si sta bien es desde particula en una caja

Función de onda para una partícula en una caja

Niveles de energía para una partícula en una caja

Pozos de potencial

Estados confinados de un potencial de pozo cuadrado

Comparación de pozos cuadrados finitos e infinitos

Barreras de potencial y tunelamiento

Tunelamiento a través de una barrera rectangular

Aplicaciones del tunelamiento

El oscilador armónico

Funciones de onda, condiciones en la frontera y niveles de energía

Problemas tridimensionales

El átomo de hidrógeno

La ecuación de Schrödinger para el átomo de hidrógeno

Cuantización de la cantidad de movimiento angular orbital

Notación de números cuánticos

El efecto Zeeman

Momento magnético de un electrón en órbita

Espín del electrón

sto nos mando a consultar no mas

hasta ahi creo sq yo no algunas clases

Sección 40.1 Partícula en una caja

40.1. Bolas de billar en nivel fundamental.nimo de energía para una partícula en una caja, si la partícula es una bola de billar (m 5 0.20 kg) y la caja tiene un ancho de 1.5 m, el tamaño de una mesa de billar. (Suponga que la bola de billar se desliza sin fric- ción, y no rueda. Esto es, no tenga en cuenta la energía cinética de ro- tación.) b) Como toda la energía del inciso a) es cinética, ¿a qué velocidad corresponde? ¿Cuánto tiempo tardaría la bola, a esta rapi- dez, para ir de un lado de la mesa al otro? c) ¿Cuál es la diferencia en la energía entre los niveles n 5 2 y n 5 1?

(a) E 1=(1 ) (6.626×10−34 JS)∧2

8 (0.2 ) x (1.5 )2=1.2×10−67 J

(b) E=12

m v2 v=√ 2 Em

=√ 2 (1,2 X 10−67 ) J0.20 kg

=1.1 ×10−33m

s

(c) E1=h2

8 m L2 , E2=4E1 , 3 E1=3 (1.2× 10−67 )=3.6 ×10−67J

40.3. Calcule el ancho L de una caja unidimensional que correspondería al valor absoluto del estado fundamental de un átomo de hidrógeno.

L= h√8 mE

= 6.626 ×10−34 Js

√8(9.11×1031)(13.6)(1.602× 10−19 J /eV )

40.5. Cierto atomo require 3 eV para exitar un electron desde el nivle fundamental al primer nivel exitado. Modele el atomo como un electron en una caja y calculi el ancho de la caja.

L=6.626 × 10−34 JS √ 38(9.109× 10−31)(3eV )(1.602× 10−19)

=6.1 ×10−10m

40.7. Repita el ejercicio 40.6 para la particula en su primer nivel de exitacion

ψ2 dx=0 ;sen ( 2 πxL )=0

2 πxl

=m( π2 ) ,m=1 , 3 ,5 ,…; x=m(l /4)

x= l4

;3l4

40.9. a) Repita el ejercicio 40.8 con c 5 A sen kx. b) Explique por qué ésa no puede ser una función de onda aceptable para una partícula en una caja con paredes rígidas en x= 0 y x = L, independientemente de cuál sea el valor de k.

dψdx

=A (−ksenkx )=−Ak senkx

d2ψd x2 =A (−ksenkx )=−A k2 senkx

−h2

8 π 2m(−A k2coskx )=E (Acoskx )

−h2 k2

8 π 2m=E ;k=√2 mE

ℏ

40.11. Un electrón está en una caja de 3.0 3 10210 m de ancho. ¿Cuá- les son la longitud de onda de De Broglie y la magnitud de la cantidad de movimiento de ese electrón, si está en a) el nivel n 5 1; en b) el ni- vel n 5 2; en c) el nivel n 5 3? En cada caso, ¿cómo se compara la longitud de onda con el ancho de la caja?

(a) E1=4h2

8 m L2=λ= h

√2m L2=2 L=2 (3 ×10−10 )=6 × 10−10 m,

p1=1.1 ×10−24

(b) E2=4 h2

8 m l2= λ=L=3.0× 10−10 m

p2=2.2 ×10−24

(c) E3=9 h2

8 m L2=2 ×10−10

p3=3.3 × 10−24

Sección 40.2 Pozos de potencial

40.13. a) Demuestre que c 5 Asenkx, donde k es una constante, no es una solución de la ecuación (40.1) para U 5 U0 y E , U0. b) ¿Es esta c una solución para E . U0?

( a) −2ℏ2

2 md2ψd x2 +U ψ=Eψ

−2ℏ2

2 md2ψd x2 ( Asenkx )+Usenkx=(ℏ2 k2

2 m+U )ψ

ℏ2 k2

2 m+U > E>U no es solucion

(b)

E>U ;ℏ2 k2

2 m+U =E ; si esuna solucion

40.15. Un electrón está confinado en un pozo cuadrado de profundidad U0 5 6E`. ¿Cuál es el ancho del pozo, si su energía de estado funda- mental es 2.00 eV?

E1=0.625 E∞=0.625π2ℏ2

2m L2 ; E1=2 eV

L=πℏ¿

40.17. Calcule d2c dx2 para la función de onda de la ecuación (40.17) y demuestre que la función es una solución de la ecuación (40.16).

ψ=Asen √2 mEℏ

x+Bcos √2 mEℏ

x

d2ψd x2 =−A (2mE

ℏ2 ) sen√2mEℏ

x−B( 2 mEℏ2 )cos

√2 mEℏ

x=−2mEℏ2 (ψ )

40.19. Un protón está confinado en un pozo cuadrado de 4.0 fm 5 4.0 3 10215 m de ancho. La profundidad del pozo es seis veces la energía de nivel fundamental E` del pozo infinito correspondiente. Si el protón hace una transición del nivel cuya energía es E1 hasta el nivel de ener- gía E3, absorbiendo un fotón, determine la longitud de onda del fotón.

E∞=π 2ℏ2

2m L2=π2(1.055 ×10−34)

2(1.672 ×1027)(4 ×10−15)=2.052× 10−12 J

∆ E=E2−E1=4.465 E∞=9.162 ×10−12 J

λ= hc∆ E

=(6.626 × 10−34)(2.998 ×108)

9.162× 10−12 J=22 fm

Sección 40.3 Barreras de potencial y tunelamiento

40.21. Un electrón de energía cinética inicial 6.0 eV encuentra una barrera de 11.0 eV de altura. ¿Cuál es la probabilidad de que se filtre cuánticamente, si el ancho de la barrera es a) 0.80 nm, b) 0.40 nm?

T=16E

U 0(1−

EU 0

)e−2 L √2m ( U 0−E ) l/h

,E

U 0

=6eV11eV

,E−U 0=5 eV

L=√ (1.8 ) hλ8 mc

=√ (1.8)(6.626 ×10−34)(4 ×10−17)8 ( 9.11×10−31 )(3 ×108)

=4.68× 10−10 m

40.23. Un electrón se mueve por la barrera cuadrada que se ve en la figura 40.12, pero su energía es mayor que la altura de la barrera. Si E 5 2U0, ¿cuál es la relación de la longitud de onda de De Broglie, del electrón en la región x . L entre la longitud de onda para 0 , x , L?

T=16EU0

(1−EU0

)e−2L √2m ( U 0−E ) l/h

(a)

L=0.8 × 10−9 m :T=16 ( 611 )(1− 6

11 )e−2( 0.8×10−9 )√ (1.8 )( 8×10−19 )=4.4 × 108

(b)L=1.4 × 10−9 :T=4.2 ×10−4

40.25. a) Un electrón con energía cinética inicial de 32 eV se encuentra con una barrera cuadrada de 41 eV de altura y 0.25 nm de ancho. ¿Cuál es la probabilidad para que el electrón

se filtre a través de la ba- rrera? b) Un protón con la misma energía cinética se encuentra con la misma barrera. ¿Cuál es la probabilidad para que el protón se filtre a través de la barrera?

k=√2m ¿¿¿

k=√2(9.1 ×10−31)(9 eV )¿¿¿

T=A e¿−2kl=(2.741 ) e−2( 6.5×10−11) ( 0.25×10−9 )=2.74 e−392.2=10−143

Sección 40.4 El oscilador armonico

40.27. Un bloque de madera de 0.250 kg de masa oscila en el extremo de un resorte cuya constant de fuerza es 110 N/m. Calcule la energia del nivel fundamental y la separacion de energias entre niveles adyacentes.

w=√ km

=√ 110 N /m0.250 Kg

=21rad /s

E0=12

wℏ =12

(1.055× 10−34 ) (21 )=1.11× 10−33 J=6.93 ×10−15eV

E0=(n+12 ) wℏ , En+1=(n+1+ 1

2 ) wℏ

∆ E=2 E0=2 (1.11× 10−33 )=2.22 ×10−33 J=1.39 × 10−14 eV

40.29. Los químicos usan el espectro de absorción infrarrojo para identificar las sustancias en una muestra. En una de ellas, un quími- co encontró que se absorbía luz con longitud de onda de 5.8 mm. a) Calcule la energía de esta transición. b) Si la molécula tiene una masa de 5.6 3 10226 kg encuentre la constante de fuerza.

(a)

E γ=hcλ

=(6.6 × 10−34)(3× 108)

5.8 ×10−6 =0.21 eV

(b)

k=4 π2 c2mλ2 =

4 π2(3×108)(5.6 ×10−26)(5.8× 10−26)

=5.9 N /m

40.31. En la sección 40.4 se demostró que para el nivel fundamental de un oscilador armónico, ∆x∆px 5 U. Haga un análisis similar para un nivel excitado cuyo número cuántico

sea n. ¿Cómo depende de n el producto de incertidumbres DxDpx?

A=√(2n+1) wℏk

V max=√ (2 n+1) wℏm

pmax=mvmax=√(2 n+1) mwℏ

∆ x ∆ px=√ (2 n+1) wℏk

√(2n+1) mwℏ =(2 n+1 ) wℏ √ mk

=(2n+1 ) wℏ ( 1w )=(2n+1)ℏ

40.33. Para el átomo de sodio del ejemplo 40.6, calcule a) la energía del estado fundamental, b) la longitud de onda de un fotón emitido cuando ocurre la transición de n = 4 a n = 3; c) la diferencia de energía para cualquier transición ∆n = 1.

(a)

E0=12

wℏ =12ℏ√ k

m=91.055 × 10−34

2 √ 12.2 N /m3,82× 10−26 kg

=106 μm

(b)

E4−E3= wℏ =2E0=0.0118 eV , λ=hce

=(6.63 ×10−34 ) (3 ×108 )

1.88 ×10−21 J=106 μm

(c)En+1−En= wℏ =2E0=0.0118 eV

Sección 41.1 El átomo de hidrógeno

41.1. Un electrón está en el átomo de hidrógeno con n = 3. a) Calcule los posibles valores de L y Lz para este electrón, en unidades de U. b) Para cada valor de L, calcule todos los ángulos posibles de entre L y el eje z.

(a)l=0 , L=0 , L z=0. l=1 , L=√2ℏ , L z=ℏ , 0 ,−ℏ .l=2: L=√6ℏ , l z=2ℏ ,ℏ ,0 ,−ℏ ,−3ℏ

(b)

cosθ=Lz

LL=√2ℏ : 45,90,135 L=√6ℏ :35.3 ,65.9 , 90 , 114.1 ,144.7

41.3. La cantidad de movimiento angular orbital de un electrón tiene 4.716* 10-34 kg m /s de

magnitud. ¿Cuál es el número cuántico de cantidad de movimiento angular l, para este electrón?

l (l+1 )=( Lℏ )=( 4.716 ×10−34

1.055 × 10−34 )=20

l=4

41.5. Calcule, en unidades de U, la magnitud de la cantidad de movimiento angular orbital máxima de un electrón para un átomo de hidrógeno, para estados con número cuántico principal 2, 20 y 200. Compare cada uno con el valor de nh postulado en el modelo de Bohr. ¿Qué tendencia observa usted?

n=2 ,lmax=1 , L=√2ℏ=1.414ℏ

n=20 ,lmax=19 , L=19.49ℏ

n=200 ,lmax=199 , L=199.5ℏ

41.7. En la Estrategia para resolver problemas 41.1 se indica que la energía potencial eléctrica de un protón y un electrón a 0.10 nm de distancia tiene una magnitud de 15 eV. Compruebe esta afirmación.

U= 14 π∈0

q1q2

r= −1

4 π∈0

(1.6 ×10−19)1×1010 =−2.3× 1018 J

U =−2.3 × 10−18 J1.6 ×10−19 =−14.4 eV

41.9 para la función de onda demustre que ψ2 es independiente de ∅ b)Que valor debe tener A para que ∅ satisfaga la condición de normalización de la ecuación

∫0

2

∅ ¿¿?

(a)

ψ2=R ¿(b)

∫0

2 π

∅ ¿¿

41.11. Determine el valor numérico de a en la ecuación, para a) el atomo de hidrogeno donde se supone que el nucleo tiene una masa infinita, por lo que mx=m b)el positronio, c) el muonio, un atomo formado por muon y proton.

(a) m x=m

a=∈0 h2

π m x e2=98.854 × 10−12(6.626 ×10−34)

π (9.109 × 10−31)(1.602 ×10−19)=0.5293 ×10−3

(b) m x=2m

a=1.059 ×10−10

(c)m x=185.8 m

a=2.849 ×10−13

41.13. En el ejemplo 41.3 complete los detalles faltantes que indican que P = 1 - 5e22.

P (a )=∫0

a

Ψ 1 s2 V =∫0

a1

π a3 e−2 r

a (4 π r2 dr)

P (a )= 4a3∫

0

a

r2 e−2r /a dr= 4a3 [(−a r 2

2−a2r

2−a2

4 )e−2 r /a]= 4a3 [(−a r2

2−a2 r

2−a2

4 )e−2+ a3

4e0]

P (a )=1−5 e−2

Sección 41.2 El efecto Zeeman

41.15. Un átomo de hidrógeno en el estado 5g se coloca en un campo magnético de 0.600 T, que tiene la dirección de z. a) ¿En cuántos niveles se desdobla este estado por la interacción del momento dipolar magnético orbital del átomo con el campo magnético? b) ¿Cuál es la separación de energía entre niveles adyacentes? c) ¿Cuál es la separación de energía entre el nivel de mínima energía y el nivel de máxima energía?

(a)

l=4 ;2 l+1=9(b)

μb=eℏ2 m

=(1.602× 10−19 C)(1.055 ×10−34 Js)

2(9,109 × 10−31)=9.277 ×10−24

(c)

U 4−U−4=8 μB B=8 (3,47 ×10−5eV )=2.78 × 10−34 eV

41.17. Un átomo de hidrógeno en un estado 3p se coloca en un campo magnético externo uniforme, B. En la interacción del campo magnético con el momento dipolar magnético orbital, a) ¿qué magnitud B del campo se requiere para desdoblar el estado 3p en varios niveles con una diferencia de energía de 2.71 3 1025 eV entre los niveles adyacen- tes? b) ¿Cuántos niveles habrá?

3 p :n=3 : l=1 ,∆ U=μB B :B= UμB

=2.71× 10−5 eV5.79× 10−5 eV

=0.468 T

(b)ml=−1 , 0 , 1

Sección 41.3 Espín del electrón

41.19. Calcule la diferencia de energías entre los niveles m = 1/2 (“espín arriba”) y ms = -1/2

(“espín abajo”) para un átomo de hidrógeno en el estado 1s, cuando se pone en un campo magnético de 1.45 T en dirección de z negativa. ¿Cuál nivel, m =1/2 o m=-1/2 , tiene la menor energía?

U =μ × B ;U =−(2.00232 )( e2 m )Sz B

Sz=msℏ ;U=−2.00232( e2m )M s B ( e

2m )S z B

eℏ2m

=μB=5. .788 ×10−5 eV /T

U=−2.00232 μB msB

∆ U=U (M s=−12 )−U (M s=

+12 )=−2.00232 μB B(−1

2−(+1

2 ))=+2.00232 μB B

∆ U=+2.00232(5.788 ×10−5 eV

V )(1.45 T )=1.68 ×10−34 eV

41.21. Un átomo de hidrógeno en determinado estado de cantidad de movimiento angular

tiene números cuánticos j de 7/2 y 9/2 . ¿Cuál es la letra que representa el valor de l para ese estado?

j=7/2

92=l−1

2=7

2; l=8

2=4

l=g

41.23. Espin clasico del electron. a) si se considera que un electron es un objeto esferico clasico de 1.0*10(-17)m de radio. Que velocidad angular se necesita para

producer una cantidad de movimiento angular espin de magnitud √ 34ℏ? b) Use v = rw

y el resulrado del inciso a para calcular la rapidez v de un punto en el Ecuador del electron

(a)

L=√ 34ℏ ;

25

m R2w=√ 34ℏ

w=5√3 /4ℏ2 m R2 =

5√ 34

(1.055 ×10−34 Js)

2(9.109 × 10−31 kg)(1× 10−17 m)2 =2.5 ×1030 rad /s

(b)

v=rw=(1×10−17 m)(2.5 ×1030 rad /s )=2.5 ×1013 m /s