Determinacin del Receptor Optimo

Cuando se vio codificacin, se model la seal digital como la convolucin de una secuencia de impulsos de pesos aleatorios con un pulso bsico p(t). Este pulso es una seal de energa. Por ejemplo para NRZ polar:

Si uno analiza la respuesta para un pulso aislado se puede en un futuro tomar en consideracin la ocurrencia aleatoria de los mismos cuando se modele el sistema como la cascada de Transmisor-Canal-Receptor. Hasta ahora el receptor se ha modelado como un filtro pasabajo ideal. Ahora buscaremos el receptor ptimo bajo la siguiente premisa:

Para conseguir HRptimo se debe maximizar la relacin [y(t0)/s] donde el tiempo t0 es un punto de muestreo y s es el voltaje r.m.s del ruido nout.

Maximizar [y(t0)/s] o su cuadrado es lo mismo y veremos como hacer esto ultimo simplifica los clculos .

La desigualdad de Schwartz establece que:

La igualdad ocurre cuando V(f)=kW(f) (son proporcionales)

En ese caso

En nuestro caso, podemos definir:

El mximo de la relacin ocurre cuando

Se observa que la respuesta en frecuencia del filtro ptimo es: a) Proporcional a P*(f) b) Inversamente proporcional a Gn(f) y presenta una exponencial compleja que representa un retardo temporal igual al del pulso menos el tiempo to. Con este filtro se logra un mximo que es igual a

Desarrollaremos un ejemplo completo. Suponga una transmisin digital con pulsos p(t) que en el canal se contamina con ruido blanco. Determine hRptimo y la relacin [y(t0)/s] mxima.

Pero hR(t)= hR*(t)=2k/h p(t0-t) Aplicando directamente la formula:

FILTRO ADAPTADO

Cuando el ruido es blanco el filtro ptimo se le llama filtro adaptado ya que su respuesta impulsiva toma la forma de p(t). En este caso:

Ahora veamos un caso que ser la base para los sistemas de modulacin digital binaria: suponer asociada al "1" una forma p1(t) y al "0" una forma p0(t). Cuando se transmita el "1" el pulso a la salida lo llamaremos p1o(t); cuando se transmita el "0" el pulso a la salida lo llamaremos p0o(t) Se supondr que a la entrada del sistema est presente p1(t) o p0(t) ms el ruido n(t) y que a la salida tenemos p1o(t) o p0o(t) ms el ruido filtrado que llamaremos nout(t).

CASO A Suponga que a la salida de un sistema binario se pueden tener slo dos niveles 0.5A y 0.5A ms el ruido. La probabilidad de error se calcula como:

Si los valores 0.5A y 0.5A son equiprobables el umbral es cero, que en realidad se calculara como: U=0.5[0.5A + (-0.5A)]=0 Resultando que Pe=P(n>0.5A)

CASO B Suponga que a la salida de un sistema binario excitado con +p(t) o p(t) se tiene a la salida y(t0) 0 -y(t0). La probabilidad de error se calcula como:

Si los valores y(t0) y y(t0) son equiprobables el umbral es cero, que en realidad se calculara como:U=0.5[y(t0) + (-y(t0))]=0 Resultando que Pe=P(n> y(t0))

CASO CSuponga que a la salida de un sistema binario excitado con p1(t) o p0(t) se tiene a la salida p1o(t) o p0o(t). La probabilidad de error se calcula como:

Cuando entra p(t) sale y(t0). Cuando sale 0.5(p1o(t) - p0o(t)), es porque entra 0.5(p1(t) - p0(t)).Por lo tanto usaremos las mismas formulas pero donde aparezca p(t) colocaremos 0.5(p1(t) - p0(t)) y donde aparezca P(f) colocaremos 0.5(P1(f) - P0(f))

Asi:

Para el caso de ruido blanco (Filtro adaptado) el filtro ptimo resultara:hR(t)optimo=k/h [p1(t0-t) p0(t0-t)] Como p1(t) y p0(t) slo existen en un intervalo (0, tb) hR(t)optimo tambin, pero la convolucin de los pulsos con hR(t)optimo tiene el doble de duracin y es mxima en t0.

En el caso de ruido blanco

Definamos:

Si E1=E0=E

Si en cambio p1(t) y p0(t) son ortogonales, el factor l=0, en cuyo caso: Si se trata de seales antpodas (l=-1)

Se observa que en este ultimo caso se obtiene la menor probabilidad de error, de hecho si empleamos pulsos ortogonales necesitaremos enviar el doble de la potencia para lograr la misma probabilidad de error que usando seales antpodas.