Tipos de solucionesTrivial= x1=x2=x3…xn=0 Arbitraria o no trivial= x1x2….xn0Única= x1=n, x2=n, x3=n… Det=0 Singular o no invertible Det0 No singular o invertible

Operaciones por matrices

[a+¿ a´ b+¿b ´c+¿c ´ d+¿d ´ ]

Transpuesta

[a d gb e hc f i ]

Simétrica y Antisimétrica

A+AT

2 A−AT

2 A=A+AT

2 + A−AT

2

Potencia de una matriz

ArAs=Ar+s (Ar)s=Ars A0=I [1 00 1] Ak=AK de veces

Matriz inversa I=Identidad [1 00 1]

AA-1=I AI =A-1

Propiedades de la inversa(A-1)-1=A (A-1)k=(Ak)-1 Det A-1=1/det A (A)-1=A-1/

Determinantes

[a bc d ]=(a*d)-(b*c) [a b c

d e fg h i ] [

a bd eg h] ¿

=Crame o [a b cd e fg h i ]= a [b c

e f ] - b [a cd f ] + c [a b

d e ]

[a be f

c dg h

i or s

p qt u

]=[a b0 f

c dg h

0 00 0

p q0 u

]Triangular principal

Triple producto escalar(uxv) w

Área de un paralelogramou⃗v = (ui-vi),(uj-vj),(uk-vk) v⃗w =(vi-wi),(vj-wj),(vk-wk)

u⃗vxv⃗w área=√ i2+ j2+k2 Menor complementario Si se determina ubicación se eliminara la fila y columna de la señalada

[a b cd e fg h i ]= [e f

h i ] - [d fg i ] + [d e

g h ]

- [b ch i ] + [a c

g i ] - [a bg h ]

[b ce f ] - [a c

d f ] + [a bd e ]

Menor de cofactores Es la matriz de todos los menores complementarios

[a b cd e fg h i ]= [e f

h i ] - [d fg i ] + [d e

g h ] - [b ch i ]…. =

[1 2 34 5 67 8 9]

Menor adjunta Es la transpuesta de la matriz de cofactores

[1 4 72 5 83 6 9]

Matriz inversa Matriz adjunta entre el determinante

[1det

4det

7det

2det

5det

8det

3det

6det

9det

]Encontrar el valor de la incógnita x

[a b cd e fg h i ] = Al número para que el det=0

Producto punto o escalaru(i, j, k) v(i, j, k)=(uivi+ujvj+ukvk)

Producto cruz

uxv= i [b ce f ] + j [a c

d f ] + k [a bd e ]

Volumen de un paralelepípedo u3

[ uvw] [a b cd e fg h i ] [

a bd eg h] ¿ ó (u v) w

Vector en R2

Magnitud |v| = √ x2+ y2 Dirección Ө = Tan-1 y/x

Vector en R3

Magnitud |v| = √ x2+ y2+z2 Dirección Өx = cos y/|v| Өy = cos x/|v| Өz = cos z/|v|

Vector unitario

u⃗ = A

¿ A∨¿¿¿

x

¿ A∨¿+y

¿ A∨¿+,z

¿A∨¿¿¿¿ = 1

Angulo entre vectores

Cos-1u v

¿u∨¿ v∨¿¿Proyección de vectores sobre otro vector

W= u - u v

¿v∨¿2¿ v

Orden de las expresiones.

1 2 3 4

AxB x CxD = AxD n=columnas y m=renglones

Espacio vectorial = V Conmutativa, como algoritmos

Subespacio vectorial = HX + Y = 0 Vector X + Y ≠ 0 No vector

Combinación lineal Ejemplo ecuación = 2x + 3y

W = λ u⃗ + λ v⃗ = 2(a,b) + 3(d,c) = (2a+3d , 2b+3c)a, b, c, d = Se dan en el problema

GeneradorMatriz cuadrada det. ≠ 0Matriz cuadrada + otra matriz (n=1).

Vector linealmente dependienteMatriz es múltiplo, Det. = 0, n>m

Vector linealmente independienteDet ≠ 0, solución trivial.

Base Si es la matriz es generador e independiente

Base espacio soluciónEscalonada reducida ecuaciones Veces que aparece cada término como en matriz n=1 Matriz de los términos anteriores (Dimension = n)Rango = p(A) Es igual al número de pivotes en la escalonada reducida

Nulidad = υ(A) V(a) = n – p(A) n=Numero de columnas

RA Cada renglón como si fuera matriz [a¿b ][c¿d ]

(Espacio renglones)

Imagen = C A Cada columna como si fuera matriz [ac ] [bd] (Espacio columnas)

N A Base espacio solucion

Base canoníca a no canoníca [Bo Bc]Se invierte la matriz no canoníca.

Base no canoníca a canoníca [Bc Bo]

Cofactores de la de trancision (Bo ¿