Fracciones Propias e Impropias
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Cálculo Integral 2. INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES Cuando se tiene como integrando una fracción en ocasiones es necesario descomponer esa fracción en una suma de fracciones más simples, llamadas fracciones parciales, a las que se les puede aplicar ya las formulas básicas para poder integrarlas. Por ejemplo, considere la integral ∫ x +5 x 2 +x−2 dx Esta integral parece difícil de integrar, sin embargo si se observa que la función se puede descomponer en fracciones simples como ∫ x +5 x 2 +x−2 dx = ∫ ( 2 x−1 − 1 x +2 ) dx La integral es más fácil de resolver. Al aplicar las reglas para la integración se tiene que su solución es igual a: 2ln| x−1| −ln| x +2 |+C De manera general considere que en el integrando se encuentra la función racional f ( x )= P ( x) Q ( x) Donde P y Q son polinomios. Para descomponer P ( x ) Q ( x ) en fracciones más simples considere el siguiente procedimiento: 1. Dividir en caso impropio. Si P ( x ) Q ( x ) es una fracción impropia (es decir, el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador) se divide P ( x) por Q ( x) para obtener P ( x ) Q ( x ) =S ( x ) + P 1 ( x) Q ( x ) Instituto Tecnológico Superior de El Mante 1
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CALCULO INTEGRAL
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Clculo Integral
Clculo Integral
2. INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES
Cuando se tiene como integrando una fraccin en ocasiones es necesario descomponer esa fraccin en una suma de fracciones ms simples, llamadas fracciones parciales, a las que se les puede aplicar ya las formulas bsicas para poder integrarlas. Por ejemplo, considere la integral
Esta integral parece difcil de integrar, sin embargo si se observa que la funcin se puede descomponer en fracciones simples como
La integral es ms fcil de resolver. Al aplicar las reglas para la integracin se tiene que su solucin es igual a: De manera general considere que en el integrando se encuentra la funcin racional
Donde P y Q son polinomios. Para descomponer en fracciones ms simples considere el siguiente procedimiento:1. Dividir en caso impropio. Si es una fraccin impropia (es decir, el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador) se divide por para obtener
Donde el grado de ya es menor que el de . A continuacin se aplican los pasos siguientes a la expresin racional propia
2. Factorizar el denominador. Se factoriza el denominador tanto como sea posible en factores de los tipos
Donde es irreducible. Es decir,
3. Expresar la funcin como una suma. El siguiente paso es expresar la funcin racional propia como una suma de fracciones parciales ms simples de la forma:
Ejemplo:Encuentre Solucin:Como el polinomio del numerador es de mayor grado que el del denominador, se efecta la divisin larga, cuyo resultado es:
A continuacin se factoriza el denominador
La descomposicin en fracciones parciales es:
Al multiplicar por el denominador se tiene
Igualando los coeficientes
Resolviendo el sistema se tiene que A=1, B=2 y C=-1. Por lo tanto:
Bibliografa: James-Stewart, Clculo de una variable, Edit. Thomson Editores.
Roland E. Larson, Robert P. Hostetler, Clculo y geometra Analtica, Editorial McGraw-Hill.
Leithold, Louis, El clculo, Editorial Oxford.
Instituto Tecnolgico Superior de El Mante 3
