filtro chevishev

Departamento de

Teoría de la Señal

y Comunicaciones

Universidad de Vigo

Síntesis de circuitos eléctricos y electrónicos

Sesión 8

Síntesis de filtros pasivos (1)

Síntesis de filtr os pasivos (1) 2

Departamento de


y Comunicaciones

Universidad de VigoPotencia reflejada

Ze

Rc

Vg

Rg+

Vc

–

I1 I2

FiltroLC

pasobajo

Fuente

!

Pm(") =Vg(j")

2

8RgPotencia máxima a la entrada del filtro:

!

Pc(") =Vc(j")

2

2RcPotencia absorbida en la carga:

Potencia reflejada: Pr(!) " Pm(!) – Pc(!)

Z e =

R g

Cuadripolo reactivo puro # no absorbe potencia

La potencia que llega a la carga es la que la fuente pone a la entrada del filtro


Departamento de


y Comunicaciones

Universidad de VigoCoeficientes de reflexión y transmisión

$%(j!)$

2 ! 1

Coeficiente de transmisión, %(s):

!

"(j#)2

=Pc(#)

Pm(#)

Coeficiente de reflexión, &(s):

!

"(j#)2

=1$ %(j#)2

=Pr (#)

Pm(#)!

"(j#)2

=

Vc(j#)2

2Rc

Vg (j#)2

8Rg

=4Rg

Rc

Vc(j#)2

Vg(j#)2

=4Rg

RcT(j#)

2

!

"(s) = ±Ze(s)# Rg

Ze(s)+ Rg

!

" Ze(s) = Rg1± #(s)

1m #(s)

$&(j!

)$2 !

1


Departamento de


y Comunicaciones

Universidad de Vigo

! Procedimiento general:

" Se elige forma para — y por ende para

" Se calcula

" Se extiende a todo el plano complejo y se halla &(s)

" Se calcula la impedancia Ze(s)(la que presentan en conjunto el filtro y la carga)

" Se desarrolla esta impedancia

# Formas de Foster

# Formas de Cauer

!

T(j")2

!

"(j#)2

Síntesis global

!

"(j#)2


Departamento de


y Comunicaciones

Universidad de VigoRelación de inserción (1)

!

H(s) =T(s)Vg

Rc

Rg + RcVg

=Rg + Rc

RcT(s)

!

H(j")2

=Rg + Rc

Rc

#

$ %

&

' (

2

T(j")2

=(Rg + Rc)

2

4RgRc)(j")

2

!

PIdB(") = #20log H(j")Pérdidas de inserción:

Relación de inserción:

!

H(s) =Tensión de salida con filtro

Tensión de salida sin filtro

Versión escalada de la

función de transferencia

RcFiltro

Vg

Rg+

Vc

–

Fuente


Departamento de


y Comunicaciones

Universidad de VigoRelación de inserción (2)

$H(j!)$

$T(j!)$

$T(j!)$

$H(j!)$

Fuente Filtro

Vg

1 '1 '

1.41 H

1.41 F

Fuente Filtro

Vg

1 '

6 '3.72 H

444 mF


Departamento de


y Comunicaciones

Universidad de VigoDiseño de filtros pasivos

Datos

Circuito final

Circuitoprototipo

¿Paso bajo? Transformar especificacionesNo

Sí

¿Elíptico?Sí

Programas

Desnormalizar circuito(en impedancia)

Transformar componentes

No

¿Paso bajo?

No

Fórmulas

explícitas

Desnormalizar circuito(en frecuencia e impedancia)

Sí


Departamento de


y Comunicaciones

Universidad de VigoFiltros pasivos en escalera

! Las fórmulas de Bossé y Takahasi nos proporcionan losvalores (gm) de los elementos de los filtros prototipopaso bajo, normalizados con Rg = 1 ' y !c = 1 rad/s

Rc

…

Fuente Filtro

Rg

Vg

g1

g2

g3

g4

Rc

…

Fuente Filtro

Rg

Vg g1

g2

g3

g4

Rc " Rg

Rc ! Rg


Departamento de


y Comunicaciones

Universidad de VigoFiltros de Butterworth

! Elegimos la aproximación de Butterworth:

!

"(j#)2

=4Rg

RcT(j#)

2=

K

1+#2n

$1

!

"(j0)2

=4Rg

RcT(j0)

2=4Rg

Rc

Rc

Rg + Rc

#

$ % %

&

' ( (

2

=4RgRc

(Rg + Rc)2

=K )1

" En particular, en el origen:

!

K =4R gRc

(R g + Rc)2"1 # 0 " (R g $Rc)

2

Rc

Vg

Rg+

Vc

–

Filtro

LC

paso

bajo

Fuente

Cierto (

R g y R c


Departamento de


y Comunicaciones

Universidad de VigoFórmulas de Bossé

! Filtro Butterworth prototipo normalizado de orden n:

!

" = (1#K)1/2n

!

bu =1+ "2 # 2"cosu$

n

%

& '

(

) *

!

gm =4 xm"1 xm

bm"1 gm"1

para m = 2, 3, …, n

" En el caso particular de que K = 1 (Rg = Rc) las fórmulas de

Bossé se simplifican y se reducen a la fórmula de Bennet

!

gm = 2sen2m"1

2n#

$

% &

'

( ) con m =1,…,n

!

xu = sen2u "1

2n#

$

% &

'

( )

!

g1 =2x1

1"#


Departamento de


y Comunicaciones

Universidad de Vigo

!p = 1 krad/s

Amáx = 1 dB

!s = 3 krad/s

Amín = 20 dB

Ejemplo: paso bajo Butterworth (1)

! Diseñad un filtro pasivo paso bajo Butterworth que seajuste a la plantilla de la figura y con Rg = Rc = 50 '


Departamento de


y Comunicaciones

Universidad de VigoEjemplo: paso bajo Butterworth (2)

! Soluciones:

Vg

39.92 mH 39.92 mH

31.93 µF

50 '

50 '

50 '

50 'Vg 15.97 µF 15.97 µF

79.84 mH


Departamento de


y Comunicaciones

Universidad de VigoFiltros de Chebyshev (1)

! Elegimos la aproximación de Chebyshev:

!

"(j#)2

=4Rg

RcT(j#)

2=

K

1+ $2Cn

2 (#)%1

" Los máximos de las trasferencias Chebyshev se alcanzan

cuando Cn(!) = 0, por tanto

Rc

Vg

Rg+

Vc

–

Filtro

LC

paso

bajo

Fuente

K ! 1

" En el origen:

!

4R g

Rc

T(j0)2

=4R gRc

(R g + Rc)2=

K

1+ "2Cn2 (0)

=

K n impar

K

1+ "2n par

#

$ %

& %


Departamento de


y Comunicaciones

Universidad de VigoFiltros de Chebyshev (2)

" Cuando el orden es impar:

!

K =4R gRc

(R g + Rc)2"1 # 0 " (R g $Rc)

2

Cierto (

R g y R c

" Cuando el orden es par:

!

K =4R gRc

(R g + Rc)2

(1+ "2) #1 $ 4R gRc "

2# (R g %Rc)

2

En particular, con las técnicas descritas en este

tema, no podrán construirse filtros Chebyshev

de orden par en los que Rg y Rc sean iguales

No se cumple

( Rg y Rc


Departamento de


y Comunicaciones

Universidad de VigoFórmulas de Takahasi (1)

! Filtro Chebyshev prototipo normalizado de orden n:

para m = 2, 3, …, n

!

gm =4 xm"1 xm

bm"1 gm"1

!

bu = senh2(a) + senh

2(ˆ a ) + sen

2 u"

n

#

$ %

&

' ( ) 2senh(a)senh(ˆ a )cos

u"

n

#

$ %

&

' (

!

g1 =2x1

senh(a) " senh(ˆ a )

!

xu = sen2u "1

2n#

$

% &

'

( )

!

a =1

narcsenh

1

"

#

$ % &

' (

!

ˆ a =1

narcsenh

1"K

#

$

% &

'

( )


Departamento de


y Comunicaciones

Universidad de VigoFórmulas de Takahasi (2)

! En el caso particular de que K = 1 las fórmulas deTakahasi se simplifican

para m = 2, 3, …, n

!

gm =4 xm"1 xm

bm"1 gm"1

!

bu = senh2(a) + sen

2 u"

n

#

$ %

&

' (

!

g1 =2x1

senh(a)

!

xu = sen2u "1

2n#

$

% &

'

( )

!

a =1

narcsenh

1

"

#

$ % &

' (


Departamento de


y Comunicaciones

Universidad de VigoEjemplo: paso bajo Chebyshev (1)

! Diseñad un filtro pasivo paso bajo Chebyshev que seajuste a la plantilla de la figura y con Rg = Rc = 50 '

!p = 1 krad/s

Amáx = 1 dB

!s = 3 krad/s

Amín = 30 dB


Departamento de


y Comunicaciones

Universidad de VigoEjemplo: paso bajo Chebyshev (2)

! Soluciones:

Vg

101.2 mH 101.2 mH

19.88 µF

50 '

50 '

50 '

50 'Vg 40.47 µF 40.47 µF

49.71 mH

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