Hace unos 15 años se acuñó eltérmino fractal para describir ciertasformas geométricas cuya estructurase repite en cada una de sus partes,y en las partes de sus partes. Hoyen día aparecen en la distribución delas estrellas de nuestra galaxia, enlas irregularidades de una costa y enel latir de un corazón. Se ramificanen nuestro cuerpo en alvéolos yredes neuronales. Se dibujan en laevolución de los sistemas caóticos yconstituyen la huella de fallas yfracturas. Una marca fractal señalala distribución de los epicentros de

los temblores, la repetición de laspalabras de un texto e incluso lasfluctuaciones de precios en unmercado. Las reglas de lageometría fractal se emplean paracrear, reproducir; almacenar ytransmitir imágenes. Así hanrevolucionado en todos sentidos lamanera en la que captamos laimagen del universo.

Pero, ¿qué es realmente un fractal?,¿cuáles sus propiedades?, ¿cómo ydónde podemos identificarlo oconstituirlo? Éstas son algunaspreguntas que Vicente Talanquerresponde en este texto utilizando

ejemplos sencillos de las áreas de lafísica, la química y las matemáticas.El libro no sólo pretende que ellector descubra el mundo de losfractales, sino también que aprendaa recrearlo. Al respecto se hanincluido algunos experimentossencillos y la descripción deprogramas de computadora (enBASIC) que permiten reproducir lamayoría de las ilustraciones deltexto. Con un ligero esfuerzo el libroservirá de guía para que el lectorcree sus propios fractales.

Los fractales ofrecen unaperspectiva distinta para describir y

estudiar formas y sistemascomplejos en la naturaleza. Así,resultan de gran interés para losfísicos, biólogos, médicos yeconomistas. El lenguaje de lageometría fractal ha permeado elquehacer científico moderno y ellibro intenta introducir el diccionariobásico que necesitamos paracomprenderlo.

Vicente Talanquer

Fractus, fracta,fractal.

Fractales, de laberintos y espejos

ePub r1.0lhache 14.10.13

Título original: Fractus, fracta, fractal.Vicente Talanquer, 1996

Editor digital: lhacheePub base r1.0

Terminar este libro hubiera sidoimposible sin la estrecha

colaboración de Glinda Irazoque ytodos los estudiantes que

participaron en el proyecto «ParaSaber, Experimentar y Simular»

apoyado por la DGAPA y laFacultad de Química de la UNAM.Gracias al Instituto Escuela y a sus

alumnos de bachillerato porprestarse a demostrar que con los

fractales sí se puede; a AnaMartínez por la lectura va, la

lectura viene, y a Ivonne López Plapor el negocio mal pagado de las

fotografías.

I. Para EmpezarCuando enfrentamos un problema porprimera vez, cuando queremoscomprender cómo funciona una cosa,normalmente hacemos simplificaciones.Es tan sencillo como considerar que, siestudiamos el movimiento de un cuerpo,conviene despreciar la fricción; que sila Tierra se desplaza alrededor del Sol,ojalá que su trayectoria forme uncírculo. Recordemos por un instante elprimer dibujo que hicimos de unatardecer en la playa: el Sol, redondocomo plato; las montañas, triángulos; lasgaviotas, dos arcos circulares.

Esta forma de comenzar a entendersecon el mundo que nos rodea es muy útiltanto si se hace ciencia como en la vidacotidiana; para qué complicarse más lascosas. Sin embargo, no siempre quedaclaro cuál sea el mejor camino paralograrlo. Por ejemplo, empeñarse enreproducir con todo detalle un paisajeboscoso utilizando tan sólo elementos dela geometría clásica (círculos,triángulos, esferas, etc.) es una tareaardua y muchas veces improductiva.Cuando se está interesado en descubrircómo surgieron las formas y estructurastan diversas y complejas queencontramos en la naturaleza, uno se

pregunta si no habrá otras maneras derepresentarlas.

Las figuras comunes de la geometríaclásica o euclidiana no son las másadecuadas para generar formascomplejas como la hoja de un helecho oel perfil de una montaña. Su limitaciónse debe a que tienden a perder suestructura cuando son ampliadas; unarco de círculo se transforma poco apoco en una recta; la superficie de unaesfera se hace cada vez más plana. Estono es precisamente lo que sucede conlas formas naturales; por ejemplo, lasuperficie rugosa de una roca mantieneprácticamente la misma complejidad a

varios niveles de amplificación con elmicroscopio. Si analizamos una parte dela roca, y dentro de ella otra máspequeña, y así sucesivamente, no porello nos parecerá cada vez más lisa.

De la misma manera que con la roca,podríamos fijar la atención en el ramajede un arbusto: de una rama salen muchasramas y en cada una de ellas se repite elmismo esquema. La ampliación de unaparte del original es muy similar aloriginal mismo.

Si así son las cosas, ¿por qué noimaginar objetos geométricos queposean la misma propiedad pero llevadaal extremo? Cuerpos que mantengan

prácticamente la misma estructura encada parte, así como en las partes detodas sus partes. En estas condiciones,al ampliarlos quizá no se conservenexactamente iguales, a lo mejor suampliación resulta ser una versióndistorsionada del original pero elesquema básico permanecerá,independientemente de cuántas veces seamplíen.

Es claro que tales objetos son máscomplicados que un círculo, un cono ouna esfera; sin embargo, podemosservirnos de ellos para simplificarnuestros intentos de reproducir larealidad. Basta hacer a un lado la

dificultad de la figura y buscar lafacilidad en el método de trabajo; quizáasí descubramos que detrás delnacimiento o la formación de un cuerpocomplejo no necesariamente se escondeun mecanismo muy elaborado.

A este tipo de formas geométricasque, entre otras propiedades, contienenuna imagen de sí mismas en cada una desus partes, se le llama ahora fractales, yhace ya más de una década queinundaron el mundo científico con unconjunto de nuevas reglas paraenfrentarse con el reto de conocer ydescribir la naturaleza. Su lenguaje sepermeó a campos increíblemente

diversos de las ciencias naturales ysociales, y ha hecho de las matemáticasun instrumento novedoso para las artes.

Las herramientas de la geometríafractal son, hoy día, elementosinsustituibles en el trabajo de muchosfísicos, químicos, biólogos, fisiólogos,economistas, etc., pues les han permitidoreformular viejos problemas en términosnovedosos, y tratar problemascomplejos de forma muy simplificada.Las formas fractales, que durante muchotiempo se consideraron meras«monstruosidades» geométricas einaplicables divertimentos matemáticos,subyacen en fenómenos y estructuras tan

variadas como la distribución de lasestrellas del Universo, la ramificaciónalveolar en los pulmones, la fronteradifusa de una nube, las fluctuaciones deprecios en un mercado, y aun en lafrecuencia de repetición de las palabrasde este texto.

Hay fractales en los depósitos yagregados electroquímicos, y en latrayectoria de las partículas de polvosuspendidas en el aire. Fractalesescondidos en la dinámica decrecimiento poblacional de colonias debacterias, y detrás de todo flujoturbulento. Fractales en todas partes;fractales en una lista interminable de

objetos reales que son testigos mudos deuna enfermiza obsesión de la naturaleza.

Como entidades geométricas, losfractales tienen característicaspeculiares. Imaginar curvas de longitudinfinita que no se extienden en todo elespacio, o concebir un objeto condimensión fraccional es el tipo de cosasque debemos estar dispuestos aenfrentar. Si la realidad es así, lo quedebería asustarnos es lo que durantetanto tiempo concebimos como normal.

La geometría fractal ha generado supropio lenguaje con representacionesmudas de enorme contenido visual. Enrealidad, se trata de operaciones

geométricas para rotar, trasladar,escalar y deformar cualquier figura anuestro antojo. ¿Cómo funcionan? ¿Quénos permiten hacer? ¿Qué se necesitapara lograrlo?, son algunas de laspreguntas que debemos responder:después ya será más fácil servirse deellas con fines prácticos.

Los fractales han revolucionado latecnología de la generación yreproducción de imágenes. Hoy día nosólo se les utiliza para almacenar otrasmitir señales visuales, sino tambiénpara simular paisajes. Hojas fractalespara un árbol fractal en un bosque, unplaneta, una galaxia digna de la más

refinada película de ciencia ficción.La transcripción del dialecto de los

fractales, el tránsito de las fórmulas alas imágenes, requieren muchas veces deayuda computacional. Losprocedimientos que hay que seguir sonmuy sencillos y los resultados obtenidospagan con creces el esfuerzo queconllevan. Quien se interese en ellopodrá encontrar en el último capítulo deeste libro, «Para la computadora», lasinstrucciones necesarias para viajar conmas libertad a través del universofractal; los ejemplos que se presentan semanejan en lenguaje de programaciónBASIC y se requiere de conocimientos

mínimos del mismo para comprenderlosy manejarlos. Si se vale pedir,solicitaríamos que no se renuncie a laposibilidad de tener con ellos unaexperiencia inolvidable.

Los fractales parecen encontrarse enesa frontera difusa que existe en estemundo entre el caos y el orden; están ahídonde la imaginación apenas llega.Ojalá que el libro pueda contagiar elpasmo aún perdurable en que sesumergió el autor al descubrirlos. Eracomo aprender a concebir la realidad deotra forma; se multiplicaban los espejos,se generaban infinitos laberintos. Eracomo la imaginación de Borges y Lewis

Carroll; el Aleph y sus espejos. Biendicen, como soñar soñándose.

II. Nuevas reglas,nuevas geometrías

Nuestro mundo está constituido pormontañas, costas, mares, nubes, plantas,animales, etc.; sin duda alguna es elreino de la forma. Si quisiéramosdescribirlo, un vistazo rápido podríadesalentar todo intento de realizarsimplificaciones; más que el reflejo dela perfecta armonía de un mundosencillo y ordenado, parece ser eldominio de la irregularidad y el caos.

Cuerpos amorfos desde rocas hastaplanetas, flujos turbulentos desde ríos a

tornados, patrones asimétricos quesobrepasan con mucho el número decuerpos regulares con los que el hombrese ha obsesionado desde el inicio de lostiempos. Azar y desorden en unUniverso aparentemente estructurado.

Sin embargo, en este mar de caos,una observación más cuidadosa de lanaturaleza muestra que aun dentro de suenorme complejidad existen ciertospatrones que la caracterizan.

Una roca es similar a la montaña dela que forma parte; una rama tiene lamisma estructura que la del tronco delque nace; como si la decisión hubierasido repetir la misma forma a diferentes

escalas dentro de un mismo objeto,asegurando la preservación de una copiadel original a cualquier nivel deamplificación; como si se pensara engenerar el máximo nivel de detalle conel mínimo costo en el diseño.

Un helecho cuerno de ciervo (Figura1), un brócoli o una coliflor (Figura 2)son muestras vivas de este juego de lanaturaleza en el que el mismo patrón decrecimiento se manifiesta a diferentesescalas, y aunque es verdad que larealidad pone límites a la imaginación,nada nos impide especular sobre laspropiedades de helechos «imaginarios»que aun a nivel microscópico exhiban

características geométricas semejantes alas de la planta completa. Objetos queen sus detalles se repiten a sí mismos,siguiendo una idea semejante a laplasmada en las famosas muñecas de losartesanos rusos.

Figura 1. Fotografía de un

helecho cuerno de ciervo. Larepetición del mismo patrón decrecimiento se presenta a varias

escalas. (Fotos: GuillermoSosa.)

Figura 2. Los diferentes pedazosde la coliflor tienen una

estructura muy similar a la de lacabeza completa. Con el brócoli

sucede lo mismo. (Fotos:Guillermo Sosa).

Estructuras como éstas se conocendesde hace mucho tiempo en el campode las matemáticas. Quizá uno de losejemplos más representativos sea la

curva construida por la matemáticasueca Helge von Koch en 1904(Peterson, 1988). Para dibujarla bastatomar un triángulo equilátero comofigura inicial (Figura 3(a)) y añadir en elcentro de cada uno de sus lados unnuevo triángulo equilátero tres vecesmás pequeño que el original (Figura3(b)). Repitiendo indefinidamente esteproceso (Figura 3(c) y 3(d)) se obtienela curva o copo de nieve de Koch.

Figura 3. Éstas son las primerascuatro etapas del proceso de

iteración que da lugar a la curvade Koch.

Triángulo sobre triángulo hasta ellímite de cualquier imaginación, la

curva así construida resulta indibujable,pues la forma del contorno se repite atodos los niveles. Cada punto sobre ella,si lo exploráramos con una lupa, nosrevelaría siempre los mismos secretos;triángulo sobre triángulo,indefinidamente.

A entidades como ésta se lesdenomina autosimilares, pues cada unade sus partes es igual al total (suapariencia es la misma a cualquierescala) y desde el punto de vistamatemático poseen ciertas propiedadespeculiares que las distinguen (Briggs,1990).

La patología de lo quellamaremos fractales

¿Cuál es la longitud de la curva deKoch? Es claro que la respuestadepende del tipo de regla que se utilicepara medirla. Si nuestro instrumento demedida es poco flexible y sus divisionesno son muy finas, el valor obtenido seráinexacto y sólo un burdo reflejo de laextensión de la curva real. La regla nopuede penetrar y considerar todos losdetalles de la figura.

Si para delinear mejor lassinuosidades de la ruta decidiéramos

recorrer la curva ajustando un hilo sobresu perímetro, un momento de reflexiónnos permitiría ver que la presencia dedetalle a toda escala hace imposiblenuestra tarea si no contamos con unfilamento inmensamente largo; sólo asípodríamos visitar todos los recovecosdel contorno. La curva es generada en unproceso de repetición que añade más ymás detalle a cada paso, extendiendo sulongitud sin límite alguno. Si lacortamos en un punto y la estiramos,podemos generar con ella una recta delongitud infinita, pensemos que siemprehabrá un pico que desdoblar, y dentro deéste otro, y luego otro, y otro, y así hasta

el cansancio.El resultado es sorprendente; nos

encontramos con un objeto que a pesarde estar definido sobre una región finitadel espacio posee una frontera deextensión ilimitada. La curva de Kochenvuelve un área que no es mucho mayorque la que tiene el primer triángulo delque se parte, de hecho, se puededemostrar que es sólo 1.6 veces másgrande.

El contorno del copo de nieve deKoch es tan irregular que entre dospuntos cualquiera sobre él existe unadistancia infinita y un número incontablede quiebres y zigzags. Esto último hace

que sea imposible dibujar una tangente(recta que toque, sin cortar, a la curva enun solo punto) en algún lugar a lo largode su perímetro. En esta curva, todopunto es un punto de quiebre al que nose puede ajustar una recta tangente coninclinación única (Figura 4(a)); esto ladistingue de las curvas suaves con lasque estamos más acostumbrados a tratar,en las que en cada punto se puede hacerpasar una tangente (Figura 4(b)); sólopara caracterizar este hecho diremos quela curva no es diferenciable.

Figura 4. (a) En una curva comoésta no es posible asociar unatangente única a los puntos dequiebre y el copo de nieve de

Koch los tiene en todas partes.(b) En una curva suave, a cada

punto le corresponde unatangente con inclinación bien

definida.

Las propiedades particulares de«monstruos» matemáticos como éstehacen que sea difícil establecer unmecanismo sistemático paracompararlos y clasificarlos (Gardner,1976); si tienen una longitud infinita,¿cómo distinguirlos? El primer intentopara lograrlo se basa en las ideas delmatemático alemán Félix Hausdorff,quien en 1919 introdujo el concepto dedimensión que hoy permitecaracterizarlos (Gould, 1988).

Establecer la dimensión de un objetoregular «a ojo» parece ser cosa fácil yrequiere tan sólo de un poco de sentido

común. Así decimos que un trozo de hiloes aproximadamente unidimensional yque una hoja de papel es un buenejemplo de una forma en dosdimensiones. Sin embargo, si se nospide definir un mecanismo práctico paraverificarlo nos encontraremos enaprietos. Además, ¿es lo mismo una hojalisa que una arrugada?; si el hilo es delongitud infinita, ¿no podríamos cubrircon él todo el plano? En fin, es mejorintentar generar un método que nospermita obtener respuestas sin dejarlugar a las dudas.

Tomemos primero el hilo, el cualrepresentaremos como una recta de

longitud L= 1 m, por ejemplo, ydividámoslo en tres pedazos iguales de l= 1/3 m de extensión. En este caso, elnúmero de particiones que se generan(N) se obtiene determinando cuántasveces cabe una parte l en el total L: N= L/l = (L/l)1=3:

Si repetimos este proceso sobre lahoja de papel a la que consideraremoscomo un cuadrado de lado L= 1 m, alque seccionamos en cuadrados más

pequeños de lado l = l/2m y áreal2=1/4 m2, el número de particionesresulta ahora N=L2/l2 = (L/l)2=4:

La extensión directa de losresultados anteriores al casotridimensional nos llevaría a suponerque aquí debe cumplirse que N=(L/l)3 (parece que basta elevar L/l auna potencia igual a la dimensión de lafigura), lo que se verifica con el cubo

que dibujamos a continuación:

Al dividir cada lado a la mitad, l=L/2, se generan N=L3/l3=8 pequeñoscubos de volumen l3.

Si generalizamos las relacionesobtenidas podemos decir que en unproceso de división como el descrito, elnúmero de secciones generadas estádado por N=(L/l)df, donde df es loque denominaremos la dimensión de

Hausdorff del objeto; hay que notar quela misma relación debe cumplirse tantosi decidimos seccionar el objeto totalcomo cualquiera de sus partes.

Encontramos así una estrategia paracuantificar la dimensión de cualquierforma geométrica, pues si N= (L/l)df,despejando:

df = log(N)/log(L/l)

Por ejemplo, al tomar un triánguloequilátero de lado L=1 y dividirlo ensecciones de la mitad de extensión

(l=1/2; L/l=2):

se obtienen cuatro particionesidénticas (N=4); de donde se deduceque como df =log(4)/log(2)=2,tratamos con un objeto bidimensional.

Apliquemos entonces nuestroresultado a la curva de Koch. En estecaso, y a toda escala sobre la figura, unarecta de longitud L es dividida en

secciones de un tercio de extensión, l=L/3, y en el proceso se generan cuatroparticiones de tamaño similar (N=4,pues generamos un pico):

Así tenemos df =log(4)/log(3)= 1.2619, ¡un objetocon dimensión fraccional! El resultadoes desconcertante pero indiscutible, y esuna evidencia más de la singularidad dela forma geométrica que estudiamos. La

dimensión de Hausdorff definida de estamanera es una medida de la complejidady rugosidad del cuerpo, y nos da unaidea de su extensión real en el espacio.El copo de nieve de Koch cubre másespacio que una recta (df=1), pero

mucho menos que un plano (df=2).Otros «monstruos» como la curva de

Koch exhiben dimensiones fraccionalesdistintas y cada uno de ellos tiene unadimensión de Hausdorff que locaracteriza. Tal es el caso, por ejemplo,de las figuras de Sierpinski (Figura 5).

Figura 5. (a) Triángulo y (b)carpeta de Sierpinski.

El triángulo de Sierpinski es elresultado de seccionar a toda escala untriángulo equilátero en cuatroparticiones similares cuyos lados sontan sólo la mitad de los de la figura

original (L/l=2). Una vez hecho esto seextrae la sección central, de forma quequeden las tres partes de los vértices(N=3), y sobre éstas se actúa de lamisma manera:

Este proceso se repite en cada unade las partes restantes y así se procedead infinitum; el resultado es similar alque aparece en la figura 5(a), aunque nohay pluma que permita dibujar la

estructura con todo detalle. Ladimensión de Hausdorff de la figura seobtiene considerando que cada vez quela longitud del triángulo se reduce a lamitad, aparecen tres triángulos más, portanto, ¡df =log(3) /log(2) =1.584!

De forma análoga puede construirsel a carpeta de la figura 5(b) si laiteración (repetición de la mismaoperación o transformación a todaescala) consiste en dividir a todos losniveles un cuadrado en secciones de unnoveno de área (L/l=3), eliminando laparticipación del centro:

Finalmente se tiene una formageométrica cuya dimensión también esfraccional: df =log(8) /log (3)=1.893.

Comparando los resultadosobtenidos para las tres figurasestudiadas se hace evidente que ladimensión de Hausdorff cuantifica hastaqué punto el objeto cubre el espacio enel que se encuentra inscrito: mientras la

curva de Koch malcubre el plano df

=1.263, la carpeta de Sierpinski, df

=1.893, lo logra casi completamente.También hay formas de quedarse a lamitad del camino, ¿podríamos imaginarla estructura final que se obtendría deseguir reproduciendo a toda escala lagreca de la figura siguiente? ¿Cuál seríala dimensión del objeto generado?

¿Y qué decir de la figura 6?

¿Podríamos identificar la operación quefue repetida varias veces sobre elcuadrado que sirvió de base?

Figura 6. ¿Qué dimensión tieneeste fractal? ¿Cómo la

obtenemos?

Si este esquema, de repetir el mismopatrón en todas partes dentro de unafigura, se extiende a objetos definidos enel espacio de tres dimensiones, es claroque el número de «monstruos» que sepueden construir resulta ilimitado.Ahora bien, ¿tiene todo esto algo quever con la realidad del mundo que nosrodea?

Fractales en todas

En 1975 Benoit Mandelbrot denominófractates (del latín fractus, irregular) alconjunto de formas que, generadasnormalmente por un proceso derepetición, se caracterizan por poseerdetalle a toda escala, por tener longitudinfinita, por no ser diferenciables y porexhibir dimensión fraccional.Adicionalmente, construyó con ellas unconjunto de nuevas reglas para explorarla geometría de la naturaleza, y lasreconoció como herramientaspotencialmente útiles para analizar ungran número de fenómenos físicos(Peitgen, 1986).

El interés de Mandelbrot en los

fractales nació de su certeza de que «lasnubes no son esferas, las montañas noson conos, las costas no son círculos,como la corteza de un árbol no es planani un rayo viaja en línea recta… Lanaturaleza no solamente exhibe un gradomayor sino también un nivel diferente decomplejidad» (Mandelbrot, 1984).

Hoy día se han identificadoinnumerables manifestaciones naturalesde estructuras fractales. Se sabe que sugeometría está presente en depósitos yagregados coloidales (como losgenerados por el polvo y el esmog),poliméricos y electroquímicos (Sander,1987); en aparatos y sistemas de los

seres vivos, como los vasos capilares,tubos intestinales, biliares ybronquiales, y en las redes neuronales(Goldberger, 1990). De manera similar,hay evidencia de que la localizacióngeográfica de epicentros en tembloresexhibe un patrón fractal (Bak, 1991), yen la actualidad la dimensión fraccional(dimensión fractal) de la superficieirregular de una falla en un material yase utiliza como medida indirecta de suresistencia y dureza (Peterson, 1988).

Los fractales mostraron su utilidadpor primera vez cuando se generó conellos un modelo simple para laaparición de ruido en ciertas líneas de

transmisión en sistemas decomunicación digital (Peterson, 1988);esto es, la presencia de brevesinterrupciones eléctricas que confundeny dificultan la comunicación (del tipo delas que estamos acostumbrados a oírcuando hablamos por teléfono oescuchamos el radio). El análisis de lasseñales demostró que las interrupcionesaparecían como por paquetes, perodentro de estos paquetes se distinguíauna estructura intermitente, y dentro deésta… ya podemos imaginar la historia.Un registro gráfico de las interrupcionesdio lugar a un patrón fractal similar alque se obtiene a través del siguiente

procedimiento. Tomamos una recta delongitud L y la seccionamos en trespartes idénticas (l=L/3), extrayendodespués la sección central (nos quedaN=2):

Cuando el procedimiento se repite atoda escala;

se obtiene el fractal conocido comoconjunto de Cantor (Peitgen, 1992) enhonor a su creador, el matemáticoalemán Georg Cantor; famoso por sudesarrollo de la teoría de conjuntos.Este «monstruo» fue presentado alpúblico por primera vez en 1883, y cienaños después decidió aparecer por todaspartes.

El conjunto o polvo de Cantor tieneuna dimensión de Hausdorff menor quela unidad, pues cada vez que la longitudde un segmento se reduce a su terceraparte, sólo aparecen dos trozos más, df

=log(N)/log(L/l)=log(2)/log(3)= 0.6309. En otraspalabras, ¡es más que una colección depuntos, pero menos que una línea! Esuno de los fractales más famosos, apesar de no ser tan atractivovisualmente. Su estructura está detrás devarias cosas en el mundo real y así se hautilizado como modelo para representardesde la distribución nada homogénea

de los anillos de Saturno (Davies, 1987)y las fluctuaciones en el precio delalgodón a partir del siglo pasado, hastalas variaciones que el nivel de las aguasdel río Nilo ha experimentado desdehace 2 000 años. Más aún, cuando laidea que subyace en la construcción deeste conjunto se extiende a tresdimensiones, el patrón que se generacoincide sorprendentemente con ladistribución de estrellas y galaxias en eluniverso. Esto es más que suficientecomo para quedarse anonadado.

En general, parece ser quedondequiera que un proceso irregular ycaótico ha dado forma al ambiente

(erosión acuosa y atmosférica, vientos,fallas geológicas) se han generadogeometrías fractales (costas, ríos,montañas, nubes, rocas) que por suredundancia y falta de regularidadposeen propiedades estructuralesparticulares.

Así, para los geógrafos modernos,preguntas como «¿qué tan larga es lacosta de Inglaterra?» Comienzan acarecer de sentido; pues ¿qué tan larga?depende de la escala y el detalle con elque se mida. Si se le cuantifica a partirde la información contenida en un globoterráqueo, un mapa de Europa, o unacarta de navegación de la Gran Bretaña,

la respuesta será distinta. ¿Cuál será lalongitud para un viajero que decidarecorrer todos los cabos y bahías? Paraefectos prácticos, ilimitada. El problemaes muy similar al que encontramos alintentar determinar la longitud de lacurva de Koch; de hecho, fractales comoéste resultan modelos más adecuadospara representar el perfil de la costa queel trazo de una línea zigzagueante. Enparticular se ha calculado que ladimensión de Hausdorff de las costasterrestres se encuentra entre ¡1.15 y1.35!; de nuevo entre la línea y el plano,pero ni una ni otro.

Es importante señalar que los

fractales que existen en la naturalezatienden a ser irregulares y sonautosimilares sólo en sentidoestadístico; esto es, si tomamos unconjunto suficientemente grande deobjetos de la misma clase yamplificamos una porción de alguno deellos, es posible que no sea idéntico aloriginal, pero seguramente sí serásimilar a algún otro miembro de lacolección. Su dimensión es fraccionalpero se obtiene realizando promediossobre sus valores en muchas regiones ypara muchos cuerpos del mismo tipo.Cuando se amplifica una de las partes deun fractal natural, la propiedad de

generar la misma figura, o algunasimilar, tiene límites inferiores ysuperiores. Por ejemplo, al observar elperfil de una montaña, el tamaño de losobjetos más grandes está determinadopor la fuerza de gravedad, mientras quela menor escala de observación a la cualtodavía se detectan los mismos detallesdepende de la acción de la erosión y,por supuesto, del tamaño de los átomos.Los fractales son, en ese sentido, sólouna buena aproximación de la estructurade las formas naturales.

El mundo de los fractales está enpleno desarrollo en la actualidad. Asícomo la naturaleza parece haberlos

elegido para generar formas complejas yúnicas a través de un mecanismo derepetición muy simple, los sereshumanos se sirven de ellos paraalmacenar y reproducir imágenes(Dewdney, 1990; Jürgens, 1990), hacermodelos teóricos y experimentales decuerpos irregulares (Peterson, 1988),analizar las características de pulsoscardiacos y nerviosos (Goldberger;1990), desenmarañar la estructura deprocesos dinámicos caóticos (Ford,1989; Rietman, 1989), etcétera.

Para construir un fractal puedenseguirse procedimientos matemáticos,geométricos, físicos y químicos, y vale

la pena dedicar un poco de tiempo aanalizar los principios en que se basacada uno de ellos. El interés de generarobjetos fractales, como ya hemos visto,es muy diverso: representar imágenes,hacer modelos, analizar patrones,identificar estructuras. Pero este trabajono es sólo un asunto de curiosidadcientífica o utilidad práctica inmediata;en él se esconde mucho de placer y desorpresa, dos elementos que, como severá, son inevitables.

III. En el país de lasmaravillas

Cuando Benoit Mandelbrot publicó en1975 su primer ensayo sobre fractalesno se atrevió realmente a dar unadefinición matemática formal quecaracterizara a estos objetos; decidiósimplemente utilizar el término paradenominar las formas que compartían lacaracterística común de ser a la vezrugosas y autosimilares. Mandelbrotbuscaba otorgarles una categoríaintermedia entre los cuerpos euclidianosregulares y lisos que nos son comunes

(círculo, triángulo, esfera, etcétera), ylas figuras que hoy día se denominangeométricamente caóticas y cuyaapariencia es rugosa, pero sin exhibirningún patrón geométrico regular.

Hacia 1977, el matemático se vioforzado a dar una definición formal quepermitiera distinguir con más claridaduna entidad fractal. Para hacerlorecurrió al antiguo concepto dedimensión de Hausdorff y en respuestaal pragmatismo definió, en general,todos los fractales como el conjunto deformas con dimensión fraccional.Mandelbrot era perfectamenteconsciente de que esta definición, si

bien establecía una frontera biendelimitada con la geometría euclidianade los conos y las esferas (en la que loscuerpos tienen una dimensión deHausdorff entera), dejaba una puertaabierta hacia la región del caosgeométrico. Sin embargo, a la espera demejores definiciones, inició el trabajoque con hechos y con el lenguaje de lasimágenes le mostraría al mundo elverdadero significado del términofractal. Sus resultados abrieron lapuerta de un mundo impresionante dondehabita el verdadero sentido de lapalabra obsesión, donde las matemáticasse confunden con el arte, y la ciencia ha

encontrado nuevas respuestas. Veamosen qué consistió su juego.

De búsquedas eiteraciones

A finales de los años setenta BenoitMandelbrot incursionó en un área de lasmatemáticas que lo llevó a construiralgunos de los objetos geométricos máscomplejos y hermosos que se conocen.Lo increíble es que el procedimientoque utilizó para hacerlo es muy sencillo:

sólo hay que repetir y repetir unaoperación un sinnúmero de veces.

La idea se basa en tomar un númerosobre el que se hace una operación,repetir lo mismo con el resultado ycontinuar haciéndolo indefinidamente enlos siguientes resultados obtenidos.Formalmente se dice que se hace unaiteración y se representa de manerageneral como:

xn+1=f(xn).

Para comprenderlo mejor,imaginemos que la operación por repetirconsiste en elevar un número al

cuadrado. Entonces la iteración sesimbolizaría así:

xn+1=x2n

Al aplicarla sobre un valor inicialcualquiera, por ejemplo, xo=2, el

primer cálculo nos daría x1=(2)2=4;

d e s p ué s x2=(4)2 =16, y x3=(16)2=256, y así seguimos. Lasecuencia de números que se genera:

2 → 4 → 16 → 256→ 65536 → … → ∞

se denomina la órbita de la iteración, yel punto al que se tiende a llegar(infinito, ∞, en este caso) se le llama suatractor. Si el valor inicial elegido esdistinto, x=0.5, por ejemplo, la órbitaserá:

0.5 → 0.25 → 0.0625→ 0.00390625 → … →

0,

y el atractor es el número 0.S i x0=1, las cosas son un poco

distintas, pues el resultado siempre es 1,y no hay manera de salir de ahí; la órbita

está constituida por un solo punto al quese le llama punto fijo. En la iteraciónque escogimos, los números x=0 y x→ ∞ también son puntos fijos, pues alelevarlos al cuadrado no producenningún resultado distinto.

Al trabajar con una iteración resultainteresante estudiar las característicasde las órbitas, atractores y puntos fijosque se obtienen después de hacer lasoperaciones sobre un gran conjunto depuntos. Aquí es donde está la segundaparte del problema, pues una vez elegidala operación, hay que decidir con quétipo de números trabajar: ¿los enterospositivos?, ¿todos los números de la

recta numérica (a los que llamamosnúmeros reales)? Las posibilidades sonmuchas, pero Mandelbrot seleccionó alos denominados números complejos.

Algo sobre númeroscomplejos

Los números reales constituyen unamanera de etiquetar cada punto situadosobre la recta numérica de forma única einequívoca; el 1 está antes que el 2, y el1.5 se localiza entre ellos; a cada

número le corresponde un punto y cadapunto tiene su etiqueta numérica. Hayreglas para sumarlos y multiplicarlosque todos conocemos bien: 2 + 2 = 4,3 × 4 = 12, etcétera.

Los números complejos funcionan demanera similar, ya que también permitencaracterizar puntos, pero éstos no estánsobre una línea, sino sobre un plano alque llamamos plano complejo.

Todo número complejo, al quesiempre simbolizaremos con la letra z,consta de dos partes que por razoneshistóricas se denominan real eimaginaria. Hay varias formas derepresentarlos y una de ellas es como si

se tratara de coordenadas. Por ejemplo:

z =(3, −2)

es un número complejo en el que laparte real (que siempre se escribeprimero) vale 3, y la parte imaginariavale −2. De manera más generaldiríamos que los números complejos serepresentan de la manera siguiente:

z = (a, b),

donde a y b son la parte real eimaginaria, respectivamente, y puedenser números enteros o con decimales,

positivos o negativos.Para localizarlos en el plano se

construye un sistema coordenado en elque el eje «x» se utiliza para señalar elvalor de la parte real (eje real), y el eje«y» para la parte imaginaria (ejeimaginario). Cuando se hace esto esposible construir una representacióngráfica muy sencilla como la de la figura7, donde como ilustración se localizanlos números complejos: z= (4, 0), z=(0, 2) y z=(−3, −3).

Figura 7. Representación gráficadel plano complejo. La distancia

R a la que está cada númerocomplejo del origen es una

medida de su tamaño.

Definir un nuevo conjunto denúmeros es entretenido, pero poco útil si

no lo acompañamos de reglas quepermitan trabajar con ellos, por lomenos sumarlos y multiplicarlos. Paralos números complejos esto ya estáestablecido y resulta relativamente fácil.

Si queremos hacer la suma de dosnúmeros complejos, z1= (a, b) y z2=(c, d), basta sumar por separado suspartes reales e imaginarias:

z1 + z2 = (a, b) + (c,d) = (a+c, b+d).

Por ejemplo, si z1 = (2, 1) y z2

= (4, 3), su suma nos da:

z1 + z2=(2,1) + (4,3)=(2+4,1+3) = (6,4),

en donde el resultado z = (6, 4)también es un número complejo.

Para la multiplicación la regla es unpoco más complicada, pero basta seguirla receta:

z1 + z2= (a, b) (c, d)= (ac − bd, ad + cb),

donde para obtener la parte real se tomael producto de los términos reales

menos el producto de los imaginarios, ypara la parte imaginaria se suma elproducto de los términos cruzados (realpor imaginario).

Así, si z1 = (2, 1), y z2 = (4,3), al multiplicarlos se obtiene elnúmero complejo:

z1 + z2 = (2, 1) (4, 3)= ((× 4) − (× 3), (× 3) +

(× (5, 10).

Ahora tenemos ya todo listo: unconjunto de números y reglas parasumarlos y multiplicarlos, ¿por qué no

usarlos entonces para jugar con susiteraciones? Hacerlo constituye una delas posibles vías para generar fractales,y quizá sea la ruta que lleve a resultadosmás sorprendentes. Veamos cómolograrlo.

Primera sorpresa, losConjuntos de Julia

El trabajo pionero en el juego de haceriteraciones con números complejos fuedesarrollado por dos matemáticos

franceses, Gaston Julia y Pierre Fatou, aprincipios de nuestro siglo. Susresultados fueron la base sobre la que seconstruyó la revolución fractal de losochenta. En particular, BenoitMandelbrot recuperó su análisis sobreel comportamiento de los númeroscomplejos cuando la iteración consisteen elevarlos al cuadrado y sumar unaconstante al resultado. Simbólicamentediríamos:

Zn + 1 = Z2n + c,

donde c es la constante y también es unnúmero complejo. Esta iteración dice

simplemente: toma un número y elévaloal cuadrado (multiplícalo por sí mismo),súmale la constante c que elegiste, yrepite lo mismo una y otra vez sobre tusresultados. Las órbitas que ahora segeneran son secuencias de númeroscomplejos y sus característicasdependen fundamentalmente de losvalores del punto inicial zo del que separte y la constante c seleccionada.

Por ejemplo, si el punto inicial es zo

= (1, 0) y la constante c = (0, 1), alhacer la iteración tenemos:

Z1 = z02 + c = (1,0)

(1,0) + (0,1) = (1,1)

Z2 = z12 + c = (1,1)

(1,1) + (0,1) = (0,3)

Z3 = z22 + c = (0,3)

(0,3) + (0,1) = (−9,1)

Z4 = z32 + c = (−9,1)

(−9,1) + (0,1) = (80,−17)

y así podemos seguir hasta detectar lanaturaleza del atractor. En este caso,cuando se representa la órbita sobre el

plano complejo se ve que la iteraciónnos aleja cada vez más del origen (0,0)sin acercarse a ningún número complejodeterminado. Decimos entonces que elatractor es el infinito y lo representamosdiciendo que z → ∞.

Desde 1906, Fatou habíademostrado que para cada valor de c, laaplicación de esta iteración sobre todoslos puntos del plano complejo generaórbitas que en su mayoría terminan en z→∞, salvo para un conjunto biendefinido de puntos. En estos casos, laiteración detecta puntos fijos; órbitasperiódicas donde se repite la mismasecuencia de números después de cierto

número de iteraciones, o puntos queescapan hacia atractores finitos. A estetipo de puntos cuya iteración no escapaa infinito, podríamos llamarlosprisioneros, mientras los otros sonescapistas.

Todos los puntos prisionerospertenecen a lo que llamaremos elcuerpo de un conjunto de Julia. Elconjunto, en sí, sólo está constituido porla curva que separa a los prisioneros delos escapistas; los puntos del conjuntode Julia también son prisioneros.

Para localizar los puntos queconforman el conjunto de Julia para unac dada, hay que recorrer el plano

complejo buscando la frontera donde sepasa de tener órbitas que se disparan ainfinito, a la región donde esto ya nosucede. El recorrido se convierte en unviaje inolvidable por el país de lasmaravillas.

En la actualidad, el viaje puedehacerse fácilmente si se tiene unacomputadora personal (Dewdney,1987), y las figuras que se obtienen seven extraordinarias cuando sereproducen en un monitor de color (verlas imágenes a color). Para losinteresados, en el capítulo «Para lacomputadora» se explica la manera dehacer el recorrido, y en las figuras 8 y 9

se ilustra el tipo de resultados que segeneran.

Figura 8. Conjuntos de Juliaasociados a la iteración zn+1 =

z2n+c. a) c = (0.12, 0.57); b) c=(−0.12, 0.66); c) c= (0.12,

0.74); d) c= (−0.25, 0.74); e) c=(−0.194, 0.6557); f) c= (0.75,

0.11).

Figura 9. Conjuntos de Julia

asociados a la iteración zn+1 =

z2n+c. a) c= (0.745, 0.113); b)

c= (1.25, 0); c) c= (−0.1565,1.0322); d) c= (0.32 0.043); e)detalle de la figura 8(c) en una

amplificación del orden de1/0.0001; f) detalle de la figura8 (c) en una amplificación del

orden de 1/0.25.

Una observación cuidadosa delborde de estas figuras, donde losprisioneros están de negro y losescapistas de blanco, revela un hechofundamental: la frontera o conjunto deJulia es un fractal y la curva total puedeser regenerada por cualquier trozo quede ella se elija. Esto es, el detalle del

contorno se conserva a cualquier escalay de nuevo nos encontramos con unaestructura autosimilar. Muestra de estoson las ampliaciones de los detallesarbitrariamente seleccionados de lasfiguras 8(c) y 8(e) que se presentan enlas figuras 9(e) y 9(f), respectivamente.Como puede verse, la estructura de lafrontera se repite a cualquier nivel deampliación, y toda la información sobrela geometría del conjunto estácodificada en el trazo de un solo puntosobre el papel: en la figura 9(f) hay unfactor de aumento del orden de 4 y en la9(e), de ¡10000! Viajar a lo largo delcontorno de cualquiera de estas formas

es perderse en el laberinto de un mundoinfinitamente repetido, que de nuevotiene longitud infinita y dimensiónfraccional.

La increíble belleza de larepresentación gráfica de los conjuntosde Julia fue puesta en evidencia hace nomás de 15 años por J. H. Hubbard, quienpara hacerlo se sirvió de los grandesadelantos computacionales de nuestraépoca. El trabajo de Hubbard yMandelbrot mostró la enorme riqueza decomportamientos que pueden generarse,y la marcada susceptibilidad de laestructura del conjunto ante ligerasvariaciones del parámetro complejo c

(Figuras 8(f) y9(a)).Ante un mundo de posibilidades

como éste, lo primero que se nos puedeocurrir es intentar hacer unaclasificación. Pero, ¿cómo organizarformas que tienen tanto detalle?, en quépropiedad común podemos basarnos?Además, hay que considerar que cadavalor de c da lugar a un conjunto deJulia distinto, ¿cómo clasificar entoncesun número infinito de formas? Larespuesta a estas preguntas fue dada en1980 por Benoit Mandelbrot y lasconclusiones que obtuvo son otramuestra clara de su enorme intuiciónvisual.

El famoso Conjunto deMandelbrot

Del análisis de las figuras 8 y 9 se haceevidente que existen dos clasesprincipales de conjuntos de Julia:aquellos para los cuales el cuerpo estáformado por una sola pieza (el área delcuerpo se dice que es conexa, figuras8(a)−(c) y 9(a)−(d), y otros en los que elcuerpo está desmembrado en infinitascolecciones de puntos más o menosaisladas (el área del cuerpo esdisconexa, figuras 8(d)−(f). A estosúltimos también se les llama conjuntos

de Cantor o polvos de Fatou.Esta distinción geométrica da pie a

la posibilidad de separar los valores delparámetro complejo c en dos conjuntosbien diferenciados: los que en laiteración Zn+1 = Z2

n+ c dan lugar afiguras conexas, y disconexas.

En principio, el trabajo deconstruirlos puede parecer una locura,pues se necesitaría analizar lasposibilidades de un número infinito desistemas. Sin embargo, para hacerlo,Mandelbrot aprovechó un teoremaprobado de manera independiente porJulia y Fatou alrededor de 1919.

Atención: Es posible demostrar que

todos los valores de c que dan lugar aconjuntos de Julia conexos (áreas de unasola pieza) comparten la propiedadcomún de producir órbitas que no sedisparan a infinito cuando se aplica laiteración sobre el punto z0 (0,0); esto

es, el punto zo = (0,0) es prisionero.

S i z0 = (0, 0) se comporta comoescapista, la forma producida esnecesariamente disconexa.

Las implicaciones del teorema sonsorprendentes; basta aplicar la iteraciónen un solo punto, el z0 = (0, 0), paradeterminar la naturaleza del conjunto deJulia que se obtendrá cuando la iteración

se aplique a todo el plano complejo.Benoit Mandelbrot fue el primero en

aprovechar esta propiedad de laiteración cuadrática y se dedicó alocalizar los valores de la constante cque dan lugar a conjuntos de Juliaconexos. Al hacerlo se encontró con queesta colección de valores de c, que en suhonor tiene el nombre de conjunto deMandelbrot, también tenía una estructurasorprendente cuando se representaba enel plano complejo. De nuevo, en elcapítulo «Para la computadora» sedescribe cómo generar por medio de lacomputadora la representación gráficadel conjunto de Mandelbrot y sus

detalles, que se ilustran en las figuras 10y 11.

Figura 10. a) Conjunto deMandelbrot. Se indican sobre lafigura las regiones cuyo detalle

se amplifica en las figuras 11 (a)y 11(b). b) Contorno del

conjunto de Mandelbrot. Seseñala la localización de los

valores del parámetro c que danlugar a los conjuntos de Julia delas figuras 8 y 9. Los puntos 8(f)

y 9(a) se encuentran en eldenominado Valle de los

hipocampos.

Figura 11. Detalles de lafrontera del conjunto de

Mandelbrot. Las figuras 11(d) y11(f) son amplificaciones de

regiones contenidas en el cuadroque les antecede.

Hay dos maneras de comenzar adescribir la estructura geométrica delconjunto de Mandelbrot (Figura 10); unainformal, que se refiere a él como larepresentación de un muñeco de nieverecostado y completamente infestado degranos; la otra, más purista, queconsidera que el cuerpo principal puedepensarse como una forma cardioide (decorazón) tangente a un disco circularde menor extensión, de los cuales

brotan una infinidad de estructuras quese ajustan a la misma descripción. Esdifícil decir que se trata de una figuracuya frontera es endiabladamentecomplicada, pues a toda escala aparecenformas geométricas semejantes a laoriginal, conectadas a través defilamentos que siguen patrones muy pocoregulares. Y así, aunque a simple vistael borde parezca estar salpicado depuntos aislados, puede demostrarse queel conjunto total es conexo (de una solapieza), ya que siempre puede hallarse, acierta escala, un filamento que cubra laruta entre dos puntos aparentementeseparados.

El conjunto de Mandelbrot pareceser un fractal en el sentido que hastaahora hemos manejado. La ampliaciónde un detalle de su frontera (Figura11(a)) da lugar a una forma muy similara la del conjunto completo, y tal pareceque esto se repetirá a cualquier escala.Sin embargo, las cosas no sucedenexactamente de esta manera. los retoñosde nuestro hombre de nieve resultan sermas peludos y están más despeinadosque su padre, y en plena luchageneracional las cosas se agravan concada nuevo descendiente (Figura 11(b)).Como veremos más adelante, aentidades como ésta se les sigue

clasificando como fractales, pero se lesagrupa dentro de una clase particulardenominada fractales no lineales; enellos se pierde la autosimilitud ensentido estricto, pues cada cambio deescala introduce rasgos peculiares.

Quizá el propósito principal deconstruir el conjunto de Mandelbrotreside en desentrañar de qué manera serelacionan la posición de un valor delparámetro c dentro de él y la estructuradel conjunto de Julia que se generarácuando se le utilice para aplicar lamisma iteración a todo el planocomplejo. Hoy se sabe que el conjuntode Mandelbrot es mucho más que una

tabla de clasificación para distinguirentre formas conexas y disconexas. Enrealidad, contiene toda la informaciónsobre las propiedades geométricas decada conjunto de Julia, pero codificadacomo en un jéroglífico. En sí mismo esel recipiente de una colección completade versiones reducidas y deformadas decada uno de ellos.

Así, por ejemplo, todo valor de cque cae dentro del cuerpo del principalen el conjunto de Mandelbrot da lugar auna forma de Julia con apariencia decírculo arrugado (Figura 8(a)). Si elvalor elegido se encuentra dentro de unode sus primeros retoños, los círculos se

multiplican (Figura 8(c)), y si se ledesplaza hacia uno de los filamentos quesurgen de él, las estructuras se adelgazanhasta generar una forma dendrítica(Figura 9(c)).

Un reto a nuestra capacidad deasombro consiste en hacer una visita a laregión del conjunto de Mandelbrotconocida como el valle de loshipocampos (Figura 10(b)). Los valoresde c comprendidos en esta región danlugar a conjuntos de Julia como los de lafigura 9(a). Estructuras como éstainundan el valle con formas geométricasque simulan caballos marinos enlazadosde múltiples maneras (Figuras 11(c) a

11(f)); un verdadero paraíso de Neptunoa escalas diversas.

El contorno del conjunto deMandelbrot es sin duda alguna susecreto más apasionante. Es ahí dondese define todo el futuro del reinohabitado por los conjuntos de Julia. Sitomáramos una ruta que nos llevaradesde el interior del conjunto deMandelbrot y, cruzando a través de lafrontera, nos depositara en su parteexterna, seríamos testigos delequivalente a una verdadera «transiciónde fases» geométrica. Un análisis de losconjuntos de Julia visitados nosmostraría cómo éstos comienzan a

desgajarse., desmoronarse, y finalmenteson víctimas de una explosión violentaque los desmenuza en mil pedazos alatravesar la frontera. Como ejemplotenemos las figuras de la 8(a) a la 8(d)que corresponden a la ruta trazada sobreel conjunto de Mandelbrot de la figura10(b), y que nos lleva del interior alexterior del conjunto.

Los detalles de la estructura delcontorno del conjunto de Mandelbrot sehacen más evidentes cuando se utilizancolores para distinguir lascaracterísticas de la órbita de iteraciónque le corresponde a cada valor de laconstante c. Al hacerlo se producen

imágenes de enorme belleza (véanse lasláminas) dignas de ser consideradascomo verdaderas obras de arte, lascosas han llegado tan lejos que hayquien considera que tienen poderesrelajantes sobre aquel que las observacon detenimiento.

La creación de un universoextraordinario poblado de hipocampos,dragones, hombres de nieve, flores ycaracoles de extrema complejidad dediseño, no es una particularidad únicade la iteración cuadrática que hemosestudiado. Existen numerosos casos derelaciones matemáticas que son capacesde construir su propio mundo fractal

(Peitgen, 1986). El análisis yclasificación del zoológico de susformas ha mostrado a los seres humanosuna nueva forma de generar, almacenar ytranscribir información. El juego coniteraciones de números complejos es unmecanismo sencillo para generarestructuras altamente organizadas,utilizando una sola clave. Ilustra conmucha claridad cómo la presencia deuna estructura compleja nonecesariamente implica un mecanismode formación igualmente complicado.Esto hace pensar que, para nuestrasorpresa, la gran similitud con elcomportamiento de la naturaleza, en el

que la lectura de un solo código pueblanuestro mundo de formas diversas,puede ser más que mera coincidencia.

IV. Un mundo deimágenes

Los fractales son, sin duda alguna,mucho más que interesantescuriosidades matemáticas con las cualesalimentar nuestra fantasía. En ellosreside la esencia del vastísimo lenguajede una nueva geometría que permitedescribir objetos y formaciones a travésde expresiones extraordinariamentecompactas.

Sin embargo, a diferencia de lageometría euclidiana, en donde loselementos básicos pueden generarse de

manera directa (líneas, círculos, planos,etcétera), en la geometría fractal lasformas primarias son conjuntos deprocedimientos matemáticos(algoritmos) que se encargan de rotar,trasladar, reescalar o deformar figurasde una manera particular.

En este sentido, podemos decir quela geometría fractal está constituida poruna infinidad de elementos, cada uno delos cuales representa una transformacióngeométrica completa y única. Como lossímbolos gráficos del chino y eljaponés, cada algoritmo fractal funcionacomo un ideograma que transmite unmensaje global característico.

Los códigos matemáticos quesubyacen en toda estructura fractal sonparte de un concepto que losmatemáticos denominantransformaciones generales de afinidaden el plano. Éstas no son más que reglaspara escalar, rotar, desplazar y, enocasiones distorsionar un objetogeométricamente. Lo que se puede hacercon ellas es impresionante: la hoja de unhelecho, la planta completa, el bosquedonde colocarla, las montañas que lorodean, o mejor, todo el planeta. Lacreación y recreación de paisajes, lacodificación, reproducción ytransmisión de imágenes, todo está al

alcance de la mano del que estédispuesto a intentarlo.

TransformandoLa naturaleza de cualquiertransformación de afinidad permiteclasificar a ésta dentro de dos grandesgrupos: lineales y no lineales. Ladiferencia fundamental entre ellas resideen que las primeras respetan las líneasrectas que constituyen la formageométrica sobre la que se aplican,

mientras que las segundas no, y por tantoactúan sobre ellas alterando algo másque su posición, orientación y tamaño.

En ambos lenguajes, lineal o nolineal, el número de algoritmos básicosque puede construirse es infinito, peromientras las reglas del primer dialectoson mucho más sencillas, la riqueza deposibilidades del segundo lo hacenespecialmente atractivo.

Para ayudar a que todo esto cobresentido, veamos, poco a poco, cómogenerar la estructura global de unatransformación de afinidad lineal(Peitgen, 1992).

Tomemos como figura geométrica

inicial un cuadrado de lado L ysituémoslo en un sistema de referenciaarbitrario, de forma tal que su vérticeinferior izquierdo coincida con el origen(Figura 12(a)). Cada punto en la fronterao dentro del cuadrado puede asícaracterizarse por un par decoordenadas (x, y), donde «x» y «y»representan números que siempre sonmayores que 0 pero menores que L.

Figura 12. Se ilustra el resultadode aplicar diversas

transformaciones sobre la figurade base representada en (a). (b)

Transformación de similitud conun factor de escala r = 0.5. c)

Transformación de afinidad conr= 0.8 y s= 0.5. d)

Desplazamiento xn = x + h, yn =y + k.

¿Cómo construir una transformacióngeométrica que aplicada sobre cadapunto de este cuadrado dé lugar a unaforma similar; pero de la mitad detamaño que la original?

El problema se resuelve fácilmentesi consideramos que las coordenadas detodo punto en la nueva figura, quellamaremos (xn, yn) para distinguirlas,pueden generarse a partir de las de laprimera (x, y) siguiendo una regla quereduzca todo a la mitad, tanto en ladirección x como en la y:

Xn = 0.5*x

Xy = 0.5*y.

Para ilustrarlo basta, por ejemplo,aplicar la receta anterior a lascoordenadas de los cuatro vértices delcuadrado inicial:

con lo que se obtiene el pequeñocuadrado de la figura 12(b). En un casocomo éste se dice que la transformación

ha introducido un factor de escalar=0.5.

Debe ser claro, entonces, que paraaumentar o disminuir el tamaño de unafigura por un factor de escala rarbitrario, se requiere simplementeaplicar la transformación

Xn = r*x

Yn = r*y

a cada uno de los puntos que laconstituyen. La forma así generada essimilar a la original, pero más grande

que ella si r es mayor que 1 o más chicasi r es menor que 1. Como la figura noha sido deformada se dice que se hahecho una transformación de similitud.

Si para ampliar el número deposibilidades se utilizan parámetros deescala distintos para cada coordenada,«x» y «y», de manera que:

Xn = r*x.

Yn = s*y,

el resultado de la transformacióngeométrica ya no es un cuadrado regular.

Por ejemplo, si r=0.8 y s=0.5, lo queobtendremos es un rectángulo más largoque ancho, como el de la figura 12(c);sin embargo, se vale decir que siguesiendo una forma geométrica «afín» a lainicial (Figura 12(a)). Estatransformación de carácter más generalse conoce como transformación deafinidad.

La estructura de reglas geométricascomo éstas se enriquece si además dereescalar la figura permiten trasladarla aotro sitio o rotarla. Analicemos cómolograrlo.

Para desplazar nuestro cuadrado delado L a cualquier región del espacio es

importante notar que todo cambio en laposición de una figura puededescomponerse en desplazamientossimples paralelos a cada uno de los ejesdel sistema de referencia elegido:primero la movemos horizontalmente yluego verticalmente, o al revés. Sinembargo, para asegurar que la formamantiene su estructura durante elproceso, es necesario que todos lospuntos en ella se trasladen de la mismamanera. Por ejemplo, si queremosmover la figura 12(a) una unidad en ladirección x y otra unidad en la direccióny, deberemos sumar un uno a todas lascoordenadas del cuadrado:

Xn = x+1

Yn = y+l.

Si generalizamos esto para cualquiertraslación que mueva la figura hunidades en x, y k unidades en y,tendremos:

Xn = x+h

Yn = y+k,

como se representa en la figura 12(d).Ahora, siendo más ambiciosos, ¿qué

hacer para trasladar y reescalarsimultáneamente la forma geométrica?Pues como cada cosa se puede hacer demanera independiente, basta ponerlotodo junto:

Xn = r*x + h

Yn = s*y + k

y aplicar la misma transformación atodos los puntos de la figura que nosinterese. Que quede claro, lo quemultiplica, reescala; lo que se suma,traslada.

Para completar estas ideas debemos

ahora considerar los efectos de unarotación, con lo que tendremos laposibilidad de hacer prácticamente loque queramos. En este puntosolicitaremos del lector un acto de fe,que más que ahorrarnos lágrimas nosevitará presentar una explicacióndemasiado larga.

Cuando se desea rotar una figuracuyos puntos se designan con lascoordenadas (x, y), basta aplicar sobretodos ellos la siguiente transformaciónpara obtener las coordenadas (Xn, Yn)de la nueva figura:

Xn = x*cos (A) −

y*sen(B)

Yn = x*sen(A) +y*cos(B).

Aquí hay que calcular el coseno y elseno de A y B, que son los ángulos enque se rotan los lados horizontales yverticales de la figura original, medidoscon respecto a los ejes «x» y «y»,respectivamente. Por ejemplo, sirotamos el cuadrado de la figura 12(a)un ángulo A, pero B = 0, sólo rotaránlos lados horizontales (Figura 13(a)); sipor el contrario, A = 0 pero B tiene

cierto valor, rotarán los lados verticales(Figura 13(b)). La figura 13(c) muestrael resultado de combinar ambos efectos.Es importante señalar que A y B sonpositivos si se miden, a partir de su ejede referencia, en sentido contrario a lasmanecillas del reloj; en el otro caso seconsideran negativos.

Figura 13. (a) Efecto de larotación de un ángulo A de loslados horizontales de la figurade base que se representa conlíneas discontinuas. (b) Efecto

de la rotación de un ángulo B delos lados verticales. c) Rotación

general obtenida por la

combinación de las dosanteriores. d) Efecto de la

aplicación de la transformaciónde afinidad lineal descrita en el

texto.

Con estos antecedentes podemos yapresentar la estructura global de unatransformación de afinidad lineal quesea capaz de modificar el tamaño,posición y orientación espacial de unaforma geométrica cualquiera. En estecamino,si r y s son parámetros de escala paralas coordenadas «x» y «y»respectivamente, h y k son una medidade los desplazamientos honzontal y

vertical y A y B son los ángulos quedeterminan la naturaleza de la rotación,tenemos:

Xn = r* x* cos (A) −s* y* sen(B) + h

Yn = r* x* sen (A) +s* y* cos(B) + k,

la cara completa de la transformaciónque buscábamos (Peterson, 1988).

Para ilustrar los efectos generalesque resultan de realizar unatransformación de afinidad lineal como

ésta sobre una figura cualquiera,consideremos el caso descrito en lasiguiente tabla:

y apliquémosla a nuestro ya famosocuadrado de longitud L.

En estas circunstancias, los vérticesoriginales de la figura se desplazan a lasposiciones

y la forma resultante, reducida, rotada ytrasladada (pero aún con fronterasrectas), toma la estructura que se indicaen la figura 13(d). Así vemos que unadefinición de tablas de transformacióncomo la anterior nos permite producirprácticamente la deformación que sea,siempre y cuando nos conformemos conmantener las líneas rectas, «rectas». Lomás importante es que el nuevo dialectode los fractales lineales se basacompletamente en ellas.

Todo fractal lineal puede construirseaplicando reiteradamente un conjuntodeterminado de transformaciones de

afinidad lineales sobre cierta región delespacio. En ese sentido, todo el detallede una forma fractal puede quedaralmacenado en un conjunto de tablas detransformación como la descrita. Estamanera de concebir las cosas es útil enla medida que tengamos acceso a unmétodo que permita extraer la imagencodificada en ellas. Como la técnicaexiste, nuestro problema estásolucionado.

Ping-pong fractal

En la década pasada, M. Barnsley y suscolaboradores desarrollaron unaestrategia de trabajo que permitereproducir prácticamente cualquierfractal. La idea básica es desde elprincipio artística y entretenida: hágaseprimero un collage para después jugarsobre él un ping-pong fractal.

En el método de Barnsley el trabajose inicia buscando un conjunto detransformaciones de afinidad, que alaplicarse sobre una figura de basearbitraria (como nuestro cuadrado delado L), dé lugar a nuevas formas que,acomodadas o superpuestas como en uncollage, reproduzcan algo que se

parezca a la imagen del fractal que sequiere construir.

Por ejemplo, en la reproducción deltriángulo de Sierpinski de la figura 14(c)bastaría tomar como base inicial untriángulo y generar tres transformacionesde afinidad que además de reducirlo a lamitad, trasladen los resultados haciacada uno de sus vértices (Figura 14(a)).Las transformaciones correspondientespueden condensarse en una tabla comola siguiente:

Cuando los resultados de las trestransformaciones se dibujan juntos (sehace el collage,) se ve que representanel esqueleto del triángulo de Sierpinski(Figura 14(b)).

Figura 14 (a) Representación de

las tres transformaciones deafinidad necesarias para generar

el triángulo de Sierpinski. b)Collage obtenido de la

superposición de las formasgeneradas al aplicar las

transformaciones anteriores. c)Resultado de jugar ping-pongfractal sobre el collage de la

figura (b).

Una vez que se ha identificado elnúmero mínimo de transformaciones quepermiten generar el esqueleto delfractal, puede iniciarse el juego con unping-pong muy especial.

Si analizamos la estructurageométrica del triángulo de Sierpinski

podemos darnos cuenta de que unmecanismo simple para reconstruirlopodría basarse en la aplicación sucesivade las anteriores transformaciones deafinidad sobre cada una de las tresregiones triangulares generadas. De estaforma, repitiendo el proceso a todaescala produciríamos la imagen delfractal (Figura 14(c)). Sin embargo,poner en práctica este procedimientopuede ser muy engorroso, pues esnecesario transformar una gran cantidadde puntos en un orden bien determinado.

Barnsley y su grupo lograrondemostrar que el mismo objetivo podríaalcanzarse siguiendo un camino distinto,

el cual, al menos desde el punto de vistade la operación por computadora,resulta menos costoso.

Imaginemos una mesa de ping-pongpara tres jugadores formada por canchastriangulares, dispuestas tal y como seindica en la figura 14(b). Para iniciar eljuego, el juez del partido lanza unapelota entintada sobre alguna de lascanchas y grita un númeroarbitrariamente elegido entre 1 y 3(correspondiente a algunatransformación de afinidad). En estascircunstancias, el jugador que recibe lapelota deberá dejarla botar en sucancha, localizar su posición dentro de

ella (la pelota dejará una marca en elpunto (x, y)), y lanzarla al punto quecorresponda, (Xn, Yn), después deaplicar la transformación de afinidadvoceada por el juez. Si el jugadoracierta el tiro (y siempre lo hace), elárbitro deberá elegir otro número al azar(entre 1 y 3) para que quien tenga lapelota en su cancha, registre de nuevo laposición del bote y conteste buscandoatinar a la coordenada resultante deaplicar la transformación que ahora lecorresponde. Continuando de esta formacon el juego y confiando en la habilidadde los deportistas, podemospreguntarnos después de un tiempo

razonable, qué figura se ha formadosobre la cancha después de tanto rebote.La respuesta quizá parezcasorprendente, pero el campo de juegocompleto reproducirá la imagen denuestro fractal triangular (Figura 14(c)).

La propuesta de principio esentonces genial. Basta, para construir elfractal, elegir de modo arbitrario unpunto inicial y a partir de él aplicarreiteradamente las transformaciones deafinidad en un orden seleccionado alazar. Si se dibuja sobre un plano laórbita de la iteración así generada, lafigura obtenida reproducirá la estructuradel fractal cuyo esqueleto esté descrito

por el conjunto de transformaciones deafinidad con el que se preparó elcollage original.

Bajo este principio podríamospreguntarnos, ¿cómo reproducir lacarpeta de Sierpinski de la figura 5(b)?En este caso, la forma de partida puedeser un cuadrado o rectángulo al que hayque aplicar ocho transformaciones deafinidad. Cada una de ellas se encargaráde producir un nuevo cuadrado orectángulo tres veces más pequeño queel original, trasladado a manera degenerar un collage como el siguiente:

Ahora tan sólo nos queda jugar conél al ping-pong fractal.

En estos dos ejemplos todas lastransformaciones de afinidad utilizadasgeneran formas básicas de área similar.Cuando esto no sucede es necesariomodificar un poco las reglas del juego,con el fin de asegurar que cada cancha

será visitada un número de vecesproporcional a su extensión en elespacio.

Para ilustrarlo apliquemos lassiguientes cuatro transformaciones deafinidad sobre una figura inicial deforma rectangular:

La superposición de los resultadosda lugar a un esqueleto como el de lafigura 15 (a), donde el polígonoresultante de aplicar la última

transformación de afinidad es el demayor área.

Al jugar ping-pong fractal sobre estecollage, asegurando que la probabilidadde visita de cada región espacial (p1)sea proporcional a su área:

P1=0.005 p2=0.0975p3=0.0975 p4=0.8

el resultado es una increíble hoja dehelecho con estructura fractal (Figura15(b)), en la que cualquiera de suspartes es similar al total. ¡Una imagentan compleja contenida en sólo cuatro

formaciones de afinidad! Una imagenque, para los interesados, puedereconstruirse con increíble facilidad(véase el capítulo «Para lacomputadora»).

Figura 15. (a) Collage que sirvede base para la construcción dela hoja de helecho fractal del

inciso b).

Utilizar en forma práctica el métodode Barnsley para la construcción de

fractales requiere en gran medida de unainteracción estrecha entre el observadory la computadora. Sólo así puedeencontrarse el conjunto mínimo detransformaciones de afinidad quepermitirá reproducir la imagen deseada.Procediendo de esta manera existe laposibilidad de desarrollar nuestroespíritu creativo y diseñar desdepequeños arbustos (Figura 16) hasta losmás complejos paisajes fractales. ¿Porqué no probar y construir su catálogopersonal de imágenes fractales? Todo sevale.

Figura 16. a) Superposición delas formas obtenidas al aplicar

las siguientes transformacionesde afinidad sobre una figura

rectangular:

b) Fractal generado al jugarping-pong sobre el collageanterior (p1=0.05, p2=0.3,

p3=0.3, p4=0.35).

Y todavía hay másLa riqueza de los diseños finales que seobtienen puede incrementarse

notablemente si se incorpora el uso detransformaciones de afinidad nolineales. Como ya lo mencionamos, eneste caso la aplicación de un algoritmodeforma las líneas rectas de la figuraoriginal, dando lugar a nuevasestructuras cuya apariencia tiene pocoque ver con la de aquella.

Para poner un ejemplo, baste decirque son suficientes dos transformacionesde afinidad no lineales (Jürgens, 1990)para recuperar las intrincadas formas delos conjuntos de Julia presentados en elcapítulo anterior. Jugando ping-pongfractal con ellas se obtienen resultadoscomo los que se muestran en la figura

17.

Figura 17. Formas de Juliaobtenidas jugando ping-pong

fractal con dostransformaciones de afinidad nolineales. a) c=(−0.12, 0.74); b)c=(0.1565, 0.322); c) c=(1.25,

0); d) c=(0.32, 0.043).

¿Qué más se puede pedir? Con un

poco de paciencia y cierta dosis decreatividad podemos generarprácticamente lo que queramos, con unnivel de detalle que en muchasocasiones resulta inimaginable.

Todo esto, por supuesto, sólo es unamuestra de la enorme potencialidadpráctica de la geometría de los fractales.En la actualidad su uso ha permitidoreducir significativamente la cantidad dedatos necesarios para transmitiralmacenar o simular casi cualquierimagen. Hoy día, de manera sistemática,la escena de interés (fotografía o video)es trasladada a la computadora, dondese analiza y secciona en trozos de

diversos tamaños, asegurando que elcolor o tono dentro de ellos se mantengarelativamente constante. Elegidas así laspiezas del collage, se inicia la búsquedasobre una enorme variedad detransformaciones de afinidad (existencatálogos para formas estándar) delconjunto de algoritmos necesarios parareproducirlas. La imagen queda entoncescodificada como un sistema de funcionesque se almacena o transmite confacilidad. Posteriormente, si se quiererecrear la escena original, sólo esnecesario seguir las reglas del ping-pong fractal; y aún más, lareconstrucción puede hacerse de manera

secuencial con el fin de generarimágenes animadas en las que es posibleincluir hasta treinta figuras distintas encada segundo.

La técnica de Barnsley (o másformalmente, el método de sistemas defunciones iteradas) no es el únicocamino que se conoce para obtenerfractales que simulan la estructura deobjetos naturales. En particular, lascaracterísticas de fractales clasificadoscomo aleatorios han sido fuertementeexplotadas en este terreno.

Un fractal se considera aleatoriocuando en su construcción intervienenelementos condicionados por el azar.

Por ejemplo, imaginemos que queremosreproducir el perfil de una montañapartiendo de una figura regular como untriángulo (Figura 18(a)). Iniciemos eltrabajo localizando los puntos mediosde cada lado, y desplacémoslosverticalmente a una distancia dideterminada por algo que produzcanúmeros aleatorios. Si unimos conlíneas los puntos desplazados (Figura18(b)), la forma resultante estaráconstituida por cuatro triángulos máspequeños, que a diferencia de losobtenidos por el método de Barnsleypara la carpeta de Sierpinski, no sonnecesariamente iguales. Si sobre cada

una de estas nuevas partes se repite elmismo procedimiento (Figura 18(c)), yse continúa haciéndolo sobre las figurasresultantes (Figura 18(d)) hasta que seaimposible distinguir los lados de cadatriángulo, el resultado será unaestructura poligonal muy rugosa ycompleja que con un manejo adecuadode tintes, luces y sombras puedeconvertirse en una excelentereproducción de una montaña.

Figura 18. Construcción gráficade una fractal aleatorio. Laestructura final simula una

montaña.

Aplicando el mismo procedimientosobre figuras poligonales diferentes a

nuestro triángulo, pueden generarsepaisajes montañosos que exhiben tantodetalle como el de una verdaderafotografía.

En la recreación de un paisajefractal la mayoría del tiempo y esfuerzoque se emplea no se gasta en el trabajomatemático de construir las diferentesestructuras geométricas que formarán lacomposición, sino en los detallesartísticos de selección de colores,texturas y sombras. Los investigadores ylos artistas trabajan juntos estudiandolas características del reflejo de la luzsobre diversas superficies, o losmecanismos para hacer resaltar una

estructura particular. El resultado es unaobra de arte en todos los sentidos.

Otros métodos de simulación deimágenes desarrollados por B.Mandelbrot y sus colaboradoresrecurren al uso de los patronesgenerados en caminatas aleatorias oseñales de ruido de radiofrecuencia,para generar los contornos de costas,nubes o macizos rocosos. En este caso,aunque las escenas obtenidas pueden sermuy realistas, existen serias desventajasasociadas al hecho de que la técnica noes sistemática y requiere de un largoperiodo de prueba y error.

Las diversas rutas que pueden

seguirse para crear entidades fractalessemejantes a objetos reales, junto con elmétodo descrito para «comprimir»escenas y automatizar la reproducciónde paisajes, abren las puertas a unmundo de increíbles posibilidades. Latransmisión de fotografías e incluso depelículas por vía telefónica, así como larecreación de universos imaginarios quesirvan de escenografía al cine de cienciaficción de los próximos años son sólodos ejemplos de los muchos proyectosque están en desarrollo.

Los fractales que se obtienen pormétodos matemáticos o geométricoscomo los hasta ahora descritos son en

ocasiones demasiado regulares yperfectos como para servir de modelopara patrones naturales. Esto ha llevadoa tratar de incluir en los algoritmosmatemáticos las característicasconocidas sobre los procesos decrecimiento y formación de objetosreales. De esta manera, y poco a poco,los fractales aparecen comoherramientas fundamentales en el trabajode no pocos físicos, químicos ybiólogos.

El conocimiento de las reglasbásicas de la geometría de los fractalesestá revolucionando nuestrasconcepciones sobre las formas y su

imagen, su gestación y crecimiento,dotándonos de nuevas armas paradescifrar algunas de las claves que rigenlos astutos juegos de la naturaleza.

V. Juegos naturalesHemos insistido hasta el cansancio quelos fractales están por todas partes y quelas características de su estructura loshacen particularmente adecuados paradescribir la geometría de una infinidadde formas naturales. Ahora surgen laspreguntas inevitables: ¿Por qué? ¿Quétipo de mecanismo o proceso decrecimiento los produce? ¿Qué seesconde detrás de la formación de unfractal en el mundo real?

Para contestar estas preguntas loprimero que hay que hacer es tratar deser lo más honestos posible. Por

principio de cuentas, si bien es ciertoque los fractales son en muchos casosbuenas aproximaciones de la realidad,la verdad es que no hay estructura realque soporte ser ampliada repetidamenteun número infinito de veces y sigamostrando la misma cara; para todo haylímites. A nivel microscópico llegará elmomento en que la figura se desdibuje ynos encontremos con los átomos y lasmoléculas; a nivel macroscópicosiempre hay una frontera en la que elobjeto real cambia de un tipo de patróna otro.

Por otra parte, como las estructurasfractales han aparecido en áreas tan

distintas como la distribución degalaxias en el Universo y la propagaciónde enfermedades infecciosas, es todavíamuy pronto para decir si se trata deproblemas diferentes que requieren deuna explicación particular, o si hay unprincipio general único que permiteexplicarlo todo.

Han surgido así diversos modelosque consideran las característicasfísicas, químicas o biológicas delsistema de interés y proponenmecanismos de crecimiento que danlugar a estructuras fractales muysemejantes al objeto real. Las distintaspropuestas contienen ingredientes

comunes que hacen pensar en lapresencia de principios universales,pero no todo es claro y pocos se atrevena aventurarse.

Hay maneras muy sencillas degenerar estructuras fractales en unlaboratorio, o aun en la casa, si se tieneel equipo adecuado. El análisis de sucrecimiento permite obtener pistas sobrelos mecanismos que se han encargado deinundar la naturaleza con formasfractales. Algunos de los ejemplos másilustrativos los encontramos al realizarexperimentos en electroquímica o sobreflujo de fluidos; detengámonos un pocoen ellos para comprenderlos.

Agregados fractalesCuando uno se pregunta cómo se formauna roca, un diamante o un cristal decuarzo, las respuestas que se obtienenson muy distintas. Un cristal perfecto,por ejemplo, se forma normalmente encondiciones de equilibrio donde laspartículas que lo constituyen se agreganmuy lentamente y pueden cambiar deposición un sinnúmero de veces. Sinembargo, en la mayoría de los casos nohay tiempo para tantos lujos; laformación de objetos naturales, desdemontañas hasta seres vivos, se da encondiciones muy alejadas de la situación

de equilibrio y a través de procesosirreversibles (Sander, 1987).

Tal es el caso de una categoríaespecial de objetos fractales que durantelos últimos años ha merecido la atenciónde muchos científicos: los denominadosagregados fractales (Matsushita, 1984).Se trata de sistemas en los que una grancantidad de partículas se agrupan paragenerar un cuerpo con estructurairregular y son muy familiares a losquímicos, pues se les obtiene enprocesos de sedimentación,electrodeposición, floculación yagregación de coloides, aerosoles,polvos, etcétera. En particular, la

formación de agregados fractalesmetálicos que se depositanelectroquímicamente sobre superficiesque tienen geometrías diversas, haimpulsado un nuevo campo deinvestigación que rinde frutosimportantes en el área de tecnología depilas y baterías.

Para entender mejor qué es y cómose forma un agregado fractal porelectrodeposición electroquímica hastahacer el siguiente experimento(Talanquer, 1991):

El material necesario consiste endos pedazos de vidrio de ventana enforma de disco circular de 15 cm de

diámetro, dos trozos de alambre decobre de 1 mm de diámetro transversal,una pila de 1.5 ó 5V, masking-tape, unajeringa y disoluciones de sulfato decinc (ZnS04) a diversas concentraciones(por ejemplo, 1 g de ZnS04 en 100 mlde agua u 8 de la sal en 100 ml de agua).

Con el alambre de cobre seconstruyen los electrodos: uno de ellos,con forma de círculo de 10 cm dediámetro, se coloca entre las placas devidrio, centrándolo con respecto a unapequeña perforación hecha en la placasuperior; para el otro se corta un trozorecto de alambre que se introduce en elagujero central (Figura 19).

Para mantener los discos de vidriojuntos basta colocar en el borde unastiras de masking-tape, y la disoluciónde sulfato de cinc se inyecta con una

jeringa a través de la perforación,asegurando que cubra uniformemente laregión entre el orificio y el electrodocircular.

El experimento comienza cuando elpolo negativo de la pila se conecta alelectrodo central (cátodo) y el positivoal electrodo circular (ánodo).

Figura 19. Esquema de la celda

electroquímica para elcrecimiento de un agregado

fractal.

La diferencia de potencial aplicadaentre los electrodos hace que los ionescinc migren hacia el electrodo central yse depositen sobre él. Al cabo de unoscuantos minutos se ve la formación de unagregado metálico que comienza aramificarse en todas direcciones y quealcanza un diámetro considerable (≅6cm) después de una hora decrecimiento.

La estructura final del agregadodepende tanto de la concentración de lasal como del voltaje aplicado (Argould,

1988; Kahanda, 1989). Se hanidentificado así al menos cuatro tipos depatrones distintos (Grier; 1986; Sawada,1986): fractales y homogéneos (Figuras20 (a) y (b)), dendríticos y filiformes(Figuras 20(c) y (d)). Los primeros dosson agregados desordenados que crecenlentamente y, como veremos, tienendimensión fraccional; los segundostienen estructura cristalina y se formancon más rapidez. De hecho, es posibleconstruir una especie de diagrama defases donde se localiza la concentracióny el voltaje, en la que aparece cada unade estas estructuras (Figura 21). Elexperimento que hemos propuesto

asegura la formación de fractales si setrabaja con una pila de 1.5 V y permiteobtener también dendritas si la pila esde 5 V (para la disolución menosconcentrada).

Figura 20. Depósitos de cinc enuna celda circular. a) fractal; b)homogéneo; c) dendrítico; d)filiforme (Fotos: Guillermo

Sosa).

Figura 21. Diagrama de fase paralos depósitos de cinc. Las

estructuras tipo fractal crecen avalores bajos de voltaje (V). Laconcentración c) está medida en

moles de sulfato de cinc porlitro de solución (1 mol de

ZnSO4 tiene una masa de 161.4g)

El que se forme una estructurafractal o un depósito cristalino estácondicionado por muchos factores: lascaracterísticas del transporte de iones endisolución, los mecanismos detransferencia de carga en los electrodosy las propiedades particulares delsólido formado (Voss, 1985); el papelque desempeña cada uno de ellos no esdel todo claro. El tipo de sal con el que

se trabaja es también de granimportancia: las sales de cobre ycadmio sólo permiten obtenerestructuras fractales y homogéneas,mientras que las sales de plata dan lugara hermosas formas de todos los tipos(véanse las imágenes a color).

Cosas tan simples como la geometríade la celda de electrodeposición puedeninfluir sobre los diferentes regímenes decrecimiento; no es lo mismo trabajar conuna celda circular que con unarectangular. Cuando el experimento queantes describimos se repite en una celdarectangular se genera un pequeño mundoartificial poblado de arbustos, hongos,

flores y árboles enanos (Figura 22). Denuevo, ¿cómo explicamos todo esto?

Figura 22. Depósitos de cinc enuna celda rectangular. a) fractal;

b) homogéneo, c) dendrítico(Fotos: Guillermo Sosa).

Al azar y de uno enuno

Alrededor de 1981, L. M. Sander y T.A. Witten (Witten, 1981, 1983)propusieron un mecanismo para explicarel crecimiento de agregados fractales ylo denominaron agregación limitada pordifusión (o DLA, por sus siglas eninglés). La idea central consiste enreconocer que la difusión de partículasen el medio es el factor más importanteque condiciona y limita la formación delagregado.

En este modelo, el proceso decrecimiento se inicia suponiendo lapresencia de una partícula o un conjuntode ellas (cúmulo) que actúa comosemilla para el desarrollo posterior.

Adicionalmente, se considera que unagran cantidad de partículas se difundenhacia el cúmulo siguiendo una caminataal azar; una ruta en la que el tamaño y ladirección de los pasos se eligealeatoriamente. Cuando una partículaentra en contacto con el cúmulo seadhiere a él de manera permanente, y asíel agregado crece a través de unmecanismo irreversible.

Las características de este modelo,en el que se repite siempre el mismoesquema: partículas que se difundensiguiendo una ruta aleatoria y se peganal agregado al entrar en contacto con él,hacen que sea fácil utilizar a la

computadora para simular elcrecimiento (véase el capítulo «Para lacomputadora»). El resultado que seobtiene aun después de depositar pocaspartículas (≅900) es similar al que semuestra en la figura 23, donde vemos elcaso de una celda circular (A) y unarectangular (B). El parecido con lasformas fractales producidas a través delexperimento de electrodeposiciónelectroquímica (Figuras 20 (a) y 22(a))es sorprendente, y se hace más obviocuando se comparan con la simulaciónde un depósito que contiene un númeromucho mayor de partículas (véanse lasláminas ).

Figura 23. La simulacióncomputacional por el método

DLA genera estructuras fractalescomo éstas. a) celda circular; b)

celda rectangular.

La estructura final está repleta desalientes y entrantes que son resultado

de la presencia de lo que se denominainestabilidades ante crecimiento.Cuando en el cúmulo se forma unaprotuberancia por azar, ésta crece másrápidamente que el resto del sistemapues la probabilidad de que laspartículas se encuentren con ella esmayor; las partículas se pegan a lasaliente y no alcanzan las regionesinternas que ya no pueden rellenarse.Sobre la protuberancia en crecimientose generan otras, y sobre éstas otras, ysobre las nuevas… hasta terminar con unobjeto muy ramificado.

Estos fractales son autosimilaressólo en un sentido estadístico, ya que la

ampliación de una de sus partes quizá nose parezca a la forma original, pero sí aalgún otro agregado obtenido al repetirde nuevo el proceso de crecimiento.Para calcular su dimensión y verificar sies fraccional se sigue un procedimientodistinto al que analizamos en detallecasi al comienzo de este libro.

Cuando una estructura es muyirregular y no es formalmenteautosimilar, su dimensión fractal secalcula normalmente por el método dela caja. El resultado que se obtienetambién nos da una idea de la capacidadreal del objeto para cubrir el espacio enel que está embebido. La manera de

proceder es muy sencilla:Se toma la estructura de interés y se

coloca en una caja de lado L, sobre laque se construye una red regular en laque cada segmento tiene una longitud l(Figura 24(a)). Se cuenta el número decajas que contienen alguna parte de laestructura, lo que da un número N.Ahora se repite el procedimientoutilizando redes cada vez más finas (lmás pequeña, (Figuras 24(b) y 24(c))registrando en cada caso la N que lescorresponda. Cuando hacemos estosobre una figura como la que aquí nosinteresa es posible construir una tablacomo la siguiente, en la que se registra

el número de cajas que caben a lo largodel segmento L (L/l) y, del total de cajasen toda la red, sólo cuántas de ellas (N)atraviesan la figura:

Si se toma el logaritmo de ambascantidades y se grafica log (N) vs log(L/l (Figura 24(d)), es posible ajustarsobre los datos una línea recta cuyapendiente es la dimensión fractal dc dela figura. En realidad, esto nos indicaque existe una relación del tipo:

N = (L/l)dc

entre las dos variables, muy similar a laque ya describimos al hablar de ladimensión de Hausdorff.

Figura 24. Cálculo de ladimensión fractal del agregadoDLA por el método de la caja. En

este caso L=10 cm y a) L/l=5,N=18; b) L/l=10, N= 52; c) L/l=20, N=148. La pendiente de larecta en d) en una medida de la

dimensión fractal dc.

El método de la caja es uno de los

más utilizados en ciencias para obtenerla dimensión de un objeto, pues ofreceun camino sistemático aplicable a unagran diversidad de formas naturales.También se usa para estudiar figuras quese encuentran en un espacio de tresdimensiones, y se utiliza para hacer lasprimeras estimaciones sobre ladimensión de objetos tales como costas,nubes, fronteras, sistemas arteriales,etcétera.

Para el agregado fractal que generala computadora, la dimensión fractal,siguiendo el método de la caja, resultacercana a 1.5, y es independiente de losdetalles del proceso de agregación. Su

valor es similar al que se ha obtenidopara muestras experimentales(Matsushita, 1984; Argould, 1988) apesar de la gran idealización del modelode agregación limitada por difusión. Lacoincidencia en verdad es sorprendente;sólo pensemos que mientras en lasimulación se depositan unos cuantosmiles de partículas, en el experimentoreal se trabaja con miles de millones deátomos.

Cuando la simulación computacionalse modifica para permitir que laspartículas que chocan con el agregadopuedan «rebotar» antes de adherirse, laestructura final es más compacta y

simula un depósito homogéneo. Sudimensión sigue siendo fraccional, peroya es muy cercana a 2.

El modelo de agregación limitadapor difusión no es sólo de utilidad paraanalizar la estructura de depósitoselectroquímicos. Parece ser que cuandose aplica una diferencia de potencialsobre una emulsión fotográfica o en lasuperficie de un aislante, se genera unadescarga eléctrica cuyo patrón, llamadofigura de Lichtenberg, es muy similar alfractal DLA. El caso se repite alestudiar el comportamiento de líquidosinmiscibles que son forzados a fluir unoa través del otro.

Dedos viscososCuando un fluido como el agua o el airese desplaza a través de un líquido másviscoso, la interfase entre ellos puededeformarse y generar dedos oestructuras más complejas. Este hechono es nuevo para los ingenierospetroleros, químicos o geólogos quetrabajan en procesos de extracción enmantos petrolíferos. Por ejemplo, enalgunas ocasiones el material porrecuperar queda atrapado en el subsueloporoso y no puede ser extraído demanera directa; para desplazarlo escomún bombear agua desde la

superficie. Si en las condiciones detrabajo se forman dedos o conos de unlíquido dentro del otro, la eficiencia dela extracción de reduceconsiderablemente pues el agua sedispersa en el petróleo.

Este fenómeno puede reproducirse apequeña escala haciendo uso de undispositivo muy simple desarrolladoalrededor de 1898 por Henry Hele-Shaw (Walker, 1987):

Se toman dos placas de vidrio oacrílico de 1.5 cm de espesor, y 40 x 40cm² de área. Se colocanhorizontalmente una sobre otra y sesostienen con pinzas y soportes a unos

30 cm de la mesa de trabajo (Figura25).

Sobre la placa superior se practicauna perforación central deaproximadamente 0.2 cm de diámetro, através de la cual se inyectarán loslíquidos de interés. La separación entrelas placas se controla utilizando tiras demasking-tape superpuestas y situadasen el contorno de la placa inferior; elpropio peso de la placa superior y lapresión ejercida por las pinzas desostén, aseguran que su valor semantiene constante a lo largo delexperimento (entre 0.03 y 0.08 cm).Con el fin de mejorar la visualizaciónde los patrones de flujo resultaconveniente introducir una lámpara deluz difusa entre las placas y la base.

En este experimento el líquido más

viscoso o fluido por desplazar seinyecta o esparce entre las placas,generando una capa homogénea, y ellíquido desplazante (agua normalmente)se inyecta por el orificio central.

Figura 25. Esquema de la celdade Hele-Shaw utilizada paraestudiar patrones de flujo.

Cuando el fluido por desplazar es unmaterial viscoso como salsa catsup,leche de magnesia, jarabe para la tos omiel de abeja (Córdoba, 1993) y ellíquido inyectado es tinta azul o negra,los patrones de flujo adquieren formasdiversas (Figura 26) que de nuevo separecen a los electrodepósitos fractalesy homogéneos. ¿Qué está sucediendoahora?

a

b

c

dFigura 26. Patrones de flujo al

inyectar tinta azul en mediosviscosos distintos. a) Salsa

catsup; b) jarabe para la tos; c)miel de abeja; d) leche de

magnesia (Fotos : GuillermoSosa).

También en este caso existeninestabilidades ante crecimiento. Paracomprenderlo mejor imaginemos unacelda de Hele-Shaw en la que losfluidos presentes exhiben una interfaseidealmente plana. Si en estascircunstancias se aplica una presiónconstante y uniforme sobre el fluidomenos viscoso, la interfase sedesplazará sin deformarse. Sin embargo,la presencia de cualquier perturbación

que curve la superficie dará lugar a unadiferencia de presiones y seincrementará la velocidad de flujo enesa zona (Figura 27). Si se mueve másrápido, se deforma más, si se deformamás, se mueve más rápido, y así denuevo se generan protuberancias quecrecen y se ramifican, pues cualquierprotuberancia dentro de otra se muevemás rápido y ramifica, y…

Figura 27. Cualquierperturbación de la interfaseentre ambos líquidos puede

generar un dedo viscoso.

La evolución del patrón depende de

varios factores, entre los que sobresalen(Robinson, 1985): la separación entrelas placas, las viscosidades de losfluidos y la tensión interfacial. Lainfluencia de este último parámetro esparticularmente importante pues supresencia tiende a estabilizar y aplanarla interfase (recordemos que la tensióninterfacial es una medida del costoenergético de formación de la misma).

El trabajo teórico y experimentalsobre los patrones de flujo en la celdade Hele-Shaw ha demostrado que laformación de estructuras fractales tipoDLA se favorece si:

—se incrementa la diferencia de

viscosidades entre los fluidos,—se disminuye la separación entre

las placas o—se reduce la tensión superficial.En todo caso, siempre hay que

buscar que los efectos de cualquierperturbación en la interfase dominensobre las tendencias estabilizadoras delsistema.

Las estructuras que aparecen en unacelda de Hele-Shaw también se generana través de simulacionescomputacionales basadas en el modelode agregación limitada por difusión(DLA). Los resultados que seobtienen directamente con un programa

como el que hemos utilizado para laelectrodeposición coinciden muy biencon el caso en el que la tensióninterfacial entre los líquidos esprácticamente cero. Cuando esto no esasí, hay que incluir la posibilidad de quelas partículas reboten con el cúmuloantes de adherirse a él. Esto suaviza lasestructuras y permite generar patronesmenos ramificados y verdaderos dedosviscosos (Tang, 1985; Liang, 1986).

El estudio de fenómenos como éstoses de gran utilidad para comprender enqué circunstancias se favorece laaparición de formas fractales, y es partedel inicio para desentrañar el misterio

de la aparición de muchas formasnaturales. Sin embargo, falta mucho porhacer e investigar; hoy día no es fácilpredecir cuál será la geometría de unobjeto, a pesar de haber identificado losmecanismos de crecimiento que logeneran. Hay quien juzga que conocerlas reglas de la geometría fractalresultará de gran utilidad parasimplificar este trabajo; hay quienpiensa lo contrario, que basta de juegos.¿Se nos está acabando la imaginación osoñamos demasiado? ¿Seguimos la pistacorrecta o nos perdimos en el laberinto?

Fractales

Figura 1.

Figura 2.

Figura 3.

Figura 4.

Figura 5.

Figura 6.

Figura 7.

Figura 8.

Figura 9.

VI. Huellas en eltiempo

Los fractales no son solamente útilespara describir la geometría de lasformas naturales, también nos proveende nuevas herramientas para analizar suspropiedades dinámicas, la manera enque se desarrollan y evolucionan, ocómo interaccionan entre sí paracompetir u organizarse. Los fractalesson sin duda alguna parte fundamentaldel nuevo lenguaje de la complejidad yel caos, y uno estaría tentado a decir quehabitan en esa frontera tan sutil entre el

orden y el desorden. Hay quien dice queestán dentro del espejo que separa alreino del caos del dominio de laorganización y la estructura (Briggs,1990); aparentemente están ahí, susreflejos se multiplican.

En el reino del caosLos seres humanos siempre nos hemospreocupado por buscar las leyes querigen la evolución del mundo que nosrodea. Se ha establecido así un conjunto

de relaciones que nos permiten predecirel futuro de un sistema si se tieneinformación confiable sobre su estadopresente o pasado. Estas reglas que leseñalan a cada sistema el camino aseguir, se denominan deterministas ypueden ser simples o complejas; deellas, en principio, se espera siempreuna fidelidad absoluta, una capacidadpredictiva sin límite.

Sin embargo, en los últimos años,gracias al desarrollo de lascomputadoras y de mejores métodosnuméricos para resolver los problemas,se ha encontrado que existen sistemasque,

Importante: a pesar deestar gobernados porrelaciones precisas y bienconocidas (sus ecuacionesdeterministas), presentan uncomportamiento absolutamenteimpredecible(Crutchfield,1986).

Esta característica es una propiedadintrínseca del sistema que no se evitaacumulando más información y,sorprendentemente, su presencia es másuna regla que la excepción. El fenómenoya se ha observado en el estudio demovimientos planetarios, la predicción

del clima, el crecimiento de cristales, laevolución de sistemas fisiológicos,algunas reacciones químicas, etcétera.

Perder la capacidad de predecir elfuturo a largo plazo es un verdaderodesastre, es el CAOS, y el problemafundamental radica en la estructura delas ecuaciones deterministas que lecorresponden a cada sistema. Cuando unsistema físico se comporta de maneracontinua y regular, de tal forma que surespuesta a cualquier perturbación essiempre proporcional a la intensidad dela misma (poco → poco; mucho →mucho), se dice que es un sistema linealpues la representación gráfica de su

comportamiento dará lugar a una línearecta. Si esto no es así, el sistemaresulta no lineal y las cosas puedencomplicarse.

Muchos sistemas no lineales exhibenun comportamiento caótico porque sonmuy sensibles a las influencias externas.Su susceptibilidad en ocasiones raya enla histeria: si, por ejemplo, quisiéramospredecir la trayectoria de una bola debillar que choca con otras en su camino,bastaría ignorar el efecto gravitacionalde un electrón situado en la frontera denuestra galaxia para comenzar a obtenerresultados erróneos después de unminuto de haberla lanzado. Es también

famoso el denominado efecto mariposaen la predicción del clima: en algunosmodelos utilizados en climatología, noconsiderar el simple aleteo de unamariposa puede tener consecuenciasdesastrosas sobre la predicción delcomportamiento atmosférico.

Un sistema caótico resultaimpredecible porque esextraordinariamente sensible a laespecificación de las condicionesiniciales a partir de las cuales se quiereestudiar su evolución (Dresden, 1992);cualquier pequeño cambio en el estadoinicial tiene dramáticos efectos sobre elcomportamiento futuro. Para predecir el

fenómeno se necesitaría conocer losdatos iniciales con precisión infinita,así como un control extremo delproceso; esto es imposible,independientemente de qué tantologremos mejorar nuestros aparatos demedición y control, y de qué tan bienconozcamos las relaciones matemáticasque rigen su comportamiento.

Muchos sistemas son capaces detener un comportamiento regular ocaótico, de acuerdo con las condicionesa las que estén sujetos;desgraciadamente, no existen reglasgenerales que permitan decidir a priorisi exhibirán o no una dinámica caótica.

El tránsito entre el orden y el caos puededarse de manera brusca o gradual y estocambia de sistema a sistema. Sinembargo, cuando se da, el resultado esincreíble.

Ahora, ¿qué tienen que ver el caos ylos fractales? Como muestra basta unejemplo.

De nuevo lasiteracciones

Imaginemos que estamos decididos a

estudiar el comportamiento de unapoblación de insectos en una isla y paraello desarrollamos el siguiente modelo(Davies, 1987):

La evolución de la población deinsectos depende del ritmo denacimientos y muertes que se presentenen su comunidad. Si suponemos queestos animales tienen un periodo dereproducción anual y la población en elaño i era Ni, es de esperar que la

población al año siguiente Ni+1 seaproporcional a la que había el añoanterior. Esto es:

Ni+1 = aNi,

donde a es una constante deproporcionalidad que mide la capacidadreproductiva de la especie.

En la relación anterior no hemostomado todavía en cuenta el efecto de lamuerte de los insectos. Como primeraaproximación podríamos decir que elmayor número de decesos se da porcompetencia entre individuos: compitenpor el alimento, por la pareja, porterritorio, etcétera; digamos que muypocos se mueren de viejos. Entre másinsectos haya, más difícil será quesobreviva cada uno, de ahí que no sea

descabellado pensar que la probabilidadde que muera un individuo esproporcional a la población total de eseaño: Ni. Como esto se vale para cadauno de ellos, el ritmo de decesos paratoda la población será proporcional aNi x Ni = N2

i, o:

Ni+1 = b N21.

Si combinamos ambos efectos(nacimientos menos muertes) resulta laley de crecimiento poblacional queesperamos:

Ni+1 = a Ni − b N =N2

i (a bNi).

Esta relación es muy útil, pues sidamos valores a las constantes a y b, yelegimos una población inicial No, conello se calcula la población al añosiguiente N1. Con el resultado se genera

N2, que a su vez nos lleva a obtener N3y así sucesivamente. Este proceso es denuevo una iteración que nos permiteanalizar la evolución de la poblaciónaño con año. El modelo de crecimientopoblacional es muy sencillo pero en élya está presente un elemento que puede

conducirnos a resultados inesperados.La iteración contiene un término en elque la variable Ni está elevada alcuadrado y esto quiere decir quetratamos con un sistema no lineal (lagráfica de la relación (aN − bN²)como función de N no es una línearecta).

Para facilitarnos un poco las cosasresulta conveniente suponer que lasconstantes a y b son iguales y que lapoblación Ni está medida con respectoa una población máxima de referencia,por lo que su valor está siempre entre 0y 1. Esto no altera las conclusiones

finales pero facilita los cálculos que,por cierto, pueden hacerse directamenteen una computadora (véase el capítulo«Para la computadora»).

Cuando se analiza el valor de lapoblación como función del tiempo quepredice la iteración simplificada:

Ni+1 = a Ni (1 − Ni)

para diferentes valores del parámetro decrecimiento a, es posible distinguirvarios casos:

a) Para valores de a menores que 1la tasa de nacimientos es tan baja que lapoblación decrece año con año y

termina por extinguirse (Figura 28 (a)).Esto sucede siempre independientementede cuál sea la población inicial.

b) En el intervalo de a entre 1 y 3, lapoblación se estabiliza en un valorconstante diferente de cero que nodepende de la No de la cual se parte(Figura 28 (b)). El balance denacimientos y muertes asegura que lapoblación nunca cambie.

c) A partir de a>3, las cosas secomplican. En cuanto el parámetro decrecimiento es un poco mayor que tres,la población comienza a oscilar entredos valores distintos (Figura 28(c))y seacostumbra decir que la solución antes

estable se bifurca, se generan dosposibilidades que se visitanalternadamente en el transcurso de losaños. Esta situación se mantiene hasta a≅ 3.4495, donde cada rama de nuevos e bifurca y la población oscila entrecuatro valores diferentes (Figura 28 (d))Si seguimos aumentando el valor de a, elmismo esquema de duplicación sereproduce en cada rama y el periodo deoscilación aumenta a 8,16, 32 (Figura 28(e))…, hasta que en a ≅ 3.5699 elciclo tiene una duración infinita. A partirde aquí, poco o nada es predecible; elcomportamiento se torna caótico (Figura28 (f)) y la evolución temporal es muy

susceptible a la población inicialelegida. Por ejemplo, cuando a ≅ 4,una diferencia de 0.000001 entre dosdatos iniciales hace que los resultadossean completamente distintos después de50 iteraciones. En la región del caos lapoblación cambia año con año de unamanera que desafía al mejor adivino.

Figura 28. Evolución de lapoblación de insectos para

varios valores del parámetro a.a) a= 1.00; b) a= 2.00; c) a=

3.30; d) a= 3.50; e) a= 3.569; f)a= 4.00.

La transición hacia el caos se ve másclaramente cuando se grafica el valor ovalores que alcanza la población atiempos muy largos, como función delparámetro de crecimiento a. La gráficaque se genera se conoce como diagramade bifurcaciones y se presenta en lafigura 29 (a) (véase el capítulo «Para lacomputadora" si hay interés enreproducirla). El diagrama muestra conclaridad los valores de población que sevisitan para cada valor de a: cuando espequeño se tiene una sola rama(población constante), después dos(oscilación entre dos valores) y asíseguimos hasta alcanzar la región

caótica que tiene una estructura muycompleja.

En la zona del caos hay muchosvalores de a para los que la poblaciónevoluciona sin seguir un ordendeterminado; sin embargo, también estárepleta de secciones en las que serecupera el comportamiento periódico.Estas regiones aparecen como franjasmás blancas y cuando hacemos unaampliación para analizarlas (Figuras29(b) y 29 (c), nos deparan la tanesperada sorpresa. Dentro de ellas serepite el mismo esquema debifurcaciones que en el diagramageneral, y así ad infinitum, el caos y el

orden se entremezclan siguiendo lasreglas de la geometría fractal.

Figura 29. a) Diagrama debifurcaciones para la dinámicapoblacional N1+1= a*Ni(1−Ni).

En b) y c) se presentanampliaciones de la zona centralen la franja blanca más ancha en

la figura que las precede.

Es importante señalar que esteúltimo hecho no es una casualidad. Elcomportamiento general de nuestradinámica poblacional es muy similar alque se encuentra cuando se analizan lasecuaciones que describen sistemasdiversos: circuitos eléctricos,reacciones oscilantes, láseres o fluidos-turbulentos. En algunos de ellos laevolución temporal se representa en

diagramas que grafican simultáneamentela posición y velocidad de las partículasque los constituyen. la estructura de lasfiguras que se generan depende de lacondiciones de trabajo, pero si seidentifica que su geometría es fractal, setiene una señal indudable de que elsistema está comportándosecaóticamente.

Los fractales parecen serherramientas particularmente útiles paradesentrañar los misterios del caos; escomo si en su lenguaje la aparenteextrañeza e irregularidad delcomportamiento caótico fuera el estadonatural. Quizás, de hecho, debíamos

haber esperado su presencia. Ya hemosvisto que muchos fractales son productode realizar la iteración matemática deuna función no lineal (z2, por ejemplo);las leyes dinámicas que describen elcomportamiento de diversos sistemasfísicos muchas veces no son más queeso. De ahí que los fractales aparezcancomo sus huellas, únicas, indelebles,inconfundibles.

Autoorganizándose

Los fractales son el prototipo de lo queuno estaría dispuesto a llamar un objetocomplejo. No en el sentido de difícil ocomplicado, pues normalmente segeneran a través de procedimientossencillos, sino por el hecho de presentardetalle a toda escala, de guardarinformación a muy diferentes niveles.Nuestro Universo está plagado deobjetos complejos, y él mismo, como losfractales, presenta estructurasorganizadas a diversas escalas: cúmulosde galaxias, galaxias, estrellas, planetas,y por lo menos en nuestro planeta,nubes, montañas, organismos vivos. ¿Dedónde salió todo esto?

Uno siempre se pregunta cómosurgió el Universo, pero con menosfrecuencia se cuestiona cómo llegó aconvertirse en lo que hoy conocemos. Sial principio de los tiempos, o mejordicho, nuestros tiempos, el universonaciente carecía de forma y contenido,¿qué lo llevó a organizarse? ¿Cómo lohizo? En los últimos años estoscuestionamientos han comenzado aaclararse gracias al estudio de sistemasque, en condiciones adecuadas, tienen lacapacidad de autorganizarse. Todosellos comparten características comunesentre las que destacan: su habilidad paragenerar estructuras macroscópicas

complejas y organizadas, su extremasusceptibilidad a las perturbacionesexternas, y su increíble capacidad paraautorregularse y funcionar como unaentidad única que respondecreativamente y se adapta a lascondiciones del medio (Nicolis, 1989).

Los sistemas que se autorganizansiempre se encuentran en condicionesque los mantienen muy alejados de suestado de equilibrio; son entidades queestán en contacto con el medio externo yutilizan la energía que éste lesproporciona para organizarse y formarestructuras complejas. Es por ello quetambién se les denomina estructuras

disipativas.Un ejemplo típico de

autorganización se presenta cuando unacapa horizontal de algún fluido sesomete a una diferencia de temperaturas.Para lograrlo basta calentar el líquidoen su parte inferior o, aún más fácil,trabajar con un líquido volátilpermitiendo que se evapore. Estoenfriará la superficie y provocará ladiferencia de temperatura deseada. Elfenómeno se presenta a gran escalacuando el Sol calienta la superficieterrestre y la atmósfera se toma comofluido de trabajo.

En este experimento, el líquido más

caliente cercano a la base es menosdenso y tratará de ascender; el más fríocercano a la superficie es más denso ytratará de descender. Si la diferencia detemperaturas es pequeña, la viscosidaddel fluido impedirá su movimiento, perosi se sigue calentando se alcanza unacondición crítica en la querepentinamente el líquido comienza adesplazarse y se organiza en celdas deflujo convectivo a las que se denominaceldas de Bénard (Figura 30 (a).

Figura 30. a) Esquema de laestructura de las celdas de

Bénard en un corte lateral delfluido. b) Estructura en la

superficie de la acetona despuésde la formación de las celdas.

(Foto: Guillemro Sosa).

El experimento es fácil de hacer(Talanquer, 1991):

En un recipiente de fondo plano(como una caja de Petri) se colocaacetona hasta formar una capa deaproximadamente 0.3 cm de ancho. Seespolvorea sobre ella un poco dealuminio en polvo que sirve para hacervisible el movimiento de las partículasdel fluido. Cuando se sopla sobre la

superficie para acelerar la evaporación,es increíble ver cómo el sistema seautorganiza formando una multitud deceldas de convección (Figura 30(b)).

Cuando aparecen las celdas deBénard, el sistema que era originalmentehomogéneo adquiere una verdaderaestructura. En cada una de las celdas haydel orden de 1021 moléculas que sedesplazan de manera concertada, a pesarde su movimiento térmico azaroso. Estoquiere decir que de alguna forma se haestablecido comunicación entre ellas.

La aparición de los patrones deBénard en un fluido es un fenómenocompletamente reproducible. Si se

aseguran las mismas condiciones detrabajo, las celdas se presentarán alalcanzar la misma diferencia detemperatura. Sin embargo, su posición oel sentido en el que rota el líquidodentro de ellas es algo impredecible eincontrolable. Sólo el azar determinacómo será el patrón en cada caso.

Esta posibilidad de elegir entremuchas opciones y de que el azar decidacuál se selecciona es típica de sistemasque se autorganizan. Se acostumbradecir que el sistema es arrastrado hastaun punto en el que repentinamente se lepresentan muchos caminos, pero esimposible predecir cuál seguirá. El

resultado de la selección puedeconducirlo a un nuevo estado máscomplejo y organizado, pero tambiénpuede perderlo en el reino del caos.Loque es indudable es que se trata de unmecanismo muy efectivo para explotarla creatividad del sistema, generandoformas complejas muy parecidas perono idénticas.

Otros ejemplos de sistemas concapacidad de autorganizarse sepresentan en casos tan distintos como laproducción de rayos láser, la apariciónde flujos turbulentos, las reaccionesquímicas oscilantes o la formación deondas químicas (Talanquer, 1992). Al

igual que en el caso de las celdas deBénard, la descripción de sucomportamiento incluye términos comoselección, coherencia, creatividad,organización, adaptación. Esto haabierto las puertas hacia el campo de labiología, y hoy resulta que modelos muysemejantes se utilizan para estudiar eldesarrollo embrionario, los procesos dediferenciación y localización celular, lapropagación de impulsos nerviosos o laformación de órganos multicelulares.

Los modelos propuestos paraestudiar estos fenómenos son dediversos tipos, pero dentro de ellosexiste una familia que ha resultado

particularmente útil y su uso se hageneralizado. Se les llama autómatascelulares y es aquí donde, de nuevo, nosinvaden los fractales.

Como un juegoLos autómatas celulares fueronutilizados por primera vez por losmatemáticos John von Neumann yStanislaw Ulam en 1948 pararepresentar la reproducción en algunossistemas biológicos. Posteriormente, su

uso se extendió a diversos campos y hoydía sus aplicaciones son muy variadas.

Para construirlos basta tomar unarreglo de sitios o celdas, cada una delas cuales se encuentra en un estado quese caracteriza por la asignación de unvalor numérico. Por ejemplo, si sólo haydos estados posibles: vivo-muerto,vacío-lleno, etcétera, pueden elegirselos números 0 y 1 para distinguirlos.

Una vez elegido un estado inicialpara todo el sistema se procede aestudiar cómo evoluciona en el tiempo.Para ello se definen reglas queestablecen cómo cambia el estado decada celda, considerando su situación y

la de sus vecinos más cercanos en laetapa anterior.

Un caso sencillo se presenta cuandoconsideramos un autómata celularunidimensional en el que cada celdapuede estar ocupada por un organismovivo (1) o estar vacía (0). Si ladistribución inicial es al azar; unarepresentación esquemática del sistemase vería de la siguiente manera:

Las reglas de evolución temporalque podemos proponer son múltiples.Por ejemplo:

Cada organismo vivo sobrevivirá para la

siguiente etapa si y sólo si no lo rodeanpor ambos lados otros organismos vivos(esto podría representar lacompetencia). En un sitio vacío apareceun organismo vivo (nacimiento) si almenos un vecino es un organismo vivo.

En términos numéricos esta regla deevolución podría esquematizarseconsiderando la suma de los númerosasignados a cada celda y sus dosvecinos más cercanos. La suma tomaríavalores entre 0 (todos vacíos) y 3 (todosllenos), y el estado para la siguienteetapa se obtendría consultando una tablacomo la siguiente:

Cuando la regla se aplica a cadacelda del sistema inicial se genera lapoblación de la siguiente etapa. Despuésel procedimiento se repite una y otravez, y para fines de análisis resultaconveniente dibujar uno tras otro losresultados que se obtienen:

En la práctica este trabajo puedehacerlo sistemáticamente unacomputadora (véase el capítulo «Para lacomputadora») y el esquema deevolución después de 100 etapas, porejemplo, es como el que se muestra en lafigura 31 (a). En esta figura sedistinguen los sitios llenos de los vacíospor la asignación de color blanco onegro.

Figura 31. Patrones deevolución de una autómata

celular. (a) y (b) corresponden ala regla de crecimiento descritaen el texto; (c) y (d) muestran elresultado para reglas distintas.

De nuevo, el resultado es fascinante.A pesar de haber partido de unasituación azarosa y de que la regla deevolución actúa muy localizadamente(sobre una celda y sus dos primerosvecinos), el autómata celular es capazde generar espontáneamente un patróncomplejo que presenta organización yestructura a toda escala. Esto es, elsistema se autorganiza.

Las características del patrón que se

forma se distinguen más claramentecuando se repite el cálculo suponiendoque inicialmente sólo había unorganismo vivo situado en una celdacentral. El resultado de la evolución delautómata (Figura 31(b)) es nada más ynada menos que una estructura muysimilar al ¡triángulo de Sierpinski! Laautorganización del sistema conduce a laformación de una estructura compleja,autosimilar y con dimensión fraccional.Fractales, fractales, fractales.

Si la regla de evolución se modifica,la estructura del patrón puede cambiardrásticamente (Figuras 31(c) y 31(d)),pero en general sólo se identifican unos

cuantos tipos generales. Hay reglas queconducen a patrones fractales o aestructuras periódicas; otras no llevan anada o generan estructuras de tamañofinito. Las condiciones iniciales puedenmodificar ciertos detalles pero no laesencia del resultado.

El ejemplo que hemos presentado esun caso sencillo y quizá poco realista sipretendemos representar elcomportamiento de un sistema físico.Sin embargo, las ideas generales puedenextenderse para generar autómatas endos y tres dimensiones que reproducennotablemente bien las propiedades demuchos sistemas complejos. El reto al

utilizarlos consiste en capturar laesencia del fenómeno y traducirla allenguaje del autómata. Considerando unmayor número de estados para cadacelda y diferentes reglas de evolución,los autómatas celulares efectúan lamimesis de la formación de ondasquímicas, el flujo de fluidos a través deobstáculos, o el crecimiento de copos denieve. Cuando se introducen ciertoselementos aleatorios en las reglas querigen su comportamiento, son modelosadecuados para fenómenos tales como lapropagación de enfermedadesinfecciosas o de incendios en un bosque,la difusión de líquidos a través de

medios porosos o la distribución decierta especie de plantas en una selva(Peterson, 1988).

Detrás de muchos de los resultadosobtenidos siguen apareciendo losfractales como la elección más eficientepara generar estructuras complejas,como la alternativa más creativa, comoobsesión inevitable.

VII. Tiempo fractal,para acabar

Cuando hablamos de fractales pensamosde inmediato en formas geométricas uobjetos que ocupan el espacio siguiendopatrones muy particulares. Tan es asíque sus propiedades básicas: longitudinfinita, dimensión fraccional o detalle atoda escala, hacen referencia aconceptos espaciales que de algunaforma u otra somos capaces devisualizar. Sin embargo, imaginar algocomo un tiempo fractal parece rayar enlos límites de la locura.

Primer intento. Si toda sucesión deeventos en el tiempo tuviera estructurafractal, nuestra vida podría ser unverdadero infierno. Cada instantecontendría todo pasado y futuro yvivíriamos constantemente nuestramuerte, pero esto es exagerar. Si todadistribución de materia en el espaciosiguiera las reglas de la geometríafractal, estaríamos en todas partes,seríamos el universo entero.

A un nivel más modesto se nos abreotra posibilidad.

Segundo intento. Podríamosimaginar un fenómeno en el que loseventos que lo caracterizan no

ocurrieran en intervalos igualmenteespaciados de tiempo, sino porpaquetes, y dentro de estosencontraríamos eventos similaresdistribuidos también en paquetes, ydentro de cada uno de ellos, máspaquetes, y así hasta que la escala detiempos se nos acabe.

Por ejemplo, detectamos una señalque se produce a lo largo de un mesvarias veces al año. Al analizar sucomportamiento en un mes vemos querealmente aparece a lo largo de un díavarias veces al mes. El registro de laseñal en esos días demuestra que se ledetecta en algunas horas a lo largo del

día, o mejor dicho, en algunos minutos alo largo de la hora, o en algunossegundos a lo largo de cada minuto,etcétera. Una gráfica anual de la señalsería semejante a la siguiente:

La pregunta es, ¿tenemos derecho ono a decir que un fenómeno como éste seda en un tiempo fractal? De algunaforma, ya nos habíamos enfrentado a unproblema similar cuando señalamos lautilidad del fractal de Cantor paramodelar la aparición de ruido en latransmisión de información en sistemas

de comunicación digital. La idea es, enesencia, la misma y aparentemente no esel único caso al que se aplica.

En un material amorfo como elvidrio, el hule o los plásticos, losátomos o moléculas que lo constituyense encuentran distribuidos en posicionesaleatorias, y no ordenadamente, como enun cristal. Esto hace que el sistema estélleno de defectos en donde los enlacesentre partículas se encuentrandistorsionados y bajo tensión.

Cuando un material amorfo se sujetaa la acción de algún esfuerzo que lodeforma y luego se le libera, losdefectos que hay en él se desplazan a lo

largo del sistema y se dice que elmaterial se relaja. Ahora bien, el asuntono es así de fácil pues cada defecto,para movilizarse, necesita tener energíasuficiente para vencer la barrera quesiempre se opone a ello. El tamaño deesta barrera de energía no es el mismopara todos los defectos y normalmentedepende de su posición en el material yde su naturaleza.

Cuando la relajación se inicia, losdefectos cuya barrera energética espequeña se desplazan sin problema.Otros tardan más tiempo, y otros muchomás. El hecho es que la relajación se daen tiempo fractal, pues mientras algunos

movimientos tardan años en darse, enese intervalo ya se produjeronrelajamientos en todas las escalas detiempo (desde picosegundos enadelante).

Esta manera de concebir elproblema ha resultado muy útil paracomprender cómo «envejecen» algunosmateriales amorfos como los plásticosque inundan nuestra vida cotidiana, ocómo responden a la acción de esfuerzosexternos, por qué se fracturan o quiebranlas botas de hule o por qué algunasfibras sintéticas con las que se fabrica laropa se deforman más de la cuenta. Elsuponer la presencia de relajamientos

que se dan a toda escala en el tiempo, hapermitido generar modelos comunespara todos estos fenómenos y simplificarsu análisis. Todo esto con sólo pensaren la posibilidad de esta multiplicacióninterminable de tiempos.

El camino que ahora nos toca seguirestá prácticamente trazado: espaciofractal y tiempo fractal, ¿cuál es elresultado de imaginar un fenómeno quese dé a toda escala, tanto desde el puntode vista espacial como temporal?

La respuesta está en el aire, aunqueya se han desarrollado algunas teorías ymodelos que, aunque muy discutidos,han llamado la atención de muchos

científicos. Estas nuevas ideas en lasque se esconden conceptos comocriticalidad autorganizada, señalan queestos fractales espaciales y temporalesquizá se encuentran en fenómenos tancomunes como las avalanchas y lostemblores. En general, se trata desistemas que viven al borde del colapso,pero muestran una enorme capacidad derecuperación después de cadacatástrofe.

La idea de una avalancha fractal noes tan complicada; pensemos tan sólo enun gran derrumbe dentro del cual seproducen muchos pequeños derrumbes,y dentro de éstos, otros, y así sin límite.

Esto sucede también desde el punto devista temporal: algunas de lasavalanchas dentro de otras avalanchasse darán en segundos, otras en minutos,otras en horas, etcétera.

¿Es todo esto producto de lacasualidad o nos hemos empeñado enver algo que no hay? ¿Es tan atractiva laidea que nos ha seducido hasta perdertodo contacto con la realidad? ¿Estánahí o no están?

VIII. Para lacomputadora

La construcción de un fractal, laposibilidad de utilizarlo para producir,almacenar, analizar o transmitir unaimagen se simplifica considerablementehaciendo uso de la computadora. Dehecho, el efecto y la utilidad que hademostrado tener la geometría fractal nose hubieran manifestado sin lasfacilidades de cálculo y representacióngráfica que proporciona el trabajo encomputadora; parecen estar hechos eluno para el otro. Los fractales se

generan a través de procesos en los queuna misma operación se repite unsinnúmero de veces, y eso esprecisamente lo que una computadorasabe hacer mejor.

La calidad de la visualización deuna estructura fractal en el monitor deuna computadora depende de laresolución de la pantalla aunque, en unsentido estricto, jamás obtendremos unarepresentación exacta que reproduzca eldetalle de la figura a toda escala. Sinembargo, la tecnología moderna yapermite generar imágenes cuyaresolución va más allá de lo quepodemos distinguir con nuestros ojos.

La mayoría de los métodosdesarrollados para construir imágenesfractales se basan en procedimientosmuy sencillos que en cualquier lenguajecomputacional se expresan en unoscuantos renglones; de ahí la sorpresaque provoca observar la complejidad dela imagen que hacen surgir en lapantalla.

Sin duda alguna, la manera más fácilde entender qué es un fractal yconvencerse de su enorme utilidad, esaceptar el reto de construirlo. Por ellohemos incluido en este capítulo unconjunto de instrucciones y programaspara la computadora que permiten

generar la mayoría de las figuras de estelibro. Si se sabe BASIC, el caminoestá prácticamente andado, si no,recomendamos copiar directamente losprogramas y trabajar con ellos. Estamosdispuestos a apostar que no habrá nadieque se arrepienta.

En el país de lasmaravillas

Conjuntos de Julia

El conjunto de Julia correspondiente aun valor determinado de la constante cse genera computacionalmente a travésde la aplicación de la iteración zn+1 =zn

2+c a cada uno de los puntos de unared definida en una región adecuada delplano complejo. Para hacerlo esnecesario escribir la operación deinterés en términos de sus partes real eimaginaria. Esto es:

zn+1= (an+1,bn+1) zn=(an, bn) c=(Cr, Ci),

donde utilizamos la representación tipocoordenadas para cada término de laiteración. Al sustituir resulta:

zn+1=zn2 + c= (an, bn)

(an, bn) + (Cr, Ci) = (an+1,bn+1)

y si multiplicamos y sumamos:

(an+1,bn+1)= (an2− bn

2

+ Cr, 2an bn+ Ci).

Cuando se igualan dos númeroscomplejos, necesariamente se cumpleque sus partes reales y sus partesimaginarias son iguales entre sí, esdecir:

Real an+1 = an2− b2

n+ CrImaginaria bn+1 = 2an bn + Ci

Con esto se logra convertir laiteración de números complejos zn+1 =zn

2 + c, en dos iteraciones de númerosreales que son más fáciles de manejar.

Para iniciar la búsqueda deprisioneros y escapistas es necesario

dar los valores de Cr y Ci que sequieran, y seleccionar un punto (ao, bo)para hacer la prueba. Aplicando laiteración sobre él se analizan lascaracterísticas de la órbita paradeterminar la naturaleza del atractor alque se dirige. Es evidente que si elatractor está en el infinito, jamáspodremos alcanzarlo. Afortunadamente,puede demostrarse (Peitgen, 1984) quesi el resultado de una iteración es unnúmero complejo cuya distancia alorigen r es mayor que dos, la órbita seescapará hacia infinito; la distancia r secalcula a través del teorema de

Pitágoras, R2= a2 + b2 (Figura 32).Esto permite distinguir entre puntosprisioneros y escapistas.

Figura 32. La distancia R es unamedida del tamaño del número

complejo z= (a,b) . Por elteorema de Pitágoras, R2=a2+b2.

En forma práctica: se aplica elmapeo; se analiza el valor de r, para elnumero obtenido; si r>2, el punto no sepinta en la pantalla y se selecciona unnuevo valor inicial; si r<2 se aplica denuevo el mapeo sobre el resultado y serepite el análisis anterior. Si después deun número N de iteraciones (porejemplo, 100) la distancia al origen dela órbita (r) sigue siendo menor que dos,se considera que el punto es prisionero(pertenece al cuerpo del conjunto deJulia) y se le grafica con un color que lodistinga. En un lenguaje computacionalcomo el BASIC, el siguiente programa

genera en la pantalla de un monitormonocromático el cuerpo del conjuntode Julia asociado a la constantec o mp l e j a c=(Cr, Ci) que seseleccione:

REM "Conjuntos deJulia"

KEY 0FF: CLSINPUT "Dame la

constante compleja c ",Cr, Ci

CLS: SCREEN 1WINDOW (−2,

−2)−(2, 2)LINE (−2, −2)−(2, 2),

, BPaso = 200: N =100Delta = 4/Pasoao = −2: bo = −2REM "Se construye

una red en el planocomplejo"

FOR J = 1 TO PasoFOR K = 1 TO Pasoa = ao + J * DeltaB = bo + K * Delta

i= 0: RR = OREM "Se hace la

iteración en cada punto"WHILE (i < N AND

RR < 4)an = a * a − B * B +

CrB = 2 * a * B + Cia = anRR = a * a + B * Bi = i+1WENDREM "Se dibujan los

prisioneros"IF i < N THEN 10PSET (ao + J * Delta,

bo + K * Delta) 10NEXT K10 NEXT JEND

El detalle de la frontera (conjunto deJulia) de las figuras obtenidas con esteprograma (Figuras 8 y 9) mejora alincrementar el número de puntos sobreel que se aplica el mapeo (variablePaso), así como utilizando monitores

con más alta resolución (SCREEN).Si se cuenta con una paleta de color;

el programa puede modificarse paraasignar distintos colores a regiones delplano complejo, fuera del cuerpo delconjunto de Julia, cuyas órbitaspresenten diferente rapidez de escapemedida como N−i (valores pequeños dei implican que el límite r=2 se rebasacon rapidez al aplicar la iteración). Enla siguiente tabla se presentan algunosde los muchos valores de c para los queel conjunto de Julia muestracaracterísticas interesantes (Peitgen,1986)

La lista, por supuesto, no agota el

número de posibilidades, y es tan sóloun reto al lector que desee adentrarse eneste reino de fantasía:

El conjunto de Mandelbrot puedegenerarse con relativa facilidad si setoman en cuenta dos principios básicos:

a) Todo valor de c que pertenece al

conjunto genera una órbita que no sedispara a infinito al aplicar la iteraciónzn+1=zn

2 +c al punto z0(0,0).b) Toda órbita de iteración cuya

distancia al origen r exceda de dos,escapará a infinito.

Con base en esto, basta analizar elcomportamiento de la iteracióncuadrática aplicada al punto zo= (0,0)para distintos valores de c, y graficarsobre el plano complejo aquellas c enlas que el origen se comporta comoprisionero. Esto puede hacersesistemáticamente a través de unprograma de cómputo sencillo, cuya

estructura en BASIC sea como lasiguiente:

REM "Conjunto deMandelbrot"

KEY 0FF: CLSSCREEN 1WINDOW (−2.4,

−1.25)−(0.8, 1.25)LINE (−2.4, 0)−(0.8,

0): LINE (0, −1.25)−(0,1.25)

LINE (−2.4,

−1.25)−(0.8, 1.25), , BPaso = 200: N = 100Deltr = 3.2/Paso:

Delti = 2.5/PasoREM "Se seleccionan

las constantes c a visitar"Cr = −2.4FOR J = 1 TO PasoCr = Cr + DeltrCi = −1.25FOR K= 1 TO PasoCi = Ci + Deltiao = O

bo = Oi= O: RR = OREM "Se hace la

iteración en zo = (0, 0)"WHILE (i < N AND

RR < 4)an = ao * ao − bo *

bo + Crbo = 2 * ao * bo + Ciao = anRR = ao * ao + bo *

boi=i+1

WENDREM "Se dibujan los

puntos del conjunto"IF i < N THEN 10PSET (Cr, Ci)NEXT KNEXT 3END

En este programa se recorre elintervalo de valores de la constante ccomprendido entre −2.4 y 0.8 en su partereal, y de −1.25 a 1.25 en su parteimaginaria. Todo valor de c que

pertenece al conjunto de Mandelbrot sedibuja en el plano complejorepresentado en la pantalla. Laestructura del conjunto se muestra en lafigura 10. De nuevo es importanteseñalar que los detalles del conjunto sehacen más notorios al incrementar elvalor de la variable. Paso (número devalores de c visitados) o la resolucióndel monitor. Las ilustraciones másfamosas del conjunto de Mandelbrot sehan realizado en monitores de color dealta resolución, asignando diferentescolores a valores de c fuera delconjunto, de acuerdo con la rapidez dedivergencia o escape a infinito de sus

órbitas (controlado por la variable i; verlas láminas).

A diferencia de los conjuntos deJulia, de los cuales existe uno para cadavalor del parámetro complejo c, elconjunto de Mandelbrot es único. Sinembargo, en él está contenida toda lacomplejidad de cualquier conjunto deJulia imaginable. Por ello, analizar losdetalles de su contorno puede ser unaexperiencia inolvidable. Parademostrarlo, recomendamos aquíalgunas zonas dignas de exploración, einvitamos al lector a hacer sus propiosdescubrimientos en este mundofascinante (Peitgen, 1986).

En estos casos es necesariomodificar un poco el programa anteriorpara considerar los nuevos límites delWINDOW, los valores de inicio de Cr yCi que correspondan, así como eltamaño del intervalo por recorrer en eleje real y en el eje imaginario(indicados en las variables Deltr yDelti). En la medida que el WINDOW esmás pequeño resulta recomendabletomar cada vez valores mayores de N.

Un mundo deimágenes

Ping-pong fractal

Los principios en los que se basa elmétodo del ping-pong fractal sonrealmente sencillos. Para utilizarlo sóloes necesario construir la tabla delconjunto de transformaciones deafinidad que generan el collage de lafigura de base sobre la que se deseatrabajar. El resto consiste en establecer

un mecanismo de selección azarosa decada uno de los algoritmoscorrespondientes, para aplicarlositeradamente a partir de un puntoarbitrario inicial. En un lenguaje simplec o m o BASIC estas ideas puedenplasmarse en un programa corto como elque se lista a continuación, escrito parael caso particular de la hoja de helechofractal (Figura 15 (b)), cuya tabla detransformaciones se encuentra en elcapitulo «Un mundo de imágenes»:

REM "Imagende una hoja de

helecho fractal"CLS: SCREEN

1WINDOW (−3,

0)−(3.5, 11)pl = 0.005: p2 =

0.0975:f = 3.1416/180x = 0: y = O

1 d = RNDx = r * COS(A

* f) * x − s * SIN(B * f) * y + h

y = r * SIN(A *f) * x + s * COS (B* f) * y + k

PSET(x, y)n=n+1IF n > 20000

THEN 5REM "Se

selecciona al azarcadatransformación"

IF d < p1THEN 2

IF d > p1 ANDd < p1 + p2 THEN3

IF d > p1 + p2AND d < p1 + p2 +p3 THEN 4

r = 0.85: 5 =0.85: h = 0

k = 1.6: A =−1.5: B = −1.5

GOTO 1

2 r = 0: s = 0.16:

h = 0k = 0: A = 0: B

= 0GOTO 1

3 r = 0.3: s =0.37:h =0

k = 0.44: A =135:B = −40

GOTO 14 r = 0.3: 5 =

0.34:h =0k = 1.6: A = 45:

B= 45GOTO 1

5 END

Como puede verse, la elección decada transformación de afinidad se hacede acuerdo con el valor aleatorio de lavariable d, considerando laprobabilidad de visita de cada área pi.Las características del lenguaje deprogramación utilizado, obligan amanejar las variables angulares A y Ben radianes, por lo que se introduce elfactor de transformación f. La nitidez dela figura obtenida puede mejorarse yasea utilizando un monitor de alta

resolución o incrementando el númerototal de iteraciones que en nuestro casose ha limitado a 20 000.

En caso de contar con una paleta decolor, la imagen puede enriquecerse porla asignación de colores o tonosdistintos de acuerdo con la frecuencia deincidencia en cierta región de lapantalla.

Debe ser claro que el fractalgenerado en la computadora no es, en elestricto sentido matemático, unverdadero fractal. La posibilidad detener detalle a toda escala estárestringida por el tamaño de los puntosdesplegados en el monitor, de manera

que hay un límite en la repetición de laforma original. Aun así, el método esmuy útil para construir excelentesrepresentaciones del caso ideal.

La estructura de este programapuede servir para reproducir el fractalque se desee, con tal de cambiar losvalores de r, s, h, k, A y B quecorrespondan a cada transformación, lasprobabilidades de visita pi, y cuando serequiera, incluir las transformaciones deafinidad adicionales que seannecesarias.

Juegos naturales

Agregación limitada pordifusión

Para simular el crecimiento de unagregado fractal por el método deagregación limitada por difusión(DLA), lo primero que hay que haceres elegir el tipo de celda con la que seva a trabajar. Si la celda es circular; hayque colocar una partícula semilla en elorigen de una malla regular; si la celda

es rectangular, que es el caso que aquíilustraremos, se coloca una línea desemillas en la base de la malla pararepresentar al electrodo.

El cálculo se inicia añadiendo unapartícula en una posición aleatoriaalejada de la base, y se permite queinicie su movimiento siguiendo unacaminata al azar. Si al hacer surecorrido casualmente visita un sitioadyacente a alguna semilla, pasa aformar parte del cúmulo y una nuevapartícula se introduce al sistema. Estarecorre su camino azarosamente hastatoparse y adherirse al agregado encrecimiento. El proceso se repite con un

número N de partículas, estableciendocondiciones a la frontera que aseguran elreemplazo de toda partícula que en sutrayectoria aleatoria rebase los límitesimpuestos al sistema.

El siguiente programa en BASICpermite crecer un agregado fractal enuna celda rectangular donde sedepositan 900 partículas:

REM "DLApara una celdarectangular"

KEY 0FF:

RANDOMIZETIMER

CLS: SCREEN1

WINDOW(−40, −36)−(40,36)

LINE (−35,−35)−(35, 35), , B

LINE (−30.5,−28.3)−(30.5,−27.7), 3, BF

REM

"Condicionesiniciales"

N = 900: Con= 0

WHILE Con<= U

REM"Definición deposición aleatoria"

x = −30 +INT(61 * RND): y= 28

LINE (x − 0.4,

y − 0.4)−(x + 0.4,y + 0.4), , BF

C=0REM "Análisis

del estado de sitiosvecinos"

10 IF (POINT(x +1, y) <> 0 ORPOINT(x − 1, y)<> 0 OR

POINT(x, y +1) <> 0 ORPOINT(x, y − 1)

<> 0) THENC = 1 ELSE C

= OIF C = 1

THEN 30LINE (x − 0.4,

y − 0.4)−(x + 0.4,y + 0.4), 0, BF

REM "Cálculode nueva posiciónal azar"

Sel = RNDIF (Sel <= 1/3

AND POINT(x+1,y) = 0) TEEN x =x + 1

IF (Sel >= 1/3AND Sel <=2/3AND

POINT(x − 1,y) = 0) THEN x =x − 1

IF (Sel >= 2/3AND POINT(x,y−1) = 0) THEN y= y − 1

LINE (x − 0.4,y − 0.4)−(x + 0.4,y + 0.4), , BF

REM"Condición a lafrontera"

IF (x < −33OR x > 33 OR y <−33 OR y > 33 )THEN 20

GOTO 1020 LINE (x − .4,

y − .4)−(x + .4, y+ .4), 0, BF

GOTO 4030 Con = Con + 140 WEND

END

La agregación por DLA es unproceso relativamente lento, por lo queno hay que desesperar antes de vercompleto el depósito (Figura 23(b)). Elprograma anterior puede modificarsecon relativa facilidad para trabajar enuna celda circular o incluir laposibilidad de que las partículas reboten

antes de adherirse (Talanquer, 1991).Esto es de utilidad para analizar cómocambia la estructura y su dimensiónfractal.

Huellas en el tiempo

Sobrepoblaciones

El comportamiento temporal de ladinámica poblacional que corresponde a

la relación:

Ni+1= aNi (1−Ni)

puede generarse fácilmente en lacomputadora. Para ello hay queconstruir un programa en el que, dadoslos valores del parámetro a y lapoblación inicial N0, se calculen laspoblaciones sucesivas N1, N2, N3,…, y se grafiquen como función deltiempo. En BASIC (Cortés, 1992):

REM"Comportamiento

temporal de la población"INPUT "Dame el

parámetro de crecimientoa (0−4)", a

INPUT "Dame lapoblación inicial No(0−1)", No

CLS: SCREEN 2WINDOW (−5,

−0.1)−(105, 1.1)LINE (0, 0)−(0,1):

LOCATE 2, 2: ?"N"LINE (100, 0)−(0,0):

LOCATE 22, 75:?"t"REM "Cálculo del

comportamientotemporal"

FOR i=0 TO 100LINE −(i, No)No = a * No * (i −

No)NEXT iEND

Las gráficas que se generan soncomo las de la figura 28 y correspondena un análisis en el que se realizan 100

iteraciones. Para obtener el diagrama debifurcaciones (Figura 29), la iteracióndebe hacerse para varios valoressucesivos de a, graficando para cadauno de ellos los distintos valores quealcanza la población en las últimasiteraciones (si se hacen 100 porejemplo, basta tomar las últimas 25):

REM "Diagrama debifurcaciones"

INPUT "Dame lapoblación inicial No(0−1)", No

CLS: SCREEN 2

WINDOW (2.75,−0.1)−(4.1, 1.1)

LINE (2.8, 0)−(4, 1)9, B

LOCATE 2, 2:PRINT "N": LOCATE23, 77: PRINT "a"

REM "Cálculo yrepresentación gráfica"

FOR a = 2.8 TO 4STEP 0.002

FOR i = 1 TO 100No = a * No * (1 −

No)IF i > 75 THEN

PSET (a, No)NEXT iNEXT aEND

Si se desea utilizar la computadoracomo microscopio y hacerampliaciones, basta cambiar los límitesde la instrucción WINDOW, y elintervalo de valores a que se recorre.

Autómata celularRecordemos que el autómata celular

cuyo comportamiento nos interesainvestigar está definido en una mallaunidimensional en la que cada celdapuede tomar uno de dos valoresposibles: 0 o 1. La regla de evolucióntemporal que se ha elegido se resume enuna tabla como la siguiente, en la que seestablece cuál será el nuevo estado decada celda, como función de la suma delos valores que tenían ella y sus dosprimeros vecinos en la etapa anterior:

El programa de computadora porconstruir debe entonces analizar cuántovale la suma en cada una de las celdas, ycon base en ello cambiar su estado.Después de actualizar a todo el sistemase elige un código de color: 1-negro, 0-blanco, por ejemplo, y se dibuja elresultado. El proceso se repite tantasveces como se quiera, desplegando en lapantalla, una tras otra, la estructura quese tiene en cada etapa:

REM"Autómatacelular"

DIMVieja(105),Nueva(105)

CLS: SCREEN2

WINDOW (0,−100)−(100, 0)

j = −1REM

"Condicionesiniciales al azar"

FOR i = 1 TO100

Vieja(i) = IIT(2 * RND)

IF Vieja(i) = 1THEN

LINE (i, j)−(i+ 1, j + 1), , BF

10 NEXT iREM "Nuevos

estados"FOR i = 2 TO

99Sum = Vieja(i)

+ Vieja(i + 1) +

Vieja(i − 1)IF Sum = 0

THEN Nueva(i) =0

IF Sum = 1THEN Nueva(i) =1

IF Sum = 2THEN Nueva(i) =1

IF Sum = 3THEN Nueva(i) =0

NEXT iNueva(1) =

Nueva(99)Nueva(100) =

Nueva(2)j = j − 1REM

"Actualización"FOR i = 1 TO

100IF Nueva(i) =

1 THENLINE (i, j)−(i

+ 1, j + 1), , BFVieja(i) =

Mueva(i)NEXT iIF j >= −100

THEN 10END

Es interesante modificar el programaanterior para alterar las condicionesiniciales o la regla de evolución delautómata. Algunos de los patrones quecaracterizan al sistema se presentan enla figura 31 y muestran la estructuraalcanzada después de 100 etapas.

BibliografíaDe todos los posibles, los siguienteslibros y artículos fueron fundamentalesen la elaboración de este libro:

Argoul, F., et al. «Self-Similarity ofDiffusion-Limited Aggregates andElectrodeposition Clusters», Phys. Rev.Lett. 61(22) 2558 (1988).

Bak, P. y K Chen. «Self-OrganizedCriticality», Scientific American 264(1) 26 (1991).

Braun, E. Un movimiento en zigzag,La ciencia desde México, Núm. 13,SEP, FCE, CONACYT, México,1986.

Briggs, J. y F. D. Peat. TurbulentMirror, Harper and Row, Nueva York,1990.

Córdoba, J., V. Talanquer y G.Irazoque. «Patrones de flujo», Eduq.quím. 4(1) 32 (1993).

Cortés, F., A. Gamboa, Y. Talanquery G. Irazoque, «Caoticidades», Eduq.quím. 3 (4) xxx (1992).

Crutchfield, J. P., J. Doyne Farmer,N. H. Packard y R. S. Sahw, «Chaos»,Scientific American, 256 (6) 46(1986).

Davies, P., The Cosmic Blueprint.Heinemann, Londres, 1987.

Dewdney, A. K «ComputerRecreations», Scientific American, 253

(2) 16 (1985); 255 (6) 14 (1986): 257(1) 108 (1987); 257 (5)140 (1987); 262(5) 90 (1990).

Dresden, M., «Chaos: A NewScientific Paradigm or Science byPublic Relations?», The PhysicsTeacher; 30, 11 (1992); 30, 75 (1992).

Feder, J. Fractals, Plenum Press,EUA, 1989.

Ford, J., «What is chaos, that weshould be mindful of it?», The NewPhysics,. Paul Davies (compilador),Cambridge University Press, GranBretaña, 1989.

Gardner, M., «MathematicalGa me s » , Scientific American, 235

(6)124 (1976).Goldberger, A. L., D. R. Rigney, y

B. J. West. «Chaos and Fractals inHuman Physiology», ScientificAmerican 262 (2) 34 (1990).

Gould, H. y J. Tobochnik, AnIntroduction to Computer SimulationMethods. Applications to PhysicalSystems, parte 1 y 2, Addison Wesley,EUA, 1988.

Grier, D. et al «Morphology anMicrostructure in ElectrochemicalDeposition of Zinc», Phys. Rev. Lett . 56(12) 1264 (1986).

Jürgens, H., H. O. Peitgen y D.Saupe, «The Language of Fractals»,

Scientific American 263 (2) 40 (1990).Kahanda, G. L. M. K S. y M.

Tomkiewicz, «Morphological Evolutionin Zinc Electrodeposition», J.Electrochem Soc. 136 (5)1497 (1989).

Liang, S. «Random-walkSimulations of Flow in the Hele-ShawCelis», Phys. Rev. A 33, 2663 (1986).

Mandelbrot, B., «How long is thecoast at Britain?», Science, 155 636(1967).

—, B., «An Interview», Omni, 5febrero 1984.

Matsushita, M. et al. «FractalStructures of Zinc Metal Leaves Grownby Electrodeposition». Phys. Rev. Lett.

53 (3) 286 (1984).Nicolis, G. «Physics of far-from-

equilibrium Systems and self-organization», en The New Physics, PaulDavies (compilador.), CambridgeUniversity Press, Inglaterra, 1989.

Ocaña-Fuentes, G., «La geometríafr ac ta l » , Información Científica yTecnológica. 12 (170) 7 (1990).

Peitgen, H. O., D. Saupe, F. V.Haeseler, Mathematical Intelligencer(2) 11(1984).

Peitgen H. O. y P. H. Richter, TheBeauty of Fractals. Springer-Verlag.Alemania, 1986.

Peitgen, H. O., H. Jürgens y D.

Saupe, Fractals for the Classroom.Parte 1 Springer-Verlag, EUA, 1992.

Peterson, I., The MathematicalTourist, W. H. Freeman and Company.Nueva York, 1988.

Peterson, I., Islands of Truth, AMathematical Mistery Cruise. W. H.Freeman and Company, Nueva York,1990.

Prigogine, I. el. Stengers, Order outof Chaos, Bantam, EUA, 1989.

Rietman, E., Exploring theGeometry of Nature, Windcrest Books.EUA, 1989.

Robinson, A. L., «Fractal fingers inviscous fluids», Science 288, 1077

(1985).Sagués, F. y J. M. Costa, «A

Microcomputer Simulation of FractalElectrodeposition» J. Chem. Educ. 66(6) 502 (1989).

Sander. L. M. «Fractal Growth»,Scientific American 256 (1) 94 (1987).

Sawada, Y., A Dougherty y J. P.Gollub. «Dendritic and Fractal Patternsin Electrolytic Metal Deposits», Phys.Rev. Lett. 56 (12)1260 (1986).

Talanquer, V. y G. Irazoque.«Fractales». Eduq. quím. 2 (3)114(1991); ¿Qué es autorganización? I. Elproblema de la convección, 2 (4) 166(1991): ¿Qué es autorganización? II.

Reacciones oscilantes, 3(1) 36 (1992):¿Qué es autorganización? III. Ondasquímicas, 3 (2) 89" (1992).

Tang, C. «Diffusion-limitedAggregation and die Saffman-TaylorProblem», Phys. Rev. A 31, 1977(1985).

Voss, R. F. y M. Tomkiewicz.«Computer Simulation of DendriticElectrodeposition», J Electrochem. Soc.132 (2) 371(1985).

Walker, J., «The Amateur Scientist.Fluid interfaces, including fractal lowscan be studied in a Hele-Shaw cell»,Scientific American 57 (5)134 (1987).

Witten, T. A. y L. M. Sander.

«Diflusion-Limited Aggregation, aKinetic Critical Phenomenon», Phys.Rev. Lett. 47 (19)1400 (1981);«Diffusion-Limited Aggregation», Phys.Rev. B. 27 (9) 5686 (1983).

VICENTE TALANQUER. Estudió lacarrera de Químico en la UniversidadNacional Autónoma de México, dondetambién obtuvo el Doctorado enCiencias Químicas (Fisicoquímica) en1992. En esa fecha se integró al cuerpoacadémico de la Facultad de Química dela UNAM como profesor de tiempo

completo. En el año 2000, se trasladó ala Universidad de Arizona en Tucson,donde en la actualidad trabaja comoprofesor asociado. Autor o coautor demás de 10 libros de texto para laprimaria y secundaria mexicanas y decerca de 80 artículos arbitrados deinvestigación en fisicoquímica,educación química y pensamientodocente, en la actualidad su trabajo deinvestigación se centra en el estudio,reflexión y mejoramiento de laenseñanza de la química y de laformación de docentes en ciencias. Enparticular, se interesa en lacaracterización de los marcos

conceptuales y los patrones derazonamiento utilizados por losestudiantes de química para generarexplicaciones o resolver problemas querequieren razonamiento cualitativo(clasificación, comparación, inferencia,predicción).