Final grupo markov

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MODELO DE MARKOV 1. ¿QUÉ ES? Se conoce como modelo de Markov o cadena de Markov a un tipo especial de proceso estocástico discreto en el que la probabilidad de que ocurra un evento depende del evento inmediatamente anterior. Podemos decir que esta técnica posee numerosas aplicaciones en los negocios, entre ellas el análisis de participación de mercados, pronósticos de deudas incobrables o también para determinar si una máquina se descompondrá en el futuro. 1.1. Nomenclatura es la posibilidad de que el sistema pase al estado j después de cualquier ensayo en donde su estado era i antes del ensayo. se denomina posibilidades de transición de una matriz.

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MODELO DE MARKOV

1. ¿QUÉ ES?

Se conoce como modelo de Markov o cadena

de Markov a un tipo especial de proceso

estocástico discreto en el que la probabilidad

de que ocurra un evento depende del evento

inmediatamente anterior. Podemos decir que

esta técnica posee numerosas aplicaciones en

los negocios, entre ellas el análisis de

participación de mercados, pronósticos de

deudas incobrables o también para determinar

si una máquina se descompondrá en el futuro.

1.1. Nomenclatura

𝑷𝒊𝒋 es la posibilidad de que el sistema

pase al estado j después de cualquier

ensayo en donde su estado era i antes

del ensayo.

𝑷𝒊𝒋 se denomina posibilidades de

transición de una matriz.

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𝑷 = (𝑷𝒊𝒋) se conoce por matriz de

transición del sistema

1.2. Suposiciones Del Modelo De Markov

Las suposiciones del Modelo del Markov son

las siguientes:

a) La suma de las filas de la matriz d3e

transición puede ser igual a uno y su

forma general está presentado por:

∑𝑝𝑖𝑛 = 1

b) Cada elemento de la matriz de transición

debe ser no negativo y su forma general

está presentado por:

𝑃𝑖𝑗 ≥ 0

Según Render las suposiciones del Modelo del

Markov son las siguientes:

Page 3: Final grupo markov

a) Existe un número limitado o finito de

estados posibles.

b) La probabilidad de que los estados

cambien permanece igual a lo largo del

tiempo.

c) Se puede predecir cualquier estado

futuro a partir del estado anterior y de la

matriz de probabilidades se transición.

d) El tamaño y constitución del sistema

(por ejemplo, el número total de

fabricantes y clientes) no cambian

durante el análisis. (Render, 2006)

El modelo de Markov tiene la propiedad de que

las probabilidades que describen las formas en

que el proceso evolucionara en el futuro

dependen solo del estado actual en que se

encuentra el proceso y, por lo tanto, son

independientes de los eventos que ocurrieron

en el pasado. Muchos procesos se ajustan a

esta descripción, por lo que las cadenas de

Page 4: Final grupo markov

Markov constituyen una clase de modelo

probabilístico de gran importancia.

Un proceso estocástico se define como una

colección indexada de variables aleatorias {𝐗𝐭},

donde el índice t toma valores de un conjunto

T dado. Con frecuencia T se considera el

conjunto de enteros no negativos mientras que

𝐗𝐭 representa una característica de interés

cuantificable en el tiempo t.

Por ejemplo, 𝐗𝐭 puede representar los niveles

de inventario al final de la semana t.

Los procesos estocásticos son de interés para

describir el comportamiento de un sistema en

operación durante algunos periodos.

2. ¿PARA QUÉ SE UTILIZA?

Una de las principales utilidades que tiene el

modelo de Markov es establecer las

posibilidades de cualquier evento futuro

conociendo los eventos pasados. Esto puede

Page 5: Final grupo markov

y afecta las decisiones que podríamos tomar

basándonos en la incertidumbre que provocan

poseer varios eventos futuros y todos tienen su

grado de probabilidad de que sucedan.

Otro de los factores que altera la toma de

decisiones es cuando estos posibles eventos

futuros se ven alterados con el paso del tiempo,

para evitar este acontecimiento existe este

modelo el cual tiene la propiedad particular de

que las probabilidades que describen la forma

en que el proceso evolucionara en el futuro solo

dependerán del estado actual en que se

encuentra el proceso y por lo tanto son

independientes de los eventos ocurridos en el

pasado.

Esta dependencia del evento anterior distingue

a las cadenas de Márkov de las series de

eventos independientes, como tirar una

moneda al aire o un dado. En los negocios, las

cadenas de Márkov se utilizan para analizar los

patrones de compra de los deudores morosos,

Page 6: Final grupo markov

para planear las necesidades del personal y

para analizar el reemplazo de equipo.

3. ¿QUÉ TIPO ES?

El Modelo de Markov es un tipo de modelo

probabilístico que se usa para predecir la

evolución y el comportamiento a corto y a largo

plazo de determinados sistemas.

4. CADENAS DE MARKOV

Las cadenas de Markov son unas herramientas

para analizar el comportamiento y el gobierno

de determinados tipos de procesos

estocásticos, esto es, procesos que

evolucionan de forma no determinística a lo

largo del tiempo en torno a un conjunto de

estados.

Una cadena de Markov, por lo tanto, representa

un sistema de cambiar su estado a lo largo del

tiempo, siendo cada cambio una transición del

sistema. Dichos cambios no están

Page 7: Final grupo markov

predeterminados, aunque sí lo está la

probabilidad del próximo estado en función de

los estados anteriores, probabilidad que es

constante a lo largo del tiempo (sistema

homogéneo en el tiempo). Eventualmente, en

una transición, el nuevo estado puede ser el

mismo que el anterior y es posible que exista la

posibilidad de influir en las probabilidades de

transición actuando adecuadamente sobre el

sistema (decisión).

4.1. Matriz de Transición

Al trabajar con cadenas de Markov, a menudo

es útil pensar la sucesión de ensayos como

experimentos efectuados en cierto sistema

físico, cada resultado dejando a este sistema

en cierto estado.

4.2. Diagrama de transición

Sjiijq

qqq

qqq

qqq

Q

,

222120

121110

020100

............

...

...

...

Page 8: Final grupo markov

El diagrama de transición de estados (DTE) de

una cadena de Markov es un grafo dirigido

cuyos nodos son los estados de la cadena de

Markov y cuyos arcos se etiquetan con la

probabilidad de transición entre los estados

que unen. Si dicha probabilidad es nula, no se

pone arco.

4.3. Propiedades:

a) La suma de las probabilidades de los

estados debe ser igual a 1.

b) La matriz de transición debe ser

cuadrada.

c) Las probabilidades de transición deben

estar entre 0 y 1

4.4. Clasificación de Estados en una

Cadena de Markov

i j

𝒒𝒊𝒋

Page 9: Final grupo markov

Es evidente que las probabilidades de

transición asociadas a los estados juegan un

papel importante en el estudio de las cadenas

de Markov. Para describir con más detalle las

propiedades de una cadena de Markov es

necesario presentar algunos conceptos y

definiciones que se refieren a estos estados.

En general:

a) Cualquier estado se comunica consigo

mismo porque

p = P {X0 = X0 =i } =1

b) Si el estado i se comunica con el estado

j, entonces el estado j se comunica con

el estado i.

c) Si el estado i se comunica con el estado

j y el estado j se comunica con el estado

k, entonces el estado i se comunica con

el estado k.

Un conjunto de estados S en una cadena de

Markov cerrado (constituyen una clase de la

Page 10: Final grupo markov

cadena) sin ningún estado fuera de S es

alcanzable desde un estado en S.

Un estado i es absorbente si pii=1

Un estado i es transitorio si hay un

estado j alcanzable desde i, pero el

estado i no es alcanzable desde j.

Un estado es recurrente si no es

transitorio.

Un estado i es periódico con periodo

k>1 si k es el menor número tal que

todas las trayectorias que parten del

estado i y regresan al estado i tienen

una longitud múltiplo de k.

Si un estado recurrente no es periódico

es aperiódico.

Si todos los estados de una cadena son

recurrentes, aperiódicos y se comunican

entre sí, la cadena es ergódica.

4.4.1. Cadenas Irreducibles

Page 11: Final grupo markov

Una cadena de Markov se dice irreducible si se

cumple cualquiera de las siguientes

condiciones (equivalentes entre sí):

a) Desde cualquier estado de E se puede

acceder a cualquier otro.

b) Todos los estados se comunican entre

sí.

c) C(x)=E para algún X∈E.

d) C(x)=E para todo X∈E.

e) El único conjunto cerrado es el total

4.4.2. Cadenas Positivo-Recurrentes

Una cadena de Markov se dice positivo-

recurrente si todos sus estados son positivo-

recurrentes.

Si la cadena es además irreducible es posible

demostrar que existe un único vector de

probabilidad invariante y está dado por:

πx= 1/μx

Page 12: Final grupo markov

4.4.3. Cadenas Regulares

Una cadena de Markov se

dice regular (también primitiva o ergódica) si

existe alguna potencia positiva de la matriz de

transición cuyas entradas sean todas

estrictamente mayores que cero.

Cuando el espacio de estados E es finito,

si P denota la matriz de transición de la cadena

se tiene que:

limn→∞

Pn = W

Dónde:

W = Una matriz con todos sus renglones

iguales a un mismo vector de

probabilidad w, que resulta ser el vector

de probabilidad invariante de la cadena.

En el caso de cadenas regulares, éste

vector invariante es único.

Page 13: Final grupo markov

4.4.4. Cadena de Markov de Tiempo

Continuo

Esta suposición es adecuada para muchos

problemas, pero existen ciertos casos (como

en algunos modelos de líneas de espera) en

los que se requiere un parámetro ( llamado “t”)

de tiempo continuo, debido a que la evolución

del proceso se observa de manera continua a

través del tiempo.

4.5. Propiedades a Largo Plazo de las

Cadenas de Markov

4.5.1. Probabilidades de estado

estable

Las π se llaman probabilidades de estado

estable de la cadena de Markov. El término

probabilidad de estado estable significa que la

probabilidad de encontrar el proceso en cierto

estado, digamos j, después de un número

grande de transiciones tiende al valor j, y es

independiente de la distribución de

Page 14: Final grupo markov

probabilidad inicial definida para los estados.

Es importante observar que la probabilidad de

estado estable no significa que el proceso se

establezca en un estado. Por el contrario, el

proceso continúa haciendo transiciones de un

estado a otro y en cualquier paso n la

probabilidad de transición del estado i al estado

j es todavía Pij.

4.5.2. Interpretación intuitiva de las

probabilidades de estado

estable.

Pj(1 − Pjj) = ∑πKPKj

La probabilidad de que una transición

determinada deje el estado j es igual a

la probabilidad de que una transición

determinada entre al estado j.

La probabilidad de que una transición

determinada deje el estado

Page 15: Final grupo markov

j = pj(1 − pjj)

La probabilidad de que una transición

determinada entre al estado

j = ∑πKPKj

En el estado estable el flujo de

probabilidad hacia cada estado debe ser

igual al flujo de probabilidad que sale de

cada estado es decir son las

probabilidades de equilibrio.

4.5.3. Tiempos de Primera Pasada

Con frecuencia es conveniente poder hacer

afirmaciones en términos de probabilidades

sobre el número de transiciones que hace el

proceso de ir al estado i al estado j por primera

vez. Este lapso se llama tiempo de primera

pasada.

Cuando j=i, este tiempo de primera pasada es

justo el número de transiciones hasta que el

Page 16: Final grupo markov

proceso regrese al estado inicial i. En este caso

el tiempo de primera pasada se llama tiempo

de recurrencia para el estado i.

4.5.4. Estados Absorbentes

El estado k se llama estado absorbente si

𝐩𝐤𝐤 = 𝟏, de manera que una vez la cadena

llega al estado de k permanece ahí para

siempre.

Si k es un estado absorbente y el comienzo en

el estado i, la probabilidad de llegar en algún

momento a k se llama probabilidad de

absorción al estado k, dado que el sistema

comenzó en el estado i.

Esta probabilidad se denota por 𝐟𝐣𝐤.

Si se tienen dos o más estados absorbentes en

una cadena de Markov y es evidente que el

proceso será absorbido en uno de estos

estados, es deseable encontrar estas

probabilidades de absorción. Dichas

Page 17: Final grupo markov

probabilidades pueden obtenerse con solo

resolver un sistema de ecuaciones lineales que

considera todas las posibilidades para la

primera transición y después dada la primera

transición, considera la probabilidad

condicional de absorción al estado k.

5. TEOREMAS DE MARKOV

Teorema 1.- Si T es una matriz de

probabilidades regular, entonces hay un único

vector de probabilidades t tal que tT = t.

Además, para cualquier vector de

probabilidades p, el vector de probabilidades

pT^n se acerca más a t al crecer n. El vector fijo

t se llama la distribución estacionaria de la

cadena de Markov cuya matriz de transición es

T. Además, al ir creciendo n, cada renglón de

T^n tiende al vector fijo t.

Teorema 2.- (Ecuaciones de Chapman-

Kolmogorov)

Page 18: Final grupo markov

Muestra la relación que existe entre el

desarrollo a “largo plazo” y el desarrollo a

“corto plazo”, y veremos como Xn depende de

la variable inicial X0.

pij(m + n) = ∑pij(m)pij(n)

k∈S

Siendo μi =1

πi≡ frecuencia que tarda en ser

visitado el estado i.

Donde πi ≡ probabilidad estacionaria de estar

en el estado i.

Teorema 3.- Para determinar si un estado es

persistente (recurrente) o no (transitorio), se

verifican las siguientes relaciones:

1. Pii(s) = 1 + Pii(s)Fii

2. Pij(s) = Pij(s)Fij(s) si i ≠ j .

a) Un estado j es persistente

Page 19: Final grupo markov

∑pij(n) = ∞ .

n=0

b) Un estado j es transitorio

∑pij(n) < ∞ .

n=0

Teorema 4.- Sea i un estado persistente

(recurrente), entonces:

i es un estado persistente nulo si μi = ∞i es un estado persistente no nulo si μi < ∞

Un estado i es persistente nulo ⇔ pii(n)n→∞0.

Además, en este caso,

pij(n)n→∞ 0, ∀j .

Teorema 5.- Supongamos que i ↔ j, es decir

están intercomunicados; dentro de cada clase

de equivalencia todos los estados son del

mismo tipo, entonces:

1. d(i) = d(j), es decir tienen el mismo periodo.

Page 20: Final grupo markov

2. i es transitorio ⟺ j es transitorio.

3. i es persistente nulo ⟺ j es persistente nulo .

Teorema 6.- (Teorema de descomposición de

las Cadenas de Markov) El espacio de

estados S de una cadena de Markov X, tiene

la siguiente partición única:

S = T ∪ C1 ∪ C2 ∪ ….

Donde, T es un conjunto de estados

transitorios, y Ci son clases cerradas e

irreducibles de estados persistentes.

El teorema de descomposición nos muestra

las posibilidades que pueden darse en una

cadena de Markov. Esto es, si X0∈ Cr ,

entonces la cadena nunca abandonará la

clase Cr y entonces, podemos considerar el

espacio de estados S = Cr.

Por otra parte, si X0 ∈ T entonces, o la cadena

permanece por siempre en T o se mueve a

una clase Ck y permanece ahí por siempre.

Page 21: Final grupo markov

Así, o la cadena siempre toma valores en el

conjunto de estados transitorios o acaba en

un conjunto cerrado persistente de estados

donde permanecerá por siempre.

Teorema 7.- Si S es finito, todos los estados

no pueden ser transitorios, siendo todos los

estados persistentes no nulos.

Teorema 8.- (Teorema fundamental de las

cadenas de Markov) Una cadena de Markov

tiene una distribución estacionaria π si y sólo si

todos sus estados son persistentes no nulos;

en cuyo caso, la distribución π es única y viene

dada por πi = μi−1para cada i ∈ S, donde μi es

el tiempo medio de recurrencia del estado i .

Teorema 9.- Sea P la matriz de transición de

una de cadena de Markov con estados

periódicos recurrentes de periodo δ, y sean

B1,…..,Bδ. Entonces, en la cadena de Markov

con matriz de transición P = Pδ las clases

Page 22: Final grupo markov

B1,…..,Bδ son cerradas e irreducibles de

estados aperiódicos.

Teorema 10.- Sean P y B∝ como en el

teorema anterior, y supongamos que la cadena

no es nula. Entonces para algún m = {0, 1,. .

., δ − 1},

lim Pijn∝+m =

π(j) si i ϵB∝j ∈ B∝β =∝ +m(mod δ)

0 en otro caso

Supongamos que tenemos una cadena finita.

Veamos el procedimiento que vamos a seguir

para calcular la matriz límite de una cadena de

Markov:

1. Identificar los conjuntos cerrados e

irreducibles, es decir, las distintas clases de

estados persistentes.

2. Los restantes son los transitorios.

3. Estudiar la periodicidad de cada clase

cerrada por separado.

Page 23: Final grupo markov

Además tenemos que como la matriz P̂ se

forma de:

P̂ = (I 0B Q

)

Se debe calcular R que es la matriz potencial y

(I − Q)−1:

Si j es recurrente, entonces:

rij = { 0 si fij = 0

∞ si fij > 0

Si j es transitorio e i es recurrente ⟹ rij = 0.

Si j e i son transitorios , entonces: (rij)i, j ∈ D =

(I − Q)−1

Para la matriz F, tenemos:

F = (fij)i, j ∈ S, entonces:

Si i es transitorio y k es recurrente ⟹ fik = gij

Si i, j son transitorios tal que rij < ∞, entonces:

fjj = 1 −1

rjj

fij =rij

rjj

Page 24: Final grupo markov

Si i, j son recurrentes de misma clase ⟹ fij = 1.

Si i es recurrente y j transitorio ó recurrente de distinta clase

⟹ fij = 0.

Teorema 11.- Dada una cadena de Markov

irreducible, consideramos el sistema:

π(j) = ∑π(i)pij i ϵ S

i∈S

∑π(j) = 1

jϵS

Todos los estados serían recurrentes no nulos

si y sólo si existe solución única de este

sistema.

Teorema 12.- Si el sistema del teorema 10 no

tuviese solución tenemos en siguiente teorema:

Sea P la matriz de transición asociada a la

cadena de Markov que estamos estudiando, y

sea Q la matriz obtenida de P al suprimir la

fila y la columna k−ésima (k ∈ S cualquiera).

Entonces, los estados son recurrentes nulos si

y sólo si el sistema que la matriz Q produce

Page 25: Final grupo markov

tiene solución trivial, es decir, si el sistema

tiene precisamente la solución trivial. O sea,

h(i) = ∑ qijh(j)j∈S\{k} ⟹ h(i) = 0

0 ≤ h(i) ≤ 1; i ∈ S {k

Si existe solución no trivial del sistema, los

estados serán transitorios.

6. APLICACIONES DEL MODELO DE

MARKOV

El modelo de Markov se aplica en el área de

finanzas y economía en problemas como:

Calificación de bonos

Predicción del precio de acciones

Negociación de activos derivados

Predicción de quiebras

Análisis del riesgo en la concesión de

créditos

Detección de oportunidades de arbitraje

en los mercados financieros

Page 26: Final grupo markov

Estudio y predicción de índices

económicos

Instrumentos financieros infravalorados

o sobrevalorados

Cobertura de posiciones

Optimización de carteras, etc.

Por ello el modelo Markoviano aplicado a estas

áreas es una gran herramienta muy potente

para el análisis de mercados financieros, con

proyecciones al futuro.

En el área del personal de la empresa el

método Markoviano nos ayuda a saber cuál es

la probabilidad de que una persona según su

edad ocupe un determinado puesto de trabajo.

El método de las cadenas de Markov consiste

en emplear la información probabilística en el

análisis de tendencias con el fin de predecir sus

resultados.

Tienen diversas aplicaciones en los negocios,

la sociología, las ciencias físicas y la biología.

Page 27: Final grupo markov

Por ejemplo en los negocios, las cadenas de

Markov son útiles para el análisis de los datos

referentes a la satisfacción de un cliente con un

producto y para el efecto de la publicidad del

producto, así como predecir qué sector del

mercado el producto dominara finalmente.

7. EJERCICIOS RESUELTOS

1. EJERCICIO

La Empresa de compra y venta de automóviles

“Carlos Larrea” después de haber recogido

datos durante varios años. Desea saber ¿Qué

marca de vehículo preferirán este año? Sus

clientes más frecuentes, tomando en cuenta la

siguiente tabla.

MARCAS DE VEHÍCULOS

CLIENTES FRECUENTES

FORD CHEVROLET

C1 0,3 0,7

C2 0,6 0,4

Page 28: Final grupo markov

PASO 1:

Después de analizar el ejercicio se procede a

realizar la matriz de transición, pasando los

valores dela tabla de la siguiente manera.

FORD CHEVROLET

𝑃 = 𝐶1𝐶2

(𝑃𝑐1𝐹 = 0.3 𝑃𝑐1𝐶𝐻 = 0.7𝑃𝑐2𝐹 = 0.6 𝑃𝑐2𝐶𝐻 = 0.4

)

DONDE:

P = Representa probabilidad

C1 = Cliente uno

C2 = Cliente dos

F = Ford

Ch = Chevrolet

Es decir que la matriz de transición quiere decir

lo siguiente:

Pc1F= 0,3 (La probabilidad de que el

cliente uno compré un vehículo de

marca Ford es del 0,3)

Page 29: Final grupo markov

Pc2F= 0,6(La probabilidad de que el

cliente dos compré un vehículo de

marca Ford es del 0,6)

Pc1CH= 0,7 (La probabilidad de que el

cliente uno compré un vehículo de

marca Chevrolet es del 0,7)

Pc2CH= 0,4 (La probabilidad de que el

cliente dos compré un vehículo de

marca Chevrolet es del 0,4)

PASO 2:

Después de haber analizado la matriz de

transición el siguiente paso es realizar el

diagrama de transición.

Como hay dos clientes y dos marcas de

vehículos se traza dos círculos.

C2

0,3

0,7 0,4

0,6

Chevrolet Ford

C1

Page 30: Final grupo markov

El diagrama de transición es una

representación gráfica de la matriz de

transición, es decir lo escrito pasa a ser

representado en forma gráfica.

PASO 3:

Por ultimo después de realizar el diagrama de

transición se realiza las probabilidades de

estado de sistema.

Para una matriz de transición de 2x2 se

plantean las siguientes ecuaciones:

𝜋C1= Pc1F 𝜋C1+ Pc1CH 𝜋C2

𝜋C2= Pc2F 𝜋C1+ Pc2CH 𝜋C2

1 = 𝜋C1+ 𝜋C2

Page 31: Final grupo markov

Dónde:

𝜋C1 = Probabilidad de que el cliente uno

adquiera un vehículo de marca Ford

𝜋C2 = Probabilidad de que el cliente dos

adquiera un vehículo de marca

Chevrolet

ECUACIONES

Remplazamos las ecuaciones con los valores

de la matriz de transición y los valores que no

se conoce se deben despejar la ecuación.

𝜋C1= 0,3 𝜋C1+ 0,7 𝜋C2

𝜋C2= 0,6 𝜋C1+ 0,4 𝜋C2

1 = 𝜋C1+ 𝜋C2

Nos damos cuenta que tenemos un sistema de

ecuaciones de dos incógnitas por lo que

debemos despejar la ecuación 3, se puede

escoger cualquiera de las dos incógnitas en

este caso escogeremos 𝜋C1.

Page 32: Final grupo markov

𝜋C1 = 1 - 𝜋C2

Luego podemos escoger cualquiera de las 2

primeras ecuaciones para reemplazar lo que

recién se despejo de la ecuación 3, en este

caso escogeremos la ecuación número 1.

𝜋C1= 0,3 𝜋C1+ 0,7 𝜋C2

Como se despejo 𝜋C1 se reemplaza en la

ecuación de la siguiente manera.

1 - 𝜋C2 = 0,3 (1 − 𝜋C2 ) + 0,7 𝜋C2

1 - 𝜋C2 = 0,3− 0,3𝜋C2 + 0,7 𝜋C2

0,3𝜋C2 − 0,7 𝜋C2 - 𝜋C2= 0,3 -1

−1,4 𝜋C2 = -0,7

𝜋C2 = −0,7

−1,4

𝜋C2 = 0,5

Page 33: Final grupo markov

Por ultimo remplazamos en la ecuación 3

despejada, con el nuevo valor de la siguiente

forma.

𝜋C1 = 1 - 0,5

𝜋C1 = 0,5

RESPUESTA

𝜋C1 = 0,5

𝜋C2 = 0,5

La probabilidad de que el cliente uno adquiera

un vehículo de marca FORD es del 50% al

igual que el cliente numero dos tiene una

probabilidad del 50% de adquirir un vehículo

de marca CHEVROLET.

2. EJERCICIO

La empresa jurídica “ROMERO S.A” emplea

tres tipos de abogados: subalternos, superiores

Page 34: Final grupo markov

y socios durante cierto año 10% de los

subalternos ascienden a superiores y aun 10%

se les pide que abandonen la empresa.

Durante un año cualquiera 5% de los

superiores asciende a socios y un 13% se les

pide su renuncia. Los abogados subalternos

deben ascender a superiores antes de ser

socios. Los abogados que no se desempeñan

adecuadamente jamás descienden de su

categoría, permanecen en su nivel o se les pide

que renuncien.

a) Cuál es la probabilidad de que un

abogado subalterno llegue a socio.

b) Cuál es la probabilidad de que un

abogado subalterno llegue a renunciar.

c) Cuál es la probabilidad de que un

superior se convierta en socio.

d) Cuál es la probabilidad de que un

superior renuncie.

PASO 1:

Page 35: Final grupo markov

Según la teoría primero identificamos la matriz

Absorbente y no absorbente.

Matriz de Identidad

Matriz Absorbente

Matriz no Absorbente

Subalterno

s

Superiore

s

Socio

s

Abandon

a

Subalterno

s

0,8 0,1 0 0,1

Superiores 0 0,82 0,05 0,13

Socios 0 0 1 0

Abandona 0 0 0 1

PASO 2:

Luego de haber identificado la matriz

absorbente y no absorbente se procede a

restar la matriz de identidad con la matriz no

absorbente de la siguiente manera.

Matriz Identidad

I = 1 0

Page 36: Final grupo markov

0 1

Matriz no Absorbente

N = 0,8 0,1

0 0,82

Matriz Fundamental

(I-N)= (1 – 0,8)= 0,2 (0 – 0,1)= - 0,1

(0 – 0) =0 (1 – 0,82)=0,18

PASO 3:

Luego se procede a calcular la matriz inversa

de la matriz fundamental.

Inversa de la Matriz Fundamental

(𝑰 − 𝑵)−𝟏 = 5 -2,78

0 5,56

PASO 4:

Page 37: Final grupo markov

Para obtener la repuesta multiplicamos la

Inversa de la Matriz Fundamental con los datos

de la matriz principal (Matriz absorbente).

Socios Abandona

(𝑰 − 𝑵)−𝟏 ∗ 𝑨 = 0,14 0,86 Subalterno

0,28 0,72 Superiores

RESPUESTA:

La probabilidad de que un abogado

subalterno llegue a ser socio es del 14%.

La probabilidad de que un abogado

subalterno llegue a renunciar es del

86%.

La probabilidad de que un superior

llegue a ser socio es del 28%.

La probabilidad de que un superior

llegue a renunciar es del 72%.

3. EJERCICIO

Page 38: Final grupo markov

En Ecuador existen 3 operadores principales

de telefonía móvil como lo son Claro, CNT y

Movistar (estados).Los porcentajes actuales

que tiene cada operador en el mercado actual

son para Claro 0.4 para CNT 0.25 y para

Movistar 0.35. (Estado inicial). Se tiene la

siguiente información un usuario actualmente

de Claro tiene una probabilidad de permanecer

en Claro de 0.60, de pasar a CNT 0.2 y de

pasarse a Movistar de 0.2; si en la actualidad el

usuario es cliente de CNT tiene una

probabilidad de mantenerse en CNT del 0.5 de

que esta persona se cambie a Claro 0.3 y que

se pase a Movistar de 0.2; si el usuario es

cliente en la actualidad de Movistar la

probabilidad que permanezca en Movistar es

de 0.4 de que se cambie a Claro de 0.3 y a CNT

de 0.3.

Hallar la probabilidad de que un usuario

se permanezca en la misma operadora.

PASO 1:

Page 39: Final grupo markov

Partiendo de esta información podemos

elaborar la matriz de transición.

Claro CNT Movistar

E1 Claro 0,6 0,2 0,2

E2 CNT 0,3 0,5 0,2

E3 Movistar 0,3 0,3 0,4

PASO 2:

Se procede a realizar el diagrama de transición.

PASO 3:

La suma de las probabilidades de cada estado

en este caso operador deben ser iguales a 1

Page 40: Final grupo markov

Po= (0.4 + 0.25 + 0.35) = 1

PASO 4:

Ahora procedemos a encontrar los estados en

los siguientes pasos o tiempos, esto se realiza

multiplicando la matriz de transición por el

estado inicial y así sucesivamente pero

multiplicando por el estado inmediatamente

anterior.

Claro CNT Movistar

E1 Claro 0,6 0,2 0,2

E2 CNT 0,3 0,5 0,2

E3 Movistar 0,3 0,3 0,4

Page 41: Final grupo markov

RESPUESTA:

La probabilidad de que un usuario

permanezca en la operadora Claro es

de 43%

La probabilidad de que un usuario se

permanezca en la operadora CNT es de

32%

La probabilidad de que un usuario se

permanezca en la operadora Movistar

es de 25%

4. EJERCICIO

Suponga que en el mercado se consiguen 3

tipos de gaseosas colas que son: coca cola,

Pepsi Cola y Big cola cuando una persona ha

comprado coca cola existe una probabilidad de

que la siga consumiendo del 75%, un 15% de

P0 0,4 0,25 0,35

P1 0,42 0,31 0,27 Po*T

P2 0,426 0,32 0,254 p1*T=Po*T*T=Po*T

²

P3 0,4278 0,3214 0,2508 Po*T³

P4 0,42834 0,3315 0,25016 Po*T⁴

P5 0,428502 0,321466 0,25003 Po*T⁵

Page 42: Final grupo markov

que compre Pepsi Cola y un 10% de que

compre Big Cola; cuando el comprador

actualmente consume Pepsi existe una

probabilidad de que la siga comprando de 60%,

un 25% que compre coca cola y un 15% Big

cola; si en la actualidad consuma Big Cola la

probabilidad de que la siga consumiendo es del

50%, un 30% que compre Coca Cola y 205

Pepsi Cola.

En la actualidad cada marca Coca Cola, Pepsi

y Big cola tienen los siguientes porcentajes de

participación en el mercado respectivamente

(60% 30% 10%)

Elaborar la matriz de transición

Hallar la probabilidad que tiene cada

marca en el periodo 5

PASO 1:

Partiendo de esta información podemos

elaborar la matriz de transición.

Page 43: Final grupo markov

COCA COLA PEPSI BIG COLA

E1 COCA COLA 0,75 0,15 0,10

E2 PEPSI 0,25 0,6 0,15

E3 BIG COLA 0,3 0,2 0,5

PASO 2:

Ahora procedemos a encontrar los estados en

los siguientes pasos o tiempos, esto se realiza

multiplicando la matriz de transición por el

estado inicial y así sucesivamente pero

multiplicando por el estado inmediatamente

anterior.

P0 0,6 0,3 0,1

P1 0,555 0,25 0,155

P2 0,53525 0,28825 0,1765

P3 0,52645 0,2835375 0,1850125

Page 44: Final grupo markov

P4 0,52247563 0,2830925 0,18843188

P5 0,52063941 0,28931322 0,18982738

Nota: Estos ejercicios se pueden realizar en

Excel utilizando la función de multiplicar

matrices.

PASO 3:

Luego se procede a calcular las siguientes

ecuaciones.

Entonces

(1) 0,55 X+0,20Y+0,10Z=0

(2) 0,20 X-0,50Y+0,20Z=0

(3) 0,35 X+0,30Y-0,30Z=0

(4) X+Y+Z=1

Page 45: Final grupo markov

𝐸𝐶(1)𝑥2 = −11𝑥 + 0,4𝑦 + 0,2𝑧 = 0

−𝐸𝐶(2) = −0,2𝑥 + 0,5𝑦 − 0,2𝑧 = 0

(5) = −1,3𝑥 + 0,9𝑦 = 0

𝐸𝐶(4)𝑥0,3 = 0,3𝑥 + 0,3𝑦 + 0,3𝑧 = 0,3

+𝐸𝐶(3) = −0,35𝑥 + 0,30𝑦 − 0,30𝑧 = 0

(6) = 0,65𝑥 + 0,6𝑦 = 0,3

𝐸𝐶(6)𝑥1,5 = 0,975𝑥 + 0,9𝑦 = 0,45

−𝐸𝐶(5) = −1,3𝑥 + 0,9𝑦 = 0

(7) = 2,215𝑥 = 0,15

Despejo X en (7)

𝑥 =0,45

2,24

𝑥 = 0,2004

Page 46: Final grupo markov

Reemplazamos X en (6)

0,65(0,2004)+ 0,6 y = 0,3

0,13026+0,6y=0,3

-0,16974+0,6y= -0

𝑦 =0,16974

0,6

𝑦 = 0,2829

Reemplazamos X, Y en (4)

0,2001+0,2829+Z=1

Z=1- 0,2004-0,2829

Z= 0,5167

RESPUESTA:

La probabilidad de que una persona siga

consumiendo Coca Cola es del 20%.

Page 47: Final grupo markov

La probabilidad de que una persona siga

consumiendo Pepsi es del 28%.

La probabilidad de que una persona siga

consumiendo Big Cola es del 52%.

5. EJERCICIO

Almacenes Mary Carmen, Charleston y Patrick

han investigado la fidelidad de sus clientes y

han encontrado los siguientes datos:

Mary Carmen

Charleston

Patrick

Hallar el estado estable (L)

MARY

CARMEN CHARLESTON PATRICK

MARY

CARMEN

0.45 0.20 0.35

CHARLESTON 0.20 0.50 0.30

PATRICK 0.10 0.20 0.70

Page 48: Final grupo markov

𝑇 = ( 0.45 0.20 0.350.20 0.50 0.300.10 0.20 0.70

)

(𝑋, 𝑌, 𝑍) = ( 0.45 0.20 0.350.20 0.50 0.300.10 0.20 0.70

) = 𝑋; 𝑌; 𝑍

0.45𝑥 0.20𝑦 0.10𝑧 = 𝑥0.20𝑥 0.50𝑦 0.20𝑧 = 𝑦0.35𝑥 0.30𝑦 0.70𝑧 = 𝑧

(𝟏) 0.55𝑥 +0.20𝑦(𝟐) 0.20𝑥 −0.50𝑦(𝟑) 0.35𝑥 +0.30𝑦

+0.10𝑧 = 0 +0.20𝑧 = 0 −0.30𝑧 = 0

𝐸𝐶(1)𝑥2 = −1.1𝑥 + 0.4𝑦 + 0.2𝑧 = 0

−𝐸𝐶(2) = −0.2𝑥 + 0.5𝑦 − 0.2𝑧 = 0

(𝟓) = −1.3𝑥 + 0.9𝑦 = 0

𝐸𝐶(4)𝑥0.30 = 0.30𝑥 + 0.30𝑦 + 0.30𝑧 = 0.30

+𝐸𝐶(3) = 0.35𝑥 + 0.30𝑦 − 0.30𝑧 = 0

(𝟔) = 0.65𝑥 + 0.6𝑦 = 0.30

Page 49: Final grupo markov

𝐸𝐶(6)𝑥1.50 = 0.975𝑥 + 0.90𝑦 = 0.45

−𝐸𝐶(5) = −1.30𝑥 + 0.90𝑦 = 0

(𝟕) = 2.245𝑥 = 0.45

Despejo X en (7)

𝒙 =0.45

2.245

𝑥 = 0.2004

Reemplazo X en (6)

0.65(0.2004) + 0.6𝑦 = 0.30

0.13026 + 0.6𝑦 = 0.30

0.16974 + 0.6𝑦 = 0

𝑦 =0.16974

0.60

𝑦 = 0.2829

Reemplazo X,Y, en (4)

0.2004 + 0.2829 + 𝑧 = 1

𝑧 = 1 − 0.2004 − 0.2829

Page 50: Final grupo markov

𝑧 = 0.5167

𝑳 = (𝟎. 𝟐𝟎𝟎; 𝟎. 𝟐𝟖𝟐; 𝟎. 𝟓𝟏𝟔)

𝒙 = 𝟐𝟎%; 𝒀 = 𝟐𝟖. 𝟐%; 𝒛 = 𝟓𝟏. 𝟔%)

Según los resultados se pudo observar que el

almacén que tiene mayor porcentaje de

fidelidad de sus clientes es el Almacén Patrick

con un 51.6%, seguido del Almacén Charleston

con un 28.2% y finalmente el Almacén Mary

Carmen con un 20%.

6. EJERCICIO

La empresa PRODELTA S.A. ha decidido

lanzar al mercado un nuevo producto pero

requiere conocer cuál será el monto porcentual

en utilidades para el siguiente mes, debido a

que necesita realizar inversiones acorde a las

ganancias posibles. Determinando que si las

ventas de este mes son altas la probabilidad de

aumentar la utilidad para el siguiente mes es de

85%, si las ventas de este mes fueren bajas, la

Page 51: Final grupo markov

probabilidad de que la utilidad aumente para el

siguiente mes es de 55%, es una cadena de

Markov donde los estados posibles son los

siguientes

Para la resolución del presente ejercicio vamos

a seguir los siguientes pasos.

PASO 1

Estado 0 = Las ventas del producto aumentan

Estado 1 = las ventas del producto disminuyen

PASO 2

𝑃 𝑢𝑡+1 = 0 𝑢𝑡 = 0 = 0.85

𝑃 𝑢𝑡+1 = 0 𝑢𝑡 = 1 = 0.55

PASO 3

PROBABILIDAD ESTADO

0 1

0 P00 0.85 P00 0.15

1 P10 0.55 P00 0.45

Page 52: Final grupo markov

PASO 4

PASO 5

PASO 6

PASO 7

0 1

0.15

0.55

0.45 0.8

5

.85 .15

P*P=

.55 .45

.85 .15

.55 .45

.79 .21

P*P=

.71 .29

0 .7225 + 0.0825 0.1275 + 0.0675

P*P=

0.4675 + 0.2475 0 .0825 + 0.2025

Page 53: Final grupo markov

Interpretación:

En la Empresa Prodelta S.A. en el lanzamiento

del producto tiene la probabilidad de obtener

una utilidad positiva de 79% y una pérdida de

21% en caso de que en el mes presente se

obtenga utilidad, en caso contrario si la

empresa tuviere una utilidad negativa el

producto tiene la posibilidad de dar utilidad para

el mes posterior de 71% y una probabilidad de

tener perdida de 29%.

7. EJERCICIO

Teorema 1

Ejemplo

Page 54: Final grupo markov

Dado la siguiente matriz regular, encontrar el

vector fijo por el teorema para matrices

regulares

𝑇 = (

1

2

1

21

3

2

3

)

Solución:

PASO 1: Se busca un vector de probabilidades

t tal que Tt = t. Si t =(𝑥 𝑦), resolvemos la

ecuación

(𝑥 𝑦)(

1

2

1

21

3

2

3

) = (𝑥 𝑦)

Es decir,

(1

2𝑥 +

1

3𝑦

1

2𝑥 +

2

3𝑦) = (𝑥 𝑦)

Page 55: Final grupo markov

Igualando los componentes tenemos:

1

2𝑥 +

1

3𝑦 = 𝑥

1

2𝑥 +

2

3𝑦 = 𝑦

PASO 2: Igualamos a cero:

−1

2𝑥 +

1

3𝑦 = 0

1

2𝑥 −

2

3𝑦 = 0

Además, como t es un vector de

probabilidades, debemos tener que x + y = 1.

Esto nos lleva al sistema:

−1

2𝑥 +

1

3𝑦 = 0

1

2𝑥 −

2

3𝑦 = 0

Page 56: Final grupo markov

𝑥 + 𝑦 = 1

PASO 3: Hacemos reducción por renglones

obtenemos, sucesivamente:

a) Multiplicar el primer renglón por -2.

(

−1

2

1

20

1

2

2

30

1 1 1

)𝑀1(−2) (

1 −2

30

1

2−

1

30

1 1 1

)

b) Multiplicar el primer renglón por −1

2 y

sumarlo al segundo renglón:

(

1 −2

30

1

2−

1

30

1 1 1

)𝐴1,2 (−1

2) 𝐴1,3(−1) (

1 −2

30

0 0 0

05

31

)

c) Multiplicamos el tercer renglón por 3

5

(

1 −2

30

0 0 0

05

31

) 𝑀3 (3

5) (

1 −2

30

0 0 0

0 13

5

)

d) Multiplicar el tercer renglón por 2

3 y

sumarlo al primer renglón:

Page 57: Final grupo markov

(

1 −2

30

0 0 0

0 13

5

) 𝐴3,1 (2

3) (

1 02

5

0 0 0

0 13

5

)

e) Intercambiamos los renglones segundo

y tercero.

(

1 02

5

0 0 0

0 13

5

) 𝑃2,3 (

1 02

5

0 13

5

0 0 0

)

Así, x = 2

5 , y =

3

5 y el único vector de

probabilidades es t =(2

5

3

5 )

PASO 4: Comprobación

tT = t

tT = (2

5

3

5 ) (

1

2

1

21

3

2

3

) = (2

5

3

5 )= t

Page 58: Final grupo markov

8. EJERCICIO

El problema del jardinero tiene un total de 8

políticas estacionarias, como se muestra en la

siguiente tabla y con respecto a esa

información calcule cuánto es el ingreso que

produce la política 2.

Política estacionaria , S Acción

1 No fertilice nada

2 Fertilice sin importar el

estado

3 Fertilice en estado 1

4 Fertilice en estado 2

5 Fertilice en estado 3

6 Fertilice en estado 1 o

2

7 Fertilice en estado 1 o

3

8 Fertilice en estado 2 o

3

𝑃1 = [. 2 . 5 . 300

. 5 . 50 1

] 𝑅1 = [7 6 300

5 10 −1

]

𝑃2 = [. 3 . 6 . 1. 1. 05

. 6 . 3

. 4 . 55] 𝑅2 = [

6 5 −176

4 03 −2

]

Page 59: Final grupo markov

𝑃3 = [. 3 . 6 . 100

. 5 . 50 1

] 𝑅3 = [6 5 −100

5 10 −1

]

𝑃4 = [. 2 . 5 3. 10

. 6 . 30 1

] 𝑅4 = [7 6 370

4 00 −1

]

𝑃5 = [. 2 . 5 . 30. 05

. 5 . 5

. 4 . 55] 𝑅5 = [

7 6 306

5 13 −2

]

𝑃6 = [. 3 6 . 1. 10

. 6 . 30 1

] 𝑅6 = [6 5 −170

4 00 −1

]

𝑃7 = [. 3 . 6 . 10

. 05. 5 . 5. 4 . 55

] 𝑅7 = [6 5 −106

5 13 −2

]

𝑃8 = [. 2 . 5 . 3. 1. 05

. 6 . 3

. 4 . 55] 𝑅8 = [

7 6 376

4 03 −2

]

PASO 1: Los valores de 𝑣𝑖𝑘 se calculan como

se muestra en la siguiente tabla.

vIS

s i=1 i=2 i=3

1 5.3 3 -1

2 4.7 3.1 4

3 4.7 3 -1

Page 60: Final grupo markov

4 5.3 3.1 -1

5 5.3 3 .4

6 4.7 3.1 -1

7 4.7 3 .4

8 5.3 3.1 .4

PASO 2: Los cálculos de las probabilidades

estacionarias se llevan a cabo con las

ecuaciones

𝜋𝑠𝑝𝑠 = 𝜋𝑠

𝜋1 + 𝜋2+. . . +𝜋𝑛 = 1

Como ejemplo, considere s=2, las ecuaciones

asociadas son:

. 3𝜋1 +.1𝜋2 +. 05𝜋3 = 𝜋1

. 6𝜋1 +. 6𝜋2 +. 4𝜋3 = 𝜋2

. 1𝜋1 +.3𝜋2 +. 55𝜋3 = 𝜋3

(Nota que una de las tres primeras ecuaciones

es redundante).La solución produce:

𝜋12 =

6

59, 𝜋2

2 =31

5, 𝜋3

2 =22

59,

En este caso, el ingreso anual esperado es:

Page 61: Final grupo markov

𝐸2 = ∑𝜋𝑖 2

3

𝑖=1

𝑣𝑖2

=1

59(6 ∗ 4.7 + 31 ∗ .31 + 22 ∗ .4) = 2.256

PASO 3: La siguiente tabla resume 𝜋𝑘𝑦 𝐸𝑘

para todas las políticas estacionarias. Aunque

esto de ninguna manera afectara los cálculos,

note que cada uno de las políticas 1,3,4 y 6

tiene un estado de absorción: el estado 3. Esta

es la razón que 𝜋1=𝜋2=0 𝑦𝜋3=1 para todas las

políticas.

Page 62: Final grupo markov

SOLUCIÓN: La política 2 produce el mayor

ingreso anual esperado. La política de largo

plazo óptima requiere aplicar fertilizante sin

importar el estado del sistema.

9. EJERCICIO

Teorema 8

Ejemplo: Sea P =[1/2 1/21/4 3/4

] , utilizando el

teorema 8, encontrar la distribución 𝜋1, 𝜋2.

1 0 0 1 -1

2 2.256

3 0 0 1 .4

4 0 0 1 -1

5 1.724

6 0 0 0 -1

7 1.734

8 2.216

π1 π2𝑠 π3

𝑠 𝐸𝑠

6

59

31

59

22

59

5

15469

154

80

154

5

137

12

135

69

135

54

135

62

137

70

137

Page 63: Final grupo markov

𝜋𝑃 = 𝜋 ⟹ (𝜋1, 𝜋2) = (𝜋1, 𝜋2) (

1

2

1

21

4

3

4

) = (1

2𝜋1 +

1

4𝜋2,

1

2𝜋1 +

9

4𝜋2) ⟹

𝜋1 =1

2𝜋1 +

1

4𝜋2

1

2𝜋1 +

1

4𝜋2

𝜋2 =1

2𝜋1 +

3

4𝜋2

1

4𝜋2 +

1

2𝜋1

𝜋1 + 𝜋2 = 1

Resolviendo el sistema nos queda que:

𝜋1 =1

3 𝑦 𝜋2 =

2

3

10. EJERCICIO

Teorema 10

Sea P una cadena de Markov donde

S= {1, 2,……., 8}, calcular la matriz límite:

Page 64: Final grupo markov

Se observa que,

{1,2,3} Clases de estados recurrentes, {4,5}

irreducibles y aperiódicos.

{6,7,8} Clases de estados transitorios, sólo

pueden alcanzar los estados 1, 2 y 3.

Además tenemos que como la matriz �̂� se

forma de:

�̂� = (𝐼 0𝐵 𝑄

)

Determinamos que las matrices I, B y Q son

𝑄 = [0.4 0.6 00 0 0.20.6 0 0

] , 𝐵 = [0 00.8 00.4 0

] , 𝐼 = [1 00 1

]

Calculamos (𝐼 − 𝑄)−1

(𝐼 − 𝑄)−1 = [0.6 −0.6 00 1 −0.2

−0.6 0 1]

−1

Y

Page 65: Final grupo markov

=1

66[125 75 1515 75 1575 45 75

]

−1

=

[ 125

66

75

66

15

6615

66

75

66

15

6675

66

45

66

75

66]

Calculamos R (matriz potencia):

𝑆𝑖 𝑗 𝑒 𝑟𝑒𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒 :

𝑟𝑖𝑗 = { 0 𝑖 𝑓𝑖𝑗 = 0

∞ 𝑖 𝑓𝑖𝑗 > 0

𝑆𝑖 𝑗 𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛 𝑖𝑡𝑜𝑟𝑖𝑜 𝑒 𝑖 𝑒 𝑟𝑒𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒

⟹ 𝑟𝑖𝑗 = 0.

𝑆𝑖 𝑗 𝑒 𝑖 𝑜𝑛 𝑡𝑟𝑎𝑛 𝑖𝑡𝑜𝑟𝑖𝑜 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒 :

(𝑟𝑖𝑗)𝑖, 𝑗 ∈ 𝐷 = (𝐼 − 𝑄)−1

De Acuerdo a lo anterior reemplazamos en la

matriz potencial y esta nos quedaría así:

Page 66: Final grupo markov

Calculamos la matriz F = (𝑓𝑖𝑗)𝑖, 𝑗 ∈ 𝑆, entonces:

𝑆𝑖 𝑖 𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛 𝑖𝑡𝑜𝑟𝑖𝑜 𝑦 𝑘 𝑒 𝑟𝑒𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒

⟹ 𝑓𝑖𝑘 = 𝑔𝑖𝑗

𝑆𝑖 𝑖, 𝑗 𝑜𝑛 𝑡𝑟𝑎𝑛 𝑖𝑡𝑜𝑟𝑖𝑜 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑖𝑗 < ∞, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒 :

𝑓𝑗𝑗 = 1 −1

𝑟𝑗𝑗

𝑓𝑖𝑗 =𝑟𝑖𝑗

𝑟𝑗𝑗

𝑆𝑖 𝑖, 𝑗 𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑖 𝑚𝑎 𝑐𝑙𝑎 𝑒

⟹ 𝑓𝑖𝑗 = 1.

𝑆𝑖 𝑖 𝑒 𝑟𝑒𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑦 𝑗 𝑡𝑟𝑎𝑛 𝑖𝑡𝑜𝑟𝑖𝑜 ó 𝑟𝑒𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑑𝑒 𝑑𝑖 𝑡𝑖𝑛𝑡𝑎 𝑐𝑙𝑎 𝑒 ⟹ 𝑓𝑖𝑗 = 0.

Entonces formamos la matriz F:

La matriz límite es de la forma,

Page 67: Final grupo markov

Donde las 𝜋𝑖 verifican los siguientes sistemas

de ecuaciones:

(𝜋1𝜋2𝜋3) = (𝜋1𝜋2𝜋3) (0.4 0.3 0.30 0.6 0.40.5 0.5 0

)

𝜋1 + 𝜋2 + 𝜋3 = 1

(𝜋4𝜋5) = (𝜋4𝜋5) (0 10.8 0.2

)

𝜋4 + 𝜋5 = 1

Como resultado tenemos que: 𝜋1 = 0.22 ,

𝜋2 = 0.51, 𝜋3 = 0.27, 𝜋4 = 0.4, 𝜋5 = 0.6

Reemplazando : 𝜋1, 𝜋2 , 𝜋3, 𝜋4, 𝜋5 nos queda

la matriz límite 𝑃∗ así:

Page 68: Final grupo markov

6. EJERCICIOS PROPUESTOS

1. EJERCICIO

Un agente comercial de la empresa

Plasticaucho realiza su trabajo en tres

ciudades, Quito, Guayaquil y Cuenca. Para

evitar desplazamientos innecesarios está todo

el día en la misma ciudad y allí pernocta,

desplazándose a otra ciudad el día siguiente, si

no tiene trabajo. Después de estar trabajando

un día en Cuenca, la probabilidad de tener que

seguir trabajando en ella al día siguiente es de

0.4, la de tener que viajar a Guayaquil es de 0.4

y la de tener que ir a Quito es de 0.2. Si el

viajante duerme un día en Guayaquil, con

probabilidad de un 20% tendrá que seguir en la

misma ciudad al día siguiente, en el 60% de los

Page 69: Final grupo markov

casos viajará a Cuenca, mientras que irá a

Quito con una probabilidad de 0.2. Por último,

si el agente comercial trabaja todo el día en

Quito, permanecerá en esa misma ciudad, al

día siguiente, con una probabilidad de 0.1, irá a

Guayaquil con una probabilidad de 0.3 y a

Cuenca con una probabilidad de 0.6.

a) ¿Cuáles son los porcentajes de días en

los que el agente comercial está en cada

una de las tres ciudades?

b) Si hoy el viajante está en Cuenca, ¿Cuál

es la probabilidad de que también tenga

que trabajar en Cuenca al cabo de

cuatro días?

RESPUESTAS

El porcentaje de que el agente esté en

Quito es 18.18 %, en Guayaquil= 31.82

% y en Cuenca= 50 %.

La probabilidad de que esté en Cuenca

y tenga que quedarse ahí al cabo de 4

días es aproximadamente es de 0.5008

Page 70: Final grupo markov

2. EJERCICIO

En Quero hay tres supermercados (S. ROSITA,

S. Loren’s y S. CACHITO), existe la movilidad

de un cliente de uno a otro. El 1 de septiembre,

¼ de los clientes va al S. ROSITA, 1/3 al S.

LOREN’S y un 5/12 al S. CACHITO de un total

de 10 000 personas. Cada mes el S. ROSITA

retiene al 90 % de sus clientes y pierde el 10 %

que se va al S. LOREN’S. Se averiguó que el

S. LOREN’S sólo retiene el 5 % y pierde el 85

% que va al S. ROSITA y el resto se va al S.

CACHITO, el S. CACHITO retiene sólo el 40 %,

pierde el 50 % que va al S. ROSITA y el 10 %

va al S. LOREN’S.

a) Establecer la matriz de Transición.

b) ¿Cuál es la proporción de clientes para

los supermercados el 1 de noviembre?

RESPUESTA

El mercado S. ROSITA después de dos

meses tendrá una clientela del 81.55 %,

Page 71: Final grupo markov

el S. LOREN’S tendrá el 9.58 % y el S.

CACHITO el 8.83 % del total de clientes.

3. EJERCICIO

La empresa DELTEX Industrial fabrica

cobijas para las que hay 3 proveedores a

internacionales de materia prima de

polipropileno, nylon y poliéster. La empresa

elabora el producto con cada una de las

materias primas después de un proceso de

producción.

Suponiendo que una cobija es elaborado con

polipropileno, realizar una cadena Markov para

determinar una probabilidad de que se fabrique

con el producto de Nylon en los próximos dos

procesos de producción.

0.7 0.2 0.1

0.5 0.3 0.2

0.3 0.4 0.3

Polip. Nylon poliéster

Polipropileno

Nylon

Poliéster

Page 72: Final grupo markov

RESPUESTA:

La probabilidad que se fabrique el producto con

Nylon es del 0.62%

4. EJERCICIO

La Constructora Alvarado Ortiz ha ganado un

contrato para construir una carretera que vaya

desde Pelileo a Baños. Esta carretera ayudará

a estudiar los efectos de la explosión volcánica

de 1949. La compañía ha determinado que el

polvo volcánico obstruirá los filtros de las

máquinas con mucha rapidez y provocará que

los camiones dejen de funcionar. Los filtros se

revisan todos los días y se clasifican como

recién limpiados, parcialmente obstruidos o

totalmente obstruidos. Experiencias anteriores

han demostrado que un filtro que se acaba de

limpiar tiene una probabilidad de 0.1 de

permanecer limpio, una probabilidad de 0.8

de quedar parcialmente obstruido y una

probabilidad de 0.1 de quedar totalmente

obstruido. Un filtro que ya está parcialmente

Page 73: Final grupo markov

obstruido tiene una probabilidad de 0.5 de

permanecer en el mismo estado y una

probabilidad de 0.5 de quedar totalmente

obstruido. Para poder utilizar un camión que

tiene un filtro totalmente obstruido éste se debe

limpiar primero.

a) Elabore una matriz de transición para

este problema.

b) Si un camión deja de operar, esto le

cuesta a la compañía $100 por el tiempo

perdido y $20 para limpiar el filtro.

¿Cuánto le costará a la compañía seguir

una política de no limpiar filtros sino

hasta que se detengan los camiones?

RESPUESTA

Le costará a la compañía $30.852 seguir la

política de no limpiar filtros sino hasta que se

detengan los camiones.

5. EJERCICIO

Page 74: Final grupo markov

El ascensor del Consejo Provincial de

Tungurahua con planta baja y dos pisos realiza

viajes de uno a otro piso. El piso en el que

finaliza el viaje del ascensor sigue una cadena

de Markov. Se sabe que la mitad de los viajes

que parten de la planta baja se dirigen a cada

uno de los otros dos pisos, mientras que si un

viaje comienza en el primer piso, sólo el 25%

de las veces finaliza en el segundo. Por último,

si un trayecto comienza en el segundo piso,

siempre finaliza en la planta baja. Se pide:

Calcular la matriz de probabilidades de

transición de la cadena.

Dibujar el grafo asociado.

¿Cuál es la probabilidad de que, a largo

plazo, el ascensor se encuentre en cada

uno de los tres pisos?

RESPUESTA

Page 75: Final grupo markov

La probabilidad de que se encuentre en la

planta baja es 0.47, en el piso 1 es de 0.2352 y

en el piso 2 es de 0.2941.

6. EJERCICIO

Los consumidores de café de las cafeterías de

la ciudad de Ambato usan tres marcas SI

CAFÉ, CAFÉ PRES 2, BUEN DÍA. En marzo

del 2013 se hizo una encuesta en la que se

entrevistó a las 8450 personas que compran

café y los resultados fueron:

MARCAS DE CAFÉ

COMPRA ACTUAL

SÍ CAFÉ CAFÉ

PRES 2 BUEN

DÍA TOTAL

SÍ CAFÉ 507 845 338 1.690

CAFÉ PRES 2

676 2.028 676 3.380

Page 76: Final grupo markov

BUEN DÍA

845 845 1.690 3.380

TOTAL 2.028 3.718 2.704 8.450

a) Si las compras se hacen mensualmente,

¿Cuál será la distribución del mercado

de café en las cafeterías de la ciudad de

Ambato en el mes de junio?

b) A la larga, ¿Cómo se distribuirán los

clientes de café?

RESPUESTA

A la larga, la distribución del mercado será: la

marca SÍ CAFÉ tendrá el 23.8 % del mercado,

CAFÉ PRES 2 tendrá el 47.61 % y CAFÉ BUEN

DÍA tendrá el 28.57 %.

7. EJERCICIO

Suponga que toda la industria de refresco

produce dos colas: Coca Cola y Pepsi Cola.

Cuando una persona ha comprado Coca Cola

hay una probabilidad de 90 % de que siga

comprándola a la vez siguiente. Si una persona

Page 77: Final grupo markov

toma Pepsi, hay un 80% de que repita la vez

siguiente.

a) Si una persona actualmente es

comprador de Pepsi. ¿Cuál es la

probabilidad de que compre Coca Cola

pasadas dos compras a partir de ahora?

b) Si una persona actualmente es

comprador de Coca Cola. ¿Cuál es la

probabilidad de que compre Coca Cola

pasadas tres compras a partir de ahora?

c) Supongamos que el 60% de toda la

gente toma hoy Coca Cola y el 40%

Pepsi. A tres compras a partir de ahora,

¿Qué fracción de los compradores

estará tomando Coca Cola?

RESPUESTA

Hay una probabilidad del 34% de que

pasadas dos compras consuma Coca

Cola.

Page 78: Final grupo markov

Hay una probabilidad del 78.1 % de que

pasadas tres compras consuma Coca

Cola.

Hay una probabilidad del 64.38 % de

que pasadas tres compras un

comprador consuma Coca Cola.

8. EJERCICIO

Una tienda de departamentos regional y

grande, MITULA S.A, tiene un plan de crédito

en sus tiendas. Cada mes se clasifican esas

cuentas en cuatro categorías: saldadas, con

saldo insoluto, con saldo vencido y como

cuenta perdida. Las cuentas saldadas son las

que no tienen saldo a pagar en el mes; las

cuentas con saldo insoluto son las que no

adeudan saldos en el mes anterior, pero les

han cargado compras realizadas en el mes; las

cuentas vencidas son las que tienen un saldo

que ha permanecido sin pagarse durante más

de un mes, pero menos de tres. Por último,

las cuentas pérdidas son las que tienen un

Page 79: Final grupo markov

saldo con más de tres meses de vencido y que

no se espera poder cobrar.

De los registros de la tienda, se ha determinado

que el 60% de las cuentas con saldo insoluto

se pagan al siguiente mes, 30% permanece en

la misma categoría y 10% se convierte en saldo

vencido. También se ha determinado que el

40% de las cuentas vencidas se convierten en

saldos insolutos, 30% se pagan, 20%

permanecen vencidas y 10% se cancelan como

cuentas perdidas. Una vez que una cuenta

llega a la categoría de perdida, se cancela. De

manera similar, una vez que una cuenta pasa a

la categoría de saldada, ese dinero ya no es

parte de las cuentas por cobrar.

a) Escriba la matriz de transición para este

problema.

b) Si en la actualidad existen $100.000 de

las cuentas por cobrar en la categoría de

saldadas, $50.000 en la categoría de

saldo insoluto, $20.000 en la categoría

Page 80: Final grupo markov

de saldos vencidos y $5.000 en la

categoría de cuentas perdidas, ¿qué

cantidad habrá en cada categoría al mes

siguiente? ¿Y al mes después de éste?

RESPUESTA

Se pueden resumir los resultados:

9. EJERCICIO

Una maestra de matemáticas, no queriendo

parecer predecible, decide asignar las tareas

basándose en probabilidades. El primer día de

clases, dibuja este diagrama en el pizarrón

para decir a los estudiantes, si en la próxima

clase les espera una asignación completa (C),

una asignación parcial (P) o sin asignación (N).

Cuentas saldadas

Cuentas con saldo insoluto

Cuentas con saldo vencido

Cuenta perdida

A un mes $136 000 $23 000 $9 000 $7 000

A dos meses

$152 500 $10 500 $4 100 $7 900

Page 81: Final grupo markov

Construir y etiquetar la matriz de transición

correspondiente al diagrama.

a) Si los estudiantes tienen hoy una

asignación completa, ¿cuál es la

probabilidad de que tengan una

asignación completa de nuevo la

próxima clase?

b) Si hoy no tienen asignación, ¿cuál es la

probabilidad de que no tengan una

asignación de nuevo la próxima clase?

c) Hoy es miércoles y los estudiantes

tienen una asignación parcial. ¿Cuál es

la probabilidad de que no tengan tareas

el viernes?

d) La matriz A es la matriz de transición

para un día. Encontrar la matriz de

transición para dos días (por ejemplo, si

hoy es lunes, ¿cuáles son las

oportunidades de cada clase de

asignación el día miércoles?).

Page 82: Final grupo markov

e) Encontrar la matriz de transición para

tres días.

f) Si no se tienen tareas este viernes,

¿cuál es la probabilidad de que no se

tengan tareas el próximo viernes?

(considerar sólo cinco días de escuela a

la semana). Dar respuesta exacta para

dos decimales.

RESPUESTAS

Los resultados son:

x = 0.4888839

y = 0.33330357

z = 0.180804

10. EJERCICIO

En la industria de la cerveza lidera, tres marcas

comparten aproximadamente el 75 % de todas

las ventas; la Pilsener, Club Verde y

Budweiser. Estas tres marcas compiten de

forma intensa por los clientes de la cerveza

Page 83: Final grupo markov

ligera. En tiempos recientes, la Pilsener hizo

que una agencia externa llevara a cabo un

estudio sobre la forma en que los clientes

estaban reaccionando a los anuncios. Los

resultados del estudio mostraron que después

de tres meses, el 50 % de los clientes de la

Pilsener seguían prefiriendo la Pilsener, el 30

% preferían la Club Verde y el 20 % preferían

la Budweiser. De los clientes de la Club, el 60

% seguían prefiriendo la Club Verde, el 30 %

preferían la Pilsener y el 10 % preferían la

Budweiser. De los clientes de la Budweiser, 40

% seguían prefiriendo su marca, 30 % preferían

la Pilsener y el 30 % preferían la Club.

a) Elabore la Matriz de Transición para

este problema de cambios de marca.

b) Determine el porcentaje de estado

estacionario de los clientes que

prefieren cada tipo de cerveza.

RESPUESTA

Page 84: Final grupo markov

En el largo plazo, el 37.5 % preferirán Pilsener,

el 42.857 % Club Verde y el 19.64 %

Budweiser.

11. EJERCICIO

Una vez terminado el censo realizado en el

cantón salitre se determinó que existen 10,000

habitantes, de los cuales 5000 personas no

fuman, 2500 fuman uno o menos de un

paquete diario y 2500 fuman más de un

paquete diario. En un mes hay un 5% de

probabilidad de que un no fumador comience a

fumar un paquete diario, o menos, y un 2% de

que un no fumador pase a fumar más de un

paquete diario. Para los que fuman un paquete,

o menos, hay un 10% de probabilidad de que

dejen el tabaco, y un 10% de que pasen a

fumar más de un paquete diario. Entre los que

fuman más de un paquete, hay un 5% de

probabilidad de que dejen el tabaco y un 10%

de que pasen a fumar un paquete, o menos.

Page 85: Final grupo markov

¿Cuántos individuos habrá de cada clase el

próximo mes?

RESPUESTA:

Después de un mes habrá:

No Fuman = 5025,

Fuman uno o menos de un paquete

diarios = 2500,

Fuman más de un paquete diario = 2475

12. EJERCICIO

La tienda “BROTHERGAMES” dedicada a la

renta de Videojuegos tiene tres locales en la

ciudad de Ambato. Un videojuego puede ser

rentado en cualquiera de los tres locales y

0 1 2

0 0.93 0.05 0.02

1 0.10 0.80 0.10

2 0.05 0.10 0.85

Page 86: Final grupo markov

regresado en cualquiera de ellos. Hay estudios

que muestran que los Videojuegos son

rentados en un local y devueltos de acuerdo

con las probabilidades dadas por:

Rentado en Devuelto a

1 2 3

1 70% 10% 20%

2 20% 80% 0

3 20% 20% 60%

Suponga que el 20% de los videos son

rentados inicialmente en el local 1, el 50% en el

local 2 y el 30% en el local 3. Encuentre los

porcentajes que puede esperarse sean

devueltos en cada local, después de:

a) Una renta

b) Dos rentas

RESPUESTA

La probabilidad de que los videojuegos

sean devueltos en cada local después

de una renta es:

Page 87: Final grupo markov

𝑃1 = (0,36 0,54 0,40)

La probabilidad de que los videojuegos

sean devueltos en cada local después

de dos rentas es:

𝑃2 = (0,44 0,548 0,312)

13. EJERCICIO

Para que Juanito Pérez pueda ingresar a

trabajar en la empresa Konami S.A deberá

pasar la prueba que consiste hacer un peinado

de zona en 3 ciudades A, B y C, para evitar

perder el tiempo entre el desplazamiento de

ciudad en ciudad decide hacer el peinado de

zona por día. Después de un día de trabajo en

la ciudad C, la probabilidad de tener que

trabajar en la misma ciudad al día siguiente es

de 0.4, la de tener que viajar a B es de 0.4 y la

de tener que ir a la ciudad A es de 0.2. Si el

viajero duerme un día en B, con probabilidad de

un 20%, tendrá que seguir trabajando en la

misma ciudad al día siguiente, en el 60% de los

Page 88: Final grupo markov

casos viajara a C, mientras que irá a la ciudad

A con probabilidad de 0.2 por último si el

aspirante a vendedor trabaja todo un día en A

permanecerá en esa ciudad al mismo siguiente

con una probabilidad del 0.1, irá a B con una

probabilidad de 0.3 y a C con una probabilidad

de 0.6.

a) Si hoy el viajante está en C, ¿cuál es la

probabilidad de que también tenga que

trabajar en C al cabo de cuatro días?

b) ¿Cuáles son los porcentajes de días en

los que el agente comercial está en cada

una de las 3 ciudades?

RESPUESTA

La matriz de solución P es la siguiente para

el orden A,B,C

𝑃 = (0,1 0,3 0,60,2 0,2 0,60,2 0,4 0,4

)

El apartado a) consiste en averiguar el

Page 89: Final grupo markov

término P433, es decir el término que ocupa

la fila 3 y la columna 3 de la matriz P4. lo cual

se obtiene con la fila 3 y la columna 3 de P2,

cuyos valores son;

Por tanto el término buscado es:

14. EJERCICIO

El valor de una acción fluctúa día con día.

Cuando la bolsa de valores se encuentra

estable, un incremento en un día tiende a

anteceder una baja el día siguiente, y una baja

por lo regular es seguida por un alza. Podemos

- - 0,48

- - 0,48

0.18 0.30 0.52 P =

(0,18) (0,48)+ (0,30) (0,48)+ (0,52) (0,52)= 0,5008

Page 90: Final grupo markov

modelar estos cambios en el valor mediante un

proceso de Markov con dos estados, el primer

estado consistente en que el valor se

incrementa un día dado, el segundo estado

definido por la baja. (la posibilidad de que el

valor permanezca sin cambio se ignora)

suponga que la matriz de transición es la

siguiente:

Cambio de

Mañana

A B

Cambio

de hoy

A 0.1 0.9

B 0.8 0.2

Si el valor de la acción bajó hoy, calcule la

probabilidad de que se incremente 3 días

después a partir de ahora.

RESPUESTA:

Page 91: Final grupo markov

El valor de la acción en 3 días se incrementara

en un 0.36%

15. EJERCICIO

Se analizó en la ciudad de Ambato el número

de estudiantes que se cambió de una escuela

a otra durante su periodo lectivo. En promedio,

Escuela La Salle, fue capaz de retener 65% de

sus estudiantes inscripto originalmente. Sin

embargo, 20% de los estudiantes que al

princip9i se inscribieron en ella se fueron a la

escuela Pensionado La Merced y 15% a la

escuela Juan Montalvo. de esta dos La Merced

: 90% de sus estudiantes se quedaron hasta

terminar totalmente el año lectivo el rector de la

escuela La Salle estima que la mitad de los

estudiante que abandona la escuela

Pensionado La Merced entran a la escuela La

Salle y la otra mitad a la escuela Juan

Montalvo. Esta última pudo retener el 80% de

sus estudiantes después que se inscribieron.

Por otra parte, 10% de los estudiantes

Page 92: Final grupo markov

originalmente se cambiaron al Pensionado La

Merced y el otro 10% se inscribió en la Salle.

Actualmente, La Salle tiene 40% del mercado.

Pensionado La Merced, tiene 35% de mercado.

La participación de mercado restante (25%)

consiste en estudiantes que asisten a la

escuela Juan Montalvo.

Al rector de la escuela La Salle de gustaría

determinar la participación de mercado que

tendrá la escuela el próximo año. La matriz de

transición está dada por:

A

DE LA SALLE PENSIONADO

LA MERCED

JUAN

MONTALVO

LA SALLE 0.65 0.20 0.15

PENSIONADO

LA MERCED 0.05 0.90 0.05

JUAN

MONTALVO 0.10 0.10 0.80

Page 93: Final grupo markov

RESPUESTA

16. EJERCICIO

La UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO

administra exámenes de competencia cada

semestre. Estos exámenes permiten a los

estudiantes extender la clase de

introducción a la computación que se

imparte en la Universidad. Los resultados de

los exámenes pueden clasificarse en uno de

los siguientes cuatro estados:

ESCUELA PARTICIPACIÓN DE MERCADO

X1 LA SALLE 0.158

X2 PENSIONADO LA MERCED 0.579

X3 JUAN MONTALVO 0.263

Page 94: Final grupo markov

Estado 1: aprobación de todos los

exámenes de cómputo y exención del curso

Estado 2: no se aprueba todos los

exámenes de cómputo en el tercer intento y

se requiere tomar el curso

Estado 3: reprobar los exámenes de

cómputo en el primer intento

Estado 4: reprobar los exámenes de

cómputo en el segundo intento

El coordinador de los exámenes del curso ha

notado la siguiente matriz de probabilidades

de transición:

1 0 0 0

0 1 0 0

0.8 0 0.1 0.1

0.2 0.2 0.4 0.2

RESPUESTA

Page 95: Final grupo markov

(231; 19)

Como puede observarse, la matriz consta de

dos números. El número de estudiantes que

exentará es de 231. El número de alumnos

que finalmente tendrán que tomar el curso

es de 19.

17. EJERCICIO

El departamento de marketing de

INDUSTRIAS CATEDRAL S.A ha realizado

un estudio de mercado en el año 2013 donde

se estima que el 10% de la gente que

compra un producto un mes, no lo comprará

el mes siguiente. Además, el 45% de

quienes no lo compren un mes lo adquirirá al

mes siguiente. En una población de 1.000

individuos, 200 compraron el producto el

Page 96: Final grupo markov

primer mes. ¿Cuántos lo comprarán al mes

próximo? ¿Y dentro de dos meses?

A continuación se muestra la siguiente

matriz de transición:

𝑷(𝟎) = (200 800) (0,90 0,100,45 0,55

)

RESPUESTA

El primer mes comprarán C=540

personas y no comprarán N=460

personas.

El segundo mes comprarán C=693

personas y no comprarán N= 307

personas.

18. EJERCICIO

Los sectores económicos del Ecuador se

pueden dividir en 3 clases: Primario,

Page 97: Final grupo markov

Secundario y Terciario. Actualmente el 30% de

las empresas pertenecen al sector Primario, el

40% al sector Secundario, y el 30% pertenecen

al sector Terciario. La matriz de transición de

un año al siguiente es:

𝑆. 𝑃 𝑆. 𝑆 𝑆. 𝑇

𝑆. 𝑃𝑆. 𝑆𝑆. 𝑇

(0,8 0,1 0,10,2 0,8 00,1 0,1 0,8

)

Donde:

S.P= Sector Primario

S.S= Sector Secundario

S.T= Sector Terciario

De acuerdo a la información dada, el 𝑃0 es:

𝑃0 = (0,3 0,4 0,3)

Page 98: Final grupo markov

Preguntas: Encuentre los porcentajes de los

tres tipos Sectores Económicos: a) para el año

próximo, b) dentro de 2 años.

RESPUESTA

El valor de las probabilidades para el

año siguiente es:

𝑃1 = (0,35 0,38 0,27) 𝑃1 = 𝑃0 ∗ 𝑇

El porcentaje para cada tipo de sector

económico para el año 2 es:

𝑃2 = (0,383 0,366 0,251) 𝑃2 = 𝑃1 ∗ 𝑇

19. EJERCICIO

La empresa “Creaciones Loren´s” produce dos

tipos de buzos, buzos de talla S y buzos de talla

M. El gerente de la empresa se ha dado cuenta

que cada seis meses, los buzos de talla S

permanece en bodega un 40%, 10% se vende

a $20 c/u, 30% no han salido defectuosos (es

decir se mantienen en la talla S) y 20% han

salido defectuosos (es decir se acercan a la

Page 99: Final grupo markov

Talla M). Los buzos de talla M un 50% se han

vendido en $50, 20% en $30 y 30% no han

salido defectuosos.

ESTADOS:

BS: Buzos de talla Small

BM: Buzos de talla Medium

B: Permanecen en Bodega

V: Vendidos

BS BM B V

BS 0,3 0,2 0,4 0,1

BM 0 0,3 0 0,7

B 0 0 1 0

V 0 0 0 1

a) ¿Cuantos se mantiene en la talla S (sin

defectos)?

Page 100: Final grupo markov

b) ¿Cuál es la probabilidad de que los

buzos permanezcan en bodega antes de

ser vendidos?

RESPUESTA

1.423 buzos no saldrán defectuosos

57% de probabilidad de que los buzos

permanezcan en bodega antes de ser

vendidos

20. EJERCICIO

Una estudiante está preocupada por su auto,

pues no le gustan las abolladuras. En la

escuela puede estacionarlo en la calle en un

espacio, en dos espacios o en el

estacionamiento. En la calle, en un espacio, y

la probabilidad de que lo abollen es de 1

10. En

dos espacios es de 1

50 y la probabilidad de una

infracción es de $15 es de 3

10. El

estacionamiento le cuesta $5, pero no lo

abollarán. Si lo abollan y lo lleva a reparar, se

Page 101: Final grupo markov

queda sin auto 1 día y el costo asciende a $50

por la reparación y el transporte en taxi.

También puede manejar su auto abollado, pero

piensa que la pérdida del valor y su orgullo

equivalen a un costo de $9 por día de escuela.

Desea determinar la política óptima para

estacionarse y repararlo o no si lo abollan a fin

de minimizar su costo promedio esperado (a

largo plazo) por día de escuela.

a) Formule este problema como un

proceso de decisión markoviano;

identifique estados y decisiones y

encuentre 𝐶𝑖𝑗.

b) Encontrar la política óptima por

enumeración exhaustiva.

RESPUESTA:

Los estados posibles del automóvil son

abollado y no abollado.

Cuando el automóvil no este abollado,

estacionarlo en un espacio en la calle.

Page 102: Final grupo markov

Cuando este abollado, llevarlo a

reparación.

7. BIBLIOGRAFÍA:

FREDERICK S. HILLER, GERALD J.

LIEBERMAN, Introducción a la

Investigación Operativa, 9na edición, Mc

Graw Hill.

GIL ALUJA J.; (1967); El Estudio

Dinámico De La Elección De

Inversiones; Técnica Contable; Pág. 41-

50 y 66.

HERNÁNDEZ, B; (2000); Bolsa y

estadística bursátil; España; Editorial-

Díaz De Santos S.A; Pág. 29.

JOHNSON David B, MOWRY Thomas

A. Matemáticas finitas: aplicaciones

prácticas. Año 2000. Editorial Thomson.

pág. 340

Page 103: Final grupo markov

LÓPEZ E.; Departamento De Dirección

Y Economía De La Empresa; España;

Campus de vegazana; Pág. 355 - 356

RENDER BARRY, STAIR RALPH,

HANNA MICHAEL, (2006). Métodos

Cuantitativos para los Negocios; México

Novena Edición, Pearson.