Fluctuaciones Multifractales en Senal˜ es...
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Fluctuaciones Multifractales en Senales Financieras
Yarleque, C. Rosales, F.† Posadas, A. Quiroz, R.
Octubre de 2006
Escalamiento Fractal y Sistemas Complejos
Departamento de Recursos Naturales y Sistemas de Produccion
Centro Internacional de la Papa (CIP)
2
Christian Yarleque
Fısico y Ms. en Matematica [Universidad del Callao y PUCP]
†Francisco Rosales
Economista y Ms. en Matematica [Universidad del Pacıfico y PUCP]
Adolfo Posadas
PhD. en Fısica [Universidad de Rutgers]
Roberto Quiroz
PhD. en Bioquımica [Universidad de Carolina del Norte]
Contenidos 3
Contenidos
1 Introduccion 4
2 Caracterizacion por P.U.M. α, C1 y H 11
3 Metodo del Momento de Doble Traza 17
4 Aplicacion a las Finanzas Matematicas 20
5 Conclusiones 27
1 Introduccion 4
1 Introduccion
1 Introduccion 5
• Las senales financieras se realizan en los mercados especulativos (Bolsas
de Valores).
• La caracterizacion de estas realizaciones por metodos matematicos y
fısicos es antigua (Bachellier, 1905).
• Hasta el dıa de hoy no existe un modelo que caracterice adecuadamente
las particularidades de las senales financieras.
• Conseguir un modelo adecuado es importante porque permitirıa conocer
su ley de distribucion y la posibilidad de predecir el precio.
1 Introduccion 6
Figura 1: Senales Financieras.
1 Introduccion 7
ECONOFISICA=
Fısica Computacional
+
Matematica Financiera
+
Sistemas Complejos
1 Introduccion 8
• El analisis de Parametros Universales Multifractales aplicado a senales
financieras es visto como una rama de la econofısica .
• Este formalismo estudia procesos multiplicativos que capturan la no
linealidad del fenomeno.
• Es decir, capturan los conglomerados de volatilidad en las series de
tiempo financieras.
1 Introduccion 9
Figura 2: Procesos de Cascada.
1 Introduccion 10
Figura 3: Retornos DJ (a) y su valor absoluto (b).
2 Caracterizacion por P.U.M. α, C1 y H 11
2 Caracterizacion por P.U.M. α, C1 y H
2 Caracterizacion por P.U.M. α, C1 y H 12
Los procesos de Cascada se dividen en microcanonico y canonico
1. Microcanonico.
• Se discretiza el campo multifractal, el cual se rige por lımites de
valores extremos (δ → 0).
• Para escalas pequenas las singularidades son diferentes localmente .
• La relacion entre escalas λ mayores l0 y menores l se expresa mediante
λ =l0l
(1)
2. Canonico.
• Aquı No se definen los valores en cada punto del campo multifractal
en un proceso de cascada a menores escalas.
2 Caracterizacion por P.U.M. α, C1 y H 13
• El proceso conserva indicadores estadısticos como la esperanza en
diferentes escalas de tiempo E = 〈Eλ〉 = 〈El〉.
• Ademas se debe cumplir que
ελ ∝ λγ (2)
〈εqλ〉 ∝ λK(q) (3)
P (ελ > λγ) ∝ λ−c(γ) (4)
〈|∆fλ|〉 ∝ ελλ−H (5)
2 Caracterizacion por P.U.M. α, C1 y H 14
Donde d es la dimension euclidiana, γ el orden de singularidad para
γ > 0 (o regularidad si γ < 0), c(γ) es la funcion de codimension,
K(q) el momento de multiescalamiento, y H el parametro de
anisotropıa (o exponente de Hurst).
• En un proceso de cascada a medida que se incrementa el numero de
niveles , se incrementa tambien el rango de escalas . En este marco no
es posible obtener valores universales para los parametros antes
descritos.
• Una forma de resolver este problema y obtener universalidad fue
planteado en Schertzer et. al. (1991) mediante
2 Caracterizacion por P.U.M. α, C1 y H 15
c(γ) =
8<: C1
hγ
C1α+ 1
α
iα
con α 6= 1
C1 exp“
γC1
− 1”
con α = 1
y
K(q) =
8<: C1α−1
(qα − q) con α 6= 1
C1q log(q) con α = 1
donde se deben cumplir las siguientes condiciones: q ≥ 0, α < 2,
H = dα′ y 1
α+ 1
α′ = 1
• El planteamiento indica como se da la mixtura de procesos
independientes e identicamente distribuidos (i.i.d.) manteniendo la
relacion entre la mayor y la menor escala invariante y finita, tambien
orientandose a valores universales en el lımite donde el numero de
procesos tiende al infinito.
2 Caracterizacion por P.U.M. α, C1 y H 16
• Los parametros universales multifractales: α (ındice de Levy), C1
(codimension media) y H (exponente de Hurst) son finitos.
• Los valores de c(γ) y K(q) son divergentes, y dependen de los
parametros α y C1 ( Indice de Levy y la Codimension media).
3 Metodo del Momento de Doble Traza 17
3 Metodo del Momento de Doble Traza
3 Metodo del Momento de Doble Traza 18
• Su objetivo es analizar el comportamiento estadıstico multifractal en un
rango factible de escalas.
• Se obtiene el parametro K(q, n) mediante una doble ponderacion de
ordenes de momentos q y n.
• Las ecuaciones fundamentales de este calculo son las siguientes
3 Metodo del Momento de Doble Traza 19
Ωλ =
RAλ
εnλddxR
Aλddx
MDT =
*Xi
[Ωλ(Aλi)]q
+∝ λK(q,n)
K(q, n) = nαK(q, 1) =
8<: C1α−1
nα con α 6= 1
C1nq log(q) con α = 1
4 Aplicacion a las Finanzas Matematicas 20
4 Aplicacion a las Finanzas Matematicas
4 Aplicacion a las Finanzas Matematicas 21
El comportamiento de las fluctuaciones del retorno σt de las senales
financieras, definidas en terminos del precio Pt definidas como
σt =
˛ln
„Pt
Pt−1
«˛, (6)
es caracterizado mediante parametros universales con los que se identifica el
comportamiento (universal) de la senal para un rango de escalas determinado.
Estos parametros son obtenidos experimentalmente mediante la Tecnica del
Momento Doble Traza. Los resultados son validados por la literatura
financiera con datos del mismo tipo que los presentados aquı.
4 Aplicacion a las Finanzas Matematicas 22
Figura 4: Retornos DJ (a) y su valor absoluto (b).
4 Aplicacion a las Finanzas Matematicas 23
Figura 5: DTM muestra la linealidad en la escala hasta el punto de inflexion cual
corresponde a λ = 210.
4 Aplicacion a las Finanzas Matematicas 24
Figura 6: Multifractalidad analizada en η = 1 ası, K(q, 1) = K(q).
4 Aplicacion a las Finanzas Matematicas 25
Figura 7: Linealidad en el Rango de Ordenes de Momento η.
4 Aplicacion a las Finanzas Matematicas 26
Tabla 1: Resultados P.U.M.
α C1 H
1.87 + /− 0.01 0.03 0.46
Tabla 2: Otras Variables P.U.M.
Rango de Escalas Orden de Momentos q Orden de Momentos n
20 → 210 0 → 3 0.2 → 4
5 Conclusiones 27
5 Conclusiones
5 Conclusiones 28
Al estimar la distribucion invariante para el proceso de cascada, se cuenta con
una herramienta mas solida para el analisis financiero en lo referido a
• Riesgo bajo el metodo Value at Risk.
• Prediccion de las fluctuaciones del mercado (turbulencia).
• Simulacion e interpolacion.
Referencias 29
Referencias
[1] J. Feder: Fractals. Plenum Press, NY, 1998.
[2] S. Lovejoy, D. Schertzer: Multifractal Fluctuations in Finance. Int. J. Theor.
Appl. Fin., Vol. 3, N. 3, 2002.
[3] B. Mandelbrot: Fractals and Scaling in Finance: Discontinuity, Concentration and
Risk. Springer-Verlag, 1997.