8/19/2019 Fracciones Parciales, Ejercicios, Resueltos, Integrales - Wikimatematica

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Fracciones parciales

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1/2 Fracciones parciales (Parte 1)

Mas vídeos de técnicas de integración (http://www.academatica.com/calculo/calculo-integral/)

Contenido

1 Introducción a las fracciones parciales2 Caso I (Factores Lineales Distintos)

2.1 Ejemplo Caso I3 Caso II (Factores Lineales Repetidos)

3.1 Ejemplo caso II4 Caso III (Factores Cuadráticos Irreducibles)

4.1 Ejemplo Caso III5 Caso IV (Factor Cuadrático Irreducible repetido)

5.1 Ejemplo Caso IV6 Caso V (Fracción Impropia)

6.1 Ejemplo Caso V7 Ejemplos8 Libro9 Video10 Vea También

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Introducción a las fracciones parciales

El método de las fracciones parciales consiste en reducir un cociente de polinomios en fracciones más simples, que permitan obtene

de manera inmediata una integral o una transformada de Laplace Inversa. El requisito más importante es que el grado del polinomio

del denominador sea estrictamente mayor que el grado del numerador.

Definimos fracciones parciales a la función F(x) en la cual dicha función depende de un numerador y un denominador. Para que sea

una fracción parcial el grado del denominador tiene que ser mayor al grado del numerador.

Las integrales por fracciones parciales es de la forma donde:

P ( x) y Q( x) son polinómiosEl grado de P ( x) es menor que el de Q( x)

NOTA

Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones mássimples.

En álgebra, fracción parcial , descomposición o extensión parcial de la fracción se utiliza para reducir el grado de el numeradoo el denominador de a función racional. El resultado de la extensión parcial de la fracción expresa esa función como la suma dlas fracciones, donde:

- El denominador de cada término es irreducible (no factorizable) polinómico y,- El numerador es un polinomio de un grado más pequeño que ese polinomio irreducible.

Caso I (Factores Lineales Distintos)

En este caso tenemos que los factores del denominador son todos factores lineales distintos.

Q( x) = (a1 x + b1)(a2 x + b2)(a3 x + b3)...(an x + bn) a y b son constantes, proponer:

(1)

Encontrar A1, A2, An

Ejemplo Caso I

Sea .

Primero factorizamos el denominador nos quedaría

Tenemos entonces dos factores lineales no repetidos usamos el caso I para escribir

Sigue este link para ver 5 ejemplos mas de fracciones parciales

Caso II (Factores Lineales Repetidos)

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Suponga que el primer factor lineal (a1 x + b1) se repite r veces; es decir, (a1 x + b1)r aparece en la factorización de Q( x). Por lo tanto

en lugar del término simple en (1), se usaría

(2)

Ejemplo caso II

Si tenemos

en el denominador Q( x) = ( x + 1)3( x − 1)( x − 2) podemos ver que tenemos que tenemos los factores lineales ( x − 3)3, x − 1 y x − 2

Para ( x − 1) y ( x − 2) usamos el caso I entonces escribimos

Para ( x + 1)3 usamos el caso II entonces escribimos

Ahora juntamos las fracciones anteriores y obtenemos,

Sigue este link para ver 5 ejemplos mas de fracciones parciales

Caso III (Factores Cuadráticos Irreducibles)

Si Q( x) tiene un factor de la forma ax2 + bx + c, donde b2 − 4ac < 0 (esto nos dice que no se puede expresar ax2 + bx + c como la

multimplicacion de dos fatores lineales pues la solución de la cuadratica es compleja) además de las fracciones parciales de (1) y (2)

entonces la expresión para tendrá un término de la forma

Ejemplo Caso III

Sea podemos notar que x2 + 1 es una cuadrática irreducible ya que su solución es compleja entonces

para este factor escribimos una suma de la forma y para el factor ( x + 1)2 escribimos las fracciones

Sumamos estas fracciones y tenemos la expresion en fraciones parciales para f ( x)

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Caso IV (Factor Cuadrático Irreducible repetido)

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Si Q( x) tiene un factor de la forma (ax2 + bx + c)r , donde b2 − 4ac < 0, luego en lugar de la única fracción parcial ,

escribimos la suma

Ejemplo Caso IV

Sea usamos el Caso II y el Caso IV y nos queda

Sigue este link para ver 5 ejemplos mas de fracciones parciales

Caso V (Fracción Impropia)

Si es una fracción impropia (es decir, el grado de P ( x) es mayor o igual que el de Q( x) entonces dividir P ( x) por Q( x)

para obtener:

Donde el grado de P 1( x) es menor que el grado de Q( x)

Ejemplo Caso V

Sea podemos notar que el grado del numerador 2 x3 − 4 x2 − 15 x + 5 es 3 y es mayor que el grado del

denominador x2 − 2 x − 8 que es 2 por lo que la fracción es un fracción impropia entonces hacemos division larga,

Entonces podemos escribir

donde en la fracción el grado del numerador es menor que el grado del denominador entonces ya podemos aplicar los

métodos antes mencionados.

Ejemplos

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Libro

Video

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Fracciones Parciales

Vea También

1. Matematica II2. Técnicas de Integración3. Sustitución4. Integración por partes

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