24/6/2015 Forma de Jordan

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Forma de Jordan:Al tratar de diagonalizar una matriz, si ésta posee algunos de sus autovalores que sean iguales, puede ser que no lleguemosencontrar  ninguna  transformación  lineal  que  logre  diagonalizarla  completamente.  Esto  ocurre  cuando  para  ese  autovalormúltiple,  no  podamos  encontrar  suficientes  autovectores  linealmente  independientes  (debemos  encontrar  autovectores  –linealmente  independientes­  en  la  misma  cantidad  que  la  multiplicidad  del  autovalor  para  poderlo  diagonalizarcompletamente).En los casos en que no es posible diagonalizar la matriz, se puede llevar la misma –a través de una transformación lineal­ a laforma de Jordan, que consiste en tener en la diagonal principal los autovalores i de la matriz, y “unos” extra­diagonales enbloques de Jordan en los lugares de los autovalores múltiples: 

  La cantidad de “unos” extra­diagonales dependerá de la cantidad de autovectores linealmente independientes que podamosobtener del autovalor múltiple. Si la multiplicidad del autovalor es k, y obtenemos l autovectores linealmente independientespara ese autovalor, entonces la cantidad m de “unos” extra­diagonales será m = k – l.Veamos en los siguientes dos ejemplos, cómo obtener la matriz de transformación T para llevar a las matrices a su forma deJordan. Ejemplo 1:Queremos llevar a la forma de Jordan a la siguiente matriz: 

 Primeramente determinamos los autovalores del mismo, mediante la solución de la siguiente ecuación: 

 Por lo tanto,  = 2 es autovalor de multiplicidad 3.Determinemos cuáles y cuántos son los autovectores de este autovalor: 

 

y por lo tanto existe solo una única dirección de autovector  , que sea solución no trivial de las ecuaciones.Como encontramos solamente un solo autovector, la forma de Jordan de la matriz A1 será: 

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 El único autovector encontrado, ya forma parte de la nueva base representado en la base original, ya que en la nueva base es: 

 y por lo tanto en la base original debe cumplirse: 

 o sea que v, el autovector encontrado, cumple con esta ecuación.Ahora debemos encontrar en la base original otras dos direcciones linealmente independientes de tal manera que se cumpla: 

 

o sea que en la base original debemos buscar un vector   que cumpla:  

 

y otro vector   en la base original que cumpla: A  estas  dos vectores  que definen otras  dos direcciones para  completar  el  espacio de 3 dimensiones,  se  las  conoce  comoautovectores generalizados (a diferencia de autovector ‘a secas’, los cuales no lo son).Por lo tanto, busquemos el primer autovector generalizado de manera de cumplir: 

 

Y elegimos el vector   arbitrariamente que cumple con las ecuaciones enunciadas.De manera semejante, determinamos el segundo autovector generalizado: 

 

Eligiendo  arbitrariamente  como vector  ,  que  cumple  con  las  ecuaciones descriptas,  completamos  la

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base para la transformación lineal. Por lo tanto la matriz T de cambio de base será: 

 

Esta matriz hace que un vector en la base original   pueda escribirse como función de la nueva representación  :

 Finalmente, transformando la matriz A1 (determinando previamente T­1), llegamos a A1J  con la forma de Jordan: 

 Ejemplo 2:Ahora queremos llevar a la matriz A2 a su forma de Jordan: 

 Determinamos los autovalores del mismo: 

 Por lo tanto,  = ­2 es autovalor de multiplicidad 3.Determinemos cuáles y cuántos son los autovectores: 

 De éstas ecuaciones vemos que cualquiera sea v2, y con tal que v1 = v3, se cumplen con las mismas. Por lo tanto, en este caso,

podemos  elegir  dos  autovectores:    y  . Notar  en  este  caso  que  cualquier  combinaciónlineal de éstos dos vectores, también es autovector de la matriz A2.La forma de Jordan de esta matriz será A2J: 

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 Ahora  debemos  determinar  el  autovector  generalizado  para  completar  la  nueva  base.  Este  autovector  generalizado  no

necesariamente es proyección de alguno de éstos dos vectores   ó  , sino que en general será de alguna combinaciónlineal de los mismos: 

 Y este conjunto de ecuaciones tendrán una solución posible, siempre que  = ­. Por lo tanto el autovector sobre el cual el

autovector generalizado se proyecta es:  .El autovector generalizado   deberá cumplir que: 

 No  importando  el  valor  que  tome w2.  Eligiendo  arbitrariamente w2  =  0,  y  tomando w1  =  1,  obtenemos  el  autovector

generalizado:  .Por lo tanto ya contamos con todos los vectores para determinar la matriz T de cambio de base: 

 

Notar que para el primer vector podría haber elegido también  , o cualquier otra dirección del plano que forman   y  ,con tal que sea linealmente independiente de  .Finalmente determinamos la matriz A2J con la forma de Jordan: 

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