Formulario Tranformada de Fourier
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SENALES Y SISTEMAS
1. Propiedades de la Transformada de Fourier
1. Linealidadt: ax(t) + by(t)jw: aX(jw) + bY (jw)
2. Desplazamiento en el tiempo:t: x(t t0)jw: ejwt0X(jw)
3. Desplazamiento de frecuencia:t: x(t) ejtw0jw: X(j(w w0))
4. Multiplicacion por una potencia de t:t: tnx(t)jw: jn d
n
dwnXjw n=1,2,3...
5. Multiplicacion por sin(w0t):t: sin(w0t)x(t)
jw:j
2[X(w + w0)X(w w0)]
6. Multiplicacion por cos(w0t):t: cos(w0t)x(t)
jw:1
2[X(w + w0) +X(w w0)]
7. Conjugacion:t: x(t)
jw: X(jw)
8. Inversion en el tiempo:t: x(t)jw: X(jw)
9. Dualidad:t: X(t)jw: 2pix(jw)
10. Escalamiento de tiempo y frecuencia:t: x(at)jw: 1|a|X(
jwa )
11. Convolucion:t: x(t) y(t)jw: X(jw) Y (jw)
12. Multiplicacion:t: x(t)y(t)
jw:1
2piX(jw)Y (jw)
13. Diferenciacion en el tiempo:t: ddxx(t)jw: jwX(jw)
14. Integracion en el tiempo:
t:
t
x(t)dt
jw:1
jwX(jw) + piX(0)(w)
15. Diferenciacion en la frecuenciat: tx(t)jw: j ddwX(jw)
16. Simetria para senales real y part: x(t) real y parjw: X(jw) real y par
17. Simetria para senales real y impart: x(t) real y imparjw: X(jw) Puramente imaginaria e impar
18. Relacion de Parseval para senales aperiodi-cas:
t:
|x(t)|2dt
jw:1
2pi
|X(jw)|2dw
19. Teorema de Parseval:
t:
x(t)v(t)dt
jw:1
2pi
X(jw)V (jw)dw
1
-
2
2. Algunos pares de la transformada de Fourier comunes:
() () {()} = () |()|
( )
2( )
cos() [( + )+ ( )]
1 2()
() 2
() () +1
. () 1
+
. cos() . () +
( +)2 +2
( +
2) (
2)
(/2)
/2
-
3
3. Funciones del tiempo y sus funciones de densidad espectral:
-
4
4. Pares bsicos de la Transformada de Fourier
Seal Transformada de Fourier Coeficientes de la serie de Fourier
(si es peridica)
. +
=
2 . ( )
+
=
2( ) 1 = 1 = 0,con otro valor
cos()
[( + ) + ( )] 1 = 1 =1
2
= 0,con otro valor
sen()
[( ) ( + )]
1 = 1 =1
2
= 0,con otro valor
() = 1
2() 0 = 1, = 0, 0
(Esta es la representacin en serie de
Fourier para cualquier seleccin de
T>0)
Onda cuadrada peridica
() = 1, || < 1
0, 1 < ||
2
y ( + ) = ()
2(1)
( )
+
=
1
(
1
) =(1)
( )
+
=
2
(
2
)
+
=
=
1
() = 1, || < 10, || > 1
2(1)
-
sen()
() =
1, || < 2, || >
-
() 1 - () 1
+ ()
-
( ) - . (),{} > 0 1
+
-
. (),{} > 0 1
( + )2
-
1
( 1)!. (),
{} > 0
1
( + )
-
-
5
5. Propiedades de la Transformada de Fourier:
Linealidad () + () () + () Desplazamiento en el tiempo por la izquierda o derecha
( ) () Escalamiento en el tiempo
() 1
(
)
Inversin en el tiempo () () Multiplicacin por una potencia de t
() ()
Multiplicacin por una exponencial compleja ()0 ( 0) Multiplicacin por sin(0) () sin(0)
2[( 0) ( 0)]
Multiplicacin por cos(0) () cos(0) 1
2[( 0) + ( 0)]
Derivacin en el dominio del tiempo ()
()()
Integracin en el dominio del tiempo ()
1
() + (0)()
Convolucin en el dominio del tiempo () () ()() Multiplicacin en el dominio del tiempo
()() 1
2() ()
Teorema de Parseval ()()
1
2 () ()
Caso especial del Teorema de Parseval 2()
1
2 |()|2
Dualidad () 2()
6. Pares de transformadas de Fourier:
1, < < 2()
0.5 + () 1
() () +1
() 1 ( )
() 1
+
() 1
( + )2
0 2( 0)
() 2
()
-
6
() arcsin(
2)
arcsen(
2) 2()
(1 2||
) ()
22 (
4)
22 (
4) 2 (1
2||
)()
cos(0) [( +0) + ( 0)]
cos(0 + ) [( + 0) +
( 0)]
sen(0) [( + 0) + ( 0)]
sen(0 + ) [( + 0)
( 0)]
(
) (
2)
() (
2)
2(/2) (
)
cos(/) (
)
2
cos(/2)
1 (/)2
Transformada de Fourier Seales Peridicas
() = 2
=
( 0)
Modulacin AM
() = ()()
Convolucin x(t)->[h(t)]->y(t)=x(t)*h(t)
Ecuaciones diferenciales
() = =0 ()
=0 ()
=
=
Demodulador AM
Modulador.()->filtro=seal recuperada