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FORMULARIO DE PROBABILIDAD I Y II
1 Curso de Probabilidad- Prof. Erick Mier Moreno
AMAT®
Aprendizaje Matemático. Centro de Desarrollo Matemático.
Formulario de Probabilidad para Licenciatura.
Elaborado por:
Act. Erick Mier Moreno Director General del Centro de Desarrollo Matemático
AMAT®
Lugar y Fecha de Elaboración:
AMAT. Armada de México (Cafetales) No. 1450 Loc. 11, Col. Residencial Cafetales, C. P. 04918, México D. F.
Tel: 56-73-33-34
FORMULARIO DE PROBABILIDAD I Y II
2 Curso de Probabilidad- Prof. Erick Mier Moreno
1.- Conjuntos
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
1 1
1.1) ; ; ; 1.2) ; ;
1.3)
1.4)
1.5) Si , entonces y 1.6) y 1.7) Leyes de DeMorg
n n
i ii i
n n
i ii i
A B B A A B B A A A A A A AA A A A A
A B A B
A B A B
A B A B B A B AA B A A B A B B A B
= =
= =
= = = =∅ = ∅ =∅ −∅ =
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠⊂ = =
⊂ ⊂ ⊂ ⊂
∪ ∪ ∩ ∩ ∪ ∩∪ ∩
∩ ∪ ∪ ∩
∪ ∩ ∩ ∪
∪ ∩∩ ∪ ∩ ∪
( ) ( )1 1 1 1
an:
1.7.1) ;
1.8) Para dos conjuntos y se cumple que
c cn n n nc c
i i i ii i i i
C
A A A A
A B A A B A B
= = = =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=
∪ ∩ ∩ ∪
∩ ∪ ∩
2.- Medida de probabilidad P(A). Propiedades.
( ) ( )( )
1
1 1
2.1) 1; 0
2.2) 0 1 para todo evento 2.3) Si , , son eventos tales que para toda , entonces
( )
2.4) Si entonces ( ) ( )2.5) Para cualesquiera
n i j
nn
i ii i
P P
P A AA A A A i j
P A P A
A B P A P B= =
Ω = ∅ =
≤ ≤
=∅ ≠
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
⊂ ≤
∑
… ∩
∪
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
11
eventos , y :2.5.1)
2.5.2)
2.5.3)
2.5.4)
2.6) 1
2.7) Para cualesquiera eventos , , ,
c c
c
C
n
n ii
P A B C P A P B P C P A B P A C P B C P A B C
A B CP A B P A P B P A B
P A B P A B P A B P A B
P A P A B P A B
P A P A
A A P A P=
= + + − − − +
= + −
= + +
= +
= −
⎛ ⎞ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠
∪ ∪ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩
∪ ∩
∪ ∩ ∩ ∩
∩ ∩
… ∪ ( )1
. La igualdad se da
cuando los eventos son mutuamente excluyentes. 2.8) Probabilidad Clasica: Si es un conjunto de atomos muestrales equiprobables,
entonces para cualquier ev
n
ii
A=
Ω
∑
( ) #( )ento , . #( )
AA P A⊂ Ω =Ω
FORMULARIO DE PROBABILIDAD I Y II
3 Curso de Probabilidad- Prof. Erick Mier Moreno
3.- Probabilidad condicional
( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
3.1) Para cualesquiera dos eventos y tales que 0. Se define la probabilidad
condicional de dado , denotada por como: .
3.2)
3.3) Ya que e
A B P B
P A BA B P A B P A B
P B
P B A P AP A B P A B P B P B A P A P A B
P B
P B
>
=
= = ⇒ =
∩
∩
i
( ) ( )( )
1
1 1
s una medida de probabilidad, esta cumple:
3.3.1) 1; 0
3.3.2) 0 1 para todo evento
3.3.3) Si , , son eventos tales que para toda , entonces
( )
n i j
nn
i ii i
P B P B
P A B A
A A A A i j
P A B P A B= =
Ω = ∅ =
≤ ≤
=∅ ≠
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
… ∩
∪
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
3.3.4) Si entonces ( ) ( )3.4) Para cualesquiera eventos , y :
3.4.1)
3.4.2)
3.4.3)
3.4.4) 1
3.5) Para cualesquiera event
c c
c
C
A C P A B P C BA B C
P A C B P A B P C B P A C B
P A C B P A C B P A C B P A C B
P A B P A C B P A C B
P A B P A B
⊂ ≤
= + −
= + +
= +
= −
∑
∪ ∩
∪ ∩ ∩ ∩
∩ ∩
( )11 1
os , , , nn
n i ii i
A A P A B P A B= =
⎛ ⎞ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠
∑… ∪
4.- Probabilidad total
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
1 1 1
4.1) Para y eventos:
4.2) Si , , forman una particion de , es decir para
y ademas, , entonces:
c c
n i j
n nn
i i i ii i i
A B P A P A B P B P A B P B
B B B B i j
B P A P A B P A B P B= = =
= +
Ω =∅ ≠
= Ω = =∑ ∑
… ∩
∪ ∩
5.- Teorema de Bayes
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
5.1) Para y eventos: c c
P A B P BA B P B A
P A B P B P A B P B=
+
FORMULARIO DE PROBABILIDAD I Y II
4 Curso de Probabilidad- Prof. Erick Mier Moreno
( ) ( ) ( )( ) ( )
1
1
1
5.2) Si , , forman una particion de , es decir para
y ademas, , entonces:
n i j
n j ji j ni
i ii
B B B B i j
P A B P BB P B A
P A B P B=
=
Ω =∅ ≠
= Ω =
∑
… ∩
∪
6.- Regla de la multiplicación
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
1 1 2 1 3 1 2 1 2 1
Para , , eventos tales que 0, entoncesn n
n n n
A A P A A
P A A P A P A A P A A A P A A A A −
>
=
… ∩…∩
∩…∩ ∩ ∩ ∩…∩
7.- Independencia
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )1 1
1
7.1) Se dice que y son independientes si y solo si 7.2) , , son mutuamente independientes si y solo si:
para toda 2,3,..., .
7.3) Si y son independientek K
n
i i i i
A B P A B P A P BA A
P A A P A P A k n
A B
=
= =
∩…
∩…∩
s, entonces y , y , y son independientes7.4) y son eventos independientes a cualquier evento A.
c c c cA B A B A BΩ ∅
8.- Variables Aleatorias. Función de densidad ( ) ( ) ( ), o Xf x f x p x
( ) [ ]
( )( )
1
8.1) Caso Discreto. La variable aleatoria toma valores en un conjunto a lo mas numerable de numeros reales , , ,
8.1.1) Se define y cumple que:
8.1.2) 0 para toda
8.1.3)
n
x
x x
f x P X x
f x x
f x P X
= =
≥ ∈
=∑
… …
( )
( ) [ ] ( )
( )
1
8.1.4) La probabilidad del evento , es
8.2) Caso Continuo. La variable aleatoria toma valores en intervalo(s) de los reales o sobre todo el conjunto , .
8.2.1) En
x
x A
x
A P A P X A f x∈
= =
= ∈ =
= −∞ +∞
∑
∑
( ) [ ] [ ]( )
( )
[ ] ( )[ ] [ ]
-
este caso , ya que =0 para toda . Cumple:
8.2.2) 0 para toda
8.2.3) 1
8.2.4) La probabilidad del evento ( , ) es
8.2.5) En caso continuo
b
a
f x P X x P X x x
f x x
f x dx
A a b P a X b f x dx
P a X b P a X b P a
∞
∞
≠ = = ∈
≥ ∈
=
= < < =
< < = ≤ < = <
∫∫
[ ] [ ]X b P a X b≤ = ≤ ≤
FORMULARIO DE PROBABILIDAD I Y II
5 Curso de Probabilidad- Prof. Erick Mier Moreno
9.- Función de distribución ( ) ( ) o XF x F x y supervivencia ( ) ( ) o XS x S x
( ) [ ] ( ) [ ] [ ] ( )
( ) [ ]
( ) [ ] ( ) ( )0
9.1) Por definicion: y 1 19.2) Caso Discreto (C. D.),
limt x
h
F x P X x S x P X x P X x F x
F x P X t
f x P X x F x F x h+
≤
→
= ≤ = > = − ≤ = −
= =
⇒ = = = − −
∑
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( )( )
9.3) Caso Continuo (C. C.),
;
'
9.4) Propiedades de (C. D. y C. C.)
9.4.1) es una funcion monotona no decreciente
9.4.2) lim 1 y lim 0
9.4.3) es
x
x x
F x f u du
df x F x F xdx
F x
F x
F x F x
F x
−∞
→∞ →−∞
=
⇒ = =
= =
∫
[ ] ( ) ( )( )( )
( )( ) ( )
una funcion continua por la derecha
9.4.4)
9.5) Funcion de riesgo o falla ( ) ln 1 (C. C.)1
P a X b F b F a
f x f x dh x F xS x F x dx
< ≤ = −
= = = − −⎡ ⎤⎣ ⎦−
10.- Esperanza de una variable aleatoria, valor esperado, 1er momento, media, promedio, ( ) o E X µ .
( ) ( ) [ ]
( ) ( )
( )( )( ) ( )
10.1) (C. D.)
10.2) (C. C.)
10.3) Propiedades de para ambos casos
10.3.1) para toda
10.3.2) para toda ,
10.3.3) Si es una v. a. no negati
x xE X xf x xP X x
E X xf x dx
E X
E c c c
E aX b aE X b a b
X
∞
−∞
= = =
=
= ∈
+ = + ∈
∑ ∑
∫
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
1 2 1 1
0
0
va, entonces 0
10.3.4) Si , entonces
10.4) 1
E X
g X g X E g X E g X
E X F x dx F x dx∞
−∞
≥
≥ ≥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= − −∫ ∫
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[ ) ( ) ( )( )
[ ) ( ) ( )( )
10.5) Si esta definida en el intervalo , 1
Si esta definida en el intervalo , 1
a
b
a
X a E X a F x dx
X a b E X a F x dx
∞
∞ ⇒ = + −
⇒ = + −
∫
∫
11.- Esperanza de una función ( )g X de una variable aleatoria X.
( ) ( ) ( ) ( ) [ ]
( ) ( ) ( )
11.1) (C. D.)
11.2) (C. C.)
x x
E g X g x f x g x P X x
E g X g x f x dx∞
−∞
= = =⎡ ⎤⎣ ⎦
=⎡ ⎤⎣ ⎦
∑ ∑
∫
12.- Momentos de orden r,
( ) ( ) (C. D.) y (C. C.) r r r r
xE X x f x E X x f x dx
∞
−∞⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ ∫
13.- Momentos centrales (alrededor de la media ( )E X µ= )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (C. D.) y (C. C.) r r r r
x
E X x f x E X x f x dxµ µ µ µ∞
−∞− = − − = −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ ∫
14.- Varianza de una variable aleatoria, ( ) 2o Var X σ , desviación estándar σ y coeficiente de variación.
( ) ( )( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
2 22
2 2
14.1) La varianza de X es: ,
la desviacion estandar es: = y el coeficiente de variacion es / .
14.2) Propiedades de
14.2.1)
14.2.2) 0 y
Var X E X E X E X
Var X
Var X
Var X E X E X
Var X Var X
σ µ
σ σ µ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = − = −⎣ ⎦⎣ ⎦
= −
≥
( ) ( )2
0 si y solo si
14.2.3)
X c
Var aX b a Var X
= =
+ =
15.- Función generadora de momentos, ( ) ( ) ( ) ( ), , o X XM t M t m t m t
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3
2 3
0
15.1) o (C. D. y C. C.)
15.2) 1! 2 6
tX tx tx
xk
k
k
M t E e e f x e f x dx
t t tM t E X tE X E X E Xk
∞
−∞
∞
=
= =
= = + + + +
∑ ∫
∑ …
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7 Curso de Probabilidad- Prof. Erick Mier Moreno
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 ( )
2
2
15.3) Propiedades de
15.3.1) 0 1; ' 0 ; '' 0 ; 0
15.3.2) ln 0 ; ln 0
r r
M t
M M E X M E X M E X
d dM E X M Var Xdt dt
= = = =
= =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
…
16.- Mediana, Moda, Percentiles y Sesgo de una distribución de probabilidad.
[ ] [ ]
16.1) Para 0 1 el 100 % percentil de la distribucion de es el numero
que satisface: y 1 .
16.2) La mediana es el numero tal que 0.5. En c
p
p p
p p X c
P X c p P X c p
Me P X Me P X Me
< <
⎡ ⎤ ⎡ ⎤≤ ≥ ≥ ≤ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦≤ = ≥ =
( )( )3
aso discreto no siempre es unico; en caso continuo es unico.16.3) La moda es aquel numero (o conjunto de numeros) para los cuales es maxima
16.4) El coeficiente de asimetria de una v. a. es
f x
E X µ⎡ ⎤−⎣3σ
⎦
17.- Desigualdades
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
[ ]
17.1) Jensen. Sea v. a. y ( ) una funcion de , entonces
17.1.1) Si '' 0
17.1.2) Si '' 0
17.2) Markov. Para una v. a. no negativa y positivo,
X g X X
g X E g X g E X
g X E g X g E X
X t
P X t
≥ ⇒ ≥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦≤ ⇒ ≤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
≥( ) [ ] ( )
( ) ( )
2 2
; 1
17.3) Chebyshev. Si es una v. a. con y = y 0,
1 1 ; 1
E X E XP X t
t tX E X Var X t
P X t P X tt t
µ σ
µ σ µ σ
≤ ≤ ≥ −
= >
⎡ − ≥ ⎤ ≤ ⎡ − ≤ ⎤ ≥ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
18.- Familias paramétricas discretas.
( ) ( ) ( )1,2,...,
1 1( ); ;
2
18.1) Uniforme discreta. Modelacion de espacios con un numero, N, de resultados finitos y equiprobables (Urnas, dados, muestreo aleatorio). ( )
N
Nf x I x E X Var X
N
X U N
+= =
∼
( ) ( )( )
2 11;
12 1
t Nt
t
e eNM t
N e
−−= =
−
FORMULARIO DE PROBABILIDAD I Y II
8 Curso de Probabilidad- Prof. Erick Mier Moreno
18.2) Bernoulli. Experimentos con dos posibles resultados: exito (1) con probabilidad y fracaso (0) con probabilidad 1 ; 0 1. (Sol o aguila, fallecimiento o supervivencia, aseg
p q p p= − < <
( ) ( ) ( ) ( )10,1 ;
urado o no asegurado). ( )
( ) 1 ( ); ;
18.3) Binomial. Contabiliza el numero de exitos en ensayos Bernoulli independientes. (Numer
xx tVar X M t q pe
X Blli p
f x p p I x E X p pq
n
−= += − = =
∼
( ) ( )0,1,...,
o de fallecimientos en un grupo de personas, articulos defectuosos en pruebas, numero de siniestros de un conjunto de asegurados) ( , )
( ) 1 ( ); n xxn
n nn X Bin n p
nf x p p I x E X
x−⎛ ⎞
= − =⎜ ⎟⎝ ⎠
∼
( ) ( ) ( ); ;
18.4) Poisson. Cuenta el numero de eventos de cierto tipo que ocurren en un periodo de tiempo determinado con una tasa de ocurrencia 0. (Numero de accidentes en
ntM t q penp Var X npq
λ
= +=
>
( ) ( ) ( )
un mes, clientes que llegan a una ventanilla de un banco, llamadas recibidas en un conmutador) ( )
( ) ; ; ( ) exp 1!
18.5
xt
X Poissonef x E X Var X M t e
x
λ
λ
λ λ λ−
⎡ ⎤= = = = −⎣ ⎦
∼
) Geometrica. Contabiliza en numero de fracasos antes del primer exito en ensayos Bernoulli independientes que tienen probabilidad de exito y 1 de fracaso. (Numero de meses que
p q p= −
( ) ( ) ( )0,1,2,... 2
pasan antes del primer siniestro, numero de volados antes del primer sol) ( )
( ) ( ); ; ; 1
18.6) Binomial Negativa. Cuenta el n
xt
X Geo pq q pf x q pI x E X Var X M tp p qe
= = = =−
∼
umero de fracasos obtenidos antes del r-esimo exito en ensayos Bernoulli independientes. (Numero de aguilas antes del quinto sol, numero de dias que pasan sin llover antes de la terce
( ) ( ) ( ) ( )0,1,2,... 2
1
1
r lluvia, numero de cheques cobrados antes del septimo cheque sin fondos) ( , )
( ) ; ; ; t
rx rx r p
x qe
X BinNeg p r
rq rqf x q p I x E X Var X M tp p
+ −
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
∼
FORMULARIO DE PROBABILIDAD I Y II
9 Curso de Probabilidad- Prof. Erick Mier Moreno
18.7) Hipergeometrica. De una poblacion con elementos, de los cuales son del tipo I y los restantes del tipo II se sellecciona una muestra aleatoria de tamaño . Esta variab
M KM K
n−
le aleatoria contabiliza el numero de elementos del tipo I en la muestra. (Numero de tornillos defectuosos dentro de una m. a. de tamaño 15 tomada de una caja con 100 tornillos de lo
( )
s cuales 20 son defectuosos, numero de mujeres seleecionadas en una muestra de tamaño 40 tomada de un grupo con 120 hombres y 215 mujeres) , ,
( )
K M K
x n x
M
n
X Hiper M K n
f x
−
−
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠=
⎛
∼
[ ] ( ) ( )0,1,...,min ,
1 2
1 2
1( ); ;
18.8) Multinomial. En un experimento con resultados distintos , ,..., con probabilidad de ocurrencia , ,..., respectiv
n K
k
k
K K M K M nn n
M M M MI x E X Var X
k A A Ap p p
− −
−= =
⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
1 2
1 2
amente tales que ... 1 se realiza veces. La distirbucion multinomial cuenta el numero de veces, , que ocurre el evento , para 1, 2,..., , tales que ... . (Nu
k
i
i k
p p pn X
A i k X X X n
+ + +=
= + + + = mero de veces que aparece el 1, 2, 3, 4, 5, 6 al lanzar 30 veces un dado, el numero de asegurados de bajo, moderado y alto riesgo que aparecen en una muestra de tamaño 10) X Mult∼
[ ]
( ) ( ) ( )
1 2
1 2
1 1 1 2 2 1 21 2
( , ,..., , )!( , , ) , , ,
! ! !; 1 ; ( , )
k
k
k k k kk
i i i i i i j i j
xx x
inomial p p p nnf x x P X x X x X x p p p
x x xE X np Var X np p Cov X X np p
= = = = =
= = − = −
… … …
19.- Familias paramétricas continuas.
( ) [ ) ( ] [ ]
( , ) ( , )
19.1) Uniforme continua. Modelacion de eventos aquiprobables sobre un intervalode medida finita de , , , , , , , , , , , . ( , ).
1( ) ( ); ( ) ( ); a b a b
a b a b a b a b a b a b X Unif a bx af x I x F x I x
b a b a
∈ <
−= =
− −
∼
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
2 1 1
2
; 12 ( ) 1
bt at r rr
a bE X
b a e e b aVar X M t E Xb a t n b a
− −
+=
− − −= = =
− + −
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10 Curso de Probabilidad- Prof. Erick Mier Moreno
( )
( ) ( ) ( )0, 0,
19.2) Exponencial. Modelacion para tiempos de espera o falla. Relacionada con la la funcion de densidad Poisson. Para 0, exp
( ) ( ); ( ) 1 ( ); x x
X
f x e I x F x e I xλ λ
λ λ
λ − −∞ ∞
>
= = −
∼
( )
( ) ( ) ( )2
2
2
1
1 !; ;
19.3) Normal. Se dice que tiene una distribucion normal con parametros y
, 0, si su f. d.
rr
E X
rVar X M t t E Xt
X
λλ λ
λ λ λ
µ σ
µ σ
=
= = > =−
−∞ < < ∞ > ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
2
2
22 2,2
p. es, ,
1( ) ( ); ; ; 2
19.3.1) Normal estandar. Si cumple las condiciones del inciso anterior, entonces
0,1 , y
1( )2
x tt
X N
f x e I x E X Var X M t e
XXZ N
f x e
µ σµσ
µ σ
µ σπσ
µσ
π
−− +
−∞ ∞
−
= = = =
−=
=
∼
∼
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
2 2, ; 0; 1;
19.4) Gama. Se dice que una variable aleatoria continua tiene una funcion de densidad gama con parametros 0 y 0 si su f. d. p.
x t
I x E X Var X M t e
r λ
−∞ ∞ = = =
> >
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
1 10,
0
2
es: ( , )
( ) ; Donde
; ; .
19.4.1) Propiedades de .
19.4.1.1) 1 Para
19.4.1.2)
rr x r t
r
X Gama r
f x x e I x r t e dtr
r rE X Var X M t tt
r
r r r r
λ
λ
λ
λ λλ λ λ
∞− − − −
∞
+
= Γ =Γ
⎛ ⎞= = = >⎜ ⎟−⎝ ⎠Γ
Γ + = Γ ∈
∫
∼
( ) ( )( )
( ) 11(0,1)
1 ! Para
19.4.1.3) 1/ 2
19.5) Beta. Una variable aleatoria continua tiene distribucion Beta con parametros 0 y 0 si su f. d. p es: ( , )
1( ) 1 ( );( , )
r r r
X Beta
f x x x I xB
βα
π
α β α β
α β
+
−−
Γ = − ∈
Γ =
> >
= −
∼
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
111
0
2
Donde ( , ) 1
; ; 1
r
B t t dt
rE X Var X E X
r
βα α βα β
α β
α α βα αβα β α α βα β α β
−− Γ Γ= − =
Γ +
Γ + Γ += = =
+ Γ Γ + ++ + +
∫
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11 Curso de Probabilidad- Prof. Erick Mier Moreno
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )( )
,1
2
2
19.6) Pareto. La f. d. p. Pareto con parametros 0 y 0 es: ( , )
( ); 1 ;
; 1 2 1
19.7) Ji Cuadrada. Se dice
rr
X Pareto
f x I x F x E Xx x r
E X Var X
αα
θα
α θ α θ
αθ θ αθα
αθ αθα α α
∞+
> >
⎛ ⎞= = − =⎜ ⎟ −⎝ ⎠
= =− − −
∼
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+ 2( )
2 11 212 2 20,1
2
que una variable aleatoria tiene una distribucion Ji cuadrada con grados de libertad, , si:
1( ) ( ); ; 2 ; 1 2
Nota: La Ji
k
kk k x
k k X
f x x e I x E X k Var X k M tt
χ
− −
∞
∈
⎛ ⎞= = = = ⎜ ⎟Γ −⎝ ⎠
∼
( )
( )2
22
2
2
ln 12 2
(0, )2
1Cuadrada es un caso particular de una ,2 2
19.8) Lognormal. Si ( , ), entonces la v. a. se dice que se distibuye( , ) si:
1( ) ( ); ; 2
U
x
kGamma
U N X eLogN
f x e I x E X ex
µµ σ
σ
µ σ
µ σ
πσ
−− +
∞
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
=
= =
∼
( ) ( )2 22 1Var X e eσ µ σ+= −
20.- Vectores aleatorios. Función de densidad conjunta , ( , ) o ( , )X Yf x y f x y
( ) [ ]( ) ( ) ( )
( ) [ ]
( ) ( )
,
2, ,
,
2,
20.1) Caso Discreto. , ; , cumple:
, 0; , ; , 1
20.2) Caso Continuo. , ; , cumple:
, 0; , ;
X Y
X Y X Yy x
X Y
X Y
f x y P X x Y y
f x y x y f x y
f x y P X x Y y
f x y x y
∀ ∀
= = =
≥ ∀ ∈ =
≠ = =
≥ ∀ ∈
∑∑
( ), , 1X Yf x y dxdy∞ ∞
−∞ −∞
=∫ ∫
21.- Función de distribución conjunta. , ( , ) o ( , )X YF x y F x y
( ) [ ]( ) ( )
( ) ( )
[ ] ( ) ( )
,
, ,
, ,
,
Se define en ambos casos como , ;
21.1) C. D.: , ,
21.2) C. C.: , ,
21.3) Para calcular probabilidades
; , , ,
X Y
X Y X Ys y t x
y x
X Y X Y
d b
X Yc a
F x y P X x Y y
F x y f s t
F x y f u v dudv
P a X b c Y d f x y dxdy F b d F b
≤ ≤
−∞ −∞
= ≤ ≤
=
=
< ≤ < ≤ = = −
∑∑
∫ ∫
∫ ∫ ( ) ( ) ( ), ,c F a d F a c− +
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12 Curso de Probabilidad- Prof. Erick Mier Moreno
( )
( ) ( ) ( )
,
, , ,
21.4) Propiedades de ,) Monotona no decreciente en cada componente.) Continua por la derecha en cada componente.) lim , 1; lim , 0; lim , 0;
) (C. C):
X Y
X Y X Y X Yx x yy
F x yiiiiii F x y F x y F x y
iv f
→∞ →−∞ →−∞→∞
= = =
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
, ,
,0 0 0
0
, ,
(C. D): , , lim , lim , lim ,
X Y X Y
X Yh h h
k
x y F x yx y
f x y F x y F x h y F x y h F x h y k+ + +
+→ → →
→
∂=∂ ∂
= − − − − + − −
22.- Funciones de densidades marginales.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
, ,
, ,
, ,
22.1) , ; , C. D.
22.2) , ; , C. C.
22.3) lim , ; lim ,
X X Y Y X Yy x
X X Y Y X Y
X X Y Y X Yy x
f x f x y f x f x y
f x f x y dy f x f x y dx
F x F x y F x F x
∀ ∀
∞ ∞
−∞ −∞
→∞ →∞
= =
= =
= =
∑ ∑
∫ ∫( ) ( ) C. C. y C. D.y
23.- Esperanza de una función ( ),g X Y
( )( ) ( )
( ) ( )
,
,
, , (C. D.),
, , (C. C.)
X Yy x
X Y
g x y f x yE g X Y
g x y f x y dxdy
∀ ∀
∞ ∞
−∞ −∞
⎧⎪=⎡ ⎤ ⎨⎣ ⎦⎪⎩
∑∑
∫ ∫
24. Independencia de variables aleatorios.
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
,
,
Se dice que dos variables aleatorias y son independientes si y solo si:) ,
) ,
) Si y son independientes, entonces:
X Y X Y
X Y X Y
X Yi f x y f x f y
ii F x y F x F y
iii X Y E g X h Y E g X E h Y
=
=
=⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
25.- Covarianza y coeficiente de correlación.
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 2
25.1) ,
25.2) Si y son v. a. independientes, entonces , 0
25.3) ,
25.4) , ,
25.5) 2 ,
Cov X Y E X E X Y E Y E XY E X E Y
X Y Cov X Y
Cov X X Var X
Cov aX b cY d acCov X Y
Var aX bY c a Var X b Var Y abCov X Y
⎡ ⎤= − − = −⎣ ⎦=
=
+ + =
± + = + ±
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( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )
25.6) , , ,
, ,
,25.7) Coeficiente de correlacion.
25.8) 1 1. Si y son indep
XY
XY
Cov aX bY c dW eZ f adCov X W aeCov X Z
bdCov Y W beCov Y Z
Cov X Y
Var X Var Y
X Y
ρ
ρ
+ + + + = +
+ +
=
− ≤ ≤ endientes, entonces 0.25.9) Si y , entonces .
XY
UV XYU aX b V cY dρ
ρ ρ=
= + = + =
26.- Función Generadora de Momentos Conjunta. ( )1 2,XYM t t
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 2
1 2
1 2
1 2
2 2 1 1
1 2 1 2
1 21 2 0
2
1 21 2 0
1
26.1) ,
26.2) 0, = ; ,0 =
26.3) y son independientes ,
26.4) ,
26.5) ,
26.6)
t X t YXY
XY Y XY X
XY X Y
n mn m
XYn mt t
XYt t
M t t E e
M t M t M t M t
X Y M t t M t M t
M t t E X Yt t
M t t E XYt t
t
+
+
= =
= =
=
⇔ =
∂=
∂ ∂
∂=
∂ ∂
∂∂
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2
1 2 1 220 0
, ; ,XY XYt t t t
M t t E X M t t E Yt
= = = =
∂= =
∂
27.- Función de densidad, esperanza y varianza condicional. ( )X Yf x y
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( ) ( )
( )
( )( )
( )( ) ( )
,,
0 0
0
0
0
0
0
20 0
,27.1) ,
27.2) ( )
27.3)
27.4)
X YX Y Y XX Y X Y Y X
Y
X Yx x
X Y
X Yx x
X Y
f x yf x y f x y f x y f y f y x f x
f y
g x f x y g x P X x Y yE g X Y y
g x f x y dx
xf x y xP X x Y yE X Y y
xf x y dx
Var X Y y E X Y y E
∀ ∀
∞
−∞
∀ ∀
∞
−∞
= ⇒ = =
⎧ = ⎡ = = ⎤⎣ ⎦⎪= = ⎨⎪⎩
⎧ = ⎡ = = ⎤⎣ ⎦⎪= = ⎨⎪⎩
= = = −
∑ ∑
∫∑ ∑
∫( )
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
20
27.5)
27.6)
X Y y
E E g X Y E g X E E X Y E X
Var X E Var X Y Var E X Y
=
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⇒ =⎣ ⎦⎣ ⎦⎡ ⎤= +⎣ ⎦
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28.- Transformaciones de variables aleatorias.
( ) ( )( )
( )
1
Sea variable aleatoria continua con funcion de densidad y una
funcion inyectiva con inversa con derivada distinta de cero. Entonces tiene una funcion de densidad dada por
28.1)
X
Y
X f x Y g X
X g YY
df y
−
=
=
= ( ) ( )( )( ) ( )( )
[ ] ( ) ( ) ( )( )
1 1
1
1 1
28.2)
En caso de que sea una variable aleatoria discreta
28.3) ;
X
Y X
Y X
g y f g ydy
F y F g y
X
P Y y P X g y f y f g y
− −
−
− −
=
⎡ ⎤= = = =⎣ ⎦
29.- Transformaciones de vectores aleatorios.
( ) ( )( )( )
( )( )
,
11 11
12 2
Sea , vector aleatorio con funcion de desidad conjunta , . Sea
, , una transformacion inyectiva con inversa
, ,
tal que la matriz Jacobiana de la inver
X YX Y f x y
U g X Y X g U VT T
V g X Y Y g U V
−−
−
⎧= =⎧⎪ ⎪= =⎨ ⎨= =⎪ ⎪⎩ ⎩
( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
1 1, , 1 2
1 11 1
2 21 1
sa, , existe y es distinta de cero. Entonces , tienen una funcion de densidad conjunta:
, , , ,
, ,Donde
, ,
U V X Y
JU V
f u v J f g u v g u v
g u v g u vu vJ
g u v g u vu v
− −
− −
− −
=
∂ ∂∂ ∂=∂ ∂∂ ∂
30.- Sumas de variables aleatorias
( )
( )( ) [ ]
,
,
30.1) Convoluciones. Sean y variables aleatorias con funcion de densidadconjunta , . Entonces tiene funcion de densidad conjunta
, ; (C. D.)X Y
X Yx x
Z
X Yf x y Z X Y
f x z x P X x Y z xf z ∀ ∀
= +
− = = = −=∑ ∑
( )
( )( ) ( ) [ ] [ ]
( ) ( )
, , (C. C.)
Si son independientes
(C. D.)
X Y
X Yx x
Z
X Y
f x z x dx
f x f z x P X x P Y z xf z
f x f z x dx
∞
−∞
∀ ∀
∞
−∞
⎧⎪⎨⎪ −⎩
− = = = −=
−
∫
∑ ∑
∫ (C. C.)
⎧⎪⎨⎪⎩
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( ) ( )
( ) ( )( )
( )
11
1
1 1
30.2) Suma de variables aleatorias independientes , , . Sea
Entonces, .
Si son indenticamente distribuidas .
30.3)
30.4) La varianza de la s
n
n ii
n
Y Xii
nY X
n n
i ii i
X X Y X
M t M t
M t M t
E X E X
=
=
= =
=
=
=
⎛ ⎞=⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑
∏
∑ ∑
…
( ) ( )
( )
1
1 1 1
1 1
1 1
uma de variables aleatorias , , .
2 ,
y si las variables aleatorias son independientes
30.5) ,
n
n n n n
i i i ji i i j i
n n
i ii i
n m
i i j ii j
X X
Var X Var X Cov X X
Var X Var X
Cov a X b cY d a
= = = >
= =
= =
⎛ ⎞= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞=⎜ ⎟
⎝ ⎠⎛ ⎞
+ + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ ∑ ∑∑
∑ ∑
∑ ∑
…
( )
( ) ( )
( )
1 1
1
,
30.6) Sumas de variables aleatorias independientes de familias parametricas
,
,
n m
j i ji j
ni ii
i i
c Cov X Y
X Brnlli p X Bin n p
X Bin n p
= =
=⇒
⇒
∑∑
∑∼ ∼
∼ ( )( ) ( )
( ) ( )( )
1 1
1
1 1
,
,
, ,
r ri ii i
ri ii
r ri i i ii i
i i
X Bin n p
X Geo p X BinNeg r p
X BinNeg n p X BinNeg n p
X Poisson λ
= =
=
= =
⇒
⇒
⇒
∑ ∑∑∑ ∑
∼
∼ ∼
∼ ∼
∼ ( )( ) ( )( ) ( )( )
1 1
2 21 1 1
2 2 2
2
, ,
, ,
,
n ni ii i
n n ni i i i i ii i i
i i i i j i j i j
i
X Poisson
X Normal X Normal
X Normal X X Normal
X Normal
λ
µ σ µ σ
µ σ µ µ σ σ
µ σ
= =
= = =⇒
⇒ ± ± +
⇒
∑ ∑
∑ ∑ ∑
∼
∼ ∼
∼ ∼
∼ ( )( ) ( )
( ) ( )
( )
21
2 21
1
,
1, , /
,
,
nii
ni ii
ri ii
i i
X Normal n n
X Normal X X Normal nn
X Exp X Gamma r
X Gamma r
µ σ
µ σ µ σ
λ λ
λ
=
=
=
⇒ =
⇒
⇒
∑
∑
∑
∼
∼ ∼
∼ ∼
∼ ( )( )
1 1
11
,
n ni ii i
ni i nk ii kii
X Gamma r
X X
λ
χ χ= =
⎛ ⎞= ⎜ ⎟=⎝ ⎠
⇒∑
∑ ∑∑
∼
∼ ∼
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31.- Teorema de Límite Central.
( ) ( )
( )
1
2
1
2
Sean , , variables aleatorias independientes e identicamente distribuidas
tales que: , . Sea . Entonces, para grande:
31.1) ,
nn
i i ii
X X
E X Var X Y X n
Y nY Normal n n Zn
µ σ
µµ σσ
=
= = =
−⇒ =
∑
…
∼ ∼ ( )
( ) ( )2
1
0,1
131.2) , 0,1/
n
ii
N
n XXX X Normal Z Nn n n
µσ µµσσ=
−⎛ ⎞ −= ⇒ = =⎜ ⎟
⎝ ⎠∑ ∼ ∼
32.- Estadísticas de orden.
( ) ( )
1
1 1
1
Sean , , variables aleatorias independientes con funcion de densidad de probabilidades y funcion de distribucion . Sea min , ,
la estadistica de orden minima y max , , la esta
n
X X ni i
n n
X Xf x F x Y X X
Y X X
=
=
……
…
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
1
1 1 2
1 2
distica de ordenmaxima. Entonces las funciones de distribucion de y son:
32.1) 1 1 1 1
32.2)
Si las variables aleatorias son identicamente dist
n
Y X X Xn
Y X X Xn n
Y Y
F y F y F y F y
F y F y F y F y
⎡ ⎤= − − − −⎣ ⎦⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
1 11
ribuidas
32.3) 1 1 1
32.4)
Sea la -esima estadistica de orden, entonces:
32.5) 1
n nY X Y X X
n nY X Y X Xn n
kn j
Y X Xkj k
F y F y f y n F y f y
F y F y f y n F y f y
Y k
F y F y F y
−
−
=
= − − ⇒ = −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= ⇒ =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
1
, 1 112
, 1 11
!32.6) 11 ! !
Las funciones de distribucion y de densidad conjunta de y , son
32.7) ,
32.8) , 1
n j
k n kY X X Xk
nn n
Y Y n X n X n Xnn
Y Y n X n X Xn
nf y F y F y f yk n k
Y Y
F y y F y F y F y
f y y n n F y F y f
−
− −
−
= −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦− −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤= − −⎣ ⎦ ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
1
2
La funcion de densidad del rango, =
32.9) 1
n X
n
nR X X X X
y f y
R Y Y
f r n n f r f r x F r x F x dx∞
−
−∞
−
= − + + −⎡ ⎤⎣ ⎦∫
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COMPLEMENTO.
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 2 1 2 31 1 11 1 2 1 2 3
11 2 3
1) Para la probabilidad de la union de eventos
1
2) Relacion entre la distribucion Expo
n n
i i i i i i ii i i n i i i ni
nn
C n
P A P A P A A P A A A
P A A A A
C
= ≤ < ≤ ≤ < < ≤=
−
⎛ ⎞= − ∩ + ∩ ∩⎜ ⎟
⎝ ⎠
+ + − ∩ ∩ ∩ ∩
∑ ∑ ∑∪
( )nencial y la Poisson.
Si es una variable aleatoria exponencial con media =1/ , es decir, exp , que mide el tiempo de ocurrencia entre eventos sucesivos de cierto tipo, donde el tiempo es medido en
T Tµ λ λ∼
unidades apropiadas (segundos, minutos, dias, meses, etc...). Entonces representa el numero de veces que ocurre dicho evento, y se puede probar que es una variable aleatoria Poisson con parametro
Nλ
( )2
2 2(1)
.
C3) Si , , entonces
C4) Si una poliza de seguro que tenga un deducible, D, el pago por parte de la aseguradora, en caso de un siniestro con valor , es:
XX Normal Z
X
µµ σσ
χ−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
∼ ∼
0 si
,0 si
Mientras que el pago realizado por el asegurado es: si
Aseguradora
Asegurado
X DP Max X D
X D X D
X XP
≤⎧= = −⎨ − >⎩
= , si
En caso de existir un pago maximo, M, por parte de la aseguradora, el pago porparte de la aseguradora es:
0 Aseguradora
DMin X D
D X D
P
≤⎧=⎨ >⎩
= si
si si
X DX D D X M DM X M D
≤⎧⎪ − < ≤ +⎨⎪ > +⎩