Física I.UTP

FIM

AA

S

Sesión Nº 1: Vector unitario. Ángulos y cosenos directores. Operaciones vectoriales con vectores unitarios: Adición, sustracción. Productos vectoriales: producto escalar, producto vectorial, triple producto escalar, triple producto vectorial.

VECTORES

CAPÍTULO 2

FÍSICA I

FACULTAD DE CIENCIAS

UNI

ARTURO TALLEDO(DOCTOR EN FÍSICA)

VECTORES.• 1) Cantidades escalares, vectoriales y tensoriales.• 2) Operaciones con vectores.• 2.1) Suma y resta. • 2.2) Producto por un escalar.• 2.3) Producto escalar de dos vectores.• 2.4) Producto vectorial de dos vectores.• 3) Otros conceptos importantes relativos a vectores.• 3.1) Vector Unitario.• 3.2) Componentes de un vector.• 4) Componentes cartesianas de un vector.• Operaciones de vectores usando componentes cartesianas.

Cantidades escalares, vectoriales y tensoriales.

• En Física necesitamos definir diferentes tipos de conceptos, siendo tal vez los más importantes, aquellos susceptibles de medida como posición, tiempo, fuerza, velocidad, masa, permitividad eléctrica, etc.

• Las cantidades escalares son aquellas que quedan bien definidas por un número real.

• Las cantidades vectoriales necesitan que se especifique dirección y sentido.

• Las cantidades tensoriales se refieren a propiedades de los cuerpos que varían al cambiar la dirección.

Definición de vector.

Así como los números reales son entes abstractos sobre los cuales se definen varias operaciones y en Física son usados para describir a las magnitudes escalares, los vectores también son entes abstractos que los usaremos en Física para describir Las magnitudes vectoriales tales como desplazamiento, velocidad, fuerza, etc.

Representación geométrica de vector.

2d

1F

1d

Los vectores son representados por segmentos orientados

2F

Nótese que los mismos segmentos pueden ser usados para representarmagnitudes físicas diferentes

Desplazamientosexperimentados por una hormiga

Fuerzas sobre una argolla.

Representación gráfica de los vectores

O

A

B

d

F

V

a

Así como los números reales se representan en la recta numérica y junto con las operaciones suma y producto constituyen el sistema de los números reales, los vectores bidimensionales pueden considerarse como infinitas flechas (o segmentos orientados) saliendo de un punto O llamado origen y llenando todo un plano; junto con las operaciones suma, resta, producto por escalar y producto escalar constituyen el espacio vectorial bidimensional. Los segmentos orientados que salen de O y llenan todo el espacio tridimensional junto con las operaciones mencionadas constituyen el espacio vectorial 3D.La idea se extiende a espacios n -dimensionales (n > 3) pero ya la representación gráfica no es posible.

Suma de dos vectores.

Planteamiento del problema: Dados los vectores A y B, que hacen un ángulo θ entre sí, hallar la suma o vector resultante R.

θ

Suma de dos vectores.

θ

Procedimiento: Se traslada el origen del vector B a la punta de la flecha del vector A. El vector resultante R es el que une el origen de A con la punta de la flecha de B.

Suma de dos vectores.

θ

La suma de vectores es conmutativa.

A + B = B + A

Suma de dos vectores

donde θ es el ángulo entre A y B a partir del mismo origen y:

cos222 ABBA REl módulo de la suma es

cosB

senB

22 )()cos( senBBA R

θ

AA vector del módulo A

BB vector del módulo B

Este resultado se obtiene por el teorema de Pitágoras.

Suma de varios vectores.

A

B

C

R = A + B + C

El vector resultante R es el que une el origen de A con la punta de la flecha de C.

A + (B+ C) = (A + B)+ C = A + B+ C

Producto de un vector por un escalar

A2A

πA

1/3 A

-1,3 A

Al multiplicar un vector por un escalar (un número real) se obtiene un vector en la misma dirección con un móduloaumentado o disminuido según sea el valor del número real.

Si el número real es negativo, el vector producto tiene sentido opuesto.

Suma de varios vectores.(ejemplo)

A

B

C

.

2A + B+ C

Suma de varios vectores. (ejemplo)

A

B

C

A + B + 2C

Resta de vectores.

θ A

BHallar D = A - B

θ A

B

- B

Π - θ

D

Procedimiento: Se multiplica B por -1 y se procede a sumar A + ( -B)

Resta de vectores.

Hallar el módulo de D = A - B

θ A

B

- B

Π - θ

D cos222 ABBAD

cos222 ABBA D

Resta de vectores.

θ A

BHallar D = A - B

θ A

B

- B

Π - θ

D

Procedimiento: Se multiplica B por -1 y se procede a sumar A + ( -B).

Nótese que es más práctico obtener A – B trazando un segmento desde la punta de la flecha de B hasta la punta de la flecha de A.

A - B

Operaciones combinadas.

A

BC

V1

V2

Ejercicio: Escriba los signos y coeficientes correctos en las expresiones: V1 = A – 2B + C

y

V2 = 2A – B + C

Producto escalar de dos vectores.

ABBA

2AAA

A

B

BABA0B0A 0, y

cosABBA

El producto escalar es conmutativo

El Producto escalar es distributivo

ObCBACBAC cos

C

B

A

A + B

BCACBAC )(

O a b

OaCACAC cos

abCBCBC cos

ObCBCAC

Por un lado:

Por otro lado:

Sumando, se tiene

Producto Vectorial.

A

B

A X B

Producto vectorial de A por B es el vector perpendicular a A y perpendicular a B cuyo sentido se obtiene por la regla de la mano derecha y cuyo módulo está dado por:

senABBA

El producto vectorial es anticonmutativo.

A

B

A X B

B X A

B X A = - A x B

Interpretación geométrica del producto vectorial.

A

B

A X B

El módulo producto vectorial de A por B coincide con el área del paralelogramo definido por los vectores A y B.

senABArea BA

senB

El producto vectorial es distributivo.

Obsen CBACBAC

C

B

A

A + B

BCACBAC )(

O

a

b

Oasen CACAC

absen CBCBC

ObCBCAC

Por un lado:

Por otro lado:

Sumando, se tiene

Triple producto escalar.

CBA

A

B

CA X B

Llamamos triple producto escalar

Al número real que se obtiene delproducto escalar del vector ( A x B )por el vector C.

cosCsenAB CBA

Triple producto escalar.

CBA

A

B

CA X B

El valor absoluto del triple producto escalar de tres segmentos orientados

CBA Volumen

senB

cosC

coincide con el volumen del paralepípedo definido por estos segmentos.

Si dos de los vectores son paralelos o si los tres vectores son coplanares, entonces, el triple producto escalar es cero

Vector unitario.

uAuA ˆˆ AuuAA

u

A

A

Au

Un vector unitario es un vector sin unidades cuyo módulo es uno y sólo se usa para especificar una dirección

Dado un vector A, entonces, el vector

es un vector unitario en la dirección y sentido de A

Vector unitario.

AAAA uAuA ˆˆ AuuAA

uA

A

BuB BBBB uBuB ˆˆ BuuBB

Cualquier vector puede ser expresado como el producto de un número realpor un vector unitario

A

BC

V = A + B + 2C

Componentes de un vector (en general).

B

En general, podemos decir que s i un vector V es la suma de varias vectores, cada vector sumandoes una componente del vector V. Así por ejemploA, B y 2C son componentes del vector V.

Componentes de un vector.

Nos interesa estudiar el concepto de componentes de un vector en dos situaciones:

Situación 1: Dados dos vectores A y V, expresar el vector A como la suma de dos vectores: uno paralelo a V y otro perpendicular a V.

Situación 2: Definir tres (dos) vectores mutuamente perpendiculares: i, j, k y expresar cualquier vector A como la suma de tres (dos) vectores paralelos a i, j y k ( i y j).

Componentes de un vector (situación 1).

cos1 AA

senAA 2 V

VA2A

V

A

A2

A1 es la componente de A en la dirección de V

A2 es la componente de A en la dirección perpendicular a V

A1

θ

V

VA 1A

V

V

V

VA

V

VA

11 A

21 AAA

12 AAA

Componentes de un vector (situación 1).

cos1 AA

senAA 2V

VA2A

V

A

A2

A1 es la componente de A en la dirección de V

A2 es la componente de A en la dirección perpendicular a V

A1

θ

V

VA 1A

V

V

V

VA

V

VA

11 A

21 AAA

12 AAA

número real negativo

Componentes de un vector (situación 1).

V

A

A2

A1

θ

21 AAA

AAA VV CompComp

V

V

V

V

V

VAA 1ACompV

Sistemas de coordenadas cartesianas (situación 2).

X

Y

Z

A

i j

k

kAjAiA zyxˆˆˆ A

kjiA zyx AAA

kji ,, son tres vectores unitarios Y mutuamente perpendiculares.

Sistemas de coordenadas cartesianas.

X

Y

Z

A

i j

k

1 kkjjii

0 ikkjji

jikikjkji ;;

0kkjjii

jkiijkkij ;;

Sistemas de coordenadas cartesianas.

X

Y

Z

A

Ax

Ay

Az

kAjAiA zyxˆˆˆ A

kAjAiA ˆcosˆcosˆcos A

cosˆ

cosˆ

cosˆ

AkA

AjA

AiA

z

y

x

A

A

A

kkAjjAiiA ˆˆˆˆˆˆ A

Sistemas de coordenadas cartesianas.

X

Y

Z

A

Ax

Ay

Az

kAjAiA ˆcosˆcosˆcos A

2222222coscoscos AAA A

. vector del

directores cosenos losllaman se cos cos,cos

A

y

1coscoscos 222

Suma de vectores en coordenadas cartesianas.

X

Y

Z A

BAR

B

xxx BAR

yyy BAR

zzz BAR

RkAjAiA zyxˆˆˆ A

kBjBiB zyxˆˆˆ B

kRjRiR zyxˆˆˆ R

Suma de vectores en coordenadas cartesianas

X

Y

Z

C

... CBAR

B

... xxxx CBAR

... yyyy CBAR

... zzzz CBAR

BA

A

kAjAiA zyxˆˆˆ A

kBjBiB zyxˆˆˆ B

kCjCiC zyxˆˆˆ C

kRjRiR zyxˆˆˆ R

Producto escalar en coordenadas cartesianas.

X

Y

Z

A

kBjBiBkAjAiA zyxzyxˆˆˆˆˆˆ BA

B

kBjBiBkA

kBjBiBjA

kBjBiBiA

zyxz

zyxy

zyxx

ˆˆˆˆ

ˆˆˆˆ

ˆˆˆˆ

BA

Usando la propiedad distributiva:

zzyyxx BABABA BA

Producto vectorial en coordenadas cartesianas.

X

Y

ZA

B

kBjBiBkAjAiA zyxzyxˆˆˆˆˆˆ BA

kBjBiBkA

kBjBiBjA

kBjBiBiA

zyxz

zyxy

zyxx

ˆˆˆˆ

ˆˆˆˆ

ˆˆˆˆ

BA

kBABAjBABAiBABA xyyxzxxzyzzyˆˆˆ BA

Usando la propiedad distributiva

Producto vectorial en coordenadas cartesianas.

X

Y

ZA

B

kBjBiBkAjAiA zyxzyxˆˆˆˆˆˆ BA

kBABAjBABAiBABA xyyxzxxzyzzyˆˆˆ BA

Una fórmula sencilla de recordar:

zyx

zyx

BBB

AAA

kji ˆˆˆ

BA

Triple Producto escalar en coordenadas cartesianas.

X

Y

ZA

zxyyxyzxxzxyzzy CBABACBABACBABA CBA

B

zyx

zyx

zyx

BBB

AAA

CCC

BAC

Puede verse que:

C

ABCACBCBABAC )(

BCACABABC )(

Fuente:INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA MATEMÁTICA. Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad de Chile.

Triple producto vectorial A x (B X C).

Triple producto vectorial A x (B X C).

El triple producto vectorial A x (B X C), es un vector

FIN