Fracciones Parciales
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1
Fracciones parciales
Una función racional xQxP puede ser llevada a otra equivalente dependiendo del
divisor xQ 0 de la misma, de tal modo que el divisor puede presentar términos que permitan factorizarlo atendiendo a :
a) Factores lineales distintos. b) Factores lineales repetidos o iguales. c) Factores cuadráticos distintos. d) Factores cuadráticos repetidos.
Cada caso de los indicados permite formar una fracción racional equivalente a la dada del modo siguiente: a) Factores lineales distintos.
xQxP =
nn bxabxabxabxaxP
...332211
O sea que: xQ = nn bxabxabxabxa .... 332211 Vamos a formar varias fracciones, una para cada factor distinto de xQ . El numerador de la fracción tendrá una constante a determinar: A,B,C,…,N
xQxP
nn bxaN
bxaC
bxaB
bxaA
...
332211
I
Multiplicando la expresión anterior por el mínimo común múltiplo xQ = nn bxabxabxabxa .... 332211 formamos una expresión sin
denominadores: nnnn bxabxabxaBbxabxabxaAxP ...... 33113322 nn bxabxabxaC ...2211 …+ 11332211 .... nn bxabxabxabxaN
En éste caso, determinamos A, B, C,…, N mediante igualdad de polinomios, previa multiplicación de los binomios indicados. Podemos utilizar la parte derecha
de la función racional I : nn bxa
Nbxa
Cbxa
Bbxa
A
...332211
como
equivalente de la dada xQxP .
Fracciones Parciales. RCDPO & TAMD Enero del 2011
2
b) Factores lineales repetidos. xQxP =
baxbaxbaxbaxxP
...
Es decir: xQ baxbaxbaxbax ... nbax Formamos varias fracciones, una para cada factor de xQ . El numerador de la fracción tendrá una constante a determinar: A,B,C,…,N xQxP
nbaxN
baxC
baxB
baxA
)(...
)()( 32
I
Multiplicando la expresión anterior por el mínimo común múltiplo xQ nbax formamos una expresión sin denominadores: NbaxCbaxBbaxAxP nnn ...321
En la expresión anterior, determinamos A,B, C,…, N mediante igualdad de polinomios, previo desarrollo de los binomios. Ahora podemos utilizar la parte
derecha de la función racional I como equivalente de la dada xQxP .
c) Factores cuadráticos distintos. xQxP =
nnn cxbxacxbxacxbxacxbxaxP
233
2322
2211
21 ...
Ahora: xQ nnn cxbxacxbxacxbxacxbxa 2
332
3222
2112
1 ... Formamos varias fracciones, una para cada factor de xQ . El numerador de la fracción tendrá dos constantes a determinar: A,B,C,…,N, M xQxP =
112
1 cxbxaBAx
222
2 cxbxaDCx
...33
23 cxbxa
FEx nnn cxbxa
MNx
2
Fracciones Parciales. RCDPO & TAMD Enero del 2011
3
Multiplicando la expresión anterior por el mínimo común múltiplo xQ = nnn cxbxacxbxacxbxacxbxa 2
332
3222
2112
1 ... formamos una expresión sin denominadores: nnn cxbxacxbxacxbxaBAxxP 2
332
3222
2 ... nnn cxbxacxbxacxbxaDCx 2
332
3112
1 ... nnn cxbxacxbxacxbxaFEx 2
222
2112
1 ... …+ 1)1(
2)1(22
2211
21 ... nnn cxbxacxbxacxbxaMNx
Encontramos A,B, C,…, N,M mediante igualdad de polinomios, previa multiplicación de los factores planteados en P(x) . Ahora podemos utilizar la parte
derecha de la función racional I como equivalente de la dada xQxP .
d) Factores cuadráticos repetidos.
xQxP =
cbxaxcbxaxcbxaxcbxaxxP
2222 ...
Siendo: xQ ncbxaxcbxaxcbxaxcbxaxcbxax 22222 ... Formamos varias fracciones, una para cada factor de xQ . El numerador de la fracción tendrá dos constantes a determinar: A,B,C,…,N, M xQxP =
cbxax
BAx2
22 cbxax
DCx
...32 cbxaxFEx
ncbxaxMNx
2
I
Multiplicando la expresión anterior por el mínimo común múltiplo xQ ncbxaxcbxaxcbxaxcbxaxcbxax 22222 ...
formamos una expresión sin denominadores: P(x) = (Ax+B)
12 ncbxax (Cx+D)
22 ncbxax (Ex+F)
32 ncbxax
+…+ (Nx+M) Hallamos A,B, C,…, N,M mediante igualdad de polinomios, previo desarrollo de los factores indicados. Utilizamos la parte derecha de la función racional I como equivalente de la expresión
dada xQxP .
Fracciones Parciales. RCDPO & TAMD Enero del 2011
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Ejemplos de Fracciones Parciales
Primer Caso. Factores de primer grado distintos.
Sea la función racional xQxP = 31
35
xx
x
Esta función racional puede ser llevada a otra equivalente, dependiendo del divisor xQ 0 de la misma, de tal modo que el divisor presenta dos factores lineales
distintos 1x y 3x .
A partir de la fracción dada 3135
xx
x podemos construir dos fracciones cuya suma
sea equivalente a la fracción conocida: 31
x
Bx
A
Es decir: 313135
xB
xA
xxx Multiplicando ésta ecuación por el mínimo
común múltiplo 1x 3x , tenemos: 1335 xBxAx Multiplicando a la derecha de la igualdad nos queda: BBxAAxx 335 Asociando en la derecha los términos semejantes: BAxBAx 335 Igualando los términos semejantes: En x: xBAx 5 ( I ) Términos independientes: -3 = -3 A + B ( II ) De I Dividiendo entre x la expresión: 5 = A + B ( I )
-3 = -3 A + B ( II ) Resolviendo simultáneamente las ecuaciones I y II mediante reducción: Multiplicando la ecuación I por 3: 15 = 3A+ 3B -3 = -3A+ B
Sumando las dos ecuaciones anteriores 12 = 4B B = 34
12 B = 3
Sustituyendo B en la ecuación I: 5 = A + 3 A= 5-3= 2 A = 2
Con los valores de A, B encontrados tenemos: 33
12
3135
xxxxx
La suma de las dos fracciones de la derecha son equivalentes a la fracción inicial conocida.
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Segundo Caso. Factores de primer grado repetidos.
Sea la función racional 22
76
xx
xQxP
Esta función racional puede ser llevada a otra equivalente dependiendo del divisor xQ 0 de la misma, de tal modo que el divisor presenta dos factores lineales
iguales 22 xx .
A partir de la fracción dada 22
76
xx podemos construir dos fracciones cuya suma sea
equivalente a la fracción conocida : 222
x
Bx
A
Es decir: 22 222
76
xB
xA
xx Multiplicando ésta ecuación por el mínimo
común múltiplo 22x , tenemos: BxAx 276 Multiplicando a la derecha de la igualdad nos queda: )2(76 BAAxx Igualando términos semejantes: En x : 6 x = A x Dividiendo entre x, tenemos que : A = 6 Términos independientes: BA 27 7= 2(6) +B Despejando B: B = 7-12 = -5 5B Sustituyendo los valores de A y B en la fracción inicial:
22 2
52
6276
xxxx
La suma de las dos fracciones de la derecha son equivalentes a la fracción inicial conocida.
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Tercer Caso. Factores de segundo grado distintos.
Sea la función racional xQxP
2112
22
23
xxxxx
Esta función racional puede ser llevada a otra equivalente dependiendo del divisor xQ 0 de la misma, de tal modo que el divisor presenta dos factores de segundo
grado diferentes 21 22 xx .
A partir de la fracción dada 2112
22
23
xxxxx podemos construir dos fracciones cuya
suma sea equivalente a la fracción conocida : 21 22
xDCx
xBAx
Es decir: 212112
2222
23
xDCx
xBAx
xxxxx Multiplicando ésta ecuación por el mínimo
común múltiplo 21 22 xx , Tenemos: 1212 2223 xDCxxBAxxxx Multiplicando a la derecha de la igualdad nos queda:
DDxCxCxBBxAxAxxxx 232323 2212 Factorizando a la derecha de la igualdad:
)2()2()()(12 2323 DBxCAxDBxCAxxx Igualando términos semejantes: En 3x : 33 )( xCAx Dividiendo entre 3x , tenemos que : 1 = A + C (I) En 2x : 22 )( xDBx Dividiendo entre 2x , tenemos que : 1 = B + D (II)
En x : xCAx )2(2 Dividiendo entre x , tenemos que : 2 = 2A + C (III) Términos independientes: )2(1 DB o sea que: 1= 2B + D (IV) Resolviendo simultáneamente las ecuaciones I , II , III, IV : De I: 1 = A + C multiplicando por -1 -1 = -A - C Sumando con III: 2 = 2A + C 1= A A = 1 Sustituyendo A en I tenemos que 1 = 1 + C por tanto C = 0 Seleccionando ahora las ecuaciones II y IV 1 = B + D multiplicando por -1 -1 = -B - D Sumando con IV: 1= 2B + D 0 = B por tanto B = 0
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En la Ecuación II encontramos a D: 1 = B+ D 1 = 0 + D D = 1 Sustituyendo los valores de A, B, C, D en la fracción inicial:
21)0(
10)1(
2112
2222
23
xx
xx
xxxxx
Efectuando la operación en la expresión de la derecha nos queda:
21
12112
2222
23
xxx
xxxxx
La suma de las dos fracciones de la derecha son equivalentes a la fracción inicial conocida.
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Cuarto Caso. Factores de segundo grado repetidos.
Sea la función racional xQxP
22
2
99
xxx
Esta función racional puede ser llevada a otra equivalente dependiendo del divisor xQ 0 de la misma, de tal modo que el divisor presenta dos factores de segundo
grado repetidos 99 22 xx .
A partir de la fracción dada 22
2
99
xxx podemos construir dos fracciones cuya suma
sea equivalente a la fracción conocida : 222 99
xDCx
xBAx
Es decir: 22222
2
9999
xDCx
xBAx
xxx
Multiplicando la ecuación anterior por el mínimo común múltiplo 22 9x tenemos:
DCxxBAxxx 99 22 DCxBBxAxAxxx 999 232
Completando el polinomio de tercer grado en la derecha y factorizando los términos semejantes a la izquierda:
)9()9(90 2323 DBxCABxAxxxx Igualando términos semejantes. En 3x : 330 Axx A = 0 En 2x : 22 Bxx B = 1 En x : xCAx )9( -1= 9 A + C -1 = 9(0) + C C = -1 Términos independientes: 9 = 9B + D 9 = 9(1) + D D = 0
En la expresión: 22
2
99
xxx =
222 99
xDCx
xBAx
Sustituyendo A, B, C y D tenemos:
22
2
99
xxx =
222 90)1(
91)0(
xx
xx
Efectuando la operación en la expresión de la derecha nos queda:
22
2
99
xxx =
222 991
xx
x
La suma de las dos fracciones de la derecha son equivalentes a la fracción inicial conocida.
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