Flujo monofásico en un reservorio

Ley de Darcy y Permeabilidad

Esta ley describe con algunas limitaciones, el movimiento de otros fluidos. Incluyendo dos o más fluidos inmiscibles en rocas consolidadas y otros medios porosos.

La ley de Darcy establece que la velocidad de un fluido homogéneo en un medio poroso es proporcional a la fuerza ejercida e inversamente proporcional a la viscosidad, es decir:

v=−0.001127 kμ [ dpds−0.433 γcosα ]

Donde:υ = velocidad aparente, bbl/dia-ft2k = permeabilidad, milidarcies [md]μ = viscosidad del fluido, cpp = presión, psias = distancia a lo largo de la trayectoria del fluido en ftγ = gravedad especifica del fluido (siempre relativa al agua)α = el ángulo medido en sentido contrario a las manecillas del reloj de la vertical hacia abajo a la dirección positiva de s

Clasificación de sistemas de flujo de reservorios

Los sistemas de flujo en reservorios usualmente se clasifican acorde a:

El tipo de fluido.La geometría del reservorio o la porción del mismo.El caudal relativo al cual el flujo se aproxima a condiciones de equilibrio después de una perturbación.

Para propósitos de ingeniería, el fluido de reservorio se puede clasificar como:

IncompresibleLigeramente compresibleCompresible

Un fluido ligeramente compresible, el cual es la descripción cercana a un líquido. Muchas veces definido como aquellos que cambian ligeramente su volumen con la presión y se expresan por la ecuación:

V=V R ec (P R−p)

Donde:R = condiciones de referencia.

Un fluido compresible es aquel que el cambio de volumen tiene una fuerte dependencia con la presión. Todos los gases se encuentran en esta categoría. De la ley de gases ideales se describe cómo cambia el volumen con la presión:

V= znRTp

A diferencia del caso de los fluidos ligeramente compresibles la compresibilidad no puede tratarse como una constante, es decir:

c g=1p− 1dzz dp

Las dos geometrías de mayor interés practico son aquellas que dan lugar a un flujo linear y radial.

Ocasionalmente el flujo esférico es de interés, en el cual las líneas de flujo convergen en un centro común en tres dimensiones. A través de la ruta actual de la roca las partículas del fluido son irregulares, debido a la forma del espacio poroso.

La presión se mueve a una tasa proporcional a la difusividad de formación:

η= kϕμc1

Donde k es la permeabilidad efectiva, φ es el total efectivo de la porosidad, μ es la viscosidad del fluido y c1 es la compresibilidad total.

Para considerar las tres clasificaciones restantes de dependencia del tiempo, se debe discutir el cambio de presión que existe cuando hay un cambio en la tasa del flujo de un pozo localizado en el centro de un reservorio.

Gracias a las perturbaciones de presión del reservorio, se asume lo siguiente:

El flujo en el sistema está hecho para un reservorio de espesor y propiedades de roca constantes.El radio de un reservorio circular es re.La tasa de flujo, después de una perturbación es constante.

La compresibilidad total es obtenida por ponderación de la compresibilidad de cada fase por su saturación y añadiendo la compresibilidad de formación, es decir:

c t=cgS g+coSo+cw Sw+c f

La compresibilidad de formación, cf, debe ser expresada en cambio de volumen poroso por unidad de volumen de poro por psi.

Una estimación para el tiempo cuando un sistema de flujo del tipo circular, alcanza un estado de pseudo-equilibrio se representa de siguiente manera:

t pss=1200 re

2

η=1200 ϕμc1r e

2

kSistemas de flujo en estado estacionario

Flujo lineal para fluido incompresible, estado estacionario

Es un flujo lineal a través de un cuerpo de sección constante, donde ambas terminaciones son enteramente abiertas al flujo y donde ningún flujo cruza por los lados, ni por el tope.

Si el fluido es incompresible, entonces la velocidad es la misma en todos los puntos, como en el total de la tasa de flujo a través de cualquier sección, entonces:

ν=qBAc

=−0.001127 kμdpdx

Separando las variables e integrando a través de la longitud del cuerpo poroso.

q=0.001127k A c ( p1−p2)

BμL

Flujo lineal de un fluido ligeramente compresible, estado estacionario

Anteriormente definido el cambio de volumen para un fluido ligeramente compresible y viendo su dependencia a la presión. Entonces decimos que el producto de la tasa de flujo definida en STB, y el facto volumétrico de formación tiene una dependencia similar a la presión y está dada por:

qB=qR [1+c ( pR−p ) ]

Donde qR es la tasa de flujo a una presión de referencia pR.

Si la ley de Darcy es descrita para este caso, se separan las variables y la ecuación resultante se la integra a través de la longitud del cuerpo poroso, se obtiene:

qR=0.001127k Ac

μ LCln [ 1+c ( pR−p2 )1+c ( pR−p1 ) ]

Flujo lineal para un fluido compresible, estado estacionario

El flujo que a través de cualquier sección x, donde la presión p puede ser expresada en términos de flujo en pies cúbicos estándar por día, mediante la sustitución de la definición del factor volumétrico de formación.

q Bg=q pscTz

5.615T sc pSustituyendo en la ley de Darcy:

q pscTz

5.615T sc p=−0.001127 k

μdpdx

Separado las variables e integrando:

q=0.003164T sc Ac k ( p12−p2

2)pscTzLμ

Para presiones menores a 2000 psia, la gráfica muestra el típico comportamiento de μz

Para presiones arriba de 2000 μz / p es constante.

Para presiones aproximadamente menores al rango de 1500 a 2000, asumiendo que μz / p es constante, la ecuación que se obtiene es:

q=0.006328k T sc Ac ( p1−p2 )

pscT ( zμ / p )

Variación de permeabilidad en sistemas lineales.

Para un sistema lineal:

En el cual se asume la misma tasa de flujo y un fluido incompresible. La caída de presión es:

( p1−p4 )=( p1−p2 )+( p2−p3 )+ (p3−p4 )

Para gases a presiones menores a 1500 a 2000 psia.

( p12−p42 )=( p12−p22)+( p22−p32)+( p32−p42 )

Sustituyendo la caída de presión de la ecuación de tasa de flujo, obtenemos:

qt BμLt0.001127k avg Ac

=q1Bμ L1

0.001127 k1 Ac 1

+q2Bμ L2

0.001127k 2 A c2

+q3 BμL3

0.001127 k3 Ac 3

Excluyendo las variables constantes:Ltkavg

=L1k1

+L2k2

+L3k3

O

k avg=Lt

L1k1

+L2k2

+L3k3

=∑ Li

∑ Li /k i

Considerando que hay más de una cama de igual longitud y que fluye el mismo fluido a través de la sección transversal, es decir:

La caída de presión seria:q t=q1+q2+q3

Ykavg Act (p1−p2 )

BμL=k1 Ac 1 ( p1−p2 )

BμL+k2 Ac 2 ( p1−p2)

BμL+k3 Ac 3 ( p1−p2 )

BμL

Cancelando algunos términos obtenemos:

k avg=∑ k i A ci

∑ Aci

Y cuando las camas tienen el mismo ancho, entonces las áreas son proporcionales al espesor:

k avg=∑ k ihi

∑ h iFlujo a través de capilaridades y fracturas

Considerando una capilaridad de longitud L y un radio interno de r0, por el cual fluye un fluido incompresible de viscosidad μ en régimen laminar, bajo la presión (p1-p2)La ley de Poiseuille, describe una tasa de flujo total a través de una capilaridad, como:

q=1.30 (10 )10π r0

2 ( p1−p2 )BμL

Escribiendo Ac=π r02 por área en la ley de Darcy, obtenemos:

k=1.15 (10 )13r o

2

Para un flujo viscoso a través de una fractura con ancho constante, se obtiene:

q=8.7 (10 )9W 2 Ac ( p1−p2 )

BμLDonde W es el ancho de la fractura.

Flujo radial en estado estacionario.

Considerando un flujo radial a través de un pozo vertical de radio rW en un estrato horizontal de espesor y permeabilidad uniforme.

Obtenemos la relación:

v=qBAc

= qB2πrh

=−0.001127 kμdpdr

Separando variables e integrado, obtenemos:

q=0.00708 kh ( p2−p1 )

μB ln ( r2/r1 )

Frecuentemente a relación los radios que nos interesan son el del pozo y el radio de drenaje, es decir que nuestra relación (r2/r1 ) cambia a (r e/rw) .

Flujo radial para fluidos ligeramente compresible, estado estacionario

Si sustituimos en la ecuación de flujo radial obtenida de la ley de darcy, obtenemos:

qB=qR [1+c ( pR−p ) ]

2πrh=−0.001127 k

μdpdr

Separando las variables, asumiendo constante la compresibilidad sobre toda la caída de presión e integrando para toda longitud del medio poroso, obtenemos:

qB= 0.00708khμc ln (r2/r1 )

ln( 1+c ( pR−p2 )1+c ( pR−p1 ) )

Flujo radial para fluido compresible, estado estacionario

Para un flujo de gas a cualquier radio:

q Bg=q pscTz

5.615T sc pSustituyendo en la ley de Darcy:

q pscTz

5.615T sc p (2πrh )=−0.001127 k

μdpdr

Separando variables e integrando:

q=0.01988T sckh ( p12−p2

2)pscT ( zμ ) ln ( r2/r1 )

Para rangos de presión mayores a 1500 a 2000:

q=0.03976T sckh ( p1−p2 )pscT ( z μ / p ) ln ( r2/r1 )

Variación de permeabilidad en flujo radial

Considerando la tasa total e flujo como:

q t=q1+q2+q3+…+qn

Sustituyendo la ley de Darcy y cancelando términos, se obtiene:

k avg=∑ k ihi

∑ h i

Cuando uno considera un sistema de flujo radial con espesor constante, entonces:

La caída de presión seria:( pe−pw)=( pe−pa )+ (pa−pw)

Cancelando y resolviendo la ecuación:

k avg=ka ke ln (re /rw )

ka ln (r e/rw )+ke ln ( re /rw )

DESARROLLO DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL RADIAL

Asumiendo un balance de masa en un volumen con un tiempo ∆ t , es decir:

El balance de masa seria:

masa entrante al volumendurante∆ t−masaque sale del volumen durante∆ t=tasa deacumulacion durante∆ t

La masa que entra al volumen durante un Δt está dado por:

(qBρ )r+∆r=2π (r+∆r )h (ρv (5.614 /24 ) )r+∆ r

La masa que abandona el volumen durante Δt está dado por:

(qBρ )r=2πrh (ρv (5.615 /24 ) )r

La tasa a la cual se acumula la masa durante el intervalo Δt es:

2πr ∆h [ (ϕρ )t+∆t−(ϕρ )t ]∆ t

Combinando y factorizando, obtenemos la ecuación de continuidad válida para cualquier sistema geométrico, la cual es:

0.234r

∂∂ r

(rρv )= ∂∂t

(ϕρ )

Minimizando la ecuación de Darcy, para obtener la menor caída de presión se obtiene:

0.234r

∂∂ r (0.001127 kμ ρr ∂ p∂ r )= ∂

∂ t(ϕρ )

La porosidad del término de la derivada parcial es:

∂∂ t

(ϕρ )=ϕ ∂ p∂ t

+ ρ ∂ϕ∂ t

La porosidad está relacionada con la compresibilidad, mediante la siguiente expresión:

c f=1ϕ∂ϕ∂ p

Finalmente combinando y sustituyendo, la resultante es la ecuación diferencial usada para describir el flujo en un medio poroso y en dirección radial:

0.234r

∂∂ r (0.001127 kμ ρr ∂ p∂ r )= ρϕc f

∂ p∂ t

+ϕ ∂ p∂ t

Sistema de flujo transitorio

Flujo radial para un fluido ligeramente compresible, flujo transitorio

El cambio de volumen se puede expresar en densidad, el cual es la inversa del volumen específico, obteniendo:

ρ=ρRec (p−p R)

La ecuación de difusividad en forma radial es:

∂2 p∂r2

+ 1r∂ p∂ r

=ϕμc1

0.0002637k∂ p∂ t

La presión de reservorio, según Matthews y Russel es:

p (r ,t )=pi−70.6qμBkh [−E i( −ϕμ c t r

2

0.00105 kt )]Flujo radial para fluido compresible, flujo transitorio

De la ecuación diferencia para flujo radial, la ley de gases ideales y la definición de compresibilidad se obtiene:

1r∂∂r (r pμz ∂ p∂r ]= ϕ c t p

0.0002637kz∂ p∂ t

La transformación involucra la presión parcial de un gas real, m(p), la cual tiene como unidades psia2/cp en unidades estándar de campo y se define como:

m (p )=2∫pR

ppμzdp

Aplicando la regla de cadena de diferenciación, sustituyendo las relaciones resultantes y combinándolas, se obtiene:

∂2

∂ r2+ 1r∂m ( p )∂r

=ϕ μc t

0.0002637k∂m (p )∂ t

Ya que la ecuación continua siendo una ecuación diferencial no lineal, por la dependencia a μ y c t, por eso Al-Hussainy y Ramey usando técnicas de diferencias finitas obtuvieron una aproximación:

m (pwf )=m ( pi )−1637 (10 )3qT

kh [ log( ktϕ μi c tirw

2 )−3.23]El valor de m(p) está dado por:

m (p1 )=2 (area1 )Donde:

area1=∫p2

p1pμzdp

Índice de productividad

La relación de tasa de producción, expresada en STB/día el flujo líquido, en la ciada de presión en el punto medio del intervalo de producción, se llama productividad y se lo simboliza con J.

J= qp−pwf

El índice de producción puede declinar por alguna de las siguientes causas:

- Incremento en la turbulencia en la tasa de flujo.- Decremento en la permeabilidad del crudo debido a la presencia de gas, causado por

una caída de presión en el reservorio.- Reducción en la permeabilidad debido a la compresibilidad de formación.

El índice de inyectividad es usado con la salmuera disponible en pozo y con pozos de inyección para recuperación secundaria o mantenimiento de presión. Es la relación de tasa de inyección en STB/dia con el exceso de presión sobre la presión de reservorio que causa la tasa de inyección.

indicede inyectividad=I= qpwf−p

STB /día / psi

Cuando los otros factores afectan, los índices de productividad esencialmente son los mismos. El índice de productividad específico es algunas veces usado, el cual es:

indicede productividd especifica=J s=Jh= qh ( p−pwf )

STB /día/ psi/ ft

Coeficiente de productividad

Para evaluar el desempeño de un pozo, la referencia comúnmente usada es el índice de productividad de agujero abierto que penetra una formación de estrato normal y en el cual no hay alteración de permeabilidad, es decir:

J=0.00708 kh

μB ( ln ( re /rw )−0.75)

El coeficiente de producción es la relación del índice de productividad de un pozo cualquiera a condiciones de PI de un pozo estándar, es decir:

PR= JJ sw

Superposición

El principio de superposición establece que el la caída total de presión será la suma de las caídas causadas por el flujo del pozo 1 y la presión cae gracias al flujo del pozo 2.

∆ pt=∆ p1+∆ p2Cada término de ∆ p esta dado por:

∆ p=p i−p (r , t )=70.6qμBkh [−Ei( ϕμ c1r

2

0.00105kt )]El principio de superposición puede establecerse como: la adición de la solución linear de una ecuación diferencial, resultando en una nueva solución a la ecuación diferencial original.

Si hay más de un pozo fluyente en el sistema de reservorio, el procedimiento es el mismo y el total de la presión esta dad por:

Δ p=∑j=1

N

Δ p j

Superposición en reservorios delimitados y parcialmente delimitados

La ecuación de presión para fluidos parcialmente compresibles para flujo compresible, en conjunto con el principio de superposición se puede usar para simular los límites reservorios cerrados completamente o parcialmente.

El método de imágenes es útil para poder manejar el efecto de los límites.

Como se ve en la imagen se toma un pozo x, debido a la producción en el pozo localizado a una distancia d de un fallo de estanqueidad, será la suma de los efectos de los pozos productores y una imagen superpuesta a una distancia d detrás de la falla.

Para estos casos la caída de presión está dada:

Δ p=Δ p1+Δ p imagen

Δ p1=70.6qμBkh [−E i( ϕμ c t r1

2

−0.00105 kt )]Δ pimagen=

70.6qμBkh [−Ei( ϕμc t r2

2

−0.00105 kt )]Introducción al testeo de presión transitoria

Introducción a pruebas de caída de presión

Las pruebas de caída de presión consisten en hacer fluir el pozo a una tasa constante después de un periodo de cierre. El periodo de cierre debe ser lo suficientemente largo para que la presión del reservorio se estabilice.

p (r ,t )=pi−162.6 qμB

kh [ log kt

ϕμ c t r2−3.23]

Si r= rw entonces p(r,t) será la presión de pozo, la cual puede ser escrita como:

pwf=b+m log t

Donde pwf es la presión del pozo fluyente en psia, b es constante, t es el tiempo en horas y m es:

m=constante=162.6 qμ Bkh

Para la ecuación de presión, se asume lo siguiente:

- Flujo laminar y horizontal en un reservorio homogéneo.

- Propiedades de reservorio, k ,ϕ ,h , ct , μy B son independientes de la presión.- Flujo de líquido monofásico en una región de tiempo transitorio.- Gradientes de presión despreciables.-

La permeabilidad promedio se puede obtener:

k=−162.6qμBmh

Si la prueba de caída de presión se conduce un tiempo lo suficientemente largo para que la presión transitoria alcance el periodo seudo-estacionario, entonces el comportamiento de presión se lo describe como:

pwf=pi−162.6qμB

khlog [ 4 A

1.781C A rw2 ]−0.2339qBtAhϕc t

Agrupando los términos y constantes para un sistema de reservorio dado, se vuelve:pwf=b

'+m' tDonde b '= constante y m’ es:

m'=constante=−0.2339qBAhϕc1

Para una zona dañada, existe una caída de presión adicional porque la permeabilidad se reduce en esa zona. Van Everdingen and Hurst desarrollaron una expresión para esta caída de presión y define un factor de dimensión de daño, llamado S.

Δ pskin=141.2qμB

khS

OΔ pskin=−0.87mS

Tomando en cuenta el factor S para la presión de pozo se obtiene:

pwf=pi−162.6qμB

kh [ log kt

ϕμ ct rw2 −3.23+0.87 S]

La ecuación se pude arreglar y resolver para S:

S=1.151[ p i−pwf162.6μBkh

−log kϕμ ct rw

2 +3.23]Usualmente se usa el tiempo corresponde a una hora y sustituyendo m en la ecuación y reorganizando términos obtenemos:

S=1.151[ p1hr−pim

−log kϕμ c t rw

2 +3.23 ]Introducción a pruebas de acumulación

Las pruebas de acumulación son el método más popular de testeo usado en la industria. Se lleva acabo con un cierre de producción que obtiene estabilizar la presión en un tiempo de

región seudo-estacionario para que la tasa de producción del pozo sea constante un periodo lo suficientemente largo.

La presión se monitorea a lo largo de todo el periodo. La razón principal por la que este método es tan popular es la facilidad de mantener la tasa de flujo en cero durante toda la prueba.

El tiempo correspondiente de cierre se estima con la siguiente ecuación:

t p=N p

qDonde Np es la producción acumulada durante el tiempo de cierre y que el pozo fluye a una tasa constante q.

La ecuación que describe el comportamiento de la presión para un pozo cerrado es:

pws=pi−162.6qμB

kh [ log ( t p+Δt )Δt ]

La grafica presión vs (t p+Δt )/Δt ,

Introducida por Horner, describe el Comportamiento de la presión.La pendiente puede ser calculada:

m=−162.6qμBkh

Arreglando la ecuación se obtiene:

k=−162.6qμBmh

El factor skin o S para la prueba de acumulación se puede escribir de la siguiente forma:

S=1.151[ pwf (Δt=0 )−pwfm

−logk t pΔ t

ϕμc t rw2 (t p+Δt )

+3.23]Considerando Δt para una hora y pws para ese punto, el factor skin se convierte:

S=1.151[ pwf (Δt=0 )−p1hrm

−log kϕμc1rw

2 +3.23]