo

a)

e) f )

d)b) c)

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4Dibuja el triángulo cuyos lados miden 8 cm, 10 cm y 12 cm. Observa que es acutángulo.

Traza sus tres alturas y señala su ortocentro.

5Dibuja el triángulo cuyos lados 6 cm, 8 cm y 12 cm. Observa que es obtusángulo.

Traza sus medianas y señala su baricentro.

6Dibuja el triángulo cuyos lados miden 6 cm, 8 cm y 10 cm. Observa que es rectángulo.

Localiza su ortocentro y su baricentro.

7Dibuja el triángulo equilátero cuyos lados miden 6 cm.

Localiza su ortocentro y su baricentro.

Actividades

Medianas de un triángulo. Baricentro

Se llama mediana de un triángulo a un segmento que va de un vértice al punto medio del lado opuesto.

Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado baricentro.

Alturas de un triángulo. Ortocentro

La altura de un triángulo es un segmento que va, perpendicularmente, desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación.

Equilibrio

Un triángulo de cartulina, chapa o madera se mantiene en equilibrio si lo sostenemos en el baricentro.bari-centro: centro de gravedad.

Ortocentro

C

C

B'

C' Baricentro

MedianaA'

C

A

B

A

B'

C

C

B'

C' Baricentro

MedianaA'

C

A

B

A

B'

Altura

Todo triángulo tiene tres alturas, que se cortan en un punto llamado ortocentro.

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Cuadriláteros son polígonos de cuatro lados.

Recuerda que sus cuatro ángulos suman 360°.

Tienen dos diagonales.

Clasificación de los cuadriláteros

Paralelogramos. Diagonales. Ejes de simetría

Se llama paralelogramos a los cuadriláteros cuyos lados opuestos son paralelos.

Las diagonales de un paralelogramo cualquiera se cortan en sus puntos medios.

En el cuadrado y el rombo, las diagonales son perpendiculares. En el cuadrado y el rectángulo, las diagonales son iguales.

El romboide no tiene ejes de simetría.

El rectángulo y el rombo tienen dos ejes de simetría.

El cuadrado tiene cuatro ejes de simetría.

Cuadriláteros2

AtenciónLos cuadrados son rectángulos, por-que tienen los cuatro ángulos rectos.Y también son rombos, porque tienen los cuatro lados iguales.

RECTÁNGULOS

PARALELOGRAMOS

(lados opuestosparalelos)

NOPARALELOGRAMOS

(ángulos rectos)CUADRADOS

ROMBOS

(lados iguales)

ROMBOIDES

TRAPECIOS

(solo dos ladosparalelos)

OTROS CUADRILÁTEROS(TRAPEZOIDES)

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Trapecios

Un trapecio es un cuadrilátero con dos lados pa-ralelos y otros dos no paralelos.

Los lados paralelos se llaman bases, y la distancia entre ellos, altura.

• Un trapecio con dos ángulos rectos se llama trapecio rectángulo.

• Un trapecio con los dos lados no paralelos iguales se llama isósceles. El trapecio isósceles tiene los ángulos iguales dos a dos. Pero, ¡atención!, los ángulos iguales son contiguos, no opuestos.

Los trapecios isósceles tienen un eje de simetría.

Trapezoides

Los cuadriláteros que no tienen ningún par de lados paralelos se llaman tra-pezoides.

Hay trapezoides con formas muy variadas. Algunos de ellos son interesantes.

▼ejemplos

• Este, con forma de cometa, tiene los lados iguales dos a dos, pero los lados iguales son contiguos, no opuestos (si fueran iguales los lados opuestos, sería paralelogramo).

Además, sus diagonales son perpendiculares, como las del rombo, pero no se cortan en sus puntos medios. Solo tiene un eje de simetría, su diagonal mayor.

• Este también tiene los lados iguales dos a dos. Sus diagona-les, aunque tienen direcciones perpendiculares, no se cortan, pues una de ellas está fuera del polígono.

Estos cuadriláteros, en los que una diagonal queda fuera, se llaman cóncavos.

1Observa los cuadriláteros de la derecha. a) ¿Cuáles son paralelogramos, cuáles trapecios y cuáles

trapezoides?b) Ponle un nombre adecuado a cada uno. Por ejem-

plo, cuadrado, trapezoide…c) Di cuántos ejes de simetría tiene cada figura.d) ¿Cuáles de estas figuras tienen las diagonales per-

pendiculares?

Actividades

Base

Altura

Base

e

TRAPECIORECTÁNGULO

TRAPECIOISÓSCELES

I

V

IX X XI XII

VI VII VIII

II III IV

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Un polígono regular es el que tiene todos sus lados iguales y todos sus ángulos iguales.

Todos los polígonos regulares tienen una circunferencia circunscrita.

lOar

O

ar

l

l O

ar

lO

ar

Se llaman centro, O, y radio, r, de un polígono regular al centro y al radio de la circunferencia circunscrita.

Apotema, a, es el segmento perpendicular desde el centro, O, al lado, l. La apotema siempre corta al lado en su punto medio.

En todos los polígonos regulares, r, a y l /2 son los lados de un triángulo rec-tángulo.

Ejes de simetría

Polígonos regulares3

1Calca en tu cuaderno las figuras siguientes:

Dibuja en rojo todos sus ejes de simetría.

2Calca las figuras del ejercicio anterior en hojas aparte y recórtalas. Señala, mediante pliegues, todos sus ejes de simetría.

Observa que en el cuadrado puedes realizarlo median-te tres pliegues, y en el octógono, mediante cuatro.

Actividades

Todos los polígonos regulares tienen tantos ejes de simetría como lados.

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La circunferencia es la línea que rodea al círculo.

El círculo es la figura plana más perfecta:

• Cualquiera de sus diámetros es eje de simetría. Por tanto, tiene infinitos ejes de simetría.

• Su área es la mayor posible entre todas las figuras que tienen su mismo períme-tro. Es decir, si con una cuerda queremos delimitar un terreno cuya superficie sea la mayor posible, deberemos construir una circunferencia.

Posiciones relativas de recta y circunferencia

O

rd

O

r

d

d > r

EXTERIORES TANGENTES SECANTES

d = r d < r

O

r

d

Posiciones relativas de dos circunferencias

TANGENTES INTERIORES INTERIORES CONCÉNTRICAS

EXTERIORES TANGENTES EXTERIORES SECANTES

d d d

d

Circunferencia4

Ten en cuentad es la distancia de O a la recta. r es el radio de la circunferencia.

1Traza una circunferencia de 5 cm de radio y tres rectas que pasen a 3 cm, 5 cm y 8 cm, respectivamente, del centro de la circunferencia.

2Dibuja en tu cuaderno: a) Dos circunferencias secantes.

b) Dos circunferencias interiores.Mide, en ambos casos, la distancia entre sus centros y compárala con sus radios.

3Si trazaras dos circunferencias de radios 7 cm y 4 cm con sus centros situados a 10 cm de distancia, ¿en qué posición relativa quedarían? Trázalas y comprueba tu respuesta.

4Traza dos circunferencias de radios 5 cm y 3 cm tan-gentes exteriores. ¿A qué distancia están sus centros?Traza dos circunferencias de 5 cm y 3 cm de radio, que sean tangentes interiores. ¿A qué distancia están sus centros?

Actividades

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Los cuerpos geométricos son, como sabes, figuras de tres dimensiones, es decir, figuras que ocupan una porción de espacio.

Todas estas figuras recuerdan diferentes objetos de nuestro entorno. Son cuerpos geométricos. Entre ellos, distinguiremos dos grandes tipos:

• Poliedros: Están limitados por caras planas poligonales. De los de arriba, son poliedros, entre otros, el 2 y el 3.

• Cuerpos de revolución: Son el resultado del giro de una figura plana en torno a un eje. Por ejemplo, el 1 y el 6 de arriba.

Cuerpos geométricos5

1Señala, entre los cuerpos de arriba, dos poliedros (aparte del 2 y el 3).

2Entre los cuerpos de arriba, señala dos cuerpos de re-volución (aparte del 1 y el 6).

Actividades

2

10

1 3

4 5

6 7

8

9

AtenciónLas figuras 4 y 10 no son poliedros, pues sus caras no son polígonos, ni cuerpos de revolución, pues no se pueden obtener al hacer girar una fi-gura plana.

Geometría y civilizaciónUn grupo de personas tuvieron un naufragio. Se salvaron y llegaron a una playa de una isla desconocida. Iban exhaustos y atemorizados.Observaron que en la arena había dibujadas unas figuras geométricas. Uno de los náufragos, discípulo de Platón, al verlas exclamó con alegría: “¡Ánimo! Aquí viven personas civili-zadas”.

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Los cuerpos geométricos limitados por polígonos se llaman poliedros.

• Caras del poliedro son los polígonos que lo forman.

• Aristas son los lados de las caras. En cada arista se juntan dos caras.

• Vértices del poliedro son los vértices de las caras. En cada vértice concurren tres o más caras.

prismas

Un prisma es un poliedro limitado por dos polígonos iguales y paralelos, lla-mados bases, y varios paralelogramos llamados caras laterales.

Si las bases son polígonos regulares y las caras laterales son rectángulos, el prisma se llama regular.

Los prismas cuyas caras son todas rectángulos se llaman ortoedros.

pirámides

Una pirámide es un poliedro que tiene por base un polígono cualquiera y por caras laterales triángulos con un vértice común, que se denomina vértice de la pirámide.

Una pirámide es regular cuando la base es un polígono regular y el vértice se proyecta sobre el centro de ese polígono.

poliedrosregulares

Un poliedro es regular si todas sus caras son polígonos regulares idénticos y en cada vértice concurren el mismo número de caras.

Poliedros6

No te confundasEste poliedro no es regular, porque en unos vértices concurren tres trián-gulos, y en otros, cuatro.

PRISMAPENTAGONAL

REGULAR

ORTOEDRO

PIRÁMIDECUADRANGULARREGULAR

TETRAEDRO CUBO OCTAEDRO DODECAEDRO ICOSAEDRO

1Describe los poliedros siguientes: nombre, cómo son sus caras y cuántas tienen, número de aristas, de vértices…

Actividades

A B C

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altura

BASE

BASE

altura generatriz

BASE

VÉRTICE

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Los cuerpos de revolución se originan haciendo girar una figura plana alrededor de un eje.

cilindros

Un cilindro es un cuerpo de revolución generado por un rectángulo que gira alrededor de uno de sus lados.

conos

Un cono es un cuerpo de revolución generado por un triángulo rectángulo que gira alrededor de uno de los catetos.

esferas

Una esfera es un cuerpo de revolución generado por una circunferencia que gira alrededor de cual-quiera de sus diámetros.

Cuerpos de revolución7

1Utilizando las pala-bras cilindro, cono y esfera, describe los siguientes cuer-pos geométricos:

Actividades

A B C D E

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■Polígonos y circunferencia

1 Di cuáles de estos triángulos son:a) Acutángulos.b) Rectángulos.c) Obtusángulos isósceles.

AB

E

D

F

G

C

H

2 Di cómo son, según sus lados y según sus án-gulos, los triángulos siguientes:

A B DC

3 Ponle nombre a cada uno de los cuadriláteros que aparecen a continuación:

A

E

F

GH

I

B

D

C

4 Clasifica los polígonos siguientes en regulares y no regulares:

EF

G

A B

D

C

5 Dibuja un triángulo de lados 4 cm, 5 cm y 6 cm, y traza sus alturas. ¿Cómo se llama el punto donde se cortan? Traza también sus medianas.

6 Si dibujas dos segmentos que sean perpendi-culares en sus puntos medios y unes sus extremos, obtienes un cuadrilátero. ¿De qué tipo es?

Hazlo en tu cuaderno: a) Para dos segmentos de distinta longitud. b) Para dos segmentos de igual longitud.

7 Dibuja dos segmentos que se corten en sus puntos medios y no sean perpendiculares. Une sus extremos y di qué tipo de cuadrilátero se obtiene:

a) Si los dos segmentos son de igual longitud. b) Si los dos segmentos son de distinta longitud.

8 Dibuja una circunferencia de 5 cm de radio y un triángulo cuyos lados sean: uno secante a la cir-cunferencia, otro tangente y otro exterior.

9 Uniendo listones de madera, mediante torni-llos y palomillas, podemos construir distintos polí-gonos. Observa que el triángulo (Fig. A) es rígido, es decir, indeformable:

Sin embargo, el rombo (Fig. B) se puede deformar. Pero si le añadimos un listón (Fig. C), coincidiendo con una diagonal, se hace rígido. Es decir, lo hemos fijado:

a) ¿Cuántos listones necesitas para hacer indeforma-ble cada una de estas figuras?

b) ¿Cuántos listones necesitas para hacer indeforma-ble un polígono de n lados?

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Ejercicios y problemasConsolida lo aprendido utilizando tus competencias

Fig. A

A B C D

Fig. CFigura B

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■Cuerpos geométricos

10 Observa estos cuerpos:1 2

34

5

67 8

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a) ¿Cuáles son poliedros? De ellos, nombra los prismas y la pirámide. b) ¿Hay alguno que no sea prisma ni pirámide?

c) ¿Cuáles son cuerpos de revolución?

Nómbralos.

d) ¿Hay alguno que no sea poliedro ni cuerpo de revolución?

11 ¿Cuáles de las figuras siguientes son cuerpos de revolución? ¿De cuáles conoces el nombre?

12 Al girar cada una de las figuras siguientes en torno al eje que se indica se genera una figura de las del ejercicio anterior. Identifícala.

A B C D E

Ejercicios y problemasConsolida lo aprendido utilizando tus competencias

Autoevaluación 1Identifica y nombra los cuadriláteros que:

a) Tienen todos los ángulos iguales.b) Tienen los lados opuestos paralelos.c) No tienen los lados opuestos paralelos.d) Tienen los cuatro lados iguales.e) Tienen solo dos lados paralelos.

2Di qué polígonos son regulares y escribe sus nombres:

3a) Dibuja dos circunferencias tangentes interiores.b) Dibuja una recta tangente a las dos circunferencias.c) Dibuja otra recta tangente a una circunferencia y se-

cante a la otra.

4De los siguientes cuerpos geométricos, determina cuáles son poliedros; cuáles, cuerpos de revolución, y cuáles, ninguno de los dos.

Pon nombre a los que conozcas.

A

C

D

E GH

B F

F

A

B

C E G

D H

I J

KL

H

AD

G

E

I

M

F

ON

C

K

J

B