El guepardo es un felino

con características para

la rapidez. Su fuerza

y agilidad le permiten

alcanzar una rapidez

máxima de 100 km/h, la

cual sólo puede mantener

durante 10 segundos,

aproximadamente.

(Fotografía © vol. 44

PliotoDisc/Getty.)

El tipo más sencillo de movimiento que puede experimentar un objeto es el movimiento recti-

líneo uniforme. Si el objeto recorre las mismas distancias en cada unidad sucesiva de tiempo,

se dice que se mueve con rapidez constante. Por ejemplo, si un tren recorre 8 m de vía por

cada segundo que se mueve, se dice que tiene una rapidez constante de 8 m /s. Ya sea que la

rapidez sea constante o no, la rapidez media de un objeto en movimiento se define como

distancia recorridarapidez media = ---------------------------

tiempo transcurrido

v = ~ (6 . 1 )

La línea sobre el símbolo v significa que la rapidez representa un valor promedio para el es-

pacio de tiempo t.

Recuerde que la dimensión de la rapidez es la razón de una longitud a un intervalo de

tiempo. Por tanto, las unidades de millas por hora, pies por segundo, metros por segundo y

centímetros por segundo son unidades comunes de la rapidez.

Un golfista logra un hoyo 3 segundos después de que golpea la pelota. Si ésta viajó con una

rapidez media de 0.8 m /s, ¿a qué distancia estaba el hoyo?

Si se despeja.* en la ecuación (6.1) queda

x = vt = (0.8 m/s)(3 s)

Por tanto, la distancia que hay hasta el hoyo es de

x = 2.4 m

Es importante observar que la rapidez es una cantidad escalar totalmente independiente

de la dirección. En el ejemplo 6.1 no fue necesario conocer la rapidez de la pelota de golf

a cada instante ni la naturaleza de su trayectoria. De forma similar, la rapidez media de un

automóvil que viaja de Atlanta a Chicago es función únicamente de la distancia registrada en

su odómetro y del tiempo requerido para realizar el viaje. En lo que se refiere a los cálculos,

no hay ninguna diferencia, ya sea que el conductor del automóvil haya tomado la ruta directa

o la panorámica, o incluso si tuvo que detenerse a comer.

Debemos distinguir claramente entre la cantidad escalar rapidez y su contraparte direc-

cional, la velocidad. Esto es fácil si recordamos la diferencia entre distancia y desplazamiento

expuesta en el capítulo 3. Supongamos, como se indica en la figura 6 .1, que un objeto se mue-

B B

El desplazamiento y la velocidad son cantidades vectoriales, mientras que la distancia y la rapi-

dez son independientes de la dirección; s, distancia; desplazamiento; v, velocidad; í, tiempo.

En choques de frente,

las bolsas de aire han

demostrado su utilidad

para prevenir lesiones

en la cabeza y el pecho.

En impactos con una

disminución súbita en

velocidades de 10 a

15 m i/h , un dispositivo

detector instalado al

frente del vehículo

activa un sistema de

encendido que causa

la descomposición

de gránulos de azida de

sodio. Esto produce

gas nitrógeno que infla

las bolsas de nailon

y las fuerza a salir de sus

compartim ientos donde

están guardadas. El

tiem po que transcurre

entre el choque y el

llenado de la bolsa

es menor de 40 ms.

Cuando el pasajero y

la bolsa inflada hacen

contacto, el gas es

forzado a salir y la bolsa

se desinfla en 2 s.

ve a lo largo de la trayectoria de la línea punteada, de A a B. La distancia recorrida en realidad

se denota con s, mientras que el desplazamiento se representa con las coordenadas polares

D = (D, 9)

Como ejemplo, considere que la distancia 5 de la ñgura 6.1 es de 500 km y que el despla-

zamiento es de 350 km a 45°. Si el tiempo real de travesía es de 8 h, la rapidez media es

5 500 km

8 h= 62.5 km/h

En esta obra seguiremos la convención de usar el símbolo s para denotar las trayectorias cur-

vas y los símbolos x y y para representar las distancias en línea recta.

La velocidad media, sin embargo, debe tomar en cuenta la magnitud y la dirección del

desplazamiento. La velocidad media está dada por

_ D 350 km, 45°

V ~ t ~~ 8 h

v = 43.8 km/h, 45°

Por lo tanto, si la trayectoria del objeto en movimiento es curva, la diferencia entre rapidez y

velocidad es tanto en magnitud como en dirección.

Los automóviles no siempre pueden viajar a rapidez constante por largos espacios de

tiempo. Al ir del punto A al B , quizá sea necesario ir más despacio o más rápido debido a las

condiciones del camino. Por ello, a veces es útil hablar de rapidez instantánea o velocidad

instantánea.

C.

C.

En este capítulo nos ocuparemos del movimiento en trayectoria recta, de modo que las

magnitudes de la rapidez y la velocidad serán las mismas en cada instante. Si la dirección no

cambia, la rapidez instantánea es la parte escalar de la velocidad instantánea. Sin embargo, es

un buen hábito reservar el término velocidad para la descripción más completa del movimien-

to. Como veremos en secciones ulteriores, un cambio de velocidad puede originar también

un cambio de dirección. En tales casos, los términos velocidad y desplazamiento son más

apropiados que rapidez y distancia.

En la mayor parte de los casos, la velocidad de un objeto cambia mientras éste se mueve. El

movimiento en el que la magnitud o la dirección cambia respecto al tiempo se llama ace-

leración. Supongamos que observa el movimiento de un corredor durante un tiempo t. La

velocidad inicial del cuerpo se define como su velocidad al inicio del intervalo de tiempo

(en general, t = 0). La velocidad final (vf) se define como la velocidad al terminar el intervalo

de tiempo (cuando t = t). Por tanto, si somos capaces de medir las velocidades inicial y final de

un objeto en movimiento, entonces afirmaremos que su aceleración está dada por

cambio de velocidadAceleración = ----------------------------

intervalo de tiempo

V f~ v0

t(6.2)

Si la aceleración se escribe como en la ecuación (6.2), se trata de una cantidad vectorial

y, por consiguiente, depende del cambio tanto de dirección como de magnitud. Si la dirección

no se modifica y el movimiento es en línea recta, sólo la rapidez del objeto cambia. No obs-

tante, si se sigue una trayectoria curva, habría aceleración aun cuando la rapidez no cambie.

Para el movimiento en un círculo perfecto y con rapidez constante, la aceleración siempre

formará ángulos rectos respecto a la velocidad. Más adelante abordaremos este movimiento

circular uniforme.

El tipo de aceleración más sencillo es el movimiento rectilíneo, en el que la rapidez cambia

a razón constante. Este tipo especial de movimiento se conoce como movimiento uniforme-

mente acelerado o de aceleración uniforme. Puesto que no hay cambio en la dirección, la

diferencia de vectores en la ecuación (6.2) se transforma simplemente en la diferencia entre

los valores con signo de las velocidades final e inicial. Sin embargo, conviene recordar que la

velocidad sigue siendo una cantidad vectorial y que el signo asignado a ella indica la direc-

ción y no la magnitud. Para una aceleración constante escribimos

a =vf ~ v0

Por ejemplo, considere un automóvil que se mueve con aceleración uniforme de una rapi-

dez inicial de 12 m /s a una final de 22 m /s, como se indica en la figura 6.2. Si consideramos

la dirección a la derecha como positiva, la velocidad del auto en A es de +12 m /s y su velo-

cidad final en B es de +22 m /s. Si el incremento en la velocidad requiere 5 s, la aceleración

puede determinarse a partir de la ecuación (6.2).

a =vf vo 22 m /s — 12 m/s

5 s

10 m /s

5 s= 2 m /s-

La respuesta se lee como dos metros por segundo por segundo o dos metros por segundo

al cuadrado. Esto significa que cada segundo el automóvil incrementa su rapidez en 2 m /s.

Puesto que el auto ya iba a 12 m /s cuando empezamos a contar el tiempo, después de 1, 2 y

3 s tendría valores para la rapidez de 14, 16 y 18 m /s, respectivamente.

Á v = vf - v

t = tiempo

12 m/s 22 m/s

22 m/s - 12 m/s

A t= 5 s

Movimiento uniformemente acelerado.

Un tren reduce su velocidad de 60 a 20 km /h en un tiempo de 8 s. Encuentre la aceleración

en unidades del SI.

Primero debe realizarse la conversión a unidades del SI (m/s). Luego hay que re-

cordar que la aceleración es el cambio de velocidad por unidad de tiempo.

La velocidad inicial es

km 1000 m6 0 — X -----------

h 1 km

1 h

3600 s= 16.7 m /s

De igual forma, se determina que 20 km/h es igual a 5.56 m /s. Como las velocidades si-

guen la misma dirección y muestran la misma aceleración se suponen constantes, entonces

la ecuación (6.3) resulta en

5.56 m /s — 16.7 m /sa =

VfJ-Vg

t 8 s

a = —1.39 m /s-

Como la dirección original del tren del ejemplo 6.2 se consideró positiva, el signo nega-

tivo de la aceleración significa que el tren redujo su rapidez en 1.39 m/s cada segundo. Tal

movimiento se conoce a veces como desaceleración, pero este término resulta problemático

porque a = —1.39 m /s2 significa en realidad que la velocidad se vuelve más negativa en esa

cantidad cada segundo. Si la rapidez se incrementa en dirección negativa, la aceleración tam-

bién es negativa. La aceleración se refiere al cambio de velocidad, lo cual significa que puede

tratarse de un incremento o una disminución de la rapidez.

A menudo se usa la misma ecuación para calcular diferentes cantidades; por tanto, debe

resolverla literalmente para cada símbolo que aparece en ella. Una forma práctica de escribir

la ecuación (6.3) se presenta cuando se despeja la velocidad final, como sigue

Velocidad final = velocidad inicial + cambio de velocidad

vf = v 0 + at

; automóvil mantiene una aceleración constante de 8 m /s2. Si su velocidad inicial era de

m /s al norte, ¿cuál será su velocidad después de 6 s?

La velocidad inicial aumentará en 8 m /s cada segundo que el auto se desplace. Para

obtener la velocidad final sólo se requiere sumar este cambio a la velocidad inicial.

La velocidad final se obtiene a partir de la ecuación (6.4).

vf — v0 + at = 20 m /s + (8 m /s2)(6 s)

= 20 m /s + 48 m /s = 68 m /s

Así, la velocidad final es de 68 m /s, también al norte.

Ahora que se han comprendido los conceptos de velocidad inicial y final, analicemos la

ecuación de la velocidad media y expresémosla en términos de valores inicial y final. Mien-

tras la aceleración sea constante, la velocidad media de un objeto se determina igual que el

promedio aritmético de dos números. Dadas una velocidad inicial y una final, la velocidad

media es simplemente

Recordará que la distancia x es el producto de la velocidad media por el tiempo. Por ende,

es posible sustituir esto en la ecuación (6.1) para obtener una expresión más útil para calcular

la distancia cuando la aceleración es uniforme:

'vfx = | — - — )t 6 6

|r Un objeto en movimiento incrementa uniformemente su velocidad de 20 a 40 m /s en 2 min.

¿Cuál es la velocidad media y cuán lejos llegará en esos 2 min?

Primero convertimos los 2 min de tiempo en 120 s con el fin de obtener congruen-

cia de unidades. Luego reconocemos que la velocidad media es el promedio entre los

valores inicial y final para la aceleración constante. Por último, la distancia recorrida es el

producto de la velocidad media por el tiempo.

La velocidad media se calcula con base en la ecuación (6.5).

Vf + v0 40 m /s + 20 m /s

V ~~ 2 ” 2

v = 30 m /s

Se usa entonces la ecuación (6 .6) para obtener la distancia recorrida en los 120 s.

x = (30 m /s)(120 s) = 3600 m

Hasta ahora hemos presentado dos relaciones fundamentales. Una surgió de la definición de

velocidad y la otra de la definición de aceleración. Se trata de las siguientes:

'vf + v0NX = v t — I ------------- 11 (6.6)

vf = v o + at

Aunque éstas son las únicas fórmulas necesarias para abordar los múltiples problemas

que se presentan en este capítulo, hay otras tres relaciones útiles que pueden obtenerse a partir

de ellas. La primera se deduce eliminando la velocidad final de las ecuaciones (6.6) y (6.4).

Sustituyendo ésta en aquélla se obtiene

(v0 + at) + v0

X ~ _

Al simplificar se obtiene

1 9x = v0t + ~ a r

Una ecuación similar se obtiene eliminando v0 en las mismas dos ecuaciones:

1 9x — Vft ~ —at (6 .8)

La tercera ecuación se obtiene mediante la eliminación del tiempo en las ecuaciones básicas.

Con un poco de álgebra se obtiene

la x = vj - v20

A pesar de que estas ecuaciones no nos proporcionan información nueva, son útiles para

resolver problemas donde se conocen tres de los parámetros y es necesario hallar uno de los

otros dos.

Aunque la resolución de problemas en los que interviene una aceleración constante se basa

fundamentalmente en elegir la fórmula correcta y sustituir los valores conocidos, hay varias

sugerencias para ayudar al alumno principiante. Los problemas con frecuencia se refieren al

movimiento que parte de un estado de reposo o, bien, se detiene a partir de cierta velocidad

inicial. En cualquier caso, las fórmulas presentadas pueden simplificarse por la sustitución ya

sea de vQ = 0 o vf = 0, según el caso. En la tabla 6.1 se resumen las fórmulas generales.

( v0 + Vf\ 1 ,

2 ■>(4) x = vf t - - a t

(2) Vf = + at (5) lax = vj - Vq

1 0(3) x v0t - a r -

Un análisis más detallado de las cinco ecuaciones generales revela un total de cinco

parámetros: x, vQ, vf, a y t. Si se conocen tres de estas cantidades, las dos restantes pueden

calcularse a partir de las ecuaciones generales. Por tanto, el punto de partida para resolver

cualquier problema consiste en leerlo cuidadosamente a fin de detectar las tres cantidades

necesarias para resolverlo. También es importante elegir una dirección como la positiva y

aplicar congruentemente este criterio a la velocidad, al desplazamiento y a la aceleración

cuando se sustituyan sus valores en las ecuaciones.

Si se le dificulta decidir qué ecuación debe usar, puede ser útil recordar las condiciones

que requiere satisfacer cada ecuación. Primero, debe incluir el parámetro desconocido. Se-

gundo, es necesario conocer todos los demás parámetros que aparecen en la ecuación. Por

ejemplo, si en un problema se conocen los valores de vQ y es posible determinar en la

ecuación (2).de la tabla 6.1.

1. Lea el problema; luego trace un bosquejo y escriba en

él los datos.

Indique la dirección positiva de forma congruente.

3. Establezca los tres parámetros conocidos y los dos des-

conocidos. Asegúrese de que los signos y las unidades

son congruentes.

D ados:__________ Encontrar:___________

Seleccione la ecuación que incluya uno de los paráme-

tros desconocidos, pero no al otro.

v0 + Vf

Vf — v0 + at

1 ,x = Vnt H— a t

2

la x = vj — V5

Sustituya las cantidades conocidas y resuelva la

ecuación.

Los ejemplos siguientes se han abreviado y no incluyen los bosquejos, pero sí ejemplifi-

can el proceso anteriormente expuesto.

Una lancha de motor parte del reposo y alcanza una velocidad de 15 m /s en un tiempo de

6 s. ¿Cuál era su aceleración y cuán lejos viajó?

Se traza un bosquejo y se escriben en él los datos conocidos, además de que se

indica la dirección positiva de forma congruente con la velocidad inicial. Se organizan los

datos conocidos, se eligen las ecuaciones apropiadas y se resuelve para la aceleración y la

distancia recorrida.

En este caso, todos los parámetros proporcionados son positivos:

Dados: v. = 0

7

t — 6 s

15 m/s

Encontrar: a = ?

x = ?

Para encontrar la aceleración debemos elegir una ecuación que incluya a pero no x. Puede

usarse la ecuación (2) de la tabla 6.1, y en ella vQ = 0. Así,

vf = 0 + atvf ~ at

Al resolver para la aceleración a, se obtiene

7 15 m/s

t 6 s

= 2.50 m /s2

El desplazamiento puede hallarse con base en una ecuación que incluya x pero no a.

La ecuación (1) de la tabla 6.1 produce

' vf + vp\ _ (15 m /s + 0)(6 s)

x = 45.0 m

Note que como se conoce la aceleración a, pudimos haber despejado x en las ecuaciones

(3), (4) o (5); sin embargo, eso hubiera supuesto emplear el valor calculado de a, que po-

dría ser incorrecto. Es mejor usar la información original.

Un avión aterriza en la cubierta de un portaaviones con una velocidad inicial de 90 m /s y

se detiene por completo en una distancia de 100 m. Encuentre la aceleración y el tiempo

necesario para detenerlo.

Se sigue el mismo procedimiento que en los ejemplos anteriores. Se elegirá con

cuidado la ecuación que incluya sólo la información original.

Dados: vQ = 90 m /s Encontrar: a = ?

vf = 0 m /s t = ?

x = 100 m

Tras examinar la tabla 6.1, seleccionamos la ecuación (5) como la que contiene a y no t:

a =

2 ax = vj — Vq

Vf ~ vi (O)2 - (90 m /s)2

2x 2(100 m)

a = —40.5 m /s2

La aceleración negativa se debe a que la fuerza de detención tiene una dirección opuesta a

la velocidad inicial. Una persona sometida a una aceleración semejante experimentaría una

fuerza de detención aproximadamente igual a cuatro veces su peso.

A continuación hallamos el tiempo de detención eligiendo la ecuación donde aparece t y

no a. De nuevo, la ecuación (1) es la correcta

'vf + v0\ 2xt o t = -

J Vf +

2(100 m) t = ñ ™— r = 2.22 s

0 + 90 m /s

El avión experimenta una aceleración de —40.5 m /s2 y se detiene en un tiempo de 2.22 s.

- — l i — ~ ~ www , Mtsz/f f/'jrz z s ^ .*\w m »

Sr Un tren que viaja inicialmente a 16 m /s se acelera constantemente a razón de 2 m /s2 en la

misma dirección. ¿Cuán lejos viajará en 20 s? ¿Cuál será su velocidad final?

Se ordenan los datos y se despejan las incógnitas de las ecuaciones.

Dados: vQ = 16 m/s Encontrar: x = ?

a = 2 m/s2 vf = ?

t = 20 s

Al elegir la ecuación (3) de la tabla 6.1, ya que contiene x y no v , se obtiene

1 ,x = vfít i— a t

= (16 m /s)(20 s) + | ( 2 m /s2)(20 s)2

= 320 m + 400 m = 720 m

La velocidad final se halla a partir de la ecuación (2):

Vf = v 0 + at

= 16 m /s + (2 m /s2)(20 s) = 56.0 m /s

El tren recorre una distancia de 720 m y alcanza una velocidad de 56 m /s.

Los signos de aceleración (a), desplazamiento (x) y velocidad (v) son interdependientes, y

cada uno se determina por criterios distintos. Tal vez éste sea el aspecto que más confunde a

los alumnos principiantes. Siempre que cambia la dirección del movimiento, como cuando un

objeto es arrojado al aire o cuando se sujeta un objeto a un resorte que oscila, el signo corres-

pondiente al desplazamiento y a la aceleración resulta particularmente difícil de visualizar. Es

útil recordar que sólo el signo de la velocidad se determina por la dirección del movimiento.

El del desplazamiento depende de la ubicación o la posición del objeto, en tanto que el de la

aceleración queda determinado por la fuerza que hace que la velocidad cambie.

Imagine una pelota de béisbol lanzada hacia arriba, como se indica en la figura 6.3. La

pelota se mueve hacia arriba en línea recta hasta que se detiene y regresa siguiendo una trayec-

toria descendente en la misma línea. Consideraremos el punto de lanzamiento como el de des-

plazamiento cero (y = 0). Ahora, el signo del desplazamiento será positivo en cualquier punto

ubicado arriba del lanzamiento y negativo en cualquier punto por debajo de él. Observe que no

importa si la pelota se está moviendo hacia arriba o hacia abajo\ sólo su ubicación (la coorde-

nada y de su posición) es la que determina el signo del desplazamiento. El valor de y podría ser

+1 m en su movimiento hacia arriba y +1 m en su movimiento hacia abajo. Su desplazamiento

se vuelve negativo sólo cuando la pelota se encuentra por debajo del punto de lanzamiento.