fracciones simplees
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DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES. CÁLCULO DE RESIDUOS (Esto solo es un breve resumen. Se recomienda ampliamente leer el apéndice E.3.1 del libro Análisis de Circuitos Lineales Ed.Ra-Ma Autores: F. López Ferreras, S. Maldonado, M. Rosa). 1. Debemos fijarnos que el orden del polinomio del numerador sea inferior al orden del denominador. Si no fuera así, efectuaremos la división hasta conseguirlo. 2. Suponiendo que en el denominador solo tenemos raíces reales. ( )( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 () Ns A B s r s r s r s r = + + + + + ¿Cómo podemos conseguir el valor de los residuos A y B? ( ) ( )( ) 1 1 1 2 () lim s r Ns A s r s r s r →− = + + + ( ) ( )( ) 2 2 1 2 () lim s r Ns B s r s r s r →− = + + + Ejemplo: ( )( ) ( ) ( ) 2 3 1 3 1 A B s s s s = + + + + + ( ) ( )( ) ( ) 3 3 2 2 2 lim 3 lim 1 3 1 1 3 1 s s A s s s s →− →− = + = = =− + + + −+ ( ) ( )( ) ( ) 1 1 2 2 2 lim 1 lim 1 3 1 3 1 3 s s B s s s s →− →− = + = = = + + + −+ ( )( ) ( ) ( ) 2 1 1 3 1 3 1 s s s s − = + + + + +
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Descomposicion de fracciones simples
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DESCOMPOSICIN EN FRACCIONES SIMPLES. CLCULO DE RESIDUOS (Esto solo es un breve resumen. Se recomienda ampliamente leer el apndice E.3.1 del libro Anlisis de Circuitos Lineales Ed.Ra-Ma Autores: F. Lpez Ferreras, S. Maldonado, M. Rosa).
1. Debemos fijarnos que el orden del polinomio del numerador sea inferior al orden del denominador. Si no fuera as, efectuaremos la divisin hasta conseguirlo.
2. Suponiendo que en el denominador solo tenemos races reales.
( )( ) ( ) ( )1 2 1 2( )N s A B
s r s r s r s r= +
+ + + +
Cmo podemos conseguir el valor de los residuos A y B?
( ) ( )( )1 1 1 2( )lim
s r
N sA s rs r s r
= ++ +
( ) ( )( )2 2 1 2( )lim
s r
N sB s rs r s r
= ++ +
Ejemplo:
( )( ) ( ) ( )2
3 1 3 1A B
s s s s= +
+ + + +
( ) ( )( ) ( )3 32 2 2lim 3 lim 1
3 1 1 3 1s sA s
s s s = + = = =
+ + + +
( ) ( )( ) ( )1 12 2 2lim 1 lim 1
3 1 3 1 3s sB s
s s s = + = = =
+ + + +
( )( ) ( ) ( )2 1 1
3 1 3 1s s s s
= ++ + + +
-
3 Si aparecen races complejas, siempre aparecen en pares complejos conjugados. Este tipo de races no se descompone.
( )( ) ( )2 2Bs C Bs C
s a bj s a bj s a b+ +
=+ + + + +
Sin embargo, si nos fijamos en las tablas, solo tenemos:
( ) ( )1 22 22 2, s a bK K
s a b s a b+
+ + + +
As, que tendremos que buscar mediante sumas y restas poner nuestra expresin conforme a la informacin que aparece en las tablas. Vamos a verlo con un ejemplo:
( )( ) ( )22 23 2 3 2 3 2
2 5 1 2 1 2 1 2s s s
s s s j s j s+ + +
= =+ + + + + + +
Ahora tendremos que intentar poner esta expresin en trminos:
( ) ( )1 22 22 21 2,
1 2 1 2sk k
s s+
+ + + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 2 2 2 2
2 2 1 1 13 2 13 3 3 3 33 3 31 2 1 2 1 2 1 2 1 2
s ss ss s s s s
+ + + + += = = + =
+ + + + + + + + + +
( ) ( )2 22 2
1 21 1 3321 2 1 2
ss s
+= +
+ + + +
Por tanto, aunque no se descompone en fracciones simples, cuando aparecen races complejas conjugadas hay que ponerlo de la siguiente forma:
( ) ( )2 22 2 23 2 1 1 23
2 5 21 2 1 2s s
s s s s+ +
= ++ + + + + +
-
3 Ahora veamos un caso en el que existen races reales y complejas conjugadas.
2
2 2 2
5 2 2( 2)( 2 2) 2 ( 1 )( 1 ) 2 ( 1) 1
s s A Bs C A Bs Cs s s s s j s j s s
+ + + += + = +
+ + + + + + + + + + (1)
Observamos cmo la raz real s=-2, tiene un residuo A que se calcula como hemos visto con las races reales:
2 2
2 22
5 2 2 5( 2) 2( 2) 2lim( 2) 9( 2)( 2 2) (( 2) 2( 2) 2)s
s sA ss s s
+ + + += + = =
+ + + + +
Cmo calculamos los residuos B y C? Si en ambos lados de la igualdad (1) hacemos que s->0, tendremos una ecuacin para sacar C:
2
2 2 20 0
5 2 2lim lim( 2)( 2 2) 2 ( 1) 1s s
s s A Bs Cs s s s s
+ + += +
+ + + + + +
2 2
2(2)(2) 2 (1) 1
A C= +
+
Dado que conocemos que A=9, podemos obtener el valor de C=-8 Ahora que conocemos el valor de A y C, basta igualar la expresin (1) para cualquier valor de s para encontrar el valor de B. Por ejemplo, podemos calcular cuando s->1.
2
2 2 21 1
5 2 2lim lim( 2)( 2 2) 2 ( 1) 1s s
s s A Bs Cs s s s s
+ + += +
+ + + + + +
2
2 2 2
5(1) 2(1) 2 (1)((1) 2)((1) 2(1) 2) (1) 2 ((1) 1) 1
A B C+ + += +
+ + + + + +
2 2
9(3)(5) 3 (2) 1
A B C+= +
+
Como conocemos los valores de A y C, podemos deducir que B=-4. Por tanto, la descomposicin en fracciones simples nos da:
( )
2
22 2
5 2 2 9 4 8( 2)( 2 2) 2 1 1
s s ss s s s s
+ + +=
+ + + + + +
-
Ahora hay que tener en cuenta que el trmino ( )2 2
4 81 1s
s+
+ + hay que descomponerlo
como vimos en el ejemplo anterior:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 2 2 2 24 8 2 1 1 1 14 4 4
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1s s s s
s s s s s
+ + + + += = = +
+ + + + + + + + + +
( ) ( )
2
2 22 2 2
5 2 2 9 1 14( 2)( 2 2) 2 1 1 1 1
s s ss s s s s s
+ + += +
+ + + + + + + +
Nota: En esta explicacin solo hemos considerado la descomposicin en fracciones simples. Para poder calcular la transformada inversa, es imprescindible conocer adems la ROC.
