UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS(Universidad del Per, DECANA DE AMRICA)Ao de la Promocin de la Industria Responsable y del Compromiso Climtico

MODELAMIENTO NUMRICO DE FLUJO BIDIMENSIONAL EN UN CANAL CON CUATRO PILETAS EN FORMA DE T

CcasaniAlexis Flores Dante Meja Csar Simn JuanUrco Steven Profesionales en formacin Sexto Ciclo, Escuela de Ingeniera Mecnica de Fluidos-Lima-Per.

RESUMENEl comportamiento de los fluidos, aun con los diversos estudios realizados en la mecnica de fluidos, sigue siendo una interrogante en muchos escenarios o situaciones reales. Trataremos en este presente trabajo de conocer un poco acerca de este comportamiento, determinando la direccin y el sentido que ejercen las lneas de corriente a lo largo de un canal con cuerpos pronunciados. Lo calcularemos haciendo uso de un software de programacin que nos permitir observar la grfica de estas lneas. Tambin calcularemos la divergencia as como los vectores de velocidad y campos de presiones de este fenmeno. Esto servir de alguna manera para poder ver el comportamiento general de todos estos parmetros en este caso particular y despejar las dudas acerca de la solucin.1. INTRODUCCIONLa solucin de problemas de diseo y modelamiento en el rea de la mecnica de fluidos; como el flujo sobre superficies curvas o rectas, a lo largo de canales u otras geometras de paso de un fluido, implica el conocimiento adecuado del perfil de velocidad y de presin. No obstante, las soluciones disponibles estn

limitadas slo para algunos sistemas (geometras simples), y flujos unidireccionales.Una buena alternativa simple para estas limitantes la presenta la teora del flujo potencial que nosotros hemos aprendido en clase con los diferentes mtodos de solucin y esto provee una buena aproximacin al resultado de estos problemas de diseo y permite obtener una visin amplia de las situaciones reales de flujo.En el presente trabajo final abordaremos la simulacin de un flujo a travs de un canal con diferentes geometras puestas en ella. Lo que nosotros buscamos es observar como es el comportamiento del fluido, como se comportan las lneas de corriente, los vectores de velocidad en direcciones de estas; tambin conoceremos las diferencias de presin, la divergencia que puede ocurrir con las geometras dadas; tambin modelaremos el movimiento de partculas de sedimento al ingresar al canal. Cul es su movimiento, posicin inicial y posicin final?, si es que estas se quedan sedimentadas en las geometras cerradas, todo esto lo haremos con la ayuda de un software que nos permite disear y modelar para observar el comportamiento casi real del flujo de un fluido.

2. OBJETIVOS Objetivos GeneralesNuestro objetivo es estudiar el comportamiento dinmico del flujo estudiado.Cul es el comportamiento de un flujo a travs de unageometra dada, en nuestro caso es la de un canal muy largo con un ancho muy considerable y en ellas puesta unas piletas simtricas entre si y ms que todo es observar las lneas de corrientecuyo comportamiento es a travs de estas piletas, cual es la direccin de sus vectores de velocidad, tambin se vern las diferencias de presiones entre las lneas de corriente y las divergencias que se producen en un choque con las piletas , tambin veremos el recorrido de una cantidad de partcula en el fluido, todo esto lo haremos con el software MATLAB, en el cual introduciremos las dimensiones de la geometra, las ecuaciones para el clculo de velocidad, presin, etc. Las condiciones para que el programa muestre un resultado semejante a un flujo real.

Objetivos EspecficosLas ecuaciones que usaremos se basan principalmente en la ecuacin de Laplace aplicados al modelamiento numrico cuya funcin es calcular cierta cantidad de coordenadas a las que nosotros llamaremos nodos en el cual con la ayuda del matlab pondremos una malla en cual encajara con los nodos para una mayor de facilidad con lo cual calcularemos las velocidades (previos clculos a manos que haremos) la cual servirn para representar el fluido, gracias a este software resolveremos los diferentes problemas que se nos presenten.

3. METODOLOGIA CMO SE REALIZ EL TRABAJO?Realizamos el diseo y modelamiento en software "MATLAB" en el cual utilizamos las siguientes ecuaciones:

FUNDAMENTO TEORICOLneas de corrienteEs una curva imaginaria que conecta una serie de puntos en el espacio en un instante dado, de tal forma que todas las partculas que estn sobre la curva en ese instante tienen velocidades cuyos vectores son tangentes a la misma.Vector velocidadExpresa el desplazamiento de un objeto por unidad de tiempo; por tanto, para definir el vector velocidad, deben considerarse la direccin del desplazamiento y el mdulo, el cual se denomina celeridad o rapidez.Campo de presionesRepresenta la distribucin espacial de la presin mostrando cierta variacin en una regin del espacio.DivergenciaEs la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre lasuperficie que rodea a un volumen de control.Funcin CorrienteDescribe la trayectoria que tiene una partcula de un fluido, esta funcin est representada en trminos de las coordenadas (x,y)

MTODO DE SOLUCIN DIFERENCIAS FINITASEl mtodo de diferencias finitas se ha utilizado tradicionalmente para resolver ecuaciones simplicidad conceptual y a su facilidad de programacin en un computador, ya que en este mtodo las ecuaciones diferenciales se transforman directamente en ecuaciones aproximadas en diferencias finitas. En trminos generales los pasos a seguir para obtener la solucin numrica son: (1) Seleccionar un mtodo de diferencias finitas adecuado para este tipo de ecuaciones.(2) Discretizar las ecuaciones diferenciales.(3) Resolver el sistema de ecuaciones algebraicas as obtenido.El objetivo de este mtodo es llevar una derivada de la forma a la forma Por ejemplo:

(Figura 1)Partiendo que:

1era derivada 2da derivada 3era derivada

Si generalizamos

(Figura 2)

Cuando el problema es bidimensional

(Figura 3)

(Figura 4)

NODOS:Existen nodos que no presenta contacto con 4 nodos vecinos.(Figura 5)

ECUACIN DE LAPLACE

DEMOSTRACION DE LA ECUACIN DE LAPLACE DISCRETIZADA

De la ecuacin de Laplace

Discretizando los trminos:

ENTONCES:

COMOSOLUCIONAMOS Y CALCULAMOS(Figura 7)(Figura A)

,

GENERANDO LA MALLASe debe ubicar las coordenadas de nx1, nx2, nx3, nx4, ny1, ny2, ny3 y ny4.Estableciendo las condiciones de frontera para el eje x Estableciendo las condiciones de frontera para el eje y (Figura B)(Figura C)ESQUEMATIZANDO TENEMOS:El bloque inferior (1) tiene coordenadas (x,y)(Figura D)(x,y)= [56,1;56,2;56,3;; 56,21]El bloque inferior (2) tiene coordenadas (x,y)(Figura E)(x,y)= [41,21; 41,22; ;41,31]El bloque superior (1) tiene coordenadas (x,y)(Figura F)(x,y)= [41,71; 41,72; ;41,81]

El bloque superior (2) tiene coordenadas (x,y)(Figura G)(x,y)= [56,81; 56,82; 56,83;; 56,101]CONDICIONES DE FRONTERA

*AGUAS ARRIBA Y ABAJO

FRONTERA INFERIOR

FRONTERA SUPERIOR

EN LOS BLOQUESBLOQUE INFERIOR (1)

BLOQUE INFERIOR (2)

BLOQUE SUPERIOR (1)

BLOQUE SUPERIOR (2)

SOLUCIONANDO LA ECUACIN DE LAPLACE DISCRETIZADA PARA LOS NODOS DESCONOCIDOS( Figura8)i:2,3,4,..,nxJ=2,3,4,.,ny

METODOLOGA PARA EL CLCULO DE TRANSPORTE DE SEDIMENTOS

CONSIDERACION: El sedimento se mueve sobre un flujo potencial El peso del sedimento es casi despreciable (no se presenta sedimentacin).El sedimento es considerado como una partcula. Se debe conocer las componentes de velocidad de flujo (u,v) . Estas componentes se obtienen de la solucin de la ecuacin de Laplace.

entonces

Para calcular la trayectoria de las partculas se emplean la ecuacin bsica de cinemtica.

Para el caso bidimensional:

j

Debido a que la partcula no tiene peso, esta adquiere la velocidad de flujo.

Para calcular las trayectorias se debe integrar desde la posicin inicial hasta la final.

INTEGRANDO:

Calcular la presin final de la partcula

Para el caso de un dominio discreto:La partcula estar influenciada por la velocidad Vp , que representa la velocidad promedio ponderada de los cuatro nodos vecinos.Integrando para cada paso del tiempo

Donde son las componentes de la velocidad ponderada

4. RESULTADOS

TABLAS (en hojas de calculo Excel) GRAFICAS

COMENTARIOS Creemos que este trabajo nos sirvi en cuanto a tener conocimientos de modelamiento, pues antes no tenamos la suficiente capacidad para poder realizarlo. Los aportes dados del profesor en cada avance en horas de clase, fueron de gran ayuda, ya que no podamos saber si estbamos avanzando en lo correcto. Estbamos poco preocupado, pues pensbamos que el tiempo nos jugara en contra, pero lo supimos manejar con el apoyo de todos. Con el programa viziflow pudimos tener nuestro primer bosquejo de nuestro trabajo, ya que su uso fue fcil, y con ello nos guiamos.

DISCUSIN DE LOS RESULTADOS

El hecho que el canal y las piletas sean liso no quiere decir que siempre el flujo comportara de esa manera, ya que solo estamos suponiendo rugosidad igual a cero en todo el canal, para propsitos de nuestros estudios y modelados de los grficosPorque sabemos que en la realidad no suceden cosas as, pues siempre encontraremos rugosidades con partculas flotantes sumndose a ello algunas manchas que podran detectarse dentro del canal que pueden alterar al flujo, no obstante tambin podramos encontrar flujos no limpios que entran a canales con rugosidades y eso provocara una gran turbulencia dentro del canal ,del cual tampoco no tenemos los estudios para poder realizar su modelado.

Cuando armamos el cuerpo del programa y su debida compilacin en el tema de diferencia de presiones que es la evaluacin entre lneas de corriente, podemos observar que no hay una clara distribucin de presiones que debera ser simtrica si es que tomamos el flujo uniforme ya que esta se reparte tanto aguas arriba y aguas abajo y la limitacin de las fronteras cosa que nos falto una mayor precisin en alguna parte del cuerpo del programa (falta de precisin en el uso de mallas). Tambin por la falta de conocimientos en el curso de programacin.

AL final de los resultados podemos concluir que la modelacin de un flujo uniforme atravs de unos pilares simtricos nos ayudan a dar una forma mas clara como se comporta las lneas de corriente que son la direccin que el flujo toma, as tambinpodemos simular la trayectoria de las lneas de corriente con cualquier geometra que se presenta hasta las mas simple hasta la mas compleja.

5. ANALISIS Y RESULTADOS

clearallcloseall% DEFINIENDO LA GEOMETRIA L=1000; % LONGITUD DEL LARGO DEL CANAL b=500;% LONGITUD DEL ANCHO Uoo=10;% VELOCIDAD DEL FJO UNIFORMEdx=5;% DISTANCIA ENTRE NODO Y NODO EN EL EJE X dy=5;% DISTANCIA ENTRE NODO Y NODO EN EL EJE Ykt=1500; % NUMERO DE ITERACIONESnx=L/dx+1; % NUMERO DE NODOS EN EL EJE Xny=b/dy+1; % NUMERO DE NODOS EN EL EJE Yalpha=(dx/dy)^2; % ES EL CAMBIO DE VARIABLE QUE SE REALIZA EN LA DISCRETIZACION A LA ECUACION DE LAPLACEA=-2*(1+alpha); % ES EL CAMBIO DE VARIABLE QUE SE REALIZA EN LA DISCRETIZACION A LA ECUACION DE LAPLACEb1=75; % DISTANCIA ENTRE nx1=41 y nx2=56b2=125; % DISTANCIA ENTRE nx2=56 y nx3=66b3=200; % DISTANCIA ENTRE nx1=66 y nx2=81g=9.81;% DEFINIENDO LA MALLA Y VELOCIDAD INICIALfor i=1:nxfor j=1:nyx(i,j)=(i-1)*dx;y(i,j)=(j-1)*dy;u(i,j)=0;v(i,j)=0;endend%UBICACIN DE LAS COORDENADAS DE LOS BLOQUES% UBICACION EN EL EJE Xnx1=floor(200/dx)+1;nx2=floor((200+b1)/dx)+1;nx3=floor((200+b2)/dx)+1;nx4=floor((200+b3)/dx)+1;

% UBICACION EN EL EJE Yny1=round(100/dy)+1;ny2=round(150/dy)+1;ny3=round(350/dy)+1;ny4=round(400/dy)+1;ny5=round(b/dy)+1;

%DEFINICIN DE CONDICIONES DE FRONTERA% AGUAS ARRIBA Y ABAJOsi(1,1:ny)=Uoo*(0:ny-1)*dy;si(nx,1:ny)=si(1,1:ny);

% EN BORDE INFERIORsi(1:nx,1)=0;% EN BORDE SUPERIORsi(1:nx,ny)=si(1,ny); %

%EN LOS BLOQUES%BLOQUE INFERIOR (1)si(nx2:nx3,1:ny1)=0;%BLOQUE INFERIOR (2)si(nx1:nx4,ny1:ny2)=0;

%BLOQUE SUPERIOR (1)si(nx1:nx4,ny3:ny4)=si(nx1:ny);

%BLOQUE superior (2)si(nx2:nx3,ny4:ny5)=si(nx2:ny);

X(:,:,1)=si;for k=1:ktfor j=2:ny-1for i=2:nx-1

X(i,j,k+1)=-(alpha*X(i,j-1,k)+X(i1,j,k)+X(i+1,j,k)+alpha*X(i,j+1,k))/A; endend

%CONDICIONES DE FRONTERAX(1,1:ny,k+1)=si(1,1:ny); % aguas arribaX(nx,1:ny,k+1)=si(nx,1:ny); % aguas abajoX(1:nx,1,k+1)=si(1:nx,1); % borde inferiorX(1:nx,ny,k+1)=si(1:nx,ny); %borde superiorX(nx2:nx3,1:ny1,k+1)=si(nx2:nx3,1:ny1);X(nx2+80:nx3+80,1:ny1,k+1)=si(nx2:nx3,1:ny1);

X(nx1:nx4,ny1:ny2,k+1)=si(nx1:nx4,ny1:ny2);X(nx1+80:nx4+80,ny1:ny2,k+1)=si(nx1:nx4,ny1:ny2);

X(nx2:nx3,ny4:ny5,k+1)=si(nx2:nx3,ny4:ny5);X(nx2+80:nx3+80,ny4:ny5,k+1)=si(nx2:nx3,ny4:ny5);

X(nx1:nx4,ny3:ny4,k+1)=si(nx1:nx4,ny3:ny4);X(nx1+80:nx4+80,ny3:ny4,k+1)=si(nx1:nx4,ny3:ny4);end

si2=X(:,:,k+1);vel(1:nx,1:ny)=0;for j=2:nyfor i=2:nx u(i,j)=(si2(i,j)-si2(i,j-1))/dy;v(i,j)=-(si2(i,j)-si2(i-1,j))/dx;vel(i,j)=(u(i,j)^2+v(i,j)^2)^0.5;

p(i,j)=((u(i,j)^2 + v(i-1,j)^2)-(u(i-1,j)^2 + v(i-1,j)^2))/2*g;endend

contourf(x,y,X(:,:,k),100)

%CONTORNOS DE LOS BLOQUESCONTORNO DEL CANALholdonL1=[0,0;1000,0;1000,-20;0,-20;0,0];fill(L1(:,1),L1(:,2),'y')

holdonL2=[0,500;0,520;1000,520;1000,500;0,500];fill(L2(:,1),L2(:,2),'y')

CONTORNO DE LAS PILETAS EN FORMA DE T

holdonT1=[275,0;275,100;200,100;200,150;400,150;400,100;325,100;325,0;275,0];fill(T1(:,1),T1(:,2),'y')

holdonT2=[600,100;600,150;800,150;800,100;725,100;725,0;675,0;675,100;600,100];fill(T2(:,1),T2(:,2),'y')

holdonT3=[200,350;200,400;275,400;275,500;325,500;325,400;400,400;400,350;200,350];fill(T3(:,1),T3(:,2),'y')

holdonT4=[600,350;600,400;675,400;675,500;725,500;725,400;800,400;800,350;600,350];fill(T4(:,1),T4(:,2),'y')

%contourf(x,y,X(:,:,y))holdonquiver(x,y,u,v,'w')axisequalccc=input('ingrese: ');

[xo,yo]=ginput;holdonplot(xo,yo,'r*')

np=length(xo);% np= numero de particulasnt=100;dt=1;for k=1:ntforip=1:npfor i=1:nx-1for j=1:ny-1if xo(ip)>=x(i,j) & xo(ip)=y(i,j) &yo(ip)