ContenidoIntroducción.....................................................................................................................................2

Contenido......................................................................................................................................3

Series de Fourier........................................................................................................................3

Series Trigonométricas y Funciones periódicas...........................................................4

Funciones periódicas..........................................................................................................4

Imagen recíproca de una función periódica...................................................................5

Forma trigonométrica de la serie de Fourier.................................................................8

Desarrollo de Fourier y la simetría...................................................................................9

Fórmulas de Euler.................................................................................................................11

Convergencia de las Series de Fourier..........................................................................14

Series de Fourier para las funciones pares e impares.............................................15

Aplicaciones de las Series de Fourier Series de Fourier......................................................18

Ejemplos........................................................................................................................................22

Series de Fourier...................................................................................................................22

Series Trigonométricas y Funciones periódicas...............................................................23

Fórmulas de Euler.................................................................................................................25

Convergencia de las Series de Fourier..............................................................................27

Series de Fourier para las funciones pares e impares....................................................28

Conclusiones.................................................................................................................................30

Anexos...........................................................................................................................................31

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Introducción

Las series de Fourier son de gran importancia ya que tienen muchas aplicaciones dentro de los campos de la física y de la matemática entre otros. La idea básica de las series de Fourier es que toda función periódica de periodo T puede ser expresada como una suma trigonométrica de senos y cosenos del mismo periodo T, las series de Fourier comenzó con D’Alembert (1747) y su trabajo de las oscilaciones de las cuerdas de violín. El desplazamiento de una cuerda de violín como una funcion del tiempo y de la posición es solución de una ecuación diferencial.

La solución de este problema es la superposición de dos ondas viajando en direcciones opuestas a la velocidad como lo expresa la formula de D´Alembert En la cual la función es impar de periodo 2 que se anula en algunos puntos específicos. Euler en 1748 propuso que tal solución podía ser expresada en una serie en función de senos y como consecuencia una serie con producto de senos y cosenos, Las mismas ideas fueron luego expuestas por D.Bernoulli (1753) y lagrange (1759). 

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Contenido

Series de FourierLa idea basica de las series de Fourier es que toda funcion periodica de per odo T puede ser expresada como una suma trigonometrica de senos y cosenos del mismo periodo T. El problema aparece naturalmente en astronomía, de hecho Neugebauer (1952) decubrio que los Babilonios utilizaron una forma primitiva de las series de Fourier en la prediccion de ciertos eventos celestiales.

La historia moderna de las series de Fourier comenz con D'Alembert (1747) y su tratado de las oscilaciones de las cuerdas del viol n. El desplaza-miento u = u(t; x) de una cuerda de viol n, como una funcion del tiempo t y de la posicion x, es solucion de la ecuacion diferencial.

sujeto a las condiciones iniciales:

para 0 < x < 1. La solucion de este problema es la superposicion de dos ondas viajando en direcciones opuestas a la velocidad 1, como lo expresa la formula de D'Alembert:

En la cual f es una funcion impar de período 2 que se anula en los puntos x=0,±1,±2, … Euler en 1748 propuso que tal solucion pod a ser expresada en una serie de la forma

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Series Trigonométricas y Funciones periódicasLa difracción tiene lugar cuando alguna perturbación ondulatoria interacciona con distribuciones periódicas de objetos. La condición de periodicidad es la clave principal de la existencia de la difracción. Las redes cristalinas se pueden modelar en forma de distribuciones periódicas de densidad electrónica. Estas distribuciones periódicas tridimensionales son equivalentes, en concepto, a las funciones periódicas unidimensionales.

En este seminario vamos a intentar abordar la aplicación de la herramienta matemática conocida como "Transformada de Fourier" al problema de la difracción.

En resumen podemos decir que un diagrama de difracción representa la imagen de Fourier de una determinada distribución periódica (rendijas, agujeros, átomos, moléculas...), lo cual es más que suficiente para que comencemos abordando los conceptos de periodicidad y transformada de Fourier.

Funciones periódicas

Una función es periódica si cumple la condición de periodicidad, es decir, si después de cada cierto intervalo de tiempo o espacio constante, llamado periodo, la función adquiere el mismo valor de partida. Matemáticamente, esta condición la podemos expresar de la siguiente forma

(Ec.1)

donde T  es el periodo característico de la función f(t).

Figura 1. Ejemplo de función periódica con periodo T.

Como podemos ver en la figura 1, si conocemos la forma de la función en el intervalo [0,T], la conocemos en todo el espacio, debido a que con una simple traslación de periodo T, podemos extender su campo de existencia hasta donde nos sea necesario. Esta es una característica intrínseca de las funciones

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periódicas. Teniendo en cuenta esta característica, intentemos evaluar cualitativamente el aspecto que debe de tener la imagen recíproca (transformada de Fourier) asociada a una función periódica f(t). Consideremos para ello que la función f(t), solo se encuentra definida en el intervalo acotado 0,T.

Sabemos que en un intervalo acotado, 0,L, la función la podemos representar como una combinación lineal de funciones armónicas, que llamamos “series de Fourier”.

La característica principal de estas series, es que solo están permitidos unos determinados valores propios o frecuencias propias, en función de las condiciones de borde a las que estuviese sometida la función. Fijándonos en este hecho, será de esperar que el aspecto de la transformada de Fourier de la función f(t), periódica y definida en el intervalo [0,T], sea discreto. De hecho, esta discretización, deberá de ser proporcional al periodo en el que se encuentra definida la función, es decir proporcional al inverso del periodo T. La figura 2, muestra lo que cabe esperar respecto al aspecto de la transformada de Fourier, asociada a la función periódica f(t).

 Figura 2. Aspecto cualitativo de la imagen recíproca de una función periódica.

Imagen recíproca de una función periódica

Para poder ir más allá y averiguar cual será la “distribución de amplitud” que tiene la imagen recíproca de una función periódica genérica, deberemos de estudiar analíticamente este tipo de funciones. Si aplicamos la definición de transformada de Fourier a la función periódica f(t), obtenemos que

(Ec.2)

Si realizamos el cambio de variable, t´= t + T, vemos que la igualdad (Ec.2) adquiere la forma

5

(Ec.3)

Comparando las ecuaciones (Ec.2) y (Ec.3), apreciamos que, para que se cumpla la igualdad, debe de cumplirse la condición

lo que tiene como consecuencia el hecho de que los únicos valores posibles de w serán aquellos que cumplan que

para cualquier valor entero de n. Por lo tanto solo aparecen, como “frecuencias propias” posibles, las wn proporcionales al inverso del periodo, tal y como habíamos deducido cualitativamente en el apartado anterior. Esta característica de discretización de las funciones periódicas, nos permite representar su imagen recíproca como una combinación lineal de funciones delta de Dirac.

En forma temporal el aspecto de la imagen recíproca será

(Ec.4)

Análogamente, la forma espacial tendrá el aspecto

(Ec.5)

Intuitivamente podríamos decir que una función periódica genérica f(t), posee una función transformada de Fourier con el aspecto de una serie de Fourier. Veámoslo aplicando la definición general de transformada de f(t) a la ecuación 4,

como “integrar sobre deltas de Dirac es un regalo”, debido a que

6

llegamos, en definitiva, a la forma en serie de Fourier

(Ec.6)

Lo que acabamos de ver tiene como consecuencia inmediata que cualquier función f(t) o f(x), periódica y analítica en el intervalo,   0 < t < T, se encuentra definida en todo el espacio de tiempos o de posiciones [-infinito, +infinito], como ya habíamos intuido cualitativamente.

Para calcular los coeficientes an de la serie, aplicamos el método, tan resolutivo,

de multiplicar por el factor    ambos miembros de la ecuación 6 e integrar sobre el intervalo [0,T],

Después de operar, obtenemos como coeficientes de la serie de Fourier (Ec.6), la expresión general

(Ec.7)

Para el coeficiente a0 la ecuación se simplifica notablemente, de forma que

El significado geométrico de este número es el valor medio de la amplitud de la función f(t) en el intervalo [0,T]. De hecho, a0 es la primera aproximación, la más grosera, a la función f(t) en dicho intervalo, tal y como se muestra en la figura 3.

 Figura 3. Primer término del desarrollo de Fourier de la función f(t).

7

El resto de los an ponderan las amplitudes de los sucesivos armónicos que describirán, cada vez mejor, la forma de la función periódica evaluada.

Forma trigonométrica de la serie de Fourier

Hasta ahora hemos visto el desarrollo en serie de Fourier, de las funciones periódicas, en la forma más general, es decir, en forma compleja. Consideremos ahora, el desarrollo de la función periódica  f(t), en la forma trigonométrica siguiente, mas conocida por todos

(Ec.8)

Los coeficientes del desarrollo, los podemos obtener, con la filosofía de antes, multiplicando ambos miembros de la ecuación 8 por cos nt, para calcular los coeficientes An, o por sen nt, para los Bn y posteriormente, integrar sobre el intervalo de existencia 0, 2Pi. Aplicando este método obtenemos las ecuaciones de los coeficientes

(Ec.9)

y

(Ec.10)

No es necesario utilizar siempre el intervalo 0, 2Pi, puede utilizarse cualquier intervalo de longitud igual al periodo, 2Pi. De hecho, es más interesante utilizar el intervalo -Pi a Pi, en algunos casos.

Dependiendo de la simetría de las funciones evaluadas, obtendremos desarrollos de Fourier con formas específicas que carecerán de determinados términos. Veamos como ejemplo la siguiente función

Como vemos en la figura 4, esta es una función impar, lo que indica que existirán términos en seno. Además, es simétrica respecto a Pi/2, lo que significa que no aparecerán los términos pares del seno, debido a que esos términos no son simétricos en dicho valor. De esta forma, para n impar tendremos como coeficientes de la serie de Fourier asociada,

8

Una vez conocidos los coeficientes del desarrollo Bn, podemos expresar la función en la forma desarrollada

Si representamos sucesivas aproximaciones para n cada vez mayor, apreciamos que la aproximación es convergente para zonas fuera de las proximidades de los puntos de discontinuidad, donde aparece el fenómeno de Gibbs. En el límite cuando consideramos infinitos términos, dicha perturbación tiende a minimizarse, como muestra la figura 4.

 Figura 4. Desarrollo de Fourier para n=1 y n=15 de una función impar .

Desarrollo de Fourier y la simetría

Realicemos una clasificación de las características que presentan las series de Fourier en función de la simetría intrínseca a las funciones periódicas genéricas. Consideremos el conjunto de funciones pares (figura 5), donde se cumple que f(2Pi n-t)=f(t), para cualquier valor entero de n. En este caso, en el desarrollo en serie de Fourier, podemos intuir, por las propiedades de la función coseno, que solo aparecerán términos en coseno, esto es, los coeficientes Bn serán nulos.

  Figura 5. Función par simétrica respecto a 0, con periodo 2Pi.

9

Si consideremos, el conjunto de las funciones impares (figura 6), f(2Pi n-t)=-f(t), para cualquier valor entero de n podemos deducir, por las propiedades de la función seno, que solo aparecerán términos en seno, esto es, los coeficientes An serán nulos.

Figura 6. Función impar simétrica respecto a 0, con periodo 2Pi.

Consideremos también un nuevo conjunto de funciones conocido como funciones pares, simétricas respecto a Pi/2 (figura 7), que son aquellas que cumplen la condición f(Pi/2+ t)=f(Pi/2-t). Estas funciones solo tendrán términos pares en el coseno, es decir, Bn=0 y A2n+1=0 .

Figura 7. Función par simétrica respecto a Pi/2, con periodo 2Pi.

Por supuesto podemos generalizar las series de Fourier para representar funciones con un periodo L, distinto de 2Pi, como hemos visto al principio, si realizamos el cambio de variable

conseguimos que un intervalo de longitud 2Pi en la variable t, se transforma en un intervalo de longitud L en la variable x. Las ecuaciones 8, 9 y 10 se transformarán en estas otras

10

(Ec.11)

Todas las consideraciones que hemos realizado sobre la simetría de las funciones son, por supuesto, aplicables al nuevo intervalo así definido.

Se debe de dejar claro lo que el intervalo fundamental o periodo L, representa para un determinado problema. Supongamos que una función f(x) viene definida en el intervalo 0<x<a. Esta función, por supuesto, podremos desarrollarla en serie de Fourier con periodo   L=a, en la forma

Para una función f(x) arbitraria, necesitaremos en su desarrollo, tanto términos seno como coseno, es decir, un desarrollo sólo en senos o sólo en cosenos (con periodo a), sería incompleto. Pero, aquí está la magia, podemos desarrollar f(x) sólo en senos de la siguiente manera. Definimos, en el intervalo –a<x<0, una función suplementaria (artificial), con la forma f(-x)= -f(x), tal que el periodo de la nueva función será ahora L = 2a . De esta forma, podremos describirla en la forma

Lo que hemos conseguido de esta forma ha sido evitar los términos coseno del desarrollo, pero a cambio hemos duplicado el número de términos en senos teniendo, en definitiva, un conjunto completo de funciones que describen de forma analítica a la función f(x) en el intervalo 0<x<a. De la misma forma, podríamos desarrollar también f(x) en una serie que solo contuviera cosenos, con periodo 2a, definiendo artificialmente la función f(-x)=+f(x) en el intervalo –a<x<0.

Fórmulas de EulerLa fórmula de Euler establece, mediante el uso de los números complejos, una relación insospechada entre la función exponencial y las funciones trigonométricas.

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La función exponencialLa función exponencial se puede definir de varias formas equivalentes, pero la forma fun-damental de calcularla es mediante la serie de potencias que aparece en la siguiente fórmula:

(1)

Esta fórmula, que no es más que la serie de Taylor de la función exponencial, se explica y se demuestra en los cursos de cálculo infinitesimal y aquí sólo la usaremos con fines ilustrativos y de motivación. En cualquier caso es importante que el estudiante se familiarize lo antes posible con ella y con los razonamientos que haremos con ella a continuación ya que esto será de enorme importancia en muchas asignaturas de la carrera.

De la función exponencial a la fórmula de Euler

Si en la serie de Taylor (1) de la función exponencial se pone como x un imaginario puro, x = iq, entonces, debido a que in = 1 para n par e in = i para n impar, todos los términos con potencias pares de x son números reales y los de las impares, imaginarios. En consecuencia la suma se separa en dos partes dando lugar a una suma de dos series, una con todos los términos reales y la otra con todos los términos imaginarios:

En la última expresión, cada suma entre paréntesis es una serie de potencias real y su suma es un número real, lo que significa que e i es igual a un número complejo de la forma a + bi. Se demuestra en los cursos de Cálculo que el primer paréntesis es la serie de Taylor de la función coseno y que el segundo es la serie de Taylor de la función seno, de forma que se llega a la conclusión de que los números reales a y b que cumplen e1 = a + bi son a = cos y b = sen ; es decir:

Esta fórmula se conoce como fórmula de Euler y es de gran importancia en las aplicaciones de los números complejos. Su demostración se basa únicamente en la ecuación i2 = 1 y en las series de Taylor de las funciones seno, coseno y exponencial. Vamos a ver ahora otras formas sencillas de deducirla sin recurrir a las series de Taylor.

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Deducciones elementales de la fórmula de Euler

Primera:

Consideremos la función

(2)

Vamos a ver que esta función se puede expresar también en términos de la función exponencial. Aplicando a f (t) las reglas del cálculo de derivadas:

(3)

Esto significa que la función f (t) tiene las propiedades

de donde, integrando de 0 a ,

es decir:

Segunda:

La siguiente demostración es parecida a la anterior pero sólo usa las reglas de derivación. Consideremos la f

(4)

Vamos a ver que esta función es una función constante calculando su derivada y viendo que es cero. Aplicando a f (t) las reglas del cálculo de derivadas:

(5)

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Puesto que f(t) es una función constante, su valor es para todo t igual a su valor en t = 0, pero

(6)

que es equivalente a la fórmula de Euler.

La tercera demostración de la fórmula de Euler se basa en la propiedad

(7)

del conjugado, la cual es válida no sólo cuando p(z) es un polinomio, sino también cuando es una función analítica real cualquiera y, en particular, para la función exponencial:

(8)

No vamos a demostrar la propiedad (7) para todas las funciones analíticas, pero sí queremos remarcar que la demostración de (8) a partir de la fórmula (1) que define a la función exponencial es exactamente igual que la demostración de la propiedad (7) de los polinomios. Podemos, pues, usar la propiedad (8) de la función exponencial para deducir la fórmula de Euler como veremos a continuación.

Tercera:

Convergencia de las Series de Fourier14

Las series de [Fourier] cumplen con ciertas condiciones para que se cumpla la convergencia las cuales son:

1.   y   continuas en el intervalo   por pedazos.

2. La serie de Fourier converge a la función f en los puntos continuos.

3. En los discontinuos la serie de Fourier converge a: donde:

Sea f(x) una función definida para todo x, con periodo 2π. Entonces, bajo condiciones muy generales, la serie de Fourier de f converge a f(x) para todo x. Describiremos un conjuntode condiciones que asegura dicha convergencia. La función f es continua en cada intervalo de longitud 2π excepto en un número finito de discontinuidades de salto, donde el valor de f es el promedio de sus lımites por la izquierda y por la derecha. En cada intervalo de longitud 2π, la función f tiene una derivada continua, excepto en los puntos de salto y en un número finito de esquinas. En los puntos de salto y en las esquinas hay un valor lımite para la derivada por la derecha y por la izquierda . La función f que satisfaga estas condiciones se llama una función continua a trozos. Ası,la serie de Fourier de una función f(x) continua a trozos, de periodo 2π converge a f(x) para todo x. Convergencia uniforme. La convergencia es uniforme en cada intervalo cerrado a

≤ x ≤ b que no contenga puntos de salto.

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Series de Fourier para las funciones pares e imparesFunciones Pares e Impares

En el manejo de series de Fourier es muy útil observar dos tipos de funciones con las que podemos hacer simplificaciones de las fórmulas de Euler-Fourier. Estas son las funciones pares e impares que geométricamente se caracteriza por la propiedad de simetría con respecto al eje y y el origen, respectivamente.

Se muestran algunas gráficas de dichas funciones.

Se dice que f es una función par si su dominio contiene al punto x , y si

f (− x ) = f (x) (1)

Se dice que f es una función impar si su dominio contiene a −x , y si

f (− x ) = − f (x) (2)

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Para cada x en el dominio de f.

La mayoría de funciones no son pares ni impares.

Teniendo un intervalo simétrico, observamos ciertas características en las operaciones con funciones pares e impares.

• La suma, diferencia, producto y cociente de dos funciones pares es par. • La suma y diferencia de dos funciones impares es impar. • El producto y cociente de dos funciones impares es par. • La suma o diferencia de una función impar y otra función par no es ni par ni impar • El producto y cociente una función par y otra impar es impar.

De igual importancia son las siguientes dos propiedades de integrales de funciones pares e impares

• si f es una función par entonces

∫−aa f ( x )dx = 2∫0

a f (x )dx (3)

• si f es una función impar entonces

∫−aa f ( x)dx = 0 (4)

La comprobación de las afirmaciones anteriores son triviales y se deducen directamente de las definiciones.

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Aplicaciones de las Series de FourierSeries de FourierEl matemático francés Joseph Fourier en 1822 demuestra que: “Cualquier señal periódica bien definida o bien comportada puede representarse como una suma de ondas seno y/o coseno cuyas frecuencias son múltiplos de su frecuencia fundamental y en algunas ocasiones una componente de dc”.

f ( t )=A0

2+ A1cos (wt )+B1 sen(wt )+ A2 cos(2wt )+B2 sen(2 wt )+ A3cos (3 wt )+B3 sen(3wt )+…

f(t) Cualquier función en el tiempo bien definida o comportada, para nuestros fines una señal de voltaje o de corriente.

An y Bn Coeficientes reales (positivos, negativos ó cero)

w frecuencia fundamental en radianes

0 5 10 15 20 25 30-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 5 10 15 20 25 30-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 5 10 15 20 25 30-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

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(1) Señal periódica cuadrada

(2) Serie de Fourier de la señal cuadrada con 3 términos

(3) Serie de Fourier de la señal cuadrada con 8 términos

0 5 10 15 20 25 30-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Las formulas para encontrar los coeficientes son:

Ejercicio 1

Encuentre la serie de Fourier de una señal con periodo T, que tiene amplitud constante de V volts de 0 a T/2 y 0 volts de T/2 a T. (Resulta en la libreta)

Utilizando la siguiente tabla podemos determinar series de Fourier de algunas señales periódicas.

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(4) Serie de Fourier de la señal cuadrada con 3 términos

A0=1T ∫t0

t 0+ Tf ( t )dt

An=2T ∫t0

t 0+ Tf ( t )cos(wt )dt

Bn=2T ∫t0

t 0+Tf (t )sen(wt )dt

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Ejemplos Series de Fourier1

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3

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Series Trigonométricas y Funciones periódicas

En la vida diaria existen muchos casos de funciones periódicas en que la variable es el tiempo; fenómenos como el movimiento de las manecillas de un reloj o las fases de laluna muestran un comportamiento periódico. Un movimiento periódico es aquél en el que la posición o posiciones del sistema se pueden expresar con arreglo a funciones periódicas, todas con el mismo período.

Para una función aplicada al conjunto de los números reales o al de los enteros, significa que la totalidad de su gráfica puede ser representada a partir de copias de una determinada porción de ésta, repetida a intervalos regulares.

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De forma más explícita, se dice que una función f es periódica con período P mayor que cero si cumple que:

para todos los valores de x en el dominio de f. De manera análoga, una función no periódica es aquélla que no posee dicho período P.

Un ejemplo sencillo es la función f que devuelve la parte fraccional de su argumento:

Si una función f es periódica con período P, entonces para todo x en el dominio de f y para todo n entero:

En el ejemplo anterior, el valor de P es 1, dado que:

Esto no implica que el período de una función tenga que recibir el menor valor posible que satisfaga la expresión anterior, sino que podría tomar cualquier otro.

Las funciones trigonométricas, tales como la función seno o coseno, son casos típicos de funciones periódicas, en las que su período es de 360 grados. En el caso de la tangente, vemos que su período es menor, siendo este de 180 grados.

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Fórmulas de Euler

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Convergencia de las Series de Fourier

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Series de Fourier para las funciones pares e impares

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Conclusiones

Las series de fourier son ecuaciones diferencialles matematicas que nos ayudan a resolver proobremas de tratamiento de señales, las evaluan al infinito para que su grafiaca sea constante en el plano,  se formulan con derivadas parciales y se resuelven, en ocasiones, descomponiendo la incógnita en series (sumas infinitas). Las series más interesantes son las de potencias y por supuesto las de Fourier.

Recomendación30

Cuando ablemos de señales es nocesario analizar y comprender las series de fourier ya que son de gran untilidad para modificar las ondas en el tiempo y el espacio.

Anexos

e-grafía

http://www.emis.de/journals/DM/v5/art6.pdf

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http://abcmatematico.blogspot.com/2009/04/como-y-donde-se-aplican-las-series-de.html

http://www.emis.de/journals/DM/v5/art6.pdf http://www.depi.itch.edu.mx/aaguirre/pdf/mate_v/pdf/UV/UV_5_6.pdf

http://abcmatematico.blogspot.com/2009/04/como-y-donde-se-aplican-las-series-de.html

http://ocw.unizar.es/ciencias-experimentales/matematicas-primer-curso-grado-ciencia-tecnologia-alimentos/bloques/bloque4/ejercicios/tema4_aproximacion_resueltos.pdf

http://es.slideshare.net/joearroyosuarez/series-de-fourier22ejerciciosresueltos

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