Fórmulas del 1er Parcial de Álgebra Lineal I EECA UCV

UCV - EECA Álgebra Lineal I 1º Parcial

Supongamos que un sistema de ecuaciones lineales (#) se obtiene de otro (∗) mediante una sucesión finita de operaciones elementales. Entonces (#) y (∗) tienen

el mismo conjunto solución.

Una (1) Solución del Sistema de Ecuaciones Lineales anterior es el Conjunto de valores x1 = k1, x2 = k2, x3 = k3, . . ., xn = kn o una n-pla u = (k1, k2, k3, . . ., kn)

que es solución de cada una de las Ecuaciones del Sistema.

Ecuación LinealSISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Se denomina Ecuación Lineal con Incógnitas x1, x2, x3, . . ., xn a la Ecuación que puede escribirse de

la forma convencional:a1x1 + a 2x2 + a 3x3 + . . . + a nxn = b

x = Incógnita de la Ecuación Lineal ( x ∊ ℝ Desconocido )b = Termino Constante de la Ecuación Lineal ( b ∊ ℝ Conocido )

Ecuación Lineal de una Incógnitaax = b

SIEN

DO a = Coeficiente Asociado a la Incógnita "x" ( a ∊ ℝ Conocido )

★ La Constante "an" se denomina Coeficiente de laIncógnita "xn"

DO

ND

E

Conjunto Solución de una Ecuación Lineal

Sea la Ecuación Lineal ax = b ; entonces:① Si a ≠ 0 → entonces x = b/a es Solución Única de ax = b② Si a = 0 ∧ b ≠ 0 → entonces ax = b No Tiene Solución ③ Si a = 0 ∧ b = 0 → entonces ax = b Tiene Infinitas Soluciones

Ecuación Homogénea ⇨ ax = b es Homogénea si ax = b y b = 0

Teor

ema

1.

1

Ecuación Lineal Degenerada

② Toda Solución de la Ecuación se Obtiene en ①

★ La Constante "b" se denomina Constante de la Ecuación

Considere la Ecuación Lineal Degenerada: 0x1 + 0x2+ 0x3 + . . . + 0xn = b ; entonces:

Ejem

plo:

Considere una Ecuación Lineal No Degenerada con Primera Incógnita xp ; entonces:① Cualquier conjunto de valores de las incógnitas xj con j ≠ p dará Una Única Solución de la Ecuación. (Las Incógnitas xj se llaman Variables Libres porque se les puede asignar cualquier valor).Te

orem

a 1.

3

Se denomina Solución de una Ecuación Lineal al Conjunto de las Incógnitas

x1 = k1, x2 = k2, x3 = k3, . . ., xn = kn que satisface la Ecuación a1x1 + a2x2 + a3x3 + . . . + anxn = b

① Si b ≠ 0 → la Ecuación No Tiene Solución

② Si b = 0 → todo Vector k = ( k1, k2, k3, . . ., kn ) es Solución

Teor

ema

1.2

Ecuaciones Lineales No DegeneradasSea la Ecuación Lineal No Degenerada con una o más incógnitas; digamos:

a1x1 + a2x2 + a3x3 + . . . + anxn = bSe denomina Primera Incógnita de la Ecuación a la primera incógnita con

coeficiente no nulo (de Izquierda a Derecha).⑴ - Sea la Ecuación Lineal: 2x3 + 6x2 - x4 = 7x2

⑵ - Entonces : 2x3 + 6x2 - x4 = 7x2 ⇨ 0x1 - x2 + 2x3 - x4 = 0⑶ - De tal modo que la Primera Incógnita es x2

Una Ecuación Lineal se dice Degenerada si cada Coeficiente es igual a cero; es decir si la ecuación tiene

la forma: 0x 1 + 0x 2+ 0x 3 + . . . + 0x n = b

Ecuación Lineales de Dos Incógnitas ax + by = c⑴ - Sea la Ecuación: 2x + y = 1

⑶ - 2x + a = 1 ⇨ 2x = 1 - a ⇨ x = ½ - (½)a⑵ - Sea y = u ; u ∊ ℝ entonces: ax + by = c

dx + ey = f → "x" ∧ "y" incógnitas → (a, b, c, d, e, f) ∊ ℝ

★ Solución General o Conjunto Solución: S = { ( ½ - (½)a , a ) ∊ ℝ2 ; a ∊ ℝ }

Ejem

plo

de

Solu

cion

es

Sistema de Dos Ecuaciones con Dos IncógnitasEsta subsección considera un Sistema de Dos Ecuaciones Lineales (No

Degeneradas) con las Dos Incógnitas "x" e "y"; en tal sentido:

1.- El Sistema Tiene una Solución [ (a / d) ≠ (b / e) ]2.- El Sistema No Tiene una Solución [ (a / d) = (b / e) ≠ (c / f) ]3.- El Sistema Tiene Infinitas Soluciones [ (a / d) = (b / e) = (c / f) ]C

asos

:★ Solución Paramétrica: x = ½ - (½)a

Sistemas de EcuacionesConsidere un Sistema de Ecuaciones Lineales con "m" ecuaciones, digamos L1, L2, L3, . . ., Lm con "n" incógnitas x1, x2, x3, . . ., xn ; el cual puede expresarse como:

a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . . + a1nxn = b1

Intercambiar la ecuación i-esima y la j-esima: ⇨ ( Li ↔ Lj )

. . .

L2

a21x1 + a22x2 + a23x3 + . . . + a2nxn = b2

. . .

. . .

. . .

Sistemas EquivalentesSe dice que Dos Sistemas de Ecuaciones Lineales con las mismas incógnitas son Equivalentes si tienen el mismo Conjunto Solución .Una forma de producir un sistema de ecuacionesequivalentes a partir de otro, es efectuando Operaciones Elementales.

Operaciones Elementales

L1

L2

[ E 1 ]

Multiplicar la ecuación i-esima por un escalar "k" no nulo: ⇨ ( kLi → Li ) ( k ≠ 0 )

[ E 2 ]

. . .

aij ⇨ ( i = Ecuación ∧ j = Incógnita )Solución de un Sistema de Ecuaciones Lineales

am1x1 + am2x2 + am3x3 + . . . + amnxn = bm

Teorema 1.4

Sustituir la ecuación i-esima por ella misma más k veces la j-esima: ⇨ [ ( kLj + Li ) → Li ]

[ E 3 ]

Operación Original Operación Inversa

Teor

ema

Cada Operación Elemental tiene su Inversa:

Li → Lj Lj → Li

kLi → Lj (1/k)Lj → Li

kLi → Lj (1/k)Lj → Li

Elaborado por: Eder Nunes


n

m = k + 1

④ En general, determinamos xk sustituyendo los valores previamente obtenidos de xn, x(n - 1), . . ., x(k + 1) en la ecuación k-ésima:

⑶ - y - 2z + 2t = 1 ⇨ se tiene ⇨ y = 1 + 2a - 2b⑷ - y de x + 2y - 3z + 2t = 2 ⇨ se tiene ⇨

④ Repetir los Pasos ①, ② y ③ con el subsistema formado por todas las ecuaciones, excluyendo la primera.

ⓐ

Si ( a = 0 ∧ b = 0 ) ⇨ ( x, y, z, t ) = ( 0, 1, 0, 0)

Ejem

plo

de S

oluc

ione

s

⑸ - x = -a + 2b ⇨ Por tanto:

★ Solución Parametrica :

S = [ ( -a + 2b , 1 + 2a - 2b , a , b) ; (a ∧ b ) ∊ ℝ ]

★ Solución Particular : (dando valores a "a" y "b")

x + 2y - 2z + 2t = 1⑵ - Sea z = a ∧ t = b ; (a ∧ b ) ∊ ℝ entonces:

Si L tiene la forma 0x1 + 0x2 + . . . + 0xn ≠ b con b ≠ 0; abandonar el algoritmo. El sistema no tiene solución.

[ E3 ]: -( ai1/a11)L1 + Li → Li o [ E ]: -ai1L1 + a11Li → Li

③ Examinar cada nueva ecuación L:

① Intercambiar las ecuaciones de forma que x1 aparezca con un coeficiente no nulo en la primera ecuación; es decir, conseguir que a11 ≠ 0.

② Utilizar a11 como pivote para eliminar x1 de todas las ecuaciones excepto de la primera. Esto es, ∀ i > 1 , realizar las operaciones elementales:

Si L tiene la forma 0x1 + 0x2 + . . . + 0xn = 0 o si es múltiplo de otra ecuación, suprimirla del sistema.

Se determinan las Variables Principales (VP) y Variables Libres (VL), y luego se asignan valores arbitrarios a las Variables Libres, para luego despejar las Variables Principales en términos de Valores Arbitrarios (Parámetros).

⑴ - Sea el sistema de la forma Escalonada:x + 2y - 3z + 2t = 2

Solución Parametrica

⇨VP = x ∧ yVL = z ∧ t

② Segundo, sustituimos este valor de xn en la penúltima ecuación y la resolvemos para la penúltima incógnita, x(n - 1):

Considere un sistema de ecuaciones lineales en formaescalonada, como el anterior; entonces existen dos casos:① Si r = n , es decir, hay tantas ecuaciones comoincógnitas. Entonces el sistema tiene una única solución(Sistema Triangular)

donde: 1 < j2 < . . . < jr y a11 ≠ 0, a2j2 ≠ 0, . . ., arjr ≠ 0

El sistema en la forma triangular es un casoparticular del sistema en la forma escalonada; es decir r = n.N

OTA

Algoritmo de Reducción

② Si r < n , es decir, hay menos ecuaciones queincógnitas. Entonces el sistema tiene infinitas soluciones; por lo que en dicho caso se pude asignar arbitrariamente valores a las n - r variables libres para obtener cada una de las soluciones del sistema.

Solución Parametrica y Solución Particular

a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . . + a1nxn = b1

a2j2xj2 + a2(j2 + 1)x(j2 + 1) + . . . + a2nxn = b2

. . .

arjrxjr + ar(jr + 1)x(jr + 1) + . . . + arnxn = br

NOTA:

∑bk - akmxm

xk = akk

x(n - 1) =bn - a(n - 1)n( bn/ann )

a(n - 1)(n - 1)

③ Tercero, sustituimos estos valores de xn y x(n - 1) en la antepenúltima ecuación y la resolvemos para la antepenúltima incógnita, x(n - 2):

① El sistema de ecuaciones lineales triangular anterior tiene una Solución Únicaque puede obtenerse mediante el siguiente procedimiento, conocido como sustitución hacia atrás. Primero resolvemos la última ecuación para la última incógnita, xn:

a21x1 + a22x2 + . . . + a2(n - 1)x3 + a2nxn = b2

am1 xa(n - 1)(n - 1)x(n - 1) + a(n - 1)nxn = b(n - 1)

x(n - 2) =. .

.

. . .

am1 xa(n - 1)(n - 1)x(n - 1) + annxn = bn)

. . .

donde, a11 ≠ 0, a22 ≠ 0, . . ., a(n - 1)(n -1) ≠ 0, ann ≠ 0

a11x1 + a12x2 + . . . + a1(n - 1)x3 + a1nxn = b1

② Si b ≠ 0 → el sistema No tiene solución

Un sistema de ecuaciones lineales está en forma triangular si el número deecuaciones es igual al número de incógnitas y si xk es la primera incógnita de la k-esima ecuación. Por tanto, un sistema de ecuaciones lineales triangular tiene la forma siguiente:

xn =bn

ann

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Supongamos que un sistema de ecuaciones lineales contiene la ecuación degenerada:

L : 0x1 + 0x2+ 0x3 + . . . + 0xn = b ① Si b = 0 → L pude suprimirse del sistema sin alterar el conjunto solución.

Sistema de Ecuaciones en la Forma TriangularTeorema 1.5

Teorema 1.6

. . .

. . .

. . .

Sistema de Ecuaciones de la Forma Escalonada

Un sistema de ecuaciones lineales está en forma escalonada si ninguna ecuación es degenerada y la primera incógnita de cada ecuación está a la derecha de la primera incógnita de la ecuación anterior.

b(n - 2) - (a(n - 2)(n - 1) /a(n - 1)(n - 1))[b(n - 1) - a(n - 1)n( bn/ann )] - (a(n -2 )n/ann)ba(n - 2)(n - 2)

El siguiente algoritmo reduce el sistema de "m" ecuaciones lineales con "nincógnitas a forma escalonada (posiblemente triangular), o bien determina que el sistema no tiene solución

⑤ Continuar el proceso hasta que se obtenga un sistema en la forma escalonada, o hasta que se obtenga una ecuación degenerada (Paso ③-ⓑ).

P A

S O

S:

ⓑ



. . .

am1x1 + am2x2 + am3x3 + . . . + amnxn = 0

② Si el sistema tiene igual número de incógnitas que de ecuaciones; entonces el sistema solo tiene la solución nula o solución Trivial (x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, . . ., xn = 0).

b1

b2

. . .

bm. . .

am1x1 + am2x2 + am3x3 + . . . + amnxn = bm

. . . a2n

. . .

amn

. . .

a23 . . .

Sistema de Ecuaciones Lineales HomogéneosUn Sistema de Ecuaciones Lineales es Homogéneo si los términos constantes en cada ecuación son iguales a cero, es decir, que tienen la siguiente forma:

a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . . + a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + a23x3 + . . . + a2nxn = 0

. . .

. . .

. . .

. . .

am1 am2 am3amn

M =

a11 a12

. . .

a21

am1 am2 am3 . . .

a22a2n

. . .

. . .

. . .

a21 a22 a23

Matriz de Coeficiente del Sistema

Matriz Ampliada Asociada al Sistema

a11 a12 a13 . . . a1n a13 a1n

A =

Considere el siguiente Sistema de Ecuaciones Lineales:a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . . + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 + . . . + a2nxn = b2

. . .

. . .

. . .

. . .

Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices

-( aij1/a1j1)R1 + Ri → Ri o -aij1R1 + a1j1Ri → Ri

④ Repetir los Pasos ①, ② y ③ con la submatriz formado por todas las filas, excluyendo la primera.

⑤ Continuar el proceso anterior hasta que la matriz quede en forma escalonada.

① Encontrar la primera columna con una entrada no nula. Supongamos que es la columna j1.② Intercambiar las filas de forma que aparezca una entrada no nula en la primera fila de la columna j1, esto es, conseguir que a1j1 ≠ 0

PA

SO

S:

Matrices en la Forma Canónica

① Todas las filas nulas, si las hay, están en la parte inferior de la matriz.

③ Utilizar a1j1 como pivote para obtener cero bajo él; esto es, para cada i > 1 efectuar la operación entre filas:

Se dice que una matriz escalonada esta en forma canónica si cumple con las siguientes condiciones:

③ Cada entrada principal no nula es igual a 1.④ Cada entrada principal no nula es única entradadistinta de cero en su columna; es decir, por encima y por debajo de cada entrada principal los elementos son cero.

② Cada entrada principal no nula está a la derecha de la entrada principal no nula de la fila procedente.

62 0

Algoritmo para Reducir una Matriz a la Forma Escalonada

② Cada entrada principal no nula está a laderecha de la entrada principal no nula de la fila procedente.

Ejem

plo:

00

0 0

Matriz en Forma EscalonadaSe dice que una Matriz esta en la forma Escalonada si cumple con las siguientes condiciones:① Todas las filas nulas, si las hay, están en la parte inferior de la matriz.

[ E 1 ] Intercambiar las filas i-esima y j-esima: Ri ↔ Rj

Operaciones Elementales:

1 50 0

[ E 2 ]

Sustituir la fila i-esima por k (no nulo) veces ella misma más k' veces la[ E ]

j-esima: ( k'Rj + kRi ) → Ri ; k ≠ 0

Multiplicar la fila i-esima por un escalar "k" no nulo: ( kRi → Ri ) ; k ≠ 0

[ E 3 ] Sustituir la fila i-esima por ella misma más k veces la j-esima:( kRj + Ri ) → Ri

0

Equivalencia por Filas (Matrices Equivalentes)Se dice que una Matriz "A" es Equivalente por Filas a otra Matriz "B", escrito ( A ∼ B ), si "B" puede obtenerse a partir de "A" mediante una sucesión finita de las siguientes operaciones elementales entre filas

ainai1 ; i = 1, 2, 3, . . ., m

Sea A una Tabla Ordenada de Números tales que:a11 a12 a13 . . . a1n

MATRICES

A =

( aij )

Sistema de Ecuaciones Lineales

Compatible

IncompatibleNinguna Solución

① Una Única Solución② No Tiene Soluciones③ Tiene Infinitas Soluciones

Matrices

Teor

ema

1.7

Un Sistema de Ecuaciones Lineales Homogéneo con más incógnitas que ecuaciones tiene solución no nula.

Determinado (Una Única Solución)

Indeterminado (Infinitas Soluciones)

amn

A =

a1j● La Columna j-esima de la Matriz A, es también una Matriz de Orden mx1

a2j

. . .

; j = 1, 2, 3, . . ., n

amj

Teorema 1.9

. . .

● Este arreglo se denomina Matriz Real de Orden mxn

Siendo:m = Número de Filas de la Matriz

am2 am3 . . .am1

a21 a22 a23

. . .

. . .

ai3 . . .

a2n

. . .

n = Número de Columnas de la Matriz

● La Fila i-esima de la Matriz A, también es una Matriz de Orden nx1

ai2

Un Sistema de Ecuaciones Lineales tiene:

Teorema 1.8Cualquier Matriz A es Equivalente por Filas a una únicaMatriz en forma Canónica por Filas (llamada la Forma

Canónica por Filas de A)

① Si el Sistema tiene más incógnitas que ecuacionesentonces el sistema tiene un número finito de soluciones.



⑤ ( ACB )t = Bt Ct At

A =97

5 2 4

-2 6-3 5

❷ B =6

8 -3 5-1 4

9

Matriz por Bloques

Utilizando un sistema de líneas (discontinuas) horizontales y verticales podemos partir una Matriz A en otras más pequeñas llamadas bloques (o celdas) de A. La Matriz A se denomina entonces Matriz por Bloques.

Matrices Cuadradas

=

b1

b2

. . .

bm

62

Una Matriz Cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Se dice que una Matriz Cuadrada nxn es de Orden n y se le asigna el nombre de matriz n-cuadrada.

1 3 5❶

Eje

mpl

os: 1 7 5

2

x1

x2

. . .

xn

. . .

am1 am2 . . . amn

. . .

a22 . . . a2n

a11 a12 . . .

AX = B③ ( kA )t = kAt (si k es un escalar)④ ( AB )t = Bt At

② ( At )t = A① ( A ± B )t = At ± Bt

Teorema 3.3

Dicho Sistema es Equivalente (genera el mismo conjunto solución) a la Ecuación Matricial : AX = B

a1n

a21

At =

. . . amn

a22 . . . am2

a1n . . .a2n amn

④ k( AB ) = ( kA )B = A( kB )

Teorema 3.2

③ ( B + C )A = BA + CA

Entonces A t : a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1

am2

Matrices y Sistemas de Ecuaciones LinealesConsidere el Sistema de Ecuaciones Lineales con "n" incógnitas y "m" ecuaciones:

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm

am1

. . .

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2

. . .

. . .a12

. . .

a11

. . .

a21 . . .

Sea la Matriz A:

. . . a2n

Considere una Matriz Amxn; entonces la Transpuesta de la Matriz A, denotada por ( At ) que se obtiene colocando

las Filas de A como Columnas; es decir:

A =

. . .

a11 a12

am1

. . .

. . . a1n

a21 a22

Ejemplo:

=ra1 + sb1

ta1 + ub1

rt u b1 b2 b3

⑦ ( k1k2 )A = k1( k2A )⑧ ( 1 )A = A y ( Ɵ )A = Ɵ

Producto de MatricesSea A y B matrices reales, tal que el número de columnas de A coincide con el número de filas de B; es decir, A es de Orden mxp y B es de Orden pxm; entonces el Producto ( AB ) se obtiene como:

Teorema 3.1Considere el Conjunto "V" de todas las Matrices deOrden mxn sobre el cuerpo real. Sean A, B y C Matricescualesquiera de V y k1 y k2 Escalares, tal que ( k1 ∧ k2 ) ∊ ℝ ; entonces:① ( A + B ) + C = A + ( B + C )② A + Ɵ = A③ A + ( -A ) = Ɵ④ A + B = B + A⑤ k1( A + B ) = k1A + k1B⑥ ( k1 + k2 )A = k1A + k2A

. . .

0 0 . . . 0

. . .

. . .

yA - B = A + ( -B )

Matriz NulaEs una Matriz que tiene todos sus elementos nulos y se

denota por ( Ɵmxn ); tal que:0 0 . . . 00 0

. . .

kam1 kam2 kam3 . . . kamn

. . .

. . .

. . .

am1 ± bm1 am2 ± bm2

. . . Nótese que:

. . .

. . .

. . .

a12 ± b12 a13 ± b13

a23 ± b23

. . .

Prod

ucto

de

un

Esca

lar "

k" p

or u

na

Mat

riz kA =

ka11 ka12

ka21 ka22

ka13

a1n ± b1n

a2n ± b2n

Sum

a o

Rest

a (S

egún

sea

el

Caso

)

A ± B =a22 ± b22

am3 ± bm3 amn ± bmn

. . .a11 ± b11

ka1n

. . .

bm1 bm2 bm3 . . . bmn

B =

. . .

. . . b1n

a21 ± b21

. . . b2n

b11 b12 b13. . . a1n

. . .

. . .A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

am1 am2 am3

. . . a2n

. . .

. . .

b22 b23

Suma, Resta de Matrices y Producto por un Escalar

ka2n ( -1 )A = -A

. . . 0

ka23 . . .

. . . amn

∧b21

Sea A y B dos matrices con igual Orden; es decir, con igual número de filas y columnas, digamos dos matrices mxn:

② A( B + C) = AB + AC① ( AB )C = A( BC )

s a1 a2 a3 ra2 + sb2 ra3 + sb3❶ta3 + ub3

② Ɵ + A = A

ta2 + ub2

Ɵmxn =

Propiedades de una Matriz Nula

① A + Ɵ = A

Transpuesta de una Matriz



n

i = 1

Además, el Grado de Nilpotencia es el menor entero de "m" para el cual:

Am = Ɵ ; "m" es el menor Entero

Se dice que una Matriz Cuadrada A es Idempotente sii:

A2 = AA = A

Se dice que una Matriz Cuadrada A es Nilpotente sii:

Ak = Ɵ ; k ∈ ℤ

f r

Teorema 4.3Supongamos que A y B son Matrices Triangulares y k un escalar; entonces:

h

① A + B es Triangular

∀ k ≠ 0

A = La Diagonal

funciona como un Espejo.Ej

empl

o:

A = A t

gr d

Matrices Idempotentes

Una Matriz cuadrada se dice Antisimétrica si su Matriz Transpuesta es igual a su Matriz Opuesta; es decir:

At = -A

( -A = Matriz Opuesta)

Matrices Nilpotente

② kA es Triangular ③ AB es Triangular

g h s

Mat

rices

Tria

ngul

ares

Matrices Simétricas Matrices AntisimétricasUna Matriz cuadrad se dice que es

Simétrica si es igual a su transpuesta; es decir:

am1 am2 . . . amn

. . .

. . .

a21 a22 . . . 0a11 0 . . . 0

Una Matriz cuadrada es una Matriz Triangular Superior si todas las entradas bajo de la diagonal son iguales a cero ( aij = 0 ∀ i > j )S

uper

ior

Una Matriz cuadrada es una Matriz Triangular Superior si todas las

entradas arriba de la diagonal son iguales a cero ( aij = 0 ∀ j > i )

A =

Infe

rior

0 0 . . . amn

. . .

. . .

0 a22 . . . a2n

. . .

A =

a11

A =

a11

0

. . .

0

② Realizar Operaciones Elementales a la Matriz M,hasta que el primer bloque de dicha Matriz sea igual a la Matriz Identidad③ Luego de el paso ②; la matriz A-1 se obtiene del segundo bloque o bloque derecho de M.

Tipos Especiales de Matrices Cuadradas0 . . . 0

a22 . . .

a12 . . .

M = Anxn Inxn

0

0 . . . amn

Una Matriz cuadrada se dice que es una Matriz Diagonal si todos los elementos fuera de la diagonal

principal son nulos:Mat

rices

D

iago

nale

sa1n

donde a.d - b.c ≠ 0; luego la Inversa de A, denotada A-1 es igual a:

a.d - b.c1 d -b

-c aA-1 =

Caso ⑵ Matrices nxn① Considere una Matriz en Bloques a la siguiente mane

B es la Inversa de A y B es Única. Tal que: (A-1 = B)

Método para en Calculo de Inversa de MatricesCaso ⑴ Matrices 2x2Considere la Matriz A ⇨ A =

ac

b

Matrices Invertibles

Se dice que una matriz cuadrada A es Invertible ( o no singular ) si existe una matriz B con la propiedad de que:

AB = BA = I

d;

Supongamos que A y B son matrices n-cuadradas y k es un escalar; entonces:

③ Tr( AB ) = Tr( BA )

Potencias MatricialesSea A una Matriz n-cuadrada; las Potencias de A sedefinen como:

A2 = AA A3 = A2A A2A,..., An+1 = AnA A0 = In

Teorema 4.1

① Tr( A + B ) = Tr( A ) + Tr( B ) ② Tr( kA ) = k Tr( A )

=k 0 00 k 00 0 k

kIn

0 00 1 0k

0 00

00

Diagonal Principal

La Matriz n-cuadrada con unos en la diagonal yceros en cualquier otra posición, denotada por In o simplemente I ; se conoce como Matriz Identidad (o unidad)

A =

a11 a12 . . .a21 a22

0 0

Matriz EscalarSe obtiene al Multiplicar una Matriz Identidad por una Constante

am1 am2 . . .

∑Tr(A) = a11 + a22 + . . . + ann ≡ aii

amn 1

Traza de una MatrizSea A una Matriz cuadrada. La Diagonal ( o DiagonaPrincipal ) de A consiste en los elementos a11, a22, . . ., ann . La Traza de A, escrito Tr(A), es la suma de los elementos diagonales; es decir

Matriz Identidad1

Eje

mpl

o

11 0I3 =

1. .

.

a1n

a2n

. . .

. . .

Matriz Ortogonal At = A -1


Fórmulas del 1er Parcial de Álgebra Lineal I EECA UCV

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